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1、1.2 1.2 任意角的三角函数任意角的三角函数 1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数第二课时第二课时问题提出问题提出1.1.设设是一个任意角，它的终边与单位是一个任意角，它的终边与单位圆交于点圆交于点P P（x x，y y），角），角的三角函数的三角函数是怎样定义的？是怎样定义的？2.2.三角函数在各象限的函数值符号分别三角函数在各象限的函数值符号分别如何？如何？ 一全正，二正弦，三正切，四余弦一全正，二正弦，三正切，四余弦. .3.3.公式公式 ， ， ( ).( ).其数学意义如何其数学意义如何？ 4.4.角是一个几何概念，同时角的大小也角是一个几何概念，同时角的大小
2、也具有数量特征具有数量特征. .我们从数的观点定义了我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美数的几何意义，就能实现数与形的完美统一统一. . 终边相同的角的同名三角函数值相等终边相同的角的同名三角函数值相等. .知识探究（一）：知识探究（一）：正弦线和余弦线正弦线和余弦线 思考思考1 1：如图，设角如图，设角为第一象限角，其为第一象限角，其终边与单位圆的交点为终边与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 ， 都是正数，你能分都是正数，你能分别用一条线段表示角别用一条线段表示角的正弦值和余弦的正弦值和余弦
3、值吗？值吗？P P（x x，y y）O Ox xy yM思考思考2 2：若角若角为第三象限角，其终边为第三象限角，其终边与单位圆的交点为与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 ， 都是负数，此时都是负数，此时角角的正弦值和余弦值分别用哪条线的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？段表示？P P（x x，y y）O Ox xy yM M思考思考3 3：为了简化上述表示，我们设想为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号有正负值符号. .根据实际需要，应如何根
4、据实际需要，应如何规定线段的正方向和负方向？规定线段的正方向和负方向？规定：线段从始点到终点与坐标轴同向规定：线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向时为正方向，反向时为负方向. . 思考思考4 4：规定了始点和终点，带有方向的线规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做段，叫做有向线段有向线段. .由上分析可知，当角由上分析可知，当角为第一、三象限角时，为第一、三象限角时，sinsin、coscos可分可分别用有向线段别用有向线段MPMP、OMOM表示，即表示，即MP= MP= sinsin，OM=OM=coscos，那么当角，那么当角为第二、四象限角为第二、四象限角时，你能检验这
5、个表示正确吗？时，你能检验这个表示正确吗？ P P（x x，y y）O Ox xy yM MP P（x x，y y）O Ox xy yM M思考思考5 5：设角设角的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点为为P P，过点，过点P P作作x x轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为M M，称，称有向线段有向线段MPMP，OMOM分别为角分别为角的的正弦线正弦线和和余弦线余弦线. .当角当角的终边在坐标轴上时，的终边在坐标轴上时，角角的正弦线和余弦线的含义如何？的正弦线和余弦线的含义如何？P PO Ox xy yM MO Ox xy yP PP P思考思考6 6：设设为锐角，你能根据正弦线和为锐角，你能
6、根据正弦线和余弦线说明余弦线说明sinsincoscos1 1吗？吗？P PO Ox xy yMMPMPOMOMOP=1OP=1知识探究（二）：知识探究（二）：正切线正切线 A AT T思考思考1 1：如图，设角如图，设角为第一象限角，其为第一象限角，其终边与单位圆的交点为终边与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是正数，用哪条有向线段表示是正数，用哪条有向线段表示角角的正切值最合适？的正切值最合适？P PO Ox xy yM MAT T思考思考2 2：若角若角为第四象限角，其终边为第四象限角，其终边与单位圆的交点为与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是负数，此时
7、用哪条有向线段表示角是负数，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？的正切值最合适？P PO Ox xy yM MA AT TA AT TP PO Ox xy yM M思考思考3 3：若角若角为第二象限角，其终边为第二象限角，其终边与单位圆的交点为与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角是负数，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？的正切值最合适？思考思考4 4：若角若角为第三象限角，其终边为第三象限角，其终边与单位圆的交点为与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是正数，此时用哪条有向线段表示角是正数，此时用哪条有向线段表示角的正切值
8、最合适？的正切值最合适？P PO Ox xy yM MA AT TA AT T思考思考5 5：根据上述分析，你能描述正切线根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？的几何特征吗？过点过点A A（1 1，0 0）作单位圆的切线，与角）作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线相交于点的终边或其反向延长线相交于点T T，则，则AT=AT=tantan. .A AT TO Ox xy yP PA AT TO Ox xy yP P思考思考6 6：当角当角的终边在坐标轴上时，角的终边在坐标轴上时，角的正切线的含义如何？的正切线的含义如何？O Ox xy yP PP P当角当角的终边在的终边在x x轴上时，
9、角轴上时，角的正切线的正切线是一个点；当角是一个点；当角的终边在的终边在y y轴上时，角轴上时，角的正切线不存在的正切线不存在. .思考思考7 7：观察下列不等式：观察下列不等式：你有什么一般猜想？你有什么一般猜想？ 思考思考8 8：对于不等式对于不等式（其中（其中为锐角），你能用数形结合为锐角），你能用数形结合思想证明吗？思想证明吗？P PO Ox xy yM MA AT T理论迁移理论迁移 例例1 1 作出下列各角的正弦线、余弦作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：线、正切线： （1 1） ； （2 2） ；（3 3） ； （4 4） . . 例例2 2 在在0 0 内，求使内，求使 成立
10、的成立的的取值范围的取值范围. .O Ox xy yP PM MP P1 1P P2 2例例3 3 求函数求函数 的定义域的定义域. .O Ox xy yP P2 2M MP P1 1P P小结作业小结作业1.1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具步研究三角函数图象的有效工具. .2.2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点是原点O O和点和点A A（1 1，0 0）. .3.3.利用三角函数线处理三角不等式问题，利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重要的方法和技巧，也是一种数形是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想结合的数学思想. .
