《大物17简谐振动》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大物17简谐振动（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第17章章 振动振动12振动振动 任一物理量在某一定值附近往复的任一物理量在某一定值附近往复的变化。变化。机械振动机械振动 物体在其稳定平衡位置附近所物体在其稳定平衡位置附近所做的往复运动。做的往复运动。周期和非周期振动周期和非周期振动例如：例如：一切发声体、心脏、海浪起伏、地一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等震以及晶体中原子的振动等. .其运动形式有直线、平面和空间振动。其运动形式有直线、平面和空间振动。171 简谐振动简谐振动23 物体振动时物体振动时, , 若决定其位置的坐标按余弦若决定其位置的坐标按余弦（或正弦）函数规律随时间变化（或正弦）函数规律随时间变化,
2、,这样的振动这样的振动称为简谐振动。称为简谐振动。谐振子谐振子 作简谐运动的物体。作简谐运动的物体。简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成分解分解一、简谐振动一、简谐振动171 简谐振动简谐振动34弹簧振子的振动弹簧振子的振动产生振动的原因：产生振动的原因：弹性恢复力、惯性。弹性恢复力、惯性。自由振动：自由振动：物体只在弹性恢复力作用下所物体只在弹性恢复力作用下所作的振动。作的振动。45（1）受力特点）受力特点线性恢复力线性恢复力（2）动力学微分方程）动力学微分方程令令56 简谐运动的微分方程简谐运动的微分方程 简谐运动的运动方程简谐运动的运动方程速度速度加速度加速度67图线表示法图线表示法
3、78简谐运动的三项基本特征简谐运动的三项基本特征 讨论讨论 891.振幅振幅2.周期、频率周期、频率弹簧振子周期弹簧振子周期周期周期图图二、简谐运动的振幅、周期、频率和相位二、简谐运动的振幅、周期、频率和相位由初始条件决定。由初始条件决定。910周期周期频率频率角频率角频率 周期和频率取决于振动系统周期和频率取决于振动系统本身本身的性质。的性质。（2 s 内振动的次数）内振动的次数）10113.相位相位物理意义物理意义 描述质点描述质点 t 时刻的运动状态。时刻的运动状态。相位在相位在 内变化内变化, , 质点质点无相同无相同的运动状态；的运动状态； 初相位初相位 描述质点描述质点初始初始时刻
4、的运动状态。时刻的运动状态。 两个振动之间的相位之差两个振动之间的相位之差 。4.相位差相位差1112 （1）对同一简谐运动，相位差可以给出两）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间。运动状态间变化所需的时间。1213x2超前超前同步同步反相反相 （2）对于两个同频率的简谐运动，相位差）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异。表示它们间步调上的差异。1314利用初始条件利用初始条件三、振幅和初相的确定三、振幅和初相的确定 得得 振幅和初相振幅和初相 1415例例1 物体沿物体沿 x 轴作谐振动，振幅为轴作谐振动，振幅为12cm，周期，周期为为2s，当，当 t
5、= 0时，物体的坐标为时，物体的坐标为6cm，且向，且向x 轴轴正方向运动，求正方向运动，求(1)初相；初相；(2) t=0.5s 时，物体的时，物体的坐标、速度和加速度；坐标、速度和加速度；(3) 物体在平衡位置，且物体在平衡位置，且向向 x 轴负方向运动的时刻开始计时的初相，轴负方向运动的时刻开始计时的初相， 并并写出运动方程。写出运动方程。解解 设选向右为设选向右为x轴的正方向，并设物体的运动轴的正方向，并设物体的运动学方程为学方程为1516又又当当 t=0 时时：x0= 6cm，v0 0。或或因为因为 v0 0，所以，所以运动学方程为运动学方程为(1) 根据根据题意知：题意知：A=12
6、cm,1617负号表示负号表示 t=0.5s 时，物体的速度和加速度方时，物体的速度和加速度方向皆与向皆与 x 轴正方向相反。轴正方向相反。(2) t =0.5s 时，坐标、速度和加速度分别为时，坐标、速度和加速度分别为1718或或因为因为v00，所以，所以运动学方程为运动学方程为(3) 根据根据题意，题意，当当t=0时时：x0=0，v0 0，将这些条，将这些条件代入运动学方程，得件代入运动学方程，得1819l0例例2 一劲度系数为一劲度系数为 k 的轻质弹簧的轻质弹簧, 上端固定上端固定, 下下端悬挂一质量为端悬挂一质量为m的物体的物体M。平衡时。平衡时, 弹簧将伸弹簧将伸长一段距离长一段距
7、离st , 称为静止变形称为静止变形, 见图。如果再见图。如果再用手拉物体用手拉物体, 然后无初速地释放。然后无初速地释放。解解 以物体以物体 M 为研究对象为研究对象, 它它共受重力共受重力 P 和弹性回复力和弹性回复力 f 两个力的作用。两个力的作用。试写出物体试写出物体M的运动微分方程，的运动微分方程，并确定它的运动规律。并确定它的运动规律。1920当物体处于平衡位置当物体处于平衡位置时时l0 在运动过程中，物体所受在运动过程中，物体所受的合力的合力FR为为2021根据牛顿第二定律，得根据牛顿第二定律，得令令简谐振动简谐振动2122k1k2kk即即弹簧串联的等效劲度系数为弹簧串联的等效劲
8、度系数为例例3 一重为一重为m的物体用两根弹簧竖直悬挂，各弹的物体用两根弹簧竖直悬挂，各弹簧的劲度系数标明在图上簧的劲度系数标明在图上, 求图示两种情况下，求图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率。系统沿竖直方向振动的固有频率。解解 对两弹簧串联情况，弹簧对两弹簧串联情况，弹簧的静止形变为的静止形变为2223所以，系统的固有频率所以，系统的固有频率为为k1k2kk同理，同理，对两弹簧并联情况对两弹簧并联情况 2324例例4 单摆的运动分析。单摆的运动分析。 取逆时针方向为角位移取逆时针方向为角位移的的正向，重力的切向力正向，重力的切向力在在很小时，很小时，故故l摆球的切向加速度摆球的切向
9、加速度2425由牛顿第二定律，得由牛顿第二定律，得或或与弹簧振子的微分方程比较与弹簧振子的微分方程比较在角位移在角位移 很小时很小时, 单摆的振动是简谐运动。单摆的振动是简谐运动。 2526角频率角频率周期周期频率频率2627谐振动的旋转矢量表示法谐振动的旋转矢量表示法旋转的矢量旋转的矢量旋转矢量的旋转矢量的端点在端点在 x 轴上的轴上的投影点的运动为投影点的运动为简谐振动。简谐振动。 长度为长度为A，以以O为原点作角速度为为原点作角速度为的逆时针旋转。的逆时针旋转。2728t 时刻时刻t=0 时刻时刻2829旋转矢量与谐振动的对应关系旋转矢量与谐振动的对应关系的长度的长度 谐振动的振幅谐振动
10、的振幅 A 谐振动的角频率谐振动的角频率的角速度的角速度 谐振动的初相位谐振动的初相位 | t = 0 与与 x 轴的夹角轴的夹角 2930例例7 一音叉振动的角频率一音叉振动的角频率 =6.28102rad/s，音，音叉尖端的振幅为叉尖端的振幅为1.0mm。试用旋转矢量法求以下。试用旋转矢量法求以下三种情况的初相并写出运动方程三种情况的初相并写出运动方程 (1) 当当t = 0时时,音音叉尖端通过平衡位置向叉尖端通过平衡位置向 x 轴正方向运动；轴正方向运动； (2) 当当t=0时时, 音叉尖端在音叉尖端在 x 轴的负方向一边且位移具有轴的负方向一边且位移具有最大值最大值; (3) 当当 t
11、 = 0时时,音叉尖端在音叉尖端在 x 轴的正方向轴的正方向一边，离开平衡位置距离为振幅之半，且向平衡一边，离开平衡位置距离为振幅之半，且向平衡位置运动位置运动 。 = 3/2解解 (1) 根据题意，根据题意，t = 0时时,旋转旋转矢量的位置如图所示。矢量的位置如图所示。3031 = = /3(2) t = 0时时, 旋转矢量的位置如图所示。旋转矢量的位置如图所示。 (3) t = 0时时,旋转矢量的位置如图所示。旋转矢量的位置如图所示。 3132例例8 两质点沿两质点沿 x 轴作同方向同振幅的谐振动轴作同方向同振幅的谐振动, 其其周期均为周期均为5s，当，当t = 0时时, 质点质点1在在
12、 处向处向 x 轴轴负方向运动，而质点负方向运动，而质点2在在 -A处。试用旋转矢量法处。试用旋转矢量法求这两个谐振动的初相差求这两个谐振动的初相差, 以及两个质点第一次以及两个质点第一次经过平衡位置的时刻经过平衡位置的时刻 。解解 两质点的谐振动方程分别为两质点的谐振动方程分别为 3233向向x轴负方向运动轴负方向运动, 其旋转矢量其旋转矢量 A1如图所示。如图所示。质点质点1在在 t = 0 时，时，由图得初相角由图得初相角 1 = /4 同理同理, 旋转矢量旋转矢量 A2 如图所示。如图所示。初相角初相角 2 = 两质点的初相差两质点的初相差 2 - 1 = - /4 = 3/4质点质点
13、2的相位比质点的相位比质点1的相位超前的相位超前 3/4 。3334 由图得，质点由图得，质点1第一次第一次经过经过平衡位置的时刻为平衡位置的时刻为 质点质点2第一次经过第一次经过平平衡位置的时刻为衡位置的时刻为t1 = T/8 = 0.625s t2 = T/4 = 1.25s 3435谐振动的能量谐振动的能量以弹簧振子为例以弹簧振子为例 设弹簧原长处弹性势能为零设弹簧原长处弹性势能为零3536 弹性回复力是弹性回复力是保守力保守力，作，作简谐简谐振动的系振动的系统统机械能守恒。机械能守恒。机械能机械能动能动能势能势能3637平均动能平均动能平均势能平均势能 谐振动在一个周期内的平均势能和平
14、均谐振动在一个周期内的平均势能和平均动能动能相等。相等。37一、一、同方向同频率谐振动的合成同方向同频率谐振动的合成17.6 谐振动的合成谐振动的合成方法一方法一 解析法解析法38令令其中其中39方法二方法二 旋转矢量法旋转矢量法40（1）相位差相位差 讨论讨论相互加强相互加强41（2）相位差相位差相互削弱相互削弱42一般情况一般情况相位差相位差相互加强相互加强相互削弱相互削弱相位差相位差43合成谐振动的振幅合成谐振动的振幅求合成谐振动的初相位、振幅和振动方程。求合成谐振动的初相位、振幅和振动方程。 1 = 0， 2 = ，A1=4cm，A2=2cm例例1 质点同时参与质点同时参与的两个谐振动的两个谐振动解解 合成运动仍是谐振动合成运动仍是谐振动 44合成谐振动的初相合成谐振动的初相 合成谐振动的振动方程为合成谐振动的振动方程为旋转矢量法也可得到同样的结果。旋转矢量法也可得到同样的结果。45合振动合振动合振幅合振幅二、同方向不同频率谐振动的合成、拍二、同方向不同频率谐振动的合成、拍合振动不再是简谐振动。合振动不再是简谐振动。在在 A1+A2 和和 之间周期性变化。之间周期性变化。 振幅调制振幅调制46若若当当 2 1 时时 , 2 1 2 + 1。合振动可看作是振幅缓变的近似简谐振动。合振动可看作是振幅缓变的近似简谐振动。振幅部分振幅部分频率部分频率部分47拍的现象拍的现象 48
