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1、第35课时 图形的相似、位似一、比例一、比例比例的性质比例的性质（1 1） _（a,b,c,da,b,c,d都不等于都不等于0 0）. .（2 2） = (a,b,c,d= (a,b,c,d都不等于都不等于0).0).（3 3）如果）如果 （b+db+d+ +n0+n0），那么），那么ad=bcad=bc二、相似多边形二、相似多边形1.1.定义定义: :各角对应各角对应_,_,各边对应各边对应_的两个多边形的两个多边形. .2.2.性质性质: :对应角对应角_，对应边的比，对应边的比_相似比；周长的比相似比；周长的比_相似比相似比; ;面积的比面积的比_相似比的平方相似比的平方. .相等相等成
2、比例成比例相等相等等于等于等于等于等于等于三、位似图形三、位似图形1.1.定义：如果两个图形不仅是相似图形定义：如果两个图形不仅是相似图形, ,而且每组对应点所在而且每组对应点所在的直线都经过的直线都经过_点点, ,那么这两个图形叫做位似图形那么这两个图形叫做位似图形, ,这个点这个点叫做叫做_._.2.2.性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于于_._.同一同一位似中心位似中心位似比位似比【核心点拨【核心点拨】1.1.成比例线段是相对于四条线段而言的，根据定义，它们在比成比例线段是相对于四条线段而言的，根据定义，它们在比例式
3、中的位置有一定的顺序性例式中的位置有一定的顺序性. .2.2.相似多边形相似多边形( (大于三条边时大于三条边时) )的判定根据定义的判定根据定义3.3.位似图形与相似图形的关系：位似图形一定相似，相似的两位似图形与相似图形的关系：位似图形一定相似，相似的两个图形不一定位似个图形不一定位似. .【即时检验【即时检验】一、一、1.1.若若 则则 = .= .2. 2. 则则k=k=_. .二、二、1.1.放大镜下的图形和原来的图形放大镜下的图形和原来的图形_相似图形，哈哈镜中相似图形，哈哈镜中的图形和原来的图形的图形和原来的图形_相似图形（填相似图形（填“是是”或或“不是不是”）. .2.2.若
4、两个相似多边形的周长的比是若两个相似多边形的周长的比是1212，则它们的面积比为，则它们的面积比为_. .-1-1或或2 2是是不是不是1414三、已知，如图，三、已知，如图，E E（-4-4，2 2），），F F（-1-1，-1-1），以），以O O为位似中为位似中心，按比例尺心，按比例尺1212，把，把OEFOEF缩小，则点缩小，则点E E的对应点的对应点EE的坐标的坐标为为_. .（2 2，-1-1）或（）或（-2-2，1 1） 比例性质、黄金分割比例性质、黄金分割【例【例1 1】（】（20102010佛山中考佛山中考) )一般认为，如果一一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的
5、高度符合个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看，如图是一个参加空黄金分割，则这个人好看，如图是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看？鞋子才能好看？( (精确到精确到1 cm1 cm，参考数据：，参考数据：黄金分割比为黄金分割比为 ) )【思路点拨【思路点拨】黄金分割比为肚脐以上的高度黄金分割比为肚脐以上的高度肚脐以下的高度肚脐以下的高度. .【自主解答【自主解答】设她应穿设她应穿x cmx cm高的鞋子，根据题意，得高的鞋子，根据题意，得 解得解得x10x10，所以她应穿，所以她应穿10 cm10 cm高
6、的鞋子才好看高的鞋子才好看. .【规律总结【规律总结】1.1.比例线段的应用比例线段的应用常见的比例线段的应用有：比例尺、黄金比常见的比例线段的应用有：比例尺、黄金比. .解决的关键是要明解决的关键是要明确其含义，能列出成比例的线段确其含义，能列出成比例的线段. .2.2.黄金分割：将一条线段（黄金分割：将一条线段（ABAB）分割成大小两条线段（）分割成大小两条线段（APAP，PBPB），若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，），若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即即 （此时线段（此时线段APAP叫做线段叫做线段PBPB，ABAB的比例中项）的比例中项）. .这一比这一
7、比值等于值等于 这种分割称为黄金分割，点这种分割称为黄金分割，点P P叫做线段叫做线段ABAB的黄金分的黄金分割点割点【对点训练【对点训练】1.1.（20102010德化中考德化中考) )下列各组线段（单位：下列各组线段（单位：cmcm）中，成比例的）中，成比例的线段的是线段的是( )( )(A)1(A)1，2 2，3 3，4 (B)14 (B)1，2 2，2 2，4 4(C)3(C)3，5 5，9 9，13 (D)113 (D)1，2 2，2 2，3 3【解析【解析】选选B.AB.A选项中，选项中，12341234， 所以这四条线段不成比所以这四条线段不成比例；而例；而B B选项中，选项中，
8、12=2412=24，所以这四条线段成比例；同理可，所以这四条线段成比例；同理可以判定以判定C C，D D选项中的线段不成比例选项中的线段不成比例. .2.2.（20112011巴中中考）若巴中中考）若 则则 =_.=_.【解析【解析】 4a-2b=3a 4a-2b=3a，答案：答案：【技巧点拨【技巧点拨】成比例线段的判断三步法成比例线段的判断三步法1.1.统一单位；统一单位；2.2.按大小顺序排列；按大小顺序排列； 3.3.利用前两项的比是否等于后两项的比或前后两项的积是否等利用前两项的比是否等于后两项的比或前后两项的积是否等于中间两项的积来判断于中间两项的积来判断. .若是若是, ,则成比
9、例，否则不成比例则成比例，否则不成比例. . 相似多边形相似多边形【例【例2 2】（】（20112011毕节中考）两个相似多边形的面积比是毕节中考）两个相似多边形的面积比是916916，其中小多边形的周长为，其中小多边形的周长为36 cm36 cm，则较大多边形的周长，则较大多边形的周长为为( )( )(A)48 cm (B)54 cm (C)56 cm (D)64 cm(A)48 cm (B)54 cm (C)56 cm (D)64 cm【思路点拨【思路点拨】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算比，而面积之比等
10、于相似比的平方计算. .【自主解答【自主解答】选选A A两个相似多边形的面积比是两个相似多边形的面积比是916916，面积比，面积比是相似比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是是相似比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4343相相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为x x，则有则有 解得解得x=48x=48，大多边形的周长为大多边形的周长为48 cm48 cm【规律总结【规律总结】相似多边形的性质相似多边形的性质对应边的比对应边的比对应周长的比对应周长的比对应对角线的比对应对角线的比对应面积比的算术平方根对应面积比的算术平方
11、根都等于相似比都等于相似比【对点训练【对点训练】3.3.（20112011广东中考）将图中的箭头缩小到原来的广东中考）将图中的箭头缩小到原来的 得到的图得到的图形是形是( )( )【解析【解析】选选A A图中的箭头要缩小到原来的图中的箭头要缩小到原来的 箭头的长、箭头的长、宽都要缩小到原来的宽都要缩小到原来的 选项选项B B箭头大小不变；选项箭头大小不变；选项C C箭头扩大；箭头扩大；选项选项D D的长缩小，而宽没变的长缩小，而宽没变4.4.（20122012潍坊中考）已知矩形潍坊中考）已知矩形ABCDABCD中，中，AB=1AB=1，在，在BCBC上取一点上取一点E E，沿，沿AEAE将将A
12、BEABE向上向上折叠，使折叠，使B B点落在点落在ADAD上的上的F F点处，若四边形点处，若四边形EFDCEFDC与矩形与矩形ABCDABCD相似，则相似，则AD=( )AD=( )（A A） （B B）（C C） （D D）2 2【解析【解析】选选B.B.由题易知四边形由题易知四边形ABEFABEF为正方形，为正方形，AB=AFAB=AF=EF=BE,=EF=BE,四边形四边形EFDCEFDC与矩形与矩形ABCDABCD相似，相似， 设设ADAD为为x x，则，则 解得解得 （舍去）（舍去）. .【特别提醒【特别提醒】相似多边形判定的两点注意相似多边形判定的两点注意1.1.对应角相等的两
13、个多边形不一定相似（如一个正方形与一个对应角相等的两个多边形不一定相似（如一个正方形与一个非正方形的矩形）非正方形的矩形）. .2.2.对应边成比例的两个多边形也不一定相似（如两个内角不对对应边成比例的两个多边形也不一定相似（如两个内角不对应相等的菱形）应相等的菱形）. . 位似位似【例【例3 3】(8(8分分) )（20112011盘锦中考）如盘锦中考）如图，图，ABCABC的三个顶点坐标分别为的三个顶点坐标分别为A A（-2-2，4 4），），B B（-3-3，1 1），），C C（-1-1，1 1），以坐标原点），以坐标原点O O为位似中心，相似为位似中心，相似比为比为2 2，在第二象限
14、内将，在第二象限内将ABCABC放大，放大，放大后得到放大后得到ABCABC（1 1）画出放大后的）画出放大后的ABCABC，并写出点，并写出点AA，B B ，C C 的的坐标（点坐标（点A A，B B，C C的对应点分别为的对应点分别为AA，B B ，C C ）（2 2）求）求ABCABC的面积的面积【规范解答【规范解答】（1 1）如图所示，）如图所示，ABCABC即为所求即为所求2 2分分AA（_，_）；）；BB（_，_）；）；CC（_，_）5 5分分（2 2）S SABCABC= = _= =_，6 6分分又又ABCABC与与ABCABC的相似比为的相似比为2121， S SABCABC
15、SSABCABC= =_，S SABCABC= =_S SABCABC= =_8 8分分 -4-48 8-6-62 2-2-22 22 23 33 341414 41212【自主归纳【自主归纳】位似图形的作图五步法位似图形的作图五步法1.1.确定位似中心确定位似中心. .2.2.确定原图形的关键点确定原图形的关键点. .3.3.确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数. .4.4.作出原图形中各关键点的对应点作出原图形中各关键点的对应点. .5.5.按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点. .【对点训练【对点训练】5.5
16、.（20112011莱芜中考）观察如图，在下列莱芜中考）观察如图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换四种图形变换中，该图案不包含的变换是是( )( )(A)(A)平移平移 (B)(B)轴对称轴对称(C)(C)旋转旋转 (D)(D)位似位似【解析【解析】选选A.AA.A项，图形的方向发生了改变，不符合平移的定义，项，图形的方向发生了改变，不符合平移的定义，本题图案不包含平移变换；本题图案不包含平移变换；B B项，有对称轴，本题图案包含轴对项，有对称轴，本题图案包含轴对称变换；称变换；C C项，将图形绕着中心点旋转项，将图形绕着中心点旋转4545的整数倍后均能与原的整数倍后均能与原图形重合，
17、本题图案包含旋转变换；图形重合，本题图案包含旋转变换；D D项，符合位似图形的定义，项，符合位似图形的定义，本题图案包含位似变换本题图案包含位似变换6.6.（20122012威海中考）如图，在平面直角坐标系中，威海中考）如图，在平面直角坐标系中，ABCABC的顶的顶点坐标分别为（点坐标分别为（4 4，0 0），（），（8 8，2 2），（），（6 6，4 4）. .已知已知A A1 1B B1 1C C1 1的的两个顶点的坐标为（两个顶点的坐标为（1 1，3 3），（），（2 2，5 5）. .若若ABCABC与与A A1 1B B1 1C C1 1位似，位似，则则A A1 1B B1 1C
18、C1 1的第三个顶点的坐标为的第三个顶点的坐标为_._.【解析【解析】根据位似图形的对应边平行或在一条直线上知：图中根据位似图形的对应边平行或在一条直线上知：图中由（由（1 1，3 3），（），（2 2，5 5）所形成的线段为）所形成的线段为ACAC的位似图形的位似图形. .如图如图1 1，B B1 1的坐标为（的坐标为（0 0，4 4）. .如图如图2 2，B B1 1的坐标为（的坐标为（3 3，4 4）. .答案：答案：(0,4)(0,4)或或(3,4)(3,4)【技巧点拨【技巧点拨】1.1.位似图形的性质位似图形的性质位似图形是相似图形的特例，所以位似图形具有相似图形的一位似图形是相似图形的特例，所以位似图形具有相似图形的一切性质，即位似图形的对应边成比例，对应角相等，它们的周切性质，即位似图形的对应边成比例，对应角相等，它们的周长之比等于位似比，面积之比等于位似比的平方长之比等于位似比，面积之比等于位似比的平方. .2.2.位似图形与坐标位似图形与坐标以原点为位似中心的位似变换，相似比为以原点为位似中心的位似变换，相似比为k k时，时，（1 1）两图形在原点的同侧，位似图形对应的坐标的比等于）两图形在原点的同侧，位似图形对应的坐标的比等于k.k.（2 2）两图形在原点的异侧，位似图形对应的坐标的比等于）两图形在原点的异侧，位似图形对应的坐标的比等于-k.-k.
