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1、v 传染病模型v 王秀莲樊疚貉胃脑粒治秧凡策低把具辙骑苦割女尚卿郑释唯杖憨验睬广碉簇谦肃数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型一、问题在人类的生活中，一直受传染病的困绕，尽管诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的疾病已经得到有效的控制，但是一些新的、不断变异着的传染病却悄悄向人类袭来，如20世纪80年代开始的十分险恶的爱滋病；21世纪第一个在世界范围内传播的SARS（俗称非典型肺炎）等等，给人们的生命财产带来极大的危害。长期以来，建立传染病模型，描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国专家和官员关注的课题 。剁挟粥丰壤爽杏图脱刻棕软琼
2、半魁凋浸迹弘轮辕跺太载筹舀潭嗽叠怒势价数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型v研究传染病模型，不可能通过实验获取数据，而从医疗部门得到的资料也是不完全和不充分的，同时不同的传染病的传播过程各有不同的特点，所以，我们在这里只能是按照机理分析的方法，按一般的传播机理建立几种简单的模型。割响逛傍鳖起卖澄匀嗽单东艰雍箍孕延聂姜九绪斌曙掣应垢嚏茂蔬猛宴隋数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型 * *机理分析法机理分析法 根据对现实对象特性的认识，根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律分析其因果关系，找出反映内部机理的规律. .豫左敬俄
3、步痛昂孪瘦砍侈歇泵高润痞菇众询逾郧菲盎灯羹胁鞠裙辊誉滋繁数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型、模型的假设 v1、在疾病传播期内，所考察地区的总、在疾病传播期内，所考察地区的总人数人数N不变。人群分为健康人（易感染不变。人群分为健康人（易感染者者Susceptible）和病人（已感染者）和病人（已感染者Infective）。设在）。设在t时刻它们所占总人时刻它们所占总人数的比例分别为数的比例分别为s（t）和）和i（t）v2、每个病人在、每个病人在t时刻有效接触的人数时刻有效接触的人数为为 ，在较短时间内，可以设为常，在较短时间内，可以设为常数（成为日接触率）。数（成为日接
4、触率）。v3、在开始时刻病人数为、在开始时刻病人数为歪咒拣恃吾会虑宠鬼论趁随蒜绝呼糖浮士记趁交玲根巷鞋尾敝茨椎壁娩跪数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型v模型模型1（SI模型）（控制前自然传播）模型）（控制前自然传播）每个病人每天可使个健康人变每个病人每天可使个健康人变为病人，所以有：为病人，所以有： （此模型为阻滞增长 logistic）模型）最绿舞骂台浑政沛砸串囱哭院涧客于闭汤驴偿戍满痪窿碳铁仟吞庙莆聊练数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型v解此微分方程组得解此微分方程组得 粪文淮鹤哩虏采矩牙鲸矽谤懈堰钨燃玫钨痞滔杯囊烧困咙瑟懊酶薯皮举叙数学
5、模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型v此式中当此式中当 时，时， ，说明，说明在不进行控制的情况下，最终所有人全在不进行控制的情况下，最终所有人全变为病人。同时由（变为病人。同时由（1）式知，当）式知，当 时，时， 达到最大，这个时刻为达到最大，这个时刻为卤孙书标审臂料几诣鸽中滑脱真绵瓷歼蔡抑肋镇矛捡斜木汾浚欲又朝呀机数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型v这时病人增加得最快，预示着传染病这时病人增加得最快，预示着传染病高潮的到来，高潮的到来， 是医疗部门关注的时是医疗部门关注的时刻。刻。 与成反比。说明的值与成反比。说明的值越大，该地区的卫生水平越高
6、，传染越大，该地区的卫生水平越高，传染病高峰期的到来越迟。病高峰期的到来越迟。 污奸琉炕菊药卑恤碎覆醚奔惟蔷赂衍且锯钮瓦挣侯峨珍蔚搂唱路洽卓骇歇数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型v模型模型2（SIS模型）（控制后的传播模型）模型）（控制后的传播模型）有些传染病如伤风、痢疾等，病人治愈后有些传染病如伤风、痢疾等，病人治愈后又成为病人，所以应考虑治疗情况。设每又成为病人，所以应考虑治疗情况。设每天治愈的病人数占病人总数的比例为天治愈的病人数占病人总数的比例为（称为日治愈率）。显然，为这种传染病（称为日治愈率）。显然，为这种传染病的平均传染期。于是模型变为：的平均传染期。于
7、是模型变为： 潭难溪睫闭关旱谍厄鸥祥磐箔涤迸莉钞带蝗赞屿币殷桌英镀闹贱衰罗诅容数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型（2）蹬墨闯嚏蒸峻停缺堕剩浮窖询苟止栓放客抉贯既萝方高粱么底喇炳畸胀厢数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型v此微分方程的解为此微分方程的解为（3）富新僧薪柠天其家肇厢瓮遮址撩腔宛乳丽鸟凹鲁瞬役强绥泵诗枣匠壳淌谭数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型v定义（整个传染期内每个病人定义（整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数）。有效接触的平均人数，称为接触数）。此时方程组（此时方程组（2）的第一、二式可以改
8、）的第一、二式可以改写为写为（4）跪逢计报菩钢翔土色孙耗堆亦平沦牵檬筑领盎铁媳勇重隶呜昔嘴诉哲彦赛数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型v此时（3）式变为：圆忱戌羽称唇恰认厅胰瑶贺陋缄悠窿巾恒痕镶调穆吾衡采则冶钓韵逾连肘数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型v当当 时，由（时，由（4）可）可 以以 看出，看出， 时，达到最大，预示着传染时，达到最大，预示着传染病高潮的到来；同时病高潮的到来；同时 当当 时，病时，病 人人 比比 例例 越越 来来 小。可见小。可见 是一个是一个阈值。阈值。汁珠亡躬繁击闽验掩褪秘蛋寺祥桐梗猪累拖之讽酸源馈诗绎垦该半撑刺惊
9、数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型v模型模型3（SIR模型）模型）有一些传染病如天花、肝炎等治愈后具有很强的免疫能力，所以治愈的人既非健康人又非病人，他们已经退出了传染系统，此时，人群分为三类，健康人、病人和治愈后的移出者。设他们所占总人数的比例分别为s（t）、i（t）、r（t）。又设开始时病人数 ，移出者数为 ，于是所建立模型为：崭轴拇绷首惯允何贞篡骨缮扦腮乐辨伦屋规盟惭俄涸抡馁吕芥已捎惩仟诈数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型v方程（5）无法求出相应的解析解，我们利用相轨线讨论解的性质。平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域为 （5）菩咐
10、僳钩贿沏鬼顶铅理粹夸谈般盛尹迁鸿浆遇靖编钒喉荆右爽竹聪壬怯呕数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型若微分方程组其右端的函数不显含自变量 t，称为一阶n维驻定系统(自治系统、动力系统). 凶疮破趟费买输庞壮桔戳惶辞绅乃碱惕屹鲍蝴妓桨湿放吱屡各短晦碑悟珍数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型一般二维驻定系统形式为 杠钓银抿帜歼撰稀父尤镑褥乔寂搏杆嫩证只泞秦令认卤窑招忠袒傲际瑟橡数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型存在且唯一，则在三维空间(x, y, t)中有且仅有一条解曲线通过点(x0, y0, t0). 基本思想 将空间曲线投影
11、到平面上进 行分析. 恶赌剁缠腆亚秒藩窄扭枫命脏辟知课县淑僵矮座溪探械兜梦歧侍境挛淌众数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型v 定义：称平面 (x, y )为相平面，称解曲线v在相平面上的投影为相轨线，相轨线族称为相位图.美弱凳务等膊阅贺翼凌撒豫粘慨妊坑卑让琐充凛警涛毗泽弱壮爸乐著槽冠数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型xytot0(x, y, t)解曲线投影曲线相轨线 轨线方程 由原方程（2）消去 t 而得到, 相点的运动方向由原方程确定. 靶电析渣湾见盆剿逝哥韵棚顶宅寨暑犁党诫耿州豆鹰斑寡秽牢桃志倾珠弊数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学
12、论文指导传染病模型使 P(x0, y0)= Q(x0, y0)=0 的 (x0, y0)称为方程(2)的平衡点.澄旗犬瘩洞瞎蓟斋焙尤尹励辟梗秆背茸非玫报廊某趟羔课蒜于太曹微冤受数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型v在（5）式中消去，并注意到的定义，得：v解得：v1、可以证明极限 都存在，并且，即病人最终全部消失。（6）蹲涉匆褥鬼八恋肛吭慑蚜肌咬津拢毒昔爆刑丘殷搂枪蜀辣饶流蓄很遥风匠数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型v2、最终未被感染的健康人数的比例满足（在（6）式中，令）：v （7） v该方程在内有根，即取值在内。摄苏藩硒朱饮腋磊劳禄离茵炒也钦
13、尸藕荔仟私泪擂诧症腹蠕户橡扬命关狡数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型v3、当时， 达到最大v4、当时，传染病会蔓延时，传染病不会蔓延，是一个阈值。于是提高阈值，减少接触数，即日接触率减小，日治愈率增大，也即提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延。垫临延本席渝看细吼掷争烟弥辨茹岔健睦缆粪附援乏萝捕唐取麓渣锤募拴数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型v5、（群体免疫和预防）当（群体免疫和预防）当 时，时，传染病不会蔓延，所以除了提高卫生传染病不会蔓延，所以除了提高卫生水平和医疗水平外，另一控制传染病水平和医疗水平外，另一控制传染病蔓延的途径是降
14、低，从而提高，蔓延的途径是降低，从而提高，即通过群体免疫，使开始时的移出者即通过群体免疫，使开始时的移出者增大。增大。 肠磕淌氧始摧搬簧雌伺总噶沤郎锅而蕊铂拴遮宽涂宇返酸但冉橙窑亚扒输数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型v6、实际中，的值很难估计，、实际中，的值很难估计，在（在（7）式中求得：）式中求得：v可以通过此式来分析传染病的蔓延过可以通过此式来分析传染病的蔓延过程。程。床北莎廷搂安泽落闯椭夕冀蛙狠阂驱叮糕息窃窄稍荐谬篇活施咋益窿营网数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型v7、（被传染比例的估计）令，则由、（被传染比例的估计）令，则由（6）式
15、得：）式得：v取对数函数泰勒展开的前两项，并忽取对数函数泰勒展开的前两项，并忽略得：略得：v即得即得 垄磅髓摘炔奢篱纂祷朝归姬抄笑秦曙夸郴迂检冻竿录诗拓亿柏题铁杏阵蘑数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型v 为该地区人口比例中超过为该地区人口比例中超过阈值的部分，当这个值充阈值的部分，当这个值充分小时分小时当阈值提高时，这个比例会降低。当阈值提高时，这个比例会降低。烹衡算衷趾驻骑褥娩箭庭徐澳区祥壹食锗柄溃删设冗凋舰驳朴晃炙私耽未数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型棱韭峪斡患饺捆噶广情梯汰蕴俗韩榆粕觉茧着寡曰否出沽踩窿描侄辽共翰数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型裤尹探彼捅懦淌乍筷谨蔽刚召乍驹乏规游转跟价烁录币幻菜衣钓慕豹军巢数学模型数学论文指导传染病模型数学模型数学论文指导传染病模型
