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1、第六节空间向量的应用考点梳理考点梳理考纲速览考纲速览命题解密命题解密热点预测热点预测1.空空间向向量量及其运算及其运算.2.证明明平平行行与垂直与垂直.1.空空间向量及其运算向量及其运算(1)了了解解空空间向向量量的的概概念念，了了解解空空间向向量量的的基基本本定定理理及及其其意意义，掌掌握握空空间向向量量的的正正交交分分解解及及其其坐坐标表示表示.(2)掌掌握握空空间向向量量的的线性性运运算算及及其其坐坐标表示表示.(3)掌掌握握空空间向向量量的的数数量量积及及其其坐坐标表表示示，能能运运用用向向量量的的数数量量积判判断向量的共断向量的共线与垂直与垂直.通通 过 线 线 、线面面、面面面面关
2、关系系考考查空空间向向量量的的坐坐标运运算算，利利用用空空间向向量量求求空空间距距离离，考考查用向用向用用向向量量方方法法证明明有有关关直直线和和平平面面的的位位置置关关系系，求求线段段长度度，点点到到面面的的距距离离及及求求异异面面直直线的的夹角、斜角、斜线与平与平考点梳理考点梳理考纲速览考纲速览命题解密命题解密热点预测热点预测3.利利 用用 空空间向向量量求求角角.2.空空间向量的向量的应用用(1)理理解解直直线的的方方向向向向量量与与平平面面的的法法向向量量.(2)能能用用向向量量语言言表表述述直直线与与直直线、直直线与与平平面面、平平面面与与平平面面的的垂垂直直、平平行行关关系系.(3
3、)能能用用向向量量方方法法证明明有有关关直直线和和平平面面位置关系的一些定理位置关系的一些定理(包括三垂包括三垂线定理定理).(4)能能用用向向量量方方法法解解决决直直线与与直直线、直直线与与平平面面、平平面面与与平平面面的的夹角角的的计算算问题，了了解解向向量量方方法法在在研研究究立立体体几几何何问题中的中的应用用.量量方方法法求求异异面面直直线所所成成的的角角、直直线与与平平面面所所成成的的角角、二二面面角的大小角的大小.面面所所成成的的角角、二二面面角角等等是是高高考考热点点.预测高高考考仍仍将将以以空空间几几何何体体为载体体，考考查空空间向向量量的的应用用.知识点一知识点一 空间向量的
4、有关概念及定理空间向量的有关概念及定理1.空空间向量的有关概念向量的有关概念名称名称定定义空空间向量向量在在空空间中中，具具有有_和和_的的量量叫叫做做空空间向向量量，其大小叫做向量的其大小叫做向量的 或或 _单位向量位向量长度或模度或模为_的向量的向量大小大小方向方向1长度度模模零向量零向量_的向量的向量相等向量相等向量方向方向_且且_的向量的向量相反向量相反向量方向方向_且且_的向量的向量共共线向量向量如如果果表表示示空空间向向量量的的有有向向线段段所所在在的的直直线_或或_，则称称这些些向向量量叫叫做做共共线向向量量或或平平行行向向量量，a平行于平行于b，记作作ab共面向量共面向量平行于
5、平行于_的向量叫共面向量的向量叫共面向量模模为0相同相同模相等模相等互相平行互相平行重合重合同一平面同一平面相同相同模相等模相等2.空空间向量的有关定理向量的有关定理(1)共共线向向量量定定理理：对空空间任任意意两两个个向向量量a，b(b0)，ab的的充充要要条件是存在条件是存在实数数，使得，使得ab.(2)共共面面向向量量定定理理：如如果果两两个个向向量量a，b不不共共线，那那么么向向量量c与与向向量量a，b共共面面的的充充要要条条件件是是存存在在唯唯一一的的有有序序实数数对(x，y)，使使cxayb.(3)空空间向向量量基基本本定定理理：如如果果三三个个向向量量a，b，c不不共共面面，那那
6、么么对空空间任任一一向向量量p，存存在在有有序序实数数组x，y，z，使使得得p_.其中，其中，a，b，c叫做空叫做空间的一个的一个_.xaybzc基底基底知识点二知识点二 空间向量的数量积及坐标运算空间向量的数量积及坐标运算1.空空间向量的数量向量的数量积(1)空空间向量向量a，b的数量的数量积ab|a|b|cosa，b.a，b0a，bab=0(4)空空间向量数量向量数量积的运算律的运算律交交换律：律：_；分配律：分配律：_；结合律：合律：(ab)(a)ba(b)(R).abbaa(bc)abac2.向量的坐向量的坐标运算运算a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量和向量和ab_向量
7、差向量差ab_数量数量积ab_共共线ab_垂直垂直ab_夹角公式角公式cosa，b_(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)a1b1a2b2a3b3a1b1，a2b2，a3b3(Ra1b1a2b2a3b30【名师助学名师助学】1.本部分知识可以归纳为：本部分知识可以归纳为：(1)一种方法：用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：一种方法：用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：适当的选取基底适当的选取基底a，b，c；用用a，b，c表示相关向量；表示相关向量；通过运算完成证明或计算问题通过运算完成证明或计算问题.(2)三种对称：三种对称：关于坐标平面对称的三种情况关于坐标
8、平面对称的三种情况 关于坐标轴对称的三种情况关于坐标轴对称的三种情况方法方法1 空间向量的运算空间向量的运算用用向向量量法法或或坐坐标法法解解决决几几何何问题时，先先用用向向量量(或或坐坐标)表表示示相相应的的点点、线段段、夹角角等等几几何何元元素素；然然后后通通过向向量量(或或坐坐标)的的运运算算，特特别是是数数量量积来来研研究究点点、线段段等等元元素素之之间的的关关系系；最最后后再再把把运运算算结果果“翻翻译”成几何关系，得到几何成几何关系，得到几何问题的的结论.【例例1】 (2014北京海淀模拟北京海淀模拟)如如图，在空，在空间四四边形形OABC中，中，OA8，AB6，AC4，BC5，O
9、AC45，OAB60，则OA与与BC所成角的余弦所成角的余弦值为_.解解题题指指导导(1)已已知知：空空间四四边形形OABC，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60.(2)分分析析：本本题主主要要考考查利利用用向向量量法法求求两两条条异异面面直直线所所成成的的角角，解解题的的关关键是是选取取合合适适的的基基底底，并并把把相相关关的的向向量量用用基基底底表表示示出出来来.点点评评利利用用共共线线向向量量定定理理、共共面面向向量量定定理理可可以以证证明明一一些些平平行行、共共面面问问题题；利利用用数数量量积积运运算算可可以以解解决决一一些些距距离离、夹夹角角问问题题.方法方法2 利
10、用空间向量定理证明平行或垂直问题利用空间向量定理证明平行或垂直问题(1)用向量用向量证平行的方法平行的方法线线平行：平行：证明两直明两直线的方向向量共的方向向量共线.线面面平平行行：a.证明明该直直线的的方方向向向向量量与与平平面面的的某某一一法法向向量量垂垂直直；b.证明直明直线的方向向量与平面内某直的方向向量与平面内某直线的方向向量平行的方向向量平行.面面面面平平行行：a.证明明两两平平面面的的法法向向量量为共共线向向量量；b.转化化为线面面平行、平行、线线平行平行问题.(2)用向量用向量证明垂直的方法明垂直的方法线线垂垂直直：证明明两两直直线所所在在的的方方向向向向量量互互相相垂垂直直，
11、即即证它它们的的数量数量积为零零.线面面垂垂直直：证明明直直线的的方方向向向向量量与与平平面面的的法法向向量量共共线，或或将将线面垂直的判定定理用向量表示面垂直的判定定理用向量表示.面面面面垂垂直直：证明明两两个个平平面面的的法法向向量量垂垂直直，或或将将面面面面垂垂直直的的判判定定定理用向量表示定理用向量表示.提提醒醒：用用向向量量证明明平平行行、垂垂直直时，要要注注意意解解题的的规范范性性.如如证明明线面平行面平行时，仍需要表明一条直，仍需要表明一条直线在平面内、另一条直在平面内、另一条直线在平面外在平面外.点点评评在在求求一一个个向向量量由由其其他他向向量量表表示示的的时时候候，通通常常利利用用向向量量的的三三角角形形法法则则，平平行行四四边边形形法法则则和和共共线线向向量量特特点点.把把要要求求的的向向量量逐步分解逐步分解，向已知向量靠近向已知向量靠近，进行求解进行求解.
