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1、第一节第一节 测量与误差测量与误差一、测量、测量 测量就是借助一定的仪器或量具，通过一定的实验方法来实现标准量与待测量的比较。 1.直接测量 被测量与标准量相比较而得出测量结果 2.间接测量 利用被测量之间的函数关系，通过计算而得出测量结果 例：测量铜柱的密度时，我们可以用米尺量出它的高h 和直径d，算出体积 然后用天平称出它的质量M，算出密度 这里，我们说铜柱的高 h、直径 d 和质量 M 是直接测得量，体积V 和密度是间接测得量。二、误差 误差的基本概念：1.误差的定义：误差测得值真值； 因此，误差是一个值，数学上就是坐标轴上的一个点，是具有正负号的一个数值。2、误差的表示方法： 、 绝对
2、误差：绝对误差测量值真值（约定真值） 。 、 相对误差：相对误差绝对误差/真值X100 相对误差没有单位，但有正负。3.误差的分类： 1）、 系统误差：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。 2）、 随机误差：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。3）、 粗大误差：超出在规定条件下预期的误差。4、 产生原因： 系统误差： 如仪器误差，方法误差，人员误差 随机误差： 如实验条件和环境因素的起伏，估读数的 偏差，测量对象的不稳定5、系统误差的处理已定系统误差：设法消除，或修正测量结果 = 测得值(或其平均值)-已定系统
3、误差 （如电表、螺旋测微计的零位误差；伏安法测电阻时电表内阻 引起的误差）未定系统误差：估计其限值，归入B类不确定度参与 对测量结果的评价（如仪器误差） 6、随机误差的处理随机误差的特点： 小误差出现的概率大；大误差出现的概率小 无穷多次测量时服从正态分布； 正、负误差对称分布； 具有抵偿性（取多次测量的平平均值有利于消减随机误差。）。） 标准差表示测量值的离散程度 标准差小：表示测得值很密集，随机误差分布范围窄，测量的精密度高； 标准差大：表示测得值很分散，随机误差分布范围宽，测量的精密度低。任意一次测量值落入区间 概率为 这个概率叫置信概率，也称为置信度。 对应的区间叫置信区间，表示为处理
4、方法： 取多次测量的平均值为测量结果的最佳估计值 研究其分布，找出其特征值，归入A类不确定度 三、对误差大小的评价 实验中常用精密度、准确度和精确度来评价实验结果中误差的大小。这三个概念的涵义不同，应加以区别。 1.精密度： 表示测量结果中偶然误差大小的程度。精密度高是指在多次测量中，数据的离散性小，偶然误差小。 2.准确度： 表示测量结果中系统误差大小的程度。准确度高表示多次测量数据的平均值偏离真值的程度小，系统误差小。 3.精确度： 是对测量结果中系统误差和偶然误差大小的综合评价。精确度高是表示在多次测量中，数据比较集中，且逼近真值，即测量结果中的系统误差和偶然误差都比较小。 四、精度：
5、精度细分为：准确度：系统误差对测量结果的影响。精密度：随机误差对测量结果的影响。精确度：系统误差和随机误差综合后对测量结果的影响。精度是误差理论中的说法，与测量不确定度是不同的概念误差理论中，精度定量的特征可用目前的测量不确定度（对测量结果而言）和极限误差（对测量仪器仪表）来表示。对测量而言，精密度高的准确度不一定高，准确度高的精密度不一定高，但精确度高的准确度与精密度都高，精度是精确度的简称。目前，不提倡精度的说法。例如： 射击弹着点试验对精密度、准确度和精确度的说明总结：系统误差：是由于实验原理本身不能达到精确，所以会有误差， 通过更改实验方法，可以避免。 偶然误差：是由于实验仪器和人在操
6、作过程中不能达到精确而产 的误差，是不可避免的。第二节测量结果的表达第二节测量结果的表达一、直接测量结果的表示与总不确定度 我们测量某物理量时，总是想要找到物理量的真值。而真值又无法确切知道，所以实际测量中，我们只能提供一个范围。例如 然后我们说：真值落在该范围内的概率是多少，这个x就叫做测量的不确定度不确定度表示：由于测量误差存在而对被测量值不能确定的程度。 不确定度是一定概率下的误差限值。由于真值的不可知，误差一般是不能计算的，它可正、可负也可能十分接近零；而不确定度总是不为零的正值，是可以具体评定的。 二、测量不确定度： 定义：表征合理地赋予被测量之值地分散性，与测量结果相联系地参数。1
7、、此参数可以是诸如标准差或其倍数，或说明了置信水准的区间的半宽度。2、测量不确定度由多个分量组成。其中一些分量可用测量列结果的统计分布估算，并用实验标准差表征。另一些分量则可用基于经验或其他信息的假定概率分布估算，也可用标准偏差表征。3、测量结果应理解为被测量之值的最佳估计，而所有的不确定度分量均贡献给了分散性，包括那些由系统效应引起的（如，与修正值和参考测量标准有关的）分量。由此可以看出，测量不确定度与误差，精度在定义上是不同的。因此，其概念上的差异也造成评价方法上的不同。三、测量误差和测量不确定度的主要区别 1.定义上的区别： 误差表示数轴上的一个点，不确定度表示数轴上的一个区间； 2.评
8、价方法上的区别： 误差按系统误差与随机误差评价，不确定度按A类B类评价； 3.概念上的区别： 系统误差与随机误差是理想化的概念，不确定度只是使用估计值； 4.表示方法的区别： 误差不能以的形式出现，不确定度只能以的形式出现； 5.合成方法的区别： 误差以代数相加的方法合成，不确定度以方和根的方法合成； 6.测量结果的区别： 误差可以直接修正测量结果，不确定度不能修正测量结果；误差按其定义，只和真值有关，不确定度和影响测量的因素有关； 7.得到方法的区别： 误差是通过测量得到的，不确定度是通过评定得到的； 8.操作方法的区别： 系统误差与随机误差难于操作，不确定评定易于操作； 结论： 1、误差与
9、测量不确定度是相互关联的，就是说，测量误差也包含不确定度，反之，评定得到的不确定度也还是有误差。 2、精度是按照误差的分类进行评价的，但在误差合成的方法上与测量不确定度是不同的，系统误差按照代数和合成，随机误差按方和根法合成，而系统误差与随机误差的合成则有按标准差合成的，有按极限误差合成的。因此，其合成的方法并不统一。四、直接测量结果的表示和不确定度估计方法： 1.直接测量结果中，取多次测量值的平均值可以用多次测量的算术平均值作为被测量的最佳估计值，测量次数n为无穷大时，算术平均值等于真值。它的标准偏差为： 待测物理量处于区间 内的概率为0.683。 2.不确定度的估计方法： 依据国内外规范，
10、在物理实验中采用以下的不确定度简化评定方法： 总不确定度从评定方法上分为两类分类：A类分量A-多次重复测量时用统计学方法估算的分量；B类分量B-用其他方法（非统计学方法）评定的分量；不确定度用它的两个分量采用“方和根”的方法合成3、多次测量时，不确定度以下面的过程进行直接多次测量结果的表示计算：计算：1）、求测量数据的算术平均值：2）、用贝塞尔公式计算标准偏差3）、若测量次数n=6，取置信概率，则4）、确定仪器误差 计算表达式5）、由A 、B合成不确定度：6）、计算相对不确定度：7）、给出最终测量结果：例题1. 一同学用游标卡尺测量某工件的外径，测量结果如下： 其测量结果如何表示？【解】：次数
11、i12345直径D(cm)4.6844.6864.6884.6824.4844、单次测量结果的表示 当多次测量无意义时，把测量值当作该物理量的值，而取仪器误差作为测量结果的不确定度 即： 不确定度表示为 X=仪 所以：二、间接测量结果的表示二、间接测量结果的表示 物理实验中，大量的测量属于间接测量。只有在已知各直接测量量的最佳估值及其不确定度之后才能计算间接测量量的不确定度。 设间接测量的函数表达式（测量式）为： 是间接测量量（待测量） 是若干个直接测量的量，它们都是互相独立的量， 其平均分别为： 它们的总不确定度分别为 ： 间接测量量的间接测量量的测量值测量值为为 间接测量量的间接测量量的不
12、确定度不确定度为为 间接测量量的间接测量量的相对误差相对误差为为第三节第三节 有效数字及其运算法则有效数字及其运算法则一、有效数字的概念 在测量数据的各类数字中，既有不含误差的可靠数字，又有含有误差的可疑数字 15.2mm 15.0mm 我们把可靠几位数字加上可疑一位数字统称为测量结果的有效数字二、关于有效数字的几个概念：（1）非测量值（如公式中的常数，实验次数等）不是有效数字，如 ，e等不是有效数字。（2）在测量数据中，左边第一位非零数字之前的零不是有效数字，但数据中间和末尾的零应算为有效数字。 一般地，指一个用小数形式表示的浮点数中，从第一个非零的数字算起的所有数字。如1.24和0.001
13、24的有效数字都有3位。（3）记录数据时，不可随便增（减）零。对测量数据而言 数学的 8.35=8.350=8.3500 , 而实验的 8.358.3508.3500. 尽管它们在数字上相等， 要特别强调的是：记录原始测量数据时，一定要反映出测量器具的测量精度。（4）在换算单位时应保持有效数字位数不变。 12.3mm=1.23cm=0.0123m (均为3位有效数字)（5）注意科学计数法的正确形式。即把数据写成小数点前只保留一位整数，后面再乘以10的方幂的形式 1kg=1000g (错误) 1kg=1103g(正确)（6 6）有效数字的末位是估读数字,存在不确定性.一般情况下不确定度的有效数字
14、只取一位,其数位即是测量结果的存疑数字的位置;有时不确定度需要取两位数字,其最后一个数位才与测量结果的存疑数字的位置对应.表示测量值最后结果的有效数字尾数与不确定度的尾数一定要取齐。同时，我们规定：普通物理实验中的最终测量量（待测量）的不确定度取一位；相对误差取两位。 保留1位尾数对齐保留2位第六节第六节数据处理的基本方法一、列表法 若对某一物理量进行了多次测量，或要测量几个量之间的函数关系时，一般要用列表法处理数据。优点：优点： 使大批数据条理化，清晰醒目，易于检查数据，发现问题，有利于反映物理量之间的对应关系。 表1.不同温度下的金属电阻值n1234567t (C)10.526.038.3
15、51.062.875.585.7R ()10.42310.89211.20111.58612.02512.34412.670物理量的名称物理量的名称( (符号符号) )和单位和单位有效数字正确有效数字正确二、作图法优点：优点： 用坐标纸作图可以最直观最简单地表示物理量之间的变化关系，便于进一步研究实验结果。作图规则：作图规则：（1）选择合适的坐标分度值。要反映出测量值的 有效数字（2）标明坐标轴。坐标轴为物理参量（3）标实验点。用“”或“”（4）连点成线。用光滑的曲线（5）写明图线特征。从图线上得出的某些参数（6）写图名。因变量因变量自变量自变量标度标度起点起点终点终点(4)描点描点+ + +
16、 + + + + +(5)连线连线电阻电阻R随温度随温度 t变化曲线变化曲线图名图名0808通信通信2 2班班班班 袁婉欣袁婉欣作者作者作者作者(6)注解说明注解说明(7)求斜率求斜率B(83.5,12.600)B(83.5,12.600)+ + + + + + + +电阻电阻电阻电阻R R随温度随温度随温度随温度 t t变化曲线变化曲线变化曲线变化曲线0606通信通信通信通信2 2斑斑斑斑 袁婉欣袁婉欣袁婉欣袁婉欣A(13.0,10.500)A(13.0,10.500)三、最小二乘法 最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。 最小二乘法是用最简的方法
17、求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。 最小二乘法通常用于曲线拟合。 比如当在实验中获得自变量与因变量的一系列对应数据,(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),.(xn,yn)时,要找出一个已知类型的函数,y=f(x) ,与之拟合,使得实际数据和理论曲线的离差平方和:yi-f(xi)2（从i=1到i=n相加）为最小. 这种求f(x)的方法，叫做最小二乘法。 当求经过这些点的图象的一次函数关系式. 当然这条直线不可能经过每一个点,我们只要做到5个点到这条直线的距离的平方和最小即可,这这就需要用到最小二乘法的思想.然后就用线性拟合来求. 总结：总结：(1)有效数字位数越多，测量
18、精度越高有效数字位数越多，测量精度越高(2)有效数字位数与单位的变换或小数点有效数字位数与单位的变换或小数点位置无关位置无关(3)(3)特大或特小数用科学记数法特大或特小数用科学记数法 (4)不确定度只取一位有效数字不确定度只取一位有效数字，且仅当且仅当首位为首位为1或或2取二位，要求取二位，要求只进不舍只进不舍 (5)数字取舍规则数字取舍规则：“四舍六入五凑偶” 如将下组数据保留三位如将下组数据保留三位 45.77=45.8 43.04=43.0 45.77=45.8 43.04=43.0 38.25=38.2 47.55=47.6 38.25=38.2 47.55=47.6已知对于一个有效
19、数字，从左边的第一个非零数字算起，到最末一位数字为止，有几位数即为几位有效数字。例如：7.4000 54609 5位有效数字33.15 0.07020 4位有效数字0.0276 2.5610-4 3位有效数字49 0.00040 2位有效数字0.003 4105 1位有效数字63000 200 有效数字位数不定例：将下列数字修约为4位有效数字。修约前 修约后0.526647 0.52660.36266112 0.362710.23500 10.24250.65000 250.618.085002 18.08351746 3517注意：修约数字时只允许一次修约，不能分次修约。 二、有效数字运算规
20、则二、有效数字运算规则只保留一位欠准确数字只保留一位欠准确数字(1)加减加减9 .2931239 .416-加减结果的有效数字末位应与参与加减结果的有效数字末位应与参与运算各数据中误差最大的末位对齐运算各数据中误差最大的末位对齐(2)(2)乘除乘除1.1111 1.111111111111+ 111111.233321乘除结果的有效数字位数和参与运乘除结果的有效数字位数和参与运算各数中有效数字位数最少的相同算各数中有效数字位数最少的相同(3)、常数不参与有效数字运算(4)、对于纯加减和乘除运算，结果有效数字的修约比较简单。对于混合运算来说，就比较复杂，计算此类问题，关键是按照算式的运算顺序，每
21、当遇到加间或乘除转换时，分步修约，如加减算完，结果进行乘除运算时，先对加减结果修约，在将修约后的结果进行乘除计算，然后结果再按乘除规则修约。例：按照不确定度及有效数字规定，改正以下错误，并指出各为几位有效数字？（）1.00010.0025 4位 改为；1.0000.002 （）2.575 0.045 3位 改为：2.580.04 （） 28cm=280mm 2位 改为：28cm=2.810 2mm （） 175011499 2位 改为：（1.80.1）10 4 例：指出下列情况属于随机误差，还是系统误差？1、米尺刻度不均匀；2、米尺因温度改变而伸缩；3、天平未调水平；4、游标卡尺零点不准；5、实验系统温度与环境不一致产生散热；6、加热丝的电阻随温度变化对热功率带来的误差；7、视差；8、检流计的零点漂移；9、电表接入误差；10、电网电压的变化对加热功率带来的误差。 答：1包含系统和偶然两种误差，2、3、4、5、6、9为系统误差，7、8、10为偶然误差。三、测量结果数字取舍规则（三、测量结果数字取舍规则（总结总结）运算结果(测量值)的末位数应与不确定度的末位数对齐，尾数采用 “ “四舍六入五凑偶” ” 不确定度一般取一位有效数字，且仅当首位为1或2时取二位.只进不舍。
