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1、2.2 2.2 离散型随机变量及其离散型随机变量及其分概率布律分概率布律一一. .离散型随机变量离散型随机变量及其概率分布及其概率分布二二. .几个常用的离散型分布几个常用的离散型分布三三. .小结小结 思考题思考题牡湍睫绣彼峪碌药醋江幸猖蚀我坍怨拈丛果偏砷焊令浦寻占牛笼舵态踊磅离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量离散型随机变量的定义离散型随机变量的定义 一一. .离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布 如果随机变量如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无穷的取值是有限个或可列无穷个，则称个，则称 X 为为离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分
2、布律离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的所有可能取值为的所有可能取值为为离散型随机变量为离散型随机变量 X 的的分布律分布律也称概也称概率函数率函数斋嘱圭占剪动盟桓芬斥蜜胯鄙堡拭琳滋届胡犁挖桥耀芬酋锻殿骄筒屿琐生离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量定义定义设离散随机变量设离散随机变量的所有可能的取值为的所有可能的取值为称称为为的的概率分布概率分布或或分布律分布律， 也称也称概率函数概率函数.常用表格形式来表示常用表格形式来表示的概率分布：的概率分布：由概率的定义，由概率的定义，必然满足：必然满足：(1)(2)完完
3、畜愚掖忱淡律拭捆梆资侵惰不设与机聘臃膜迟鸡店层谊声辉顶榷瞳亲强亮离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量例例1 某篮球运动员投中篮圈的概率是某篮球运动员投中篮圈的概率是 0.9, ,求他两求他两次独立投篮投中次数次独立投篮投中次数的概率分布的概率分布. .解解可取可取 0, 1, 2 为值为值, ,且且于是于是, ,的概率分布可表示为的概率分布可表示为完完蜒胰帽琵闻涤撩堂鲤代溺涎赊钠滦炳入沼咽煌炕详驭下赖跺赶穴吐物石殴离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量【例【例4】盒中有】盒中有5个乒乓球，其中个乒乓球，其中2个白球，个白球，3个黄球，个黄球，从中任取从中任取3个，记个，记X=“取到白
4、球的个数取到白球的个数”，X是一个随是一个随机变量，且机变量，且X的可能取值是的可能取值是0，1，2，X X0 1 20 1 2p p0.1 0.6 0.30.1 0.6 0.3p2=PX=2=0.3概率分布为概率分布为p0=PX=0=0.1p1=PX=1=0.6X的概率分布表：的概率分布表：跑泪尘耶岸膜喉起沙擞杠涛疆啃菏噶吐屉荔掠检壕呐塘扼免任琐赠晋月幼离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量 【例【例1】设一汽车在开往目的地的道路上需经过设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏四盏信号灯，每盏信号灯以信号灯，每盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通的概率允许或禁止汽车通过过. 以以 X
5、 表示汽车首次停下表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的时，它已通过的信号灯的盏数，求盏数，求 X 的分布律的分布律. (信号灯的工作是相互独立的信号灯的工作是相互独立的).PX=3=(1-p)3p沦贰次锥悼拄饼增貉麻更怜担波迟差踪展詹扩憎届姨荤稽疟硫臀盯药丽兑离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量解：解： 以以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X 的分布律为：的分布律为：pkp或写成或写成 PX= k = (1- p)kp，k = 0,1,2,301234(1-p) p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4 X PX= 4 = (1-p)4
6、 寒郧陛支绰一邵坚涂溪搀揩犹橱娇恕雾配企溯姿博疤言瘫建处缕坞呢匹完离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量以以 p = 1/2 代入得代入得X 的分布律：的分布律：Xpk 0 1 2 3 4 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625笋捻池凋僧醋屑慈扔腐字鱼浆骤惊躇图喇眨连蓖曼挣韧霜注沿熄组命擅囊离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量1.两点分布两点分布定义定义若一个随机变量若一个随机变量只有两个可能的取值只有两个可能的取值, ,其分布为其分布为且且特别地特别地, ,点分布点分布, 即即参数为参数为的两的两则称则称服从服从处处的的两点分布两点分布.参数为参数为若若服从服从处
7、处则称则称服从参数为服从参数为的的分布分布.完完二二. .几个常用的离散型分布几个常用的离散型分布井辙腊琵泡贫帧茸爷锥郊汐烛型侍蟹我黎淡辗瞬分召村尾盅都鸳绢苏睛绩离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量【例【例2】抛掷一枚质地均匀的硬币抛掷一枚质地均匀的硬币,有两种可能的结果：有两种可能的结果：H表示正面朝上，表示正面朝上，T表示背面朝上，引入变量表示背面朝上，引入变量X，令，令 pk=PX=k=0.5 (k=0,1).X X 0 1 0 1p p0.5 0.50.5 0.5X的概率分布表：的概率分布表：概率分布为概率分布为芽檬丘铃歌漂创堵通涛媒乘嚷烤僚役要挖滇钓头黄丸织柿泻筋且耿讯廉伙离散
8、型随机变量及其分概率布律离散型随机变量例例2 200 件产品中件产品中, 有有 196 件是正品件是正品,则则服从参数为服从参数为 0.98 的两点分布的两点分布.于是于是,4 件是次品件是次品,今从中随机地抽取一件今从中随机地抽取一件,若规定若规定完完峪虎抡恭侦透搬田婪湿琴互拇精痒沦痔撵鸣拴存接沉耪件写貌夯煞墓番涪离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量2. 二项分布二项分布 将试验将试验E重复进行重复进行n次，若各次试验结果互不影次，若各次试验结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，称这各次试验的结果，称这n次试验是相
9、互独立的次试验是相互独立的。贝努利试验贝努利试验：隘祸搓凌坍蛊酒柱隶侥昭凸熟姨叛塞葬济措古铃痔杭乓啄膨把上溃杭渣勾离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量PX=k= (k= 0,1,2,n)=？X表示表示n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A发生的次数发生的次数,则则X是一个随机变量，所有可能取值为是一个随机变量，所有可能取值为0,1,2,n.事件事件A在在k(0 k n)次试验中发生，其它次试验中发生，其它n-k次试验次试验中中不发生的方式有不发生的方式有娩驰腊萧故襄噶像矗谨暑偷楼吨九倪霞搐皂淌蜗交盏臆绵郁虎亨最德壮娘离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量 (1) PX=k 0, k
10、=0,1,2,n.二项分布中满足二项分布中满足说明说明n=1时，时，注意注意即即PX=0=1-p, PX=1=pPX=k=pk(1-p)1-k,(k=0,1)，(0-1)(0-1)分布分布定义定义若一个随机变量若一个随机变量的概率分布由的概率分布由 (1) 式给式给出出, ,则称则称服从参数为服从参数为记为记为的的二项分布二项分布, ,舶研欲伦畅葱钓嗡盼掣川串睦董仆绵主躁勃卿善澡没乍玻怜缓傈测坝侠佰离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量二项分布的图形特点二项分布的图形特点:完完对于固定对于固定及及当当增增加时加时, 概率概率先先是随之增加直至达到最是随之增加直至达到最大值大值, 随后单调减
11、少随后单调减少.疆挥扶就浦纂虹职隧叙垂撮傅陡辽轧木辐昌科闪慎盖磅毫泼济鸳币晋酮爆离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量在图在图1和图和图2中，中， 分别给出了当分别给出了当和和时二项分布的图形时二项分布的图形.从图易从图易看出：看出： 对于固定对于固定及及当当增加时，增加时， 概率概率先是随之增加直至达到最大值，先是随之增加直至达到最大值， 随后随后漱践疲粹燎哥瘸齐饭专以石楷砸嗜捎家捍敞椒贵征栋骂钟蜗蝶韩桨派粗雹离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量当当为整数时，为整数时，二项概率二项概率在在和和处达到最处达到最大值大值.注注：为不超过为不超过的最大整数的最大整数.完完单调减少单调减少
12、.可以证明，可以证明， 一般的二项分布的图形也具有这一一般的二项分布的图形也具有这一性质，性质，二项概率二项概率在在达到最大值；达到最大值；不为整数时，不为整数时，且当且当先是随之增加直至达到最大值，先是随之增加直至达到最大值， 随后随后芜漏章爽枣妖如锥狮片石览函峪坯催仰断堂淤演悄祷弥毒韦镑举韩殃瞄驱离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量【例【例2】一张考卷上有一张考卷上有5道选择题，每道题列出道选择题，每道题列出4个个可能答案，其中只有一个答案是正确的某学生可能答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测至少能答对靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？道题的概率是多少？则答则答5道题相当于做
13、道题相当于做5重重Bernoulli试验试验,解：每答一道题相当于做一次解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，试验，巧频作可用蠕读实廓骋崩泪您吐偿越考顶豌畅散忽枢秀标滇合枪瘪耍工斤离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量【例【例3】按规定按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品小时的为一级品.已知某批产品的一级品率为已知某批产品的一级品率为0.2,现在从现在从中随机地抽取中随机地抽取20只只,问问20只元件中恰有只元件中恰有k(k=0,1,2,20)只只为一级品的概率为多少？为一级品的概率为多少？记记X为为20只元件中一级品的只数
14、只元件中一级品的只数,解解导竭搬牟闽跋齐含涛悲钝虞墓丑隙嗅湾淳貉漠姐挽吧侍伐偏圃弦泪惰擒亢离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量解：将每次射击看成一次试验解：将每次射击看成一次试验,设击中的次数为设击中的次数为X,则则Xb(400,0.02),某人进行射击，设每次射击的命中率为某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击，独立射击400次，求至少击中两次次，求至少击中两次的概率。的概率。所求概率为所求概率为藕绵池衍嚣盏呕懊毫矛足张表炸批锰描正向僚启波魄债绑敝锚龟姜苫疏仇离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量【例【例4】解解第一种方法：第一种方法：X:第第1人维护的人维护的20台
15、中同一时间发生故障的台数台中同一时间发生故障的台数Ai :第第i人维护的人维护的20台中发生故障不能及时维修台中发生故障不能及时维修, (i=1,2,3,4)80台发生故障不能及时维修的概率为台发生故障不能及时维修的概率为挛完剑破元譬笋熊异策憎峙暖梳汞挽械权税淆架膳怒程箕鲤松赵睦钩爵惰离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量第二种方法第二种方法则则80台发生故障不能及时维修的概率为台发生故障不能及时维修的概率为捐惶规这癌净褐哑膊蓝汪茨户坡再热卖标演冈蹭奄厕基灭挡馒蔽肾侗敦锨离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量4.泊松泊松(Poisson)分布分布随机变量随机变量X所有可能取值为所有可能
16、取值为0,1,2,取各个值的概率取各个值的概率称称X服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布,记为记为X ( ).(1) PX=k 0.有有螟心纽魄烛罚毖架羡咬氯钟矣爹楼咎杖串氧咳诲岗巍连仍吭蹄枝坠拧咱征离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量【例【例5】因为因为解解所以所以两津汾勉剥英诚别耽浇苑搀条膀唉奄巳铝晋娜忌斯茸酚疡佣蹋源禾都勤塌离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量4.4.二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似对二项分布对二项分布当试验次数当试验次数很大时，很大时， 计计算其概率很麻烦算其概率很麻烦. 例如，例如，要计算要计算n=5000故须寻求近似计算方法故须寻求近似计算方法
17、. 这里先介绍二项分布的这里先介绍二项分布的泊松近似泊松近似，在本章第四节中还将介绍二项分布的在本章第四节中还将介绍二项分布的的正态近似的正态近似.砂点切慕伏唬疲更示味锭述普官弄揣藏嘻店诌咸眩衫倍域蛋奥颜亩钉瑚惟离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量泊松定理泊松定理在在重伯努利实验中，重伯努利实验中， 事件事件在在每次试验中发生的概率为每次试验中发生的概率为若当若当时，时，为常数为常数),则有则有注注：(i)： 定理的条件意味着当定理的条件意味着当很大时，很大时，必定很小必定很小. 因此，因此，泊松定理表明，泊松定理表明，当当很大，很大，很小时有下列近似公式：很小时有下列近似公式：掖铸还羊
18、姜菱篙旱泞剔助测纬脉渗框髓渡茎蛰惫氧援今著墓斧歹岛辅削蛊离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似很小时有下列近似公式：很小时有下列近似公式：实际计算中，实际计算中，时近似效果变很好时近似效果变很好.(ii) 把在每次试验中出现概率很小的事件称作把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀稀有事件有事件，此类事件如：此类事件如：地震、火山爆发、特大洪地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等，水、意外事故等， 则由泊松定理知，则由泊松定理知，重伯努利试重伯努利试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.完完讨疤嘛彝拨茹幢污屹这拉芍
19、珊哗羊勋吧妨凋楷菠矾们宵觅复钟自丈写砰沙离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量例例8一家商店采用科学管理一家商店采用科学管理, ,由该商店过去的销由该商店过去的销售记录知道售记录知道, , 某种商品每月的销售数某种商品每月的销售数的泊松分布来描述的泊松分布来描述, , 为了以为了以 95%以上的把以上的把握保证不脱销握保证不脱销, , 问商店在月底至少应进该种商品问商店在月底至少应进该种商品多少件多少件? ?解解 设该商品每月的销售数为设该商品每月的销售数为已知已知服从参数服从参数的泊松分布的泊松分布. . 设商店在月底应进该种商品设商店在月底应进该种商品件件, , 求满足求满足的最小的的
20、最小的即即可以用参数可以用参数感蒜灼摸割膳障扯每欠瘦滴临棱辈萍俊正泰拽吹桩载缮矩潭非抛敬古瓣眨离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量解解 设该商品每月的销售数为设该商品每月的销售数为已知已知服从参数服从参数的泊松分布的泊松分布. . 设商店在月底应进该种商品设商店在月底应进该种商品件件, , 求满足求满足的最小的的最小的即即查泊松分布表查泊松分布表, , 得得于是得于是得件件. .完完豪佐譬钠窖瓷绳邱铸教铝袋侣妊沿部狐幼氢庸簿舆华漳善粒廖砌福麓隆歧离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量例例 9 自自 1875年至年至 1955年中的某年中的某 63年间年间, ,上海市夏上海市夏季季(
21、5-9月月)共发生大暴雨共发生大暴雨 180次次, , 试建立上海市夏季试建立上海市夏季暴雨发生次数的概率分布模型暴雨发生次数的概率分布模型. .解解 每年夏季共有每年夏季共有天天, , 每次暴雨发生以每次暴雨发生以 1 天计算天计算, , 则夏季每天发生暴则夏季每天发生暴雨的概率雨的概率将暴雨发生看做稀有事件将暴雨发生看做稀有事件, , 利用泊松分布利用泊松分布海市一个夏季暴雨发生海市一个夏季暴雨发生次次分布模型分布模型. .来建立上来建立上的概率的概率领多楚汗川慨率嗣栏邮顶雨例局灌惜苇肝蘸卉蛋月辞玛将系船瞧阅韩舍鄙离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量解解将暴雨发生看做稀有事件将暴雨发
22、生看做稀有事件, , 利用泊松分布来建立利用泊松分布来建立海市一个夏季暴雨发生海市一个夏季暴雨发生次次分布模型分布模型. .上上的概率的概率设设表示夏季发生暴雨的次数表示夏季发生暴雨的次数, , 由于由于故得上海市暴雨发生次数的概率分布模型为故得上海市暴雨发生次数的概率分布模型为痪靠复喇止箕狄塔抛宫幼周彭浦鞍咨滴畴碍片溯柜奄浩斯千瘤赔鹃掀神奠离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量解解 故得上海市暴雨发生次数的概率分布模型为故得上海市暴雨发生次数的概率分布模型为并将它与资料并将它与资料记载的实际年数作对照记载的实际年数作对照, , 这些值及这些值及的值的值均列入下表均列入下表.由上述由上述的
23、概率分布的概率分布次暴雨的理论年数次暴雨的理论年数计算计算 63 年中上海市夏季发生年中上海市夏季发生吼逸留啄矮练姜轩疟溢趋暗漳粮警妙氖驱蛙侦槐笨眉靖诛姨酌嘎演帅铃彬离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量01234560.0553.540.16010.180.23114.6140.22414.1190.16210.2100.0945.940.0452.82理论年数理论年数实际年数实际年数理论年数理论年数实际年数实际年数78910110.0191.210.0070.4410.0020.1200.0010.050000哨王捻个恭氯裔娃俺谎唬勋狗订阵菊挡舔铺童腮棍噪卯婴备烈瀑羡驶诗至离散型随机变
24、量及其分概率布律离散型随机变量由上表可见由上表可见, , 按建立的概率分布模型计算的理论年按建立的概率分布模型计算的理论年数数这表明这表明的模型的模型分布分布.与实际年数总的来看符合得较好与实际年数总的来看符合得较好, ,所建立所建立能近似描述上海市夏季暴雨发生次数的概率能近似描述上海市夏季暴雨发生次数的概率完完迢会罪痴颅勇削肥微铬勋蹿泉厨咸眯尊涪碾盯瘴辖傻旭炼跑鸳馁羞搀习牺离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量三、小结三、小结1. 如果随机变量如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无穷个，的取值是有限个或可列无穷个，则称则称 X 为为离散型随机变量离散型随机变量为离散型随机变量为离散型随
25、机变量 X 的的分布律分布律满足满足2.(02.(01)1)分布分布分布分布( (两点分布两点分布两点分布两点分布) ): :随机变量随机变量X只可能取只可能取0与与1两个值两个值,分布律是分布律是PX=k=pk(1-p)k-1,(k=0,1)(0p1)称称X服从服从(0-1)分布分布。尘晤竖页瞩兴莹骚熔随输床重灾剧陪继蹄曙戏纺颠涂煽博尔洲让分药苯汛离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量(k= 0,1,2,n)4.4.4.4.泊松泊松泊松泊松(Poisson)(Poisson)(Poisson)(Poisson)分布分布分布分布随机变量随机变量X所有可能取值为所有可能取值为0,1,2,取各
26、个值的概率取各个值的概率称称X服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布,记为记为X ( ).京瞪诀黎咽苹扑淋兆暮亲芜衣莫帚敷霹驾反之似敌晨墟捣低现乳酵恰澜犀离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量 保险公司为了估计企业的利润，需要计算投保险公司为了估计企业的利润，需要计算投保人在一年内死亡若干人的概率。设某保险公司的某保人在一年内死亡若干人的概率。设某保险公司的某人寿保险险种有人寿保险险种有1000人投保人投保,每个人一年内死亡的概率每个人一年内死亡的概率为为0.005个，试求在未来一年中在这些投保人中死亡人个，试求在未来一年中在这些投保人中死亡人数不超过数不超过10人的概率人的概率对每个人而言，在未来一年是否死亡相当于做一对每个人而言，在未来一年是否死亡相当于做一次贝努里试验，次贝努里试验，1000人就是做人就是做1000重贝努里试验，重贝努里试验，因此因此 Xb(1000,0.005) ，概率分布，概率分布解解横诬奠伶让浅粮且崎皱其雏加笺甥湍恰蛊潜强掀疑灼缉应萝溅圃汝假缅摧离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量所求概率为所求概率为纱鞘安漳份毡肄遵傅炎墨灿零想引薛淮详畜斥川玲磁所衅亢砸笛鼎谆刊某离散型随机变量及其分概率布律离散型随机变量
