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1、第六章 数列 6.4 数列的综合运用高考理数高考理数考点一数列求和考点一数列求和1.公式法(1)直接用等差、等比数列的求和公式求解.(2)掌握一些常见的数列的前n项和公式:1+2+3+n=;2+4+6+2n=n2+n;1+3+5+(2n-1)=n2;12+22+32+n2=;13+23+33+n3=.知识清单2.倒序相加法如果一个数列an,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法.3.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求.4.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和
2、时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.常见的拆项公式:(1)=-;(2)=;(3)=-.5.分组求和法有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,即先分别求和,再合并,形如:(1)an+bn,其中(2)an=考点二数列的综合应用考点二数列的综合应用1.解答数列应用题的基本步骤(1)审题仔细阅读材料,认真理解题意;(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题,弄清该数列的特征以及要求什么;(3)求解求出该问题的数学解;(4)还原将所求结果还原到原实际问题中.2.数列应用题常见模型(1)等差模型:如果增加(或减少)
3、的量是一个固定值,那么该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差.其一般形式是an+1-an=d(常数).(2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数,那么该模型是等比模型,这个固定的数就是公比.其一般形式是=q(q为常数,且q0).(3)混合模型:在一个问题中同时涉及等比数列和等差数列的模型.(4)生长模型:如果某一个量,每一期以一个固定的百分数增加(或减少),同时又以一个固定的具体量增加(或减少),称该模型为生长模型,如分期付款问题,树木的生长与砍伐问题等.如设贷款总额为a,年利率为r,等额还款数为b,分n期还完,则b=a.(5)递推模型:如果容易推导该数列任意一项an与它的
4、前一项an-1(或前n项)间的递推关系式,那么我们可以用递推数列的知识求解问题.1.一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时,应注意:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.(3)应用等比数列求和公式必须注意公比q1这一前提条件,如果不能确定公比q是否为1,应分两种情况进行讨论,这在以前的高考中经常考查.错位相减法求和错位相减法求和方法1方法技巧例1(2017广东惠州4月模拟,17)
5、已知等差数列an满足(a1+a2)+(a2+a3)+(an+an+1)=2n(n+1)(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)求数列的前n项和Sn.解题导引解析(1)设等差数列an的公差为d,由已知得(2分)即所以解得(4分)所以an=2n-1.(6分)(2)由(1)得=,所以Sn=1+,Sn=+,(8分)-得Sn=1+1+-=3-,(10分)所以Sn=6-.(12分)1.对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项法”,分式数列的求和多用此法.2.利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.例2(2017江西赣州信丰中学高考适应性测试,17)已知数列an的前n项和为Sn,且a2=8,Sn=-n-1.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列的前n项和Tn.裂项相消法求和裂项相消法求和方法2解题导引
