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1、1第第3章章 随机过程随机过程通信中的信号和噪声都具有随机性，需通信中的信号和噪声都具有随机性，需要用随机过程的理论来描述。要用随机过程的理论来描述。是本课程是本课程的重要数学工具。的重要数学工具。3.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统3.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声3.5 窄带随机过程窄带随机过程3.3 高斯随机过程高斯随机过程3.2 平稳随机过程平稳随机过程3.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念3.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声23.13.1随机过程的基本概念随机过程的基本概念 什么是随机过程什么是随机过程1.无穷多个样本函数无穷多
2、个样本函数xi(t)的集合称作随机的集合称作随机过程。过程。 2.随机过程可视为无穷多个随机变量随机过程可视为无穷多个随机变量 (ti) 的集合。的集合。 33.1.1 随机过程的分布函数随机过程的分布函数 随机变量随机变量(t1)小于或等于某一数值小于或等于某一数值x1的概率的概率 简记为简记为F1(x1, t1)，即，即 称为随机过程称为随机过程(t)的一维分布函数的一维分布函数 设设(t)表示一个随机过程，在任意给定的时表示一个随机过程，在任意给定的时刻刻t1T， 其取值其取值(t1)是一个一维随机变量。是一个一维随机变量。随机过程的统计特性可以用随机过程的统计特性可以用分布函数分布函数
3、或或概率密概率密度函数度函数来描述来描述。4如果存在如果存在称称 为随机过程为随机过程 的的一维概率密度函数一维概率密度函数同理，任给同理，任给t1, t2, , tnT, 则则(t)的的n维分布维分布函数被定义为：函数被定义为： n维概率密度函数被定义为维概率密度函数被定义为5随机过程的随机过程的数学期望数学期望随机过程的随机过程的方差方差 (variance)：6相关函数相关函数(correlation function)： 描述随机过程在任意两个时刻上获得的随机变描述随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的相关程度。量之间的相关程度。 式中，式中， (t1)和和 (t2)分别是在分别
4、是在t1和和t2时刻观测时刻观测得到的随机变量。可以看出，得到的随机变量。可以看出，R(t1, t2)是两个是两个变量变量t1和和t2的确定函数。的确定函数。7互相关函数互相关函数 式中式中 (t)和和 (t)分别表示两个随机过程。分别表示两个随机过程。因此，因此，R(t1, t2)又称为自相关函数。又称为自相关函数。 81. 和的平均等于平均的和和的平均等于平均的和 E(XY）E(X)E(Y)2. 若若X、Y相互统计独立，则积的平均等与平均的相互统计独立，则积的平均等与平均的积积 E(XY)E(X)E(Y)3. 随机变量随机变量X的函数的函数g(X)的平均的平均式中式中 是随机变量是随机变量
5、X的概率密度函数。的概率密度函数。4. 确知函数可视为常数确知函数可视为常数若若 是确知函数，则是确知函数，则 补：进行统计平均运算时常用到的一些公式补：进行统计平均运算时常用到的一些公式93.2平稳随机过程平稳随机过程狭义平稳（或严平稳）随机过程狭义平稳（或严平稳）随机过程 广义平稳（或宽平稳）随机过程广义平稳（或宽平稳）随机过程 平稳随机过程的平稳随机过程的“各态历经性各态历经性” 平稳随机过程的自相关函数平稳随机过程的自相关函数 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度 10定义定义：平稳随机过程的统计特性将不随时间的：平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而发生变化，即其任何推
6、移而发生变化，即其任何n维分布函数或概率维分布函数或概率密度函数密度函数与时间起点无关与时间起点无关，亦即对于任意的正整，亦即对于任意的正整数数n和任意的实数和任意的实数 平稳随机过程平稳随机过程 的的n维概率密度函数满足：维概率密度函数满足：称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称简称严平稳随机过程严平稳随机过程（狭义平稳狭义平稳随机过程）。随机过程）。3.2.1 平稳随机过程的定义平稳随机过程的定义11性质：性质： 该定义表明，平稳随机过程的统计特该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函性不随时间的推移而改变，
7、即它的一维分布函数与时间数与时间t无关：无关： 二维分布函数只与时间间隔二维分布函数只与时间间隔 = t2 t1有关：有关：数字特征数字特征： 12数字特征：数字特征：（1）其均值与）其均值与t 无关，为常数无关，为常数a ； （2）自相关函数只与时间间隔）自相关函数只与时间间隔 有关。有关。 把同时满足把同时满足(1)和和(2)的过程定义为的过程定义为广义平稳随广义平稳随机过程机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。稳的，反之不一定成立。 在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程
8、。除特别声明，课程所讨视为平稳的随机过程。除特别声明，课程所讨论的均为广义平稳随机过程。论的均为广义平稳随机过程。13平稳过程在满足一定的条件下具有一个特性，平稳过程在满足一定的条件下具有一个特性，称为称为“各态历经性各态历经性” (又称又称“遍历性遍历性”)。具有。具有各态历经性的过程，其数字特征（统计平均）各态历经性的过程，其数字特征（统计平均）可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。替。 3.2.2 各态历经性各态历经性14各态历经性条件各态历经性条件 设：设：x(t)是平稳过程是平稳过程 (t)的任意一次实现的任意一次实现(样本样本)，则其时
9、间均值和时间相关函数分别定义为：，则其时间均值和时间相关函数分别定义为： 如果平稳过程使下式成立如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。则称该平稳过程具有各态历经性。15具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。163.2.3 平稳过程的自相关函数平稳过程的自相关函数平稳过程自相关函数的定义：同前平稳过程自相关函数的定义：同前平稳过程自相关函数的性质平稳过程自相关函数的性质l (t)的平均功率的
10、平均功率l 的偶函数的偶函数l R( )的上界的上界,即自相关即自相关函数函数 R( )在在 = 0有最大值。有最大值。l (t)的直流功的直流功l 表示平稳过程表示平稳过程 (t)的交流的交流功率。当均值为功率。当均值为0时，有时，有 R(0) = 2 。 173.2.4 平稳过程的功率谱密度平稳过程的功率谱密度定义：对于任意的确定功率信号定义：对于任意的确定功率信号f (t)，它的功，它的功率谱密度定义为率谱密度定义为18功率谱密度的计算功率谱密度的计算l 维纳维纳-辛钦关系辛钦关系 非周期的功率型确知信号的自相关函数与其非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这
11、种关系对平功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有稳随机过程同样成立，即有 简记为简记为 以上关系称为维纳以上关系称为维纳-辛钦关系。它是联系频域辛钦关系。它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。和时域两种分析方法的基本关系式。19l在维纳在维纳-辛钦关系的基础上，可得到结论：辛钦关系的基础上，可得到结论：u对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的平对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的平均功率：均功率：从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。功率谱密度功率谱密度P ( f )具有非负性和实偶性，即有具有非负性和实偶性，即有203.
12、3 高斯随机过程（正态随机过程）高斯随机过程（正态随机过程）3.3.1 定义定义 如果随机过程如果随机过程 (t)的任意的任意n维维(n =1,2,.)分布均分布均服从正态分布，则称为正态过程或高斯过程。服从正态分布，则称为正态过程或高斯过程。3.3.2 重要性质重要性质广义平稳的高斯过程也是严平稳的。广义平稳的高斯过程也是严平稳的。高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。斯过程。21如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有即对所有j k，有，有bjk =0，则其概率密度可以简，则其概率密度可以简化为化
13、为 这表明，这表明，如果高斯过程在不同时刻的取值是不如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的相关的，那么它们也是统计独立的。22定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为其一维概率密度函数为 式中式中 a 均值均值 2 方差方差 曲线如右图：曲线如右图：3.3.3 高斯随机变量高斯随机变量23性质性质lf (x)对称于直线对称于直线 x = a，即，即l la表示分布中心，表示分布中心， 称为标准偏差，表示集中程称为标准偏差，表示集中程度，图形
14、将随着度，图形将随着 的减小而变高和变窄。当的减小而变高和变窄。当a = 0和和 = 1时，称为标准化的正态分布：时，称为标准化的正态分布：24正态分布函数正态分布函数该积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其该积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其它特殊函数，用查表的方法求出：它特殊函数，用查表的方法求出：n用误差函数表示：令用误差函数表示：令则有则有及及 式中式中 误差函数，可查表求值。误差函数，可查表求值。25用互补误差函数用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：表示正态分布函数：式中式中 当当x 2时，时，26用用Q函数表示正态分布函数：函数表示正态分布函数：lQ函数定义：函数定义
15、：lQ函数和函数和erfc函数的关系：函数的关系：lQ函数和分布函数函数和分布函数F(x)的关系：的关系：lQ函数值也可以从查表得到。函数值也可以从查表得到。27输出过程输出过程 o(t)的均值的均值 (数学期望数学期望E 0(t)设输入过程是平稳的设输入过程是平稳的 ，则有，则有 H(0)是系统在是系统在 f = 0处的频率响应处的频率响应(直流增益直流增益)。3.4 平稳随机过程平稳随机过程通过线性系统通过线性系统输出过程输出过程 o(t)的自相关函数的自相关函数R0(t1, t1+ )结论：自相关函数只依赖时间间隔结论：自相关函数只依赖时间间隔 若线性系统的若线性系统的输入是平稳的，那么
16、输出也是平稳的输入是平稳的，那么输出也是平稳的28输出过程输出过程 o(t)的功率谱密度的功率谱密度结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。输出过程输出过程 o o( (t t) )的概率分布的概率分布l如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。高斯过程经线统的输出过程也是高斯型的。高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程性变换后的过程仍为高斯过程29窄带随机过程的表示式窄带随机过程的表示式式中，式中，a (t) 随机包络随机
17、包络 (t) 随机相位随机相位 c 中心角频率中心角频率显然，显然， a (t)和和 (t)的变化相对于载波的变化相对于载波cos ct的变化要缓慢得多。的变化要缓慢得多。3.5 窄带随机过程窄带随机过程窄带随机过程窄带随机过程30窄带随机过程表示式展开窄带随机过程表示式展开可以展开为可以展开为 (t)的的同相分量同相分量 (t)的的正交分量正交分量结论之一结论之一：一个均值为零的窄带平稳高斯随机过程，它的一个均值为零的窄带平稳高斯随机过程，它的同相分量同相分量 C(t)和正交分量和正交分量 S(t)同样是平稳高斯随机过程，而同样是平稳高斯随机过程，而且均值都为零，方差也相同，且等于且均值都为
18、零，方差也相同，且等于 (t)的方差。另外，在同的方差。另外，在同一时刻上得到的一时刻上得到的 C、 S是不相关的或统计独立的。是不相关的或统计独立的。结论之二结论之二： 一个均值为零的平稳高斯窄带过程，其包络一个均值为零的平稳高斯窄带过程，其包络 的一维分布是瑞利分布，相位的一维分布是瑞利分布，相位 的一维分布是均匀分布，并且的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，包络与相位是统计独立的。就一维分布而言，包络与相位是统计独立的。31式中式中为窄带高斯过程，其均值为零。为窄带高斯过程，其均值为零。设合成信号为设合成信号为(3.6 - 1)3.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声32相
19、位随机变量为相位随机变量为信号信号r(t)的包络为的包络为推导可得包络概率密度函数为推导可得包络概率密度函数为称为称为广义瑞利分布广义瑞利分布也称莱斯也称莱斯(Rice)密度函数。密度函数。（3.6-8）33 （1） 当当信信号号很很小小，A0，即即信信号号功功率率与与噪噪声声功功率率之之比比 =r0时时，这这时时合合成成波波r(t)中中只只存存在在窄窄带带高高斯斯噪噪声声，式式（3.6-8）近近似似为为式式（3.5-20），即由莱斯分布退化为瑞利分布。），即由莱斯分布退化为瑞利分布。 （3.6-8）34（2）当当信信噪噪比比r很很大大时时，有有I0(x) ，这这时时在在zA附近，附近， f(
20、z)近似于高斯分布，即近似于高斯分布，即 即即：信信号号加加噪噪声声的的合合成成波波包包络络分分布布与与信信噪噪比比有有关关。小小信信噪噪比比时时，它它接接近近于于瑞瑞利利分分布布；大大信信噪噪比比时时，它它接接近近于于高高斯斯分分布布；在在一一般般情情况况下下它它是是莱莱斯斯分布。图分布。图 3-5(a)给出了不同的给出了不同的r值时值时f(z)的曲线。的曲线。（3.6-8）353.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声白噪声白噪声n (t)l定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，即声，即 双边功率谱密度双边功率谱密度或或 单边功率谱密
21、度单边功率谱密度式中式中 n0 正常数正常数白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取傅里叶反变换，得到相关函数：傅里叶反变换，得到相关函数： 这说明，白噪声只有在这说明，白噪声只有在=0时才相关时才相关36l白噪声的功率白噪声的功率由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即即 或或真正真正“白白”的噪声是不存在的的噪声是不存在的 。 只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，就可以把它视为白噪声。于通信系统的工作频带，就可以把它视为白噪声。如果白噪声取值的
22、概率分布服从高斯分布，则如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。称之为高斯白噪声。37低通白噪声低通白噪声l定义：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波定义：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通白低通白噪声噪声。 n功率谱密度功率谱密度白噪声的功率谱密度被限制在白噪声的功率谱密度被限制在| f | fH内，通内，通常把这样的噪声也称为常把这样的噪声也称为带限白噪声带限白噪声。 n自相关函数自相关函数38l定义：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波定义：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为带通器或理想带通信道，则其输出的噪声称为带通白噪声。白噪声。 l功率谱密度功率谱密度 设理想带通滤波器的传输特性为设理想带通滤波器的传输特性为式中式中: fc 中心频率，中心频率，B 通带宽度通带宽度则其输出噪声的功率谱密度为则其输出噪声的功率谱密度为带通白噪声带通白噪声39窄带高斯白噪声窄带高斯白噪声l通常，带通滤波器的通常，带通滤波器的 B fc ，因此称窄带，因此称窄带滤波器，相应地把带通白高斯噪声称为滤波器，相应地把带通白高斯噪声称为窄窄带高斯白噪声带高斯白噪声。l窄带高斯白噪声的表达式和统计特性见窄带高斯白噪声的表达式和统计特性见3.5节。节。l平均功率平均功率
