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1、匈牙利算法示例1 （二）、解题步骤：（二）、解题步骤： 指派问题是指派问题是0-1 规划的特例，也是运输问题的特例，规划的特例，也是运输问题的特例，当然可用整数规划，当然可用整数规划，0-1 规划或运输问题的解法去求规划或运输问题的解法去求解，这就如同用单纯型法求解运输问题一样是不合算解，这就如同用单纯型法求解运输问题一样是不合算的。利用指派问题的特点可有更简便的解法，这就是的。利用指派问题的特点可有更简便的解法，这就是匈牙利法，即匈牙利法，即系数矩阵中独立系数矩阵中独立 0 0 元素的最多个数等于元素的最多个数等于能覆盖所有能覆盖所有 0 0 元素的最少直线数。元素的最少直线数。 第第一一步
2、步：变变换换指指派派问问题题的的系系数数矩矩阵阵（cij）为为(bij)，使使在在(bij)的各行各列中都出现的各行各列中都出现0元素，即元素，即 (1) 从（从（cij）的每行元素都减去该行的最小元素；）的每行元素都减去该行的最小元素； (2) 再再从从所所得得新新系系数数矩矩阵阵的的每每列列元元素素中中减减去去该该列列的的最最小元素。小元素。2 第二步：进行试指派，以寻求最优解。第二步：进行试指派，以寻求最优解。 在在(bij)中中找找尽尽可可能能多多的的独独立立0元元素素，若若能能找找出出n个个独独立立0元元素素，就就以以这这n个个独独立立0元元素素对对应应解解矩矩阵阵(xij)中中的的
3、元元素素为为1，其其余余为为0，这这就就得得到到最最优优解解。找找独独立立0元元素素，常常用的步骤为：用的步骤为： (1)从从只只有有一一个个0元元素素的的行行(列列)开开始始，给给这这个个0元元素素加加圈圈，记记作作 。然然后后划划去去 所所在在列列(行行)的的其其它它0元元素素，记记作作 ；这这表表示示这这列列所所代代表表的的任任务务已已指指派派完完，不不必必再再考考虑虑别人了。别人了。 (2)给给只只有有一一个个0元元素素的的列列(行行)中中的的0元元素素加加圈圈，记记作作；然后划去；然后划去 所在行的所在行的0元素，记作元素，记作 (3)反反复复进进行行(1)，(2)两两步步，直直到到
4、尽尽可可能能多多的的0元元素素都被圈出和划掉为止。都被圈出和划掉为止。3 (4)若若仍仍有有没没有有划划圈圈的的0元元素素，且且同同行行(列列)的的0元元素素至至少少有有两两个个，则则从从剩剩有有0元元素素最最少少的的行行(列列)开开始始，比比较较这这行行各各0元元素素所所在在列列中中0元元素素的的数数目目，选选择择0元元素素少少的的那那列列的的这这个个0元元素素加加圈圈(表表示示选选择择性性多多的的要要“礼礼让让”选选择择性性少少的的)。然然后后划划掉掉同同行行同同列列的的其其它它0元元素素。可可反反复复进进行行，直到所有直到所有0元素都已圈出和划掉为止。元素都已圈出和划掉为止。 （5）若）
5、若 元素的数目元素的数目m 等于矩阵的阶数等于矩阵的阶数n，那么这指，那么这指派问题的最优解已得到。若派问题的最优解已得到。若m n, 则转入下一步。则转入下一步。 第三步：作最少的直线覆盖所有第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。元素。 (1)对没有对没有的行打的行打号；号； (2)对已打对已打号的行中所有含号的行中所有含 元素的列打元素的列打号；号； (3)再对打有再对打有号的列中含号的列中含 元素的行打元素的行打号；号； 4 (4)重复重复(2)，(3)直到得不出新的打直到得不出新的打号的行、列为止；号的行、列为止； (5)对对没没有有打打号号的的行行画画横横线线，有有打打号号的的列列画画
6、纵纵线线，这这就就得得到到覆覆盖盖所所有有0元元素素的的最最少少直直线线数数 l 。l 应应等等于于m，若若不不相相等等，说说明明试试指指派派过过程程有有误误，回回到到第第二二步步(4)，另另行行试试指指派派；若若 lm n，须须再再变变换换当当前前的的系系数数矩矩阵阵，以找到以找到n个独立的个独立的0元素，为此转第四步。元素，为此转第四步。第四步：变换矩阵第四步：变换矩阵(bij)以增加以增加0元素。元素。在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素，然后在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素，然后打打各行都减去这最小元素；打各行都减去这最小元素；打各列都加上这最小元各列都加上这最小元素（以保
7、证系数矩阵中不出现负元素）。新系数矩阵素（以保证系数矩阵中不出现负元素）。新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第二步。的最优解和原问题仍相同。转回第二步。 5例一：例一： 任务任务人员人员ABCD甲甲215134乙乙1041415丙丙9141613丁丁78119624977428 9 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作文字，分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？间如
8、下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？ 任务任务人员人员ABCD甲甲67112乙乙4598丙丙31104丁丁5982例二、例二、10求解过程如下：求解过程如下：第一步，变换系数矩阵：第一步，变换系数矩阵：5第二步，试指派：第二步，试指派： 找到找到 3 3 个独立零元素个独立零元素 但但 m m = 3 3 n = 411 第三步，作最少的直线覆盖所有第三步，作最少的直线覆盖所有0 0元素：元素： 独立零元素的个数独立零元素的个数m等于最少直线数等于最少直线数l，即，即lm=3n=4； 第四步，变换矩阵第四步，变换矩阵( (bij) )以增加以增加0 0元素：没有被直线覆元素：没有被直线覆
9、盖的所有元素中的最小元素为盖的所有元素中的最小元素为1 1，然后打，然后打各行都减去各行都减去1 1；打；打各列都加上各列都加上1 1，得如下矩阵，并转第二步进行，得如下矩阵，并转第二步进行试指派：试指派： 12000 0 00得到得到4 4个独个独立零元素，立零元素， 所以最优解所以最优解矩阵为：矩阵为： 15 13练习：练习：115764戊戊69637丁丁86458丙丙9117129乙乙118957甲甲EDCBA费费 工作工作 用用人员人员14-1 -215 16 l =m=4 n=517 18 19 l =m=4 n=520 21 此问题有多个最优解此问题有多个最优解2822 23 24用匈牙利法求解下列指派问题，已知效率矩用匈牙利法求解下列指派问题，已知效率矩阵分别如下：阵分别如下： 25
