《2019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第17讲导数与函数的极值最值配套课件理.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第17讲导数与函数的极值最值配套课件理.ppt(40页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第17讲导数与函数的极值、最值考纲要求考点分布考情风向标1.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题2013 年新课标第 20 题(1)(2)考查导数的几何意义、单调性、极大值等;2014 年新课标第 21 题考查函数极值的充要条件及利用单调性讨论参数的取值范围;2014 年新课标第 12 题以函数零点为背景,考查导数的应用;2015 年新课标第 12 题构造函数利用其单调性解不等式;2016
2、 年新课标第 21 题考查函数单调性本节复习时,要特别注意三次函数、指数函数与对数函数(以 e 为底)的综合题.要深入体会导数应用中蕴含的数学思想方法.分类讨论思想(如参数问题的讨论);数形结合思想(如通过从导函数图象特征解读函数图象的特征或求两曲线交点个数);等价转化思想(如将证明的不等式问题等价转化为研究相应问题的最值等)1.函数的极值f(x)0f(x)0(1)判断f(x0)是极值的方法:一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值; 如果在x0附近的左侧_,右侧_,那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤:求 f
3、(x);求方程 f(x)0 的根;检查 f(x)在方程 f(x)0 的根左右两边导函数值的符号.如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得_;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右两侧符号一样,那么这个根不是极值点.极大值2.函数的最值(1)函数 f(x)在a,b上有最值的条件:如果在区间a,b上,函数 yf(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)若函数 f(x)在a,b上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数 f(x)在a,b上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.(3)求 yf(x)在a,b
4、上的最大(小)值的步骤:求函数 yf(x)在(a,b)内的_;将函数 yf(x)的各极值与_比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.极值端点值3.利用导数解决实际生活中的优化问题的基本步骤(1)分析实际问题中各变量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出相应的函数关系式 yf(x)并确定定义域;(2)求导数 f(x),解方程 f(x)0;(3)判断使 f(x)0 的点是极大值点还是极小值点;(4)确定函数的最大值或最小值,还原到实际问题中作答,即获得优化问题的答案.答案:AC.x2 为 f(x)的极大值点D.x2 为 f(x)的极小值点D4.(2015 年陕西)函数 xex在其极值点
5、处的切线方程为_.考点 1 函数的极值例 1:(2013 年新课标)已知函数 f(x)ex(axb)x24x,曲线 yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为 y4x4.(1)求 a,b 的值;(2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值.解:(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知,得 f(0)4,f(0)4.故 b4,ab8.从而 a4,b4.【规律方法】(1)求可导函数单调区间的一般步骤和方法:确定函数 f(x)的定义域;求 f(x),令 f(x)0,求出它在定义域内的一切实根;把函数 f(x)的间断点即 f(x)的无定义点的横坐标和上面的各实数根按从小到大的顺序排列起来,然
6、后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;确定 f(x)在各个开区间内的符号,根据 f(x)的符号判定函数 f(x)在每个相应小开区间内的增减性.(2)可导函数极值存在的条件:可导函数的极值点x0一定满足f(x0)0,但当f(x1)0时,x1不一定是极值点.如f(x)x3,f(0)0,但x0不是极值点;可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0,且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同.【互动探究】A1.(2017年新课标)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点,则 f(x)的极小值为()A.1 B.2e3 C.5e3 D.1解析: 由题可得f(x)(2xa)
7、ex1(x2ax1)ex1x2(a2)xa1ex1.因为f(2)0,所以a1,f(x)(x2x1)ex1.故f(x)(x2x2)ex1.令f(x)0,解得x1,所以f(x)在(,2),(1,)上单调递增,在(2,1)上单调递减.所以f(x)的极小值为f(1)(111)e111.故选A.2.已知函数 f(x)x(ln xax)有两个极值点,则实数 a 的取值范围是()A.(,0)C.(0,1)D.(0,)答案:B考点 2 函数的最值例 2:(2017 年北京)已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线 yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程;解:(1)因为 f(x)excos xx,所以f
8、(x)ex(cos xsin x)1,f(0)0.又因为 f(0)1,所以曲线 yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为 y1.【规律方法】求函数f(x)在a,b上的最大值、最小值的步骤:求函数在(a,b)内的极值;求函数在区间端点的函数值 f(a),f(b);将函数 f(x)的极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值.【互动探究】3.(2017 年河南郑州模拟)已知函数f(x)(xk)ex.(1)求 f(x)的单调区间;(2)求 f(x)在区间0,1上的最小值.x(,k1)k1(k1,)f(x)0f(x)单调递减ek1单调递增解:(1)由 f(x)(xk)ex,得
9、f(x)(xk1)ex.令f(x)0,得xk1.当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表:所以 f(x)的单调递减区间是(,k1),单调递增区间是(k1,).(2)当k10,即k1时,函数f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k.当0k11,即1k2时,由(1)知f(x)在0,k1)上单调递减,在(k1,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1.当k11,即k2时,函数f(x)在0,1上单调递减,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上所述,当k1时,f(x)mink;当1k2时,f(x)minek1;当k2
10、时,f(x)min(1k)e.考点 3 利用导数解决生活中的优化问题例 3:(2016 年江苏)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱锥PA1B1C1D1,下部分的形状是正四棱柱 ABCDA1B1C1D1(如图 2171),并要求正四棱柱的高是 PO1 的四倍.(1)若 AB6 m,PO12 m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m,则当 PO1为多少时,仓库的容积最大?图 2171解:(1)由 PO12 m,知OO14PO18 m.因为 A1B1AB6 m,正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2OO1628288(m3).所以仓库的容积VV锥
11、V柱24288312(m3).【规律方法】本题在利用导数求函数的单调性时要注意,求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式,在求f(x)0 和 f(x)0 时要注意,本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.【互动探究】(2)由(1)的解答可知 f(r)0,f(x)在(0,r)上单调递增,在(r,)上单调递减.因此 xr 是 f(x)的极大值点,所以 f(x)在(0,)内的极大值为 f(r)100,f(x)在(0,)内无极小值.综上所述,f(x)在(0,)内的极大值为 100,无极小值.难点突破运用转化与化归思想讨论函数中的恒成立(存在性)问题【互动探究】5.已知函数 f(x)x2eax (a0).(1)若 a1,求曲线 yf(x)在(1,f(1)处的切线方程;a 的取值范围.x(,1)(1,1)(1,)g(x)g(x)单调递减单调递增单调递减当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表: