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1、张杏华张杏华原原 题题 第二十二章第二十二章 一元二次方程一元二次方程 22.1 22.1 一元二次方程一元二次方程 22.2 22.2 降次降次解一元二次方程解一元二次方程 阅读与思考 黄金分割数 22.3 22.3 实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程 数学活动数学活动 小结小结 复习题复习题 2222YOUR ITE HERELOGO一、审一、审 题题 分分 析析说题流程说题流程二、解二、解 题题 过过 程程四、总四、总 结结 反反 思思 三、变三、变 式式 巩巩 固固YOUR ITE HERELOGO题题 目目 背背 景景 此题是一道探究题，它从生活中与面积有关的问题此题是一道
2、探究题，它从生活中与面积有关的问题入手，通过学生探索，利用构建一元二次方程解决图形入手，通过学生探索，利用构建一元二次方程解决图形设计问题。设计问题。 其目的是通过这一类面积问题，进一步加强利用一其目的是通过这一类面积问题，进一步加强利用一元二次方程分析解决实际问题能力的培养训练，提高学元二次方程分析解决实际问题能力的培养训练，提高学生应用数学知识解决实际问题的兴趣和意识。生应用数学知识解决实际问题的兴趣和意识。 涉及了一元二次方程解法，列方程解应用题的一涉及了一元二次方程解法，列方程解应用题的一般方法，初等几何知识，数学建模思想等，般方法，初等几何知识，数学建模思想等， 探究3 要设计一本书
3、的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ YOUR ITE HERELOGO学学 情情 分分 析析 学生已经学习了探究一、二之类的与增长有关的实学生已经学习了探究一、二之类的与增长有关的实际问题，而探究三是在此基础上，进一步探究与几何面际问题，而探究三是在此基础上，进一步探究与几何面积有关的实际问题积有关的实际问题 。 九年级学生已经具有了一定的类比、分析、归纳能九年级学生已经具有了一定的类比、分析、归纳能力，但是思维的严
4、谨性仍相对薄弱。力，但是思维的严谨性仍相对薄弱。 解应用题最常见的困难就是不知道如何通过认真审解应用题最常见的困难就是不知道如何通过认真审题，找出题目中相关量之间的数量关系，将实际问题提题，找出题目中相关量之间的数量关系，将实际问题提炼成数学模型。炼成数学模型。YOUR ITE HERELOGO重点与难点重点与难点YOUR ITE HERELOGO教教 学学 方方 法法 本题是一道探究题，根据本题是一道探究题，根据20112011年版义务教育数学课年版义务教育数学课程标准程标准，其要求是学生在独立思考的基础上进行合作讨，其要求是学生在独立思考的基础上进行合作讨论，寻求解决问题的思路，获得理性认
5、识，培养学生分析论，寻求解决问题的思路，获得理性认识，培养学生分析问题的能力。因此，在此题的教学中，我采用问题的能力。因此，在此题的教学中，我采用开放式教学开放式教学，以活动为载体，引导学生以活动为载体，引导学生合作交流合作交流，让学生在不断出现的，让学生在不断出现的知识冲突中激发知识冲突中激发探究探究兴趣，找出解决此题的方法。兴趣，找出解决此题的方法。YOUR ITE HERELOGO说题提纲说题提纲一、审一、审 题题 分分 析析二、解二、解 题题 过过 程程三、变三、变 式式 巩巩 固固四、总四、总 结结 反反 思思 YOUR ITE HERELOGO解解 题题 过过 程程 探究3 要设计
6、一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 活动一：审题，寻找数量关系。活动一：审题，寻找数量关系。 上、下边衬等宽，左、右边衬等宽四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形封面长27cm，宽21cm数量关系数量关系文字信息文字信息四周彩色边衬所占面积= 封面面积 中央长方形面积= 封面面积【设计意图设计意图】：通过学生通过学生合作探究，从实际背景中合作探究，从实际背景中抽象出
7、数量关系，为建模抽象出数量关系，为建模做铺垫，培养学生的审题做铺垫，培养学生的审题能力。能力。上、下边衬等宽，左、右边上、下边衬等宽，左、右边衬等宽衬等宽YOUR ITE HERELOGO解解 题题 过过 程程 探究3 要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 上、下边衬等宽，左、右边衬等宽四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形封面长27cm，宽21cm数量关系数量
8、关系信息信息四周彩色边衬所占面积= 封面面积 中央长方形面积= 封面面积 活动二活动二: :利用已知的数量关系选取未知数利用已知的数量关系选取未知数, ,并列出方程并列出方程 YOUR ITE HERELOGO解解 题题 过过 程程 探究3 要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 四周彩色边衬所占面积= 封面面积 中央长方形面积= 封面面积 活动二活动二: :利用已知的数量关系选取未知数利用已知的数量关系选取
9、未知数, ,并列出方程并列出方程 线段的关系面积的关系YOUR ITE HERELOGO解解 题题 过过 程程 活动二活动二: :利用已知的数量关系选取未知数利用已知的数量关系选取未知数, ,并列出方程并列出方程 解法三：解法三：设设正中央的长方形两边正中央的长方形两边分别为分别为9xcm，7xcm ，可得方程，可得方程解法四：解法四：设设上下边衬的宽上下边衬的宽为为9xcm，左右边衬宽左右边衬宽为为7xcm ，可得方程，可得方程解法一：设解法一：设正中央的长方形两边正中央的长方形两边分别为分别为9xcm，7xcm ，可得方程，可得方程解法二：解法二：设设上下边衬的宽上下边衬的宽为为9xcm，
10、左右边衬宽左右边衬宽为为7xcm，可得方程，可得方程根据根据“中央长方形面积中央长方形面积= 封面面积封面面积” 根据根据“四周彩色边衬所占面积四周彩色边衬所占面积= 封面面积封面面积”YOUR ITE HERELOGO解解 题题 过过 程程 活动二活动二: :利用已知的数量关系选取未知数利用已知的数量关系选取未知数, ,并列出方程并列出方程 解法二：利用解法二：利用“四周彩色边衬所占面积四周彩色边衬所占面积= = 封面面积封面面积”，可得方程，可得方程解法四：利用解法四：利用“中央长方形面积中央长方形面积= = 封面面积封面面积”，可得方程，可得方程解法一：利用解法一：利用“中央长方形面积中
11、央长方形面积= = 封面面积封面面积”，可得方程，可得方程解法三：利用解法三：利用“四周彩色边衬所占面积四周彩色边衬所占面积= = 封面面积封面面积”，可得方程，可得方程设设正中央的长方形两边正中央的长方形两边分别为分别为9xcm，7xcm ，设设上下边衬的宽上下边衬的宽为为9xcm，左右边衬宽左右边衬宽为为7xcm依据？依据？YOUR ITE HERELOGO解解 题题 过过 程程 活动二活动二: :利用已知的数量关系选取未知数利用已知的数量关系选取未知数, ,并列出方程并列出方程 21277a9a 根据题意： ，设中央长方形的长和宽分别是 9acm和7acm，则上下边衬宽是 cm，左右边衬
12、宽是 cm。所以 277x27-18x21-14x9x设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm，则中央长方形的面积表示为“ ”，根据“中央长方形面积= 封面面积”，可得方程【设计意图设计意图】：活动二是解决本活动二是解决本题的中心环节，它突出了本题的题的中心环节，它突出了本题的重点。通过学生充分的讨论，得重点。通过学生充分的讨论，得出多种不同的方法，充分暴露学出多种不同的方法，充分暴露学生的思维方式，激发学生的学习生的思维方式，激发学生的学习热情，使学生体会解题方法的多热情，使学生体会解题方法的多样性。样性。YOUR ITE HERELOGO解解 题题 过过 程程 探究3 要设计一本书的
13、封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ （1）：设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm 或 解得（2）：设正中央的长方形两边分别为9xcm，7xcm 或 解得【设计意图设计意图】：活动三的目的是让学生体会根的取舍要考虑问题：活动三的目的是让学生体会根的取舍要考虑问题的实际意义，突破此题的另一个难点的实际意义，突破此题的另一个难点“对有关解的讨论对有关解的讨论”。活动三：解方程，找出问题的答案活动三：解方程，找出问题
14、的答案YOUR ITE HERELOGO解解 题题 过过 程程 探究3 要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 解：根据题意 ，设正中央的长方形两边分别为9xcm，7xcm，可得方程 解得 显然 不合题意，舍去 当 时，上下边衬的宽为 左右边衬的宽为 答：上下边衬的宽为1.8cm，左右边衬的宽为1.4cm。 增强学生优化解题增强学生优化解题的意识。的意识。 YOUR ITE HERELOGO解解 题题 过过
15、程程 探究3 要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 解：根据题意 。设中央长方形的长和宽分别是 cm和 cm，则上下边衬宽是 cm，左右边衬宽是 cm。设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm.可得方程 解得 当 时，上下边衬的宽为 左右边衬的宽为 当 时，上下边衬的为 ，显然超出了封面范围，不合题意，舍去。 答：上下边衬的宽为1.8cm，左右边衬的宽为1.4cm。1 1、学会挖掘隐含、学会挖掘隐含的
16、数量关系的数量关系2 2、注意根据实际、注意根据实际情况考虑根的取情况考虑根的取舍舍 YOUR ITE HERELOGO解解 题题 过过 程程 总结总结 解决此类与图形面积有关的实际问题，首先选择适当的线段设解决此类与图形面积有关的实际问题，首先选择适当的线段设元，然后表示出图形中各部分的面积，根据各部分面积之间的数元，然后表示出图形中各部分的面积，根据各部分面积之间的数量关系列方程。量关系列方程。探究3 要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周
17、边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ YOUR ITE HERELOGO说题提纲说题提纲一、审一、审 题题 分分 析析二、解二、解 题题 过过 程程三、变三、变 式式 巩巩 固固四、总四、总 结结 反反 思思 YOUR ITE HERELOGO 变变 式式 巩巩 固固 变式一：变式一：数量关系改变数量关系改变要为一幅长要为一幅长29cm29cm，宽，宽22cm22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）？是多少
18、厘米（结果保留小数点后一位）？（新人教版九上习题（新人教版九上习题22.3综合运用）综合运用）2229设相框的边宽为设相框的边宽为xcmxcm22+2x29+2x 相同点：图形相同；等量关系相同；相同点：图形相同；等量关系相同；解题方法相同解题方法相同 不同点：原题已知大长方形的长与宽，不同点：原题已知大长方形的长与宽，此题知道的是小长方形的长与宽；此题的此题知道的是小长方形的长与宽；此题的边衬全部等宽。边衬全部等宽。YOUR ITE HERELOGO 变变 式式 巩巩 固固 变式二：变式二：图形改变图形改变如图，要设计一幅宽如图，要设计一幅宽20cm20cm，长，长30cm30cm的图案，其
19、中有两横两竖的彩条，的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为横、竖彩条的宽度比为3:23:2，如果要使彩条所占面积是图案的四分，如果要使彩条所占面积是图案的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？（新人教（新人教版九上习题版九上习题22.3拓广探索）拓广探索）相同点：数量条件相同；等量关系相同相同点：数量条件相同；等量关系相同不同点：图形不同不同点：图形不同3x3x2x2x设横、竖彩条的宽度分别为设横、竖彩条的宽度分别为3xcm3xcm和和2xcm2xcm。 YOUR ITE HERELOGO 变变 式式 巩巩 固固
20、 3x3x2x2x222922+2x29+2x21277x9x 设计意图设计意图 ：1 1、进一步熟练掌握用面积关系列一元二次方、进一步熟练掌握用面积关系列一元二次方程解应用题；程解应用题； 2 2、加强学生对文字信息与图形信息的理解与、加强学生对文字信息与图形信息的理解与分析。分析。 数量关系改变数量关系改变图形改变图形改变两个变式与原题相同，都是通过两个矩形的面积关系列出方程。两个变式与原题相同，都是通过两个矩形的面积关系列出方程。YOUR ITE HERELOGO说题提纲说题提纲一、审一、审 题题 分分 析析二、解二、解 题题 过过 程程三、变三、变 式式 巩巩 固固四、总四、总 结结
21、反反 思思 YOUR ITE HERELOGO总总 结结 反反 思思 此题涉及的数量关系很多，在此主要讨论利用面积间的数量关此题涉及的数量关系很多，在此主要讨论利用面积间的数量关系列一元二次方程解题。其实在学生学习相似后，还可以利用相似系列一元二次方程解题。其实在学生学习相似后，还可以利用相似比列方程解题。比列方程解题。 此题的解法多种，而课本选择的恰恰是比较复杂的一种，其设此题的解法多种，而课本选择的恰恰是比较复杂的一种，其设元用到的数量关系不是题目直接给出的。为什么课本会选择这样的元用到的数量关系不是题目直接给出的。为什么课本会选择这样的解题方法呢？这就需要我们在备课时认真的思考。我想，这
22、里边有解题方法呢？这就需要我们在备课时认真的思考。我想，这里边有两个原因。一是引导学生学会挖掘题目的隐含条件；二是此法的答两个原因。一是引导学生学会挖掘题目的隐含条件；二是此法的答案出现的是两个正解，引起学生对解的取舍的关注。案出现的是两个正解，引起学生对解的取舍的关注。 列方程解决实际问题最重要的是能从实际问题中抽象出数量关列方程解决实际问题最重要的是能从实际问题中抽象出数量关系，构建数学模型，而这恰恰是学生的弱点。新课程标准要求培养系，构建数学模型，而这恰恰是学生的弱点。新课程标准要求培养学生应用数学的意识与能力，作为数学教师，我们要引导学生应用学生应用数学的意识与能力，作为数学教师，我们要引导学生应用所学的数学知识解决生活中的问题，让学生充分体会所学的数学知识解决生活中的问题，让学生充分体会“数学来源于数学来源于生活，又服务于生活生活，又服务于生活”。 YOUR ITE HERELOGO总总 结结 反反 思思
