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1、 注意：亦可利用矩阵的初等列变换求解逆矩阵.事实上：因为所以 2 2、利用矩阵的初等行变求、利用矩阵的初等行变求解矩阵方程解矩阵方程. .l事实上，对于若A可逆，则有对应于：即例例3. 设 AX = B , 求 X . 其中解解 若可逆，则所以同理亦可求解矩阵方程若可逆，则有即例例4. 设A的伴随矩阵且有求 B.解解: 在两边左乘右乘 A ，得即因为而从而有（*）故（*）式可改写为即所以 第三章 小 结矩阵的初等变换与线性方程组 矩 阵 的 初 等换初 等 方 阵矩 阵 的 秩线 性 方 程 组 矩 阵 的 初 等 变 换概 念1.对换矩阵的i, j两行（列）.2.用k0乘矩阵的第i行（列）.
2、3.把某i行（列）的k倍加到另一行（列）的对应元素上去.性 质1.初等变换不改变矩阵的秩.2.对A经过有限次初等变换得到B，则A等价B.用 途求逆， 求矩阵A的秩、最简型、标准形. 初 等 方 阵性 质初等方阵都是可逆矩阵，其逆仍然是同种的初等矩阵.对Amn矩阵实施一次行初等变换，相当于对A左乘一个相应的m阶初等方阵；对A实施一次列初等变换，相当于对A右乘一个相应的n阶初等方阵.任何可逆矩阵都可以表为若干个初等方阵的乘积.概 念对单位矩阵实施一次初等变换而得到的矩阵称为初等方阵.三种初等变换对应三种初等方阵.矩 阵 的 秩 概 念k阶子式.秩：矩阵非零子式的最高阶数. 性 质零矩阵的秩为零.R
3、(A)=R(AT)若B可逆，则R(AB)=R(A).R(A+B) R(A)+R(B)R(AB) minR(A), R(B)R(AB) R(A)+R(B)-n若AB=0, 则R(A)+R(B) n线 性 方 程 组 有非零解 R(A)n.求 解1.化系数矩阵为最简形.2.找等价的方程组.3.写通解. 有解 R(A)=R(B).求 解1.把增广矩阵B化为最简形.2. 找等价的方程组.3.写通解. Ax=0 解 的 结 构Ax = 0 有唯一零解 R(A) = r = n.Ax = 0 有无穷多个非零解 R(A) = r n.其通解可表为：为方程组的基础解系.其中Ax=b 解 的 结 构Ax=b无解 R(A) R(B) Ax=b有解 R(A) =R(B) = r1）当 r = n 时，方程组有唯一解.2）当 r n 时，方程组有无穷多解.且其通解可表为：其中为方程组对应的导出组的基础解系.为方程组的一个特解.作业：l94页 11（2） 12（1）（2）
