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1、第九节 第二二章 一、实例分析一、实例分析二、导数的概念二、导数的概念四、导数的几何意义四、导数的几何意义五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系三、利用定义求导数举例三、利用定义求导数举例导数的概念 一、导数的概念一、导数的概念1. 定义定义2.1 设函数设函数 y = f (x) 在在 x0 的某邻域的某邻域 U(x0)内内有定义有定义.若若(1)存在存在, 则称函数则称函数在点在点 x0 处处可导可导, 并称此极限并称此极限值为值为 y = f (x)在在点点 x0 处的处的导数，导数，记作记作也可记作也可记作:注注 1 若极限若极限(1)不存在，不存在，此时，导数不存在；此时，导数不存
2、在；曲线上对应点有垂直于曲线上对应点有垂直于x 轴的切线轴的切线.则称则称 f (x)在点在点 x0 处处不可导不可导. 特别地，特别地，在点在点 x0 处的导数为处的导数为无穷大无穷大 .2导数的其它形式导数的其它形式3例例1(1)解解(2)解解2. 单侧导数单侧导数在点在点的某个的某个右右 邻域内有定义邻域内有定义,(左左)设函数设函数若极限若极限 则称此极限为则称此极限为存在存在,在在点点 x0 处的处的右导数右导数.(左左)3. 可导的充要条件可导的充要条件定理定理 证证因为因为 定理成立定理成立.解解例例24. 区间上可导区间上可导若函数若函数 f (x) 在开区间在开区间 I 内每
3、点都可导内每点都可导, 则称则称函数函数 f (x)在在 I 内可导内可导. 此时，对于任此时，对于任 一一 x I ,都对应着都对应着 f (x)的的 一个确定的导数值，一个确定的导数值， 所构成的所构成的新函数称为新函数称为导函数导函数.记作记作若若 f (x) 在开区间在开区间 (a, b)内可导，且内可导，且及及都存在，则称都存在，则称 f (x) 在闭区间在闭区间a, b上可导上可导.注注一般地，一般地，如：如：xyO三、利用定义求导数举例三、利用定义求导数举例(C 为常数为常数) 的导数的导数. 解解即即例例3 求函数求函数步骤步骤:例例4 求函数求函数解解注注一般地，对幂函数一般
4、地，对幂函数( 为常数为常数) （以后将证明）（以后将证明）例如，例如，例例5 求函数求函数的导数的导数. 解解则则即即类似可证得类似可证得解解则则 当当 h 0 时时,例例6例例7 求函数求函数的导数的导数. 解解即即四、可导与连续的关系四、可导与连续的关系定理定理 证证 设设在点在点 x 0处可导处可导, 即即其中其中从而从而故故可导可导连续连续例例9解解xyO注注1 问：对于问：对于例例9下面推导是否正确？为什么？下面推导是否正确？为什么？答：答： 不正确不正确.错误原因：错误原因：2 讨论分段函数在分段点的可导之讨论分段函数在分段点的可导之步骤：步骤：(1) 先查分段点处的连续性先查分
5、段点处的连续性. 若不连续，必不可导若不连续，必不可导.(2) 若在分段点处连续，则需从若在分段点处连续，则需从导数定义导数定义出发，讨出发，讨 论分段点处的可导性论分段点处的可导性.例例10解解例例11解解内容小结内容小结1. 导数的实质导数的实质:3. 导数的几何意义导数的几何意义:4. 可导必连续可导必连续, 但连续不一定可导但连续不一定可导;5. 已学求导公式已学求导公式 :6. 判断可导性判断可导性不连续不连续, 一定不可导一定不可导.直接用导数定义直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.2. 增量之比的极限增量之比的极限;切线的斜率切线的斜率;？思考题思考
6、题1.解解 ()下述方法是否正确？下述方法是否正确？反例反例见见例例2:()答：答：不一定不一定.反例反例见见例例2.2.3. 函数函数 f (x) 在某点在某点 x0 处的导数处的导数 f (x)区别区别:是函数是函数 ,是数值是数值;联系联系:注意注意:有什么区别与联系有什么区别与联系 ?？与导函数与导函数若若时时, 恒有恒有问问是否在点是否在点处可导处可导?解解由题设由题设由夹逼准则由夹逼准则故故在点在点处可导处可导, 且且4.备用题备用题例例1-1解解解解 因为因为设设存在存在, 且且求求所以所以例例1-2例例1-3解解例例8-1 问曲线问曲线上哪一点处的切线与直线上哪一点处的切线与直
7、线平行平行 ? 写出其切线方程写出其切线方程.解解令令得得对应对应平行平行.即即其方程分别为其方程分别为例例9-1解解不存在不存在例例9-2解解铅直渐近线铅直渐近线例例9-3解解解解例例9-4解解例例10-1分段点的导数用定义求分段点的导数用定义求例例10-2 设设, 问问 a 取何值时取何值时,处处存在处处存在 , 并求出并求出解解故故时时从而从而在在都存在都存在, 该函数在该函数在及及都可导，都可导，在在x = 0处，处，在在 处连续处连续, 且且存在，证明存在，证明:在在处可导处可导.证证 因为因为存在，存在， 故有故有又又在在处连续处连续,所以所以即即在在处可导处可导.例例11-1即即
