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1、立体几何-空间角 【教学目标【教学目标】掌握线线角与线面角、二面角及其掌握线线角与线面角、二面角及其平面角的概念，能灵活作出二面角平面角的概念，能灵活作出二面角的平面角，并能求出大小的平面角，并能求出大小要点疑点考点课 前 热 身能力思维方法延伸拓展误 解 分 析第课时 线线角与线面角要点要点疑点疑点考点考点1. 线线角线线角(2)范围：范围：(1)定义：设定义：设a、b是异面直线，过空间任一点是异面直线，过空间任一点O引引 ，则则 所所成成的的锐锐角角(或或直直角角)，叫叫做做异异面直线面直线a、b所成的角所成的角.2. 线面角线面角(3)范围：范围：(1)定定义义：平平面面的的一一条条斜斜
2、线线和和它它在在平平面面上上的的射射影影所所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角(2)若直线若直线l 平面平面，则，则 l 与与所成角为直角所成角为直角 若若直直线线l平平面面，或或直直线线l平平面面，则则l与与所所成角为成角为0(4) 射射影影定定理理：从从平平面面外外一一点点向向这这个个平平面面所所引引的的垂线段和斜线段中：垂线段和斜线段中：射射影影相相等等的的两两条条斜斜线线段段相相等等，射射影影较较长长的的斜斜线线段也较长；段也较长；相相等等的的斜斜线线段段的的射射影影相相等等，较较长长的的斜斜线线段段的的射射影也较长；影也较长；垂线段比任何一条
3、斜线段都短垂线段比任何一条斜线段都短(5)最最小小角角定定理理：斜斜线线和和平平面面所所成成的的角角，是是这这条条斜斜线线和和平平面面内内过过斜斜足足的的直直线线所所成成的的一一切切角角中中的的最最小小的角的角.返回返回2. 相交成相交成90的两条直线与一个平面所成的角分别的两条直线与一个平面所成的角分别是是30与与45，则这两条直线在该平面内的射影所成，则这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为角的正弦值为( )(A) (B) (C) (D) 1. 平面平面的斜线与的斜线与所成的角为所成的角为30，则此斜线和，则此斜线和内内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值是所有不过斜足的直线中所成的角
4、的最大值是( )(A)30 (B)60 (C)90 (D)150课课 前前 热热 身身CC3.如如图图，正正方方形形ABCD所所在在平平面面与与正正方方形形ABEF所所在在的的平平面面成成60的的二二面面角角，则则异异面面直直线线AD与与BF所所成角的余弦值是成角的余弦值是_.4.异异面面直直线线a、b成成80角角，P为为a、b外外一一定定点点，若若过过P有有且且仅仅有有2条条直直线线与与a、b所所成成角角都都为为，则则的的范范围是围是( )(A)(B)(C)(D)B返回返回A5.如如图图，ABC-A1B1C1是是直直三三棱棱柱柱，BCA=90，点点D1、F1分别是分别是A1B1、A1C1的中
5、点，若的中点，若BC=CA=CC1，则，则BD1与与AF1所成角的余弦值是所成角的余弦值是( )(A)(B)(C)(D)能力思维方法1. 如如图图所所示示，ABCD是是一一个个正正四四面面体体，E、F分分别别为为BC和和AD的中点的中点.求：求：(1)AE与与CF所成的角；所成的角；(2)CF与平面与平面BCD所成的角所成的角.【解解题题回回顾顾】本本题题解解法法是是求求异异面面直直线线所所成成角角常常采采用用的的“平平移移转转化化法法”：把把异异面面直直线线转转化化为为求求两两相相交交直直线线所所成成的的角角，需需要要通通过过引引平平行行直直线线作作出出平平面面图图形，化归为平面几何问题来解
6、决形，化归为平面几何问题来解决.2.如图，在正方体如图，在正方体AC1中，中，(1)求求BC1与平面与平面ACC1A1所成的角；所成的角；(2)求求A1B1与平面与平面A1C1B所成的角所成的角.【解解题题回回顾顾】“线线线线角角抓抓平平移移，线线面面角角定定射射影影”.也也就就是是说说要要求求直直线线与与平平面面所所成成的的角角，关关键键是是找找到到直直线线在在此此平平面面上上的的射射影影，为为此此，必必须须在在这这条条直直线线上上的的某某一一点点处处作作一一条条(或或找找一一条条)平平面面的的垂垂线线，本本题题中中BO就就是是平平面面的的垂垂线线，垂垂足足H的的位位置置也也必必须须利用图形
7、的性质来确定利用图形的性质来确定.3.如图，长方体如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AB=BC=2，AA1=1，E、H分别是分别是A1B1和和BB1的中点的中点.求：求：(1)EH与与AD1所成的角；所成的角；(2)AC1与与B1C所成的角所成的角.【解解题题回回顾顾】(2)中中为为了了找找到到异异面面直直线线AC1与与B1C所所成成的的角角，需需将将AC1平平移移出出长长方方体体外外，实实际际上上是是在在原原长长方方体体外外，再再拼拼接接一一个个完完全全相相同同的的长长方方体体，这是立体几何中常见的方法之一这是立体几何中常见的方法之一.4. 在在120的二面角的二面角-l-的两个面
8、的两个面、内分别有内分别有A、B两点，这两点到棱的距离分别为两点，这两点到棱的距离分别为2和和4，AB=10，求：，求：(1)AB与与l 所成的角；所成的角；(2)AB与平面与平面所成的角所成的角.返回返回【解题回顾】本例是综合题，解题过程常常是作【解题回顾】本例是综合题，解题过程常常是作图图(包括添辅助线或辅助面包括添辅助线或辅助面)、论证、计算三个阶、论证、计算三个阶段，这样就综合考查了空间想象能力、逻辑推理段，这样就综合考查了空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力能力和运算能力.延伸拓展5.在在棱棱长长为为a的的正正方方体体ABCDABCD中中，E、F分别是分别是BC、AD的中点的中点(1
9、)求证：四边形求证：四边形BEDF是菱形；是菱形；(2)求直线求直线AC与与DE所成的角；所成的角；(3)求直线求直线AD与平面与平面BEDF所成的角所成的角.【解题回顾】对于第【解题回顾】对于第(1)小题，若仅由小题，若仅由BE=ED=DF=FB就就断断定定BEDF是是菱菱形形，那那是是不不对对的的，因因存存在在四四边边相相等等的的空空间间四四边边形形，所所以以必必须须证证B、E、D、F四四点点共共面面. 第第(3)小小题题应应用用了了课课本本一一道道习习题题的的结结论论，才证明了才证明了AD在平面在平面BEDF内的射影在内的射影在BD上上返回返回误解分析返回返回2.凡凡立立体体几几何何求求
10、角角或或距距离离的的解解答答题题，一一定定要要注注意意“作、证、指、求作、证、指、求”四个环节缺一不可四个环节缺一不可.1. 求异面直线所成的角，要注意角的范围是求异面直线所成的角，要注意角的范围是 ，如能力，如能力思维思维方法方法3，平移后得，平移后得 ，计，计算得算得 ，不能说两异面直线成角，不能说两异面直线成角为为 ，而应为，而应为 要点疑点考点课 前 热 身能力思维方法延伸拓展误 解 分 析第课时 二面角(一)要点要点疑点疑点考点考点1. 1. 二面角的定义：二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫二面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫二面角，其大小通过二面角的
11、平面角来度量角，其大小通过二面角的平面角来度量.2.2. 二面角的平面角二面角的平面角：(1)定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角叫做二面角的平面角.(2)范围：范围： 0， 3.3.二面角的平面角的作法：二面角的平面角的作法：(1)定义法定义法(2)三垂线定理法三垂线定理法(3)作棱的垂面法作棱的垂面法返回返回课课 前前 热热 身身1.下列命题中：下列命题中：两个相交平面组成的图形叫做二面角；两个相交平面组成的图形叫做二面角；异异面
12、面直直线线a、b分分别别和和一一个个二二面面角角的的两两个个面面垂垂直直，则则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二二面面角角的的平平面面角角是是从从棱棱上上一一点点出出发发，分分别别在在两两个个面面内作射线所成角的最小角；内作射线所成角的最小角；正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角.其中，正确命题的序号是其中，正确命题的序号是_.、2.如如图图，正正方方体体ABCDA1B1C1D1中中，二二面面角角B1-AA1-C1的的大大小小为为_，二二面面角角B-AA1-D的的大大小小为为_，二二面角面
13、角C1-BD-C的正切值是的正切值是_.45903. 在在二二面面角角-l-的的一一个个平平面面内内有有一一条条直直线线AB，它它与与棱棱 l 所所成成的的角角为为45，与与平平面面所所成成的的角角为为30，则则这个二面角的大小是这个二面角的大小是_.45或或1354.三三棱棱锥锥ABCD中中，AB=AC=BC=CD=AD=a，要要使使三三棱棱锥锥ABCD的的体体积积最最大大，则则二二面面角角B-AC-D的的大大小小是是 （ ）（A） （B）（C）（D）AA5. 在在二二面面角角-a-内内，过过a作作一一个个半半平平面面，使使二二面面角角-a-=45， 二二 面面 角角 -a-=30， 则则
14、内内 的的 任任 意意 一一点点P到平面到平面与平面与平面的距离之比为的距离之比为( )(A) (B)(C) (D)返回返回能力思维方法【解解题题回回顾顾】本本题题是是1990年年全全国国高高考考题题，(1)的的证证明明关关系系较较复复杂杂，需需仔仔细细分分析析。(2)的的平平面面角角就就是是CDE，很很多考生没有发现，却去人为作角，导致混乱多考生没有发现，却去人为作角，导致混乱.1.在在三三棱棱锥锥SABC中中，SA平平面面ABC，ABBC，DE垂直平分垂直平分SC ，且分别交，且分别交AC、SC于于D、E，又，又 SA=AB=a，BC=2a，(1)求证：求证：SC平面平面BDE；(2)求平
15、面求平面BDE与平面与平面BDC所成的二面角大小所成的二面角大小.2.已知斜三棱柱已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，中，BCA=90，AC=BC，A1在底面在底面ABC的射影恰为的射影恰为AC的中点的中点M. 又知又知AA1与底面与底面ABC所成的角为所成的角为60.(1)求证：求证：BC平面平面AA1C1C；(2)求二面角求二面角B-AA1-C的大小的大小.【解解题题回回顾顾】先先由由第第(1)小小题题的的结结论论易易知知BCAA1，再利用作出棱再利用作出棱AA1的垂面的垂面BNC来确定平面角来确定平面角BNC.将将题题设设中中“AA1与与底底面面ABC所所成成的的角角为为60”改改为为“
16、BA1AC1 ” 仍仍可可证证得得三三角角形形AA1C为为正正三三角角形形，所所求求二面角仍为二面角仍为 .本题的解答也可利用三垂线定理来推理本题的解答也可利用三垂线定理来推理.3.如图，正三棱柱如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为的底面边长为a，侧棱，侧棱长为长为 ，若经过对角线，若经过对角线AB1且与对角线且与对角线BC1平行的平平行的平面交上底面一边面交上底面一边A1C1于点于点D.(1)确定点确定点D的位置，并证明的位置，并证明你的结论；你的结论；(2)求二面角求二面角A1-AB1-D的大小的大小.【解解题题回回顾顾】第第(2)题题中中二二面面角角的的放放置置属属于于非非常常规
17、规位位置置的的图图形形(同同例例(1)的的变变题题)，看看起起来来有有些些费费劲劲，但但是是一一旦旦将将图图形形的的空空间间位位置置关关系系看看明明白白，即即可可发发现现解解决决此此种种问问题的基本方法仍然与常规位置时相同题的基本方法仍然与常规位置时相同.返回返回延伸拓展4.如如图图，已已知知A1B1C1ABC是是正正三三棱棱柱柱，D是是AC的的中中点点.(1)证明证明AB1平面平面DBC1.(2)假假设设AB1BC1，求求以以BC1为为棱棱，DBC1与与CBC1为为面面的二面角的二面角的度数的度数.【解解题题回回顾顾】本本题题为为1994年年全全国国高高考考理理科科试试题题，图图中中的的正正
18、三三棱棱柱柱放放置置的的位位置置和和一一般般放放置置的的位位置置不不同同.这这是是高高考考题题中中常常出出现现的的现现象象，目目的的是是考考查查各各种种位位置置的的正正三三棱棱柱性质，这一点应引起读者注意柱性质，这一点应引起读者注意.返回返回误解分析返回返回1. 二二面面角角是是立立体体几几何何的的重重点点、热热点点、难难点点，求求二二面面角角的的大大小小方方法法多多，技技巧巧性性强强但但一一般般先先想想定定义义法法，再再想想三三垂垂线线定定理理法法，如如课课前前热热身身4，及及能能力力思思维维方方法法1中中，如果盲目作垂线，则会干扰思维如果盲目作垂线，则会干扰思维2. 实实施施解解题题过过程
19、程仍仍要要注注意意“作作、证证、指指、求求”四四环环节节，计计算算一一般般是是放放在在三三角角形形中中，因因此此，“化化归归”思思想想很很重重要要.要点疑点考点课 前 热 身能力思维方法延伸拓展误解分析第课时 二面角(二)要点要点疑点疑点考点考点1.1.熟练掌握求二面角大小的基本方法：熟练掌握求二面角大小的基本方法：(1)先作平面角，再求其大小；先作平面角，再求其大小；(3)直接用公式直接用公式cos=S射射/S原原 2.2.掌握下列两类题型的解法：掌握下列两类题型的解法：(1)折叠问题折叠问题将平面图形翻折成空间图形将平面图形翻折成空间图形.(2)“无棱无棱”二面角二面角在已知图形中未给出二
20、面角在已知图形中未给出二面角的棱的棱.返回返回课课 前前 热热 身身1. 二面角二面角-AB-的平面角是锐角，的平面角是锐角，C是平面是平面内的内的点点(不在棱不在棱AB上上)，D是是C在平面在平面上的射影，上的射影，E是棱是棱AB上满足上满足CEB为锐角的任意一点，则为锐角的任意一点，则( )(A)CEBDEB(B)CEB=DEB(C)CEBDEB(D)CEB与与DEB的大小关系不能确定的大小关系不能确定A2. 直直线线AB与与直直二二面面角角-l-的的两两个个半半平平面面分分别别交交于于A、B两两点点，且且A、B l. 如如果果直直线线AB与与、所所成成的的角角分别是分别是1、2，则，则1
21、+2的取值范围是的取值范围是( )(A) (B)(C)(D)D3. 在长、宽、高分别为在长、宽、高分别为1、1、2的长方体的长方体ABCDA1B1C1D1中，截面中，截面BA1C1与底面与底面ABCD所成角的余弦值是所成角的余弦值是_.4. 把把边边长长为为a的的正正三三角角形形ABC沿沿着着过过重重心心G且且与与BC平平行的直线折成二面角，此时行的直线折成二面角，此时A点变为点变为 ，当，当时，则此二面角的大小为时，则此二面角的大小为_.arccos(1/3)5.已已知知正正方方形形ABCD中中，AC、BD相相交交于于O点点，若若将将正正方方形形ABCD沿沿对对角角线线BD折折成成60的的二
22、二面面角角后后，给给出出下下面面4个结论：个结论：ACBD；ADCO；AOC为正三角形；为正三角形；过过B点点作作直直线线l平平面面BCD，则则直直线线l平平面面AOC其其中正确命题的序号是中正确命题的序号是_返回返回能力思维方法1.平平面面四四边边形形ABCD中中，AB=BC=CD=a，B=90，DCB=135，沿对角线，沿对角线AC将四边形折成直二面角将四边形折成直二面角.证：证：(1)AB面面BCD；(2)求面求面ABD与面与面ACD所成的角所成的角.【解解题题回回顾顾】准准确确画画出出折折叠叠后后的的图图形形，弄弄清清有有关关点点、线线之之间间的的位位置置关关系系，便便可可知知这这是是
23、一一个个常常见见空空间间图图形形(四个面都是直角三角形的四面体四个面都是直角三角形的四面体).2.在直角梯形在直角梯形P1DCB中，中，P1DCB，CDP1D，P1D=6，BC=3，DC=3，A是是P1D的的中中点点. 沿沿AB把把平平面面P1AB折折起起到到平平面面PAB的的位位置置，使使二二面面角角P-CD-B成成45，设设E、F分别为分别为AB、PD的中点的中点.(1)求证：求证：AF平面平面PEC；(2)求二面角求二面角P-BC-A的大小；的大小；【解题回顾】找二面角的平面角时不要盲目去作，而【解题回顾】找二面角的平面角时不要盲目去作，而应首先由题设去分析，题目中是否已有应首先由题设去
24、分析，题目中是否已有.3.正正方方体体ABCDA1B1C1D1中中，E是是BC的的中中点点，求求平平面面B1D1E和平面和平面ABCD所成的二面角的正弦值所成的二面角的正弦值.【解题回顾】解法一利用公式【解题回顾】解法一利用公式 . 思路简单明思路简单明了了，但但计计算算量量较较解解法法二二大大.解解法法二二的的关关键键是是确确定定二二面面角角的的棱棱，再再通通过过三三垂垂线线定定理理作作出出平平面面角角，最最终终解解直直角三角形可求出角三角形可求出.4. 如如图图，在在底底面面是是直直角角梯梯形形的的四四棱棱锥锥SABCD中中，ABC=90，SA面面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12
25、.(1)求四棱锥求四棱锥SABCD的体积；的体积；(2)求面求面SCD与面与面SBA所成的二所成的二面角的正切值面角的正切值.【解解题题回回顾顾】(1)较较易易，(2)因因所所求求二二面面角角无无“棱棱”，故故先先延延长长BA、CD以以确确定定棱棱SE，然然后后证证明明BSC为为平平面面角，本题当然可以用角，本题当然可以用 直接求直接求.返回返回延伸拓展(I)沿沿图图中中虚虚线线将将它它们们折折叠叠起起来来，是是哪哪一一种种特特殊殊几几何何体体?并请画出其直观图，比例尺是并请画出其直观图，比例尺是1/2；(II)需需要要多多少少个个这这样样的的几几何何体体才才能能拼拼成成一一个个棱棱长长为为6
26、cm的的正正方方体体ABCDA1B1C1D1，请请画画出出其其示示意意图图(需需在在示示意图中分别表示出这种几何体意图中分别表示出这种几何体)；5.如图为一几何体的展开图：如图为一几何体的展开图：(III)设设正正方方体体ABCDA1B1C1D1的的棱棱CC1的的中中点点为为E，试试求求：异异面面直直线线EB与与AB1所所成成角角的的余余弦弦值值及及平平面面AB1E与平面与平面ABC所成二面角所成二面角(锐角锐角)的余弦值的余弦值.【解解题题回回顾顾】要要研研究究翻翻折折前前后后的的两两个个图图形形，注注意意弄弄清清以下几点：以下几点：分分别别画画出出翻翻折折前前后后的的平平面面图图形形和和立
27、立体体图图形形，字字母母标标注要一致；注要一致；翻翻折折前前后后几几何何图图形形的的位位置置关关系系及及相相关关量量的的变变与与不不变变要分清；要分清；在在解解决决立立体体图图形形问问题题进进行行计计算算时时，要要尽尽可可能能地地参参照照翻折前的平面图形翻折前的平面图形.返回返回返回返回误解分析1. 在利用公式在利用公式 求二面角的大小时，分子是求二面角的大小时，分子是射射影影的的面面积积，分分母母是是原原来来多多边边形形的的面面积积，不不要要颠颠倒倒.另另外外计计算算面面积积要要准准确确，在在解解答答题题中中运运用用此此公公式式要要加加以以必必要的说明要的说明.2. 解解折折叠叠题题时时，一一定定要要分分清清折折前前与与折折后后的的变变与与不不变变的的量量，有有时时在在折折后后的的立立体体图图中中不不好好计计算算的的量量要要回回到到折折前前图中去计算图中去计算.
