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1、多元函数一元函数 多元函数推广推广主要以二元函数为主，讨论其极限、连续、微分及其应用。在学习方法上多注意多元函数相应概念与方法与一元函数的区别与联系。善于类比善于类比, 区别异同区别异同.（1 1）邻域）邻域一、多元函数的概念空心邻域：空心邻域：（2 2）区域）区域例如，例如，即为开集即为开集 若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P) E = ,则称则称 P 为为 E 的的外点外点 ;外点是否属于外点是否属于E？或或D为连通集。为连通集。记作记作E ;连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域例如，例如，例如，例如， 若点集若点集 E E , 则称则称 E 为为闭集闭集；有界
2、闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，（3）聚点）聚点 内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明：说明：说明：说明： 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合 整个平面整个平面 点集点集 是开集，是开集， 是最大的开集是最大的开集 , 也是最大的闭也是最大的闭集集；但非区域但非区域 .o定理：定理：A Rn是开集是开集Ac是闭集。是闭集。 空
3、集既是开集也是闭集。空集既是开集也是闭集。 又如，又如，（0,0）是否聚点？）是否聚点？D是否闭集？若是否闭集？若D是单点集或有限点集呢？是单点集或有限点集呢？（4 4）n n维空间维空间 n维空间的记号为维空间的记号为说明：说明：说明：说明： n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 n n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为（5 5）二元函数的定义）二元函数的定义类似地可定义三元
4、及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数（6） 二元函数二元函数 的图形的图形（如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.例如例如, 二元函二元函数数定义域为定义域为圆域圆域说明说明: 二元函数二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面的图形一般为空间曲面 .三元函数三元函数 定义域为定义域为图形为图形为空间中的超曲面空间中的超曲面.单位闭球单位闭球例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为例例2 2 求求 的定义域的定义域解解例例3. 设设求求解
5、法解法1 令设设求解法解法2 令令即二、多元函数的极限、连续说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；常用来证明极的方式是任意的；常用来证明极限不存在。限不存在。（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则，夹逼定理等与一元）二元函数的极限运算法则，夹逼定理等与一元函数类似函数类似 例例1. 设设求证：求证：证证:故故总有总有0, 欲使欲使 只要只要 取取例例 求极限求极限 解解其中其中 若当点若当点趋于不同值或有的极限不存在，趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设设 P(x , y) 沿直线沿直线 y = k x 趋于点趋于点 (0, 0)
6、 ,在点在点 (0, 0) 的极限的极限.则可以断定函数极限则可以断定函数极限则有则有k 值不同极限不同值不同极限不同 !在在 (0,0) 点极限不存在点极限不存在 .以不同方式趋于以不同方式趋于不存在不存在 .例例3. 讨论函数讨论函数函数函数例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在例例5. 求解解: 因因而而此函数定义域不包括 x , y 轴则故故小结小结：二元函数求极限的方法二元函数求极限的方法1.化为一元函数（变量代换、运算等化）；化为一元函数（变量代换、运算等化）；2 .夹逼定理、极限运算性质等；夹逼定理、极限运算
7、性质等；3.利用连续性；利用连续性；4.证明极限不存在；证明极限不存在；三、多元函数的连续性定义定义3 3例例5 5 讨论函数讨论函数在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 取取故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.多元初等函数：多元初等函数：称一个变量称一个变量x（或（或y）的基本初）的基本初等函数为二元基本初等函数，将等函数为二元基本初等函数，将二元基本初等二元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的函数叫多元初等函数。的可用一个式子所表示的函数叫多元初等函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其
8、定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域2运算：二元连续函数的和、差、积、商、复合仍是连续函 数。3 二元初等函数的连续性例如例如, 函数在点在点(0 , 0) 极限不存在极限不存在, 又如又如, 函数函数上间断上间断.其它点上连续。其它点上连续。故故 ( 0, 0 )为其间断点为其间断点.其它点连其它点连续。续。在圆周在圆周例例解解4 闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上必取得它的最大值和最小值上必取得它的最大值和最小值 在有界闭区域在有界闭区域D
9、 D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值取得介于这两值之间的任何值（1 1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2 2）介值定理）介值定理综合例综合例1.是否存在？是否存在？解：解：所以极限不存在所以极限不存在. 2. 证明证明在全平面连续在全平面连续.证证:为初等函数为初等函数 , 故连续故连续.又又故函数在全平面连续故函数在全平面连续 .由夹逼准则得由夹逼准则得多元函数极限的概念，求极限方法多元函数极限的概念，求极限方法多元函数连续的概念，二元初等函数连续性多元函数连续的概念，二元初等函数连续性闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）（注意趋近方式的任意性）四、小结多元函数的定义多元函数的定义
