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1、2.1三角形三角形观察观察 观察下图，找一找图中的三角形，并把它们观察下图，找一找图中的三角形，并把它们勾画出来勾画出来. 你还能举出一些实例吗你还能举出一些实例吗？定义：不在同一直线上的三条线段定义：不在同一直线上的三条线段首尾首尾相接所构成相接所构成的图形叫作的图形叫作三角形三角形.三角形可用符号三角形可用符号“”来表示，来表示，如图中的三角形可记作如图中的三角形可记作“ABC”，读，读作作“三角形三角形ABC”. .其中，点其中，点A，B，C叫作叫作ABC的的顶点顶点；A，B，C叫作叫作ABC的的内角内角（简称简称ABC的的角角）；线段线段AB，BC，CA叫作叫作ABC的的边边.通常通常
2、A，B，C的对边的对边BC，AC，AB可分别用可分别用a，b，c来表示来表示.ABCabc 三角形中，有的三边各不相等，有的两边三角形中，有的三边各不相等，有的两边相等，有的三边都相等相等，有的三边都相等. 两条边相等的三角形叫作两条边相等的三角形叫作等腰三角形等腰三角形. 在等腰三角形中，相等的两边叫作在等腰三角形中，相等的两边叫作腰腰， 另外一边另外一边叫作叫作底边底边， 两腰的夹角叫作两腰的夹角叫作顶角顶角， 腰和底边的夹角叫腰和底边的夹角叫作作底角底角.腰腰腰腰底边底边顶顶角角底角底角底角底角 三边都相等的三角形叫作三边都相等的三角形叫作等边三角形等边三角形（或或正三角形正三角形）.
3、. 等边三角形是等边三角形是特殊的等腰三角形特殊的等腰三角形腰和底边相等的等腰和底边相等的等腰三角形腰三角形.如果是任意长度的三根小木棒它们一定能拼成三角形吗？为什么如果是任意长度的三根小木棒它们一定能拼成三角形吗？为什么有的拼不成三角形？试量一量它们的长度，你发现了什么？有的拼不成三角形？试量一量它们的长度，你发现了什么？我们知道，我们知道，“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”，因此在图中，有：因此在图中，有：由此可见，三角形三边之间有如下关系：由此可见，三角形三边之间有如下关系：用三根小木棒看能否拼成一个三角形用三根小木棒看能否拼成一个三角形ABC三角形任意两边之三角形任意两边之和大和
4、大于第三边于第三边三角形任意两边之三角形任意两边之差小差小于第三边于第三边不一定不一定不一定不一定 只要满足较只要满足较小小的的两两条线段之条线段之和大和大于第三条线段，于第三条线段，便可构成三角形便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形若不满足，则不能构成三角形.两短边之和两短边之和大于大于长边长边.两边之差两边之差第三边两边之和（1）5cm，8cm，2cm （2）3,3,4解：解：（1）因为因为5 + 2 = 7 85 + 2 = 743 + 3 = 64，满足两边之和满足两边之和大于第三边，所以能摆成三角形大于第三边，所以能摆成三角形.友情提醒友情提醒：只需比较两较短线段之和与最长线段
5、的大小只需比较两较短线段之和与最长线段的大小（3）因为因为5 + 8= 13=5 + 8= 13=1313，不满足两边之和大于第三边，不满足两边之和大于第三边，所以不能摆成三角形所以不能摆成三角形.（4）最长线段为最长线段为7.5cm7.5cm，因为，因为3.5 + 4.5 =87.53.5 + 4.5 =87.5，满足满足两边之和大于第三边，所以能摆成三角形两边之和大于第三边，所以能摆成三角形.（3）5cm，8cm，13cm （4）3.5,7.5,4.5例例2 2 下面分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗下面分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗? ?判断三条线段能否组成三角形
6、，是否一定要检验判断三条线段能否组成三角形，是否一定要检验三条线段中任何两条的和都大于第三条？根据你三条线段中任何两条的和都大于第三条？根据你刚才解题经验，有没有更简便的判断方法？刚才解题经验，有没有更简便的判断方法？思思 考：考：只要满足较只要满足较小小的两条线段之和的两条线段之和大大于第三条线段，于第三条线段，便可构成三角形便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形若不满足，则不能构成三角形.下列长度的各组线段能否组成一个三角形，并说明理由？下列长度的各组线段能否组成一个三角形，并说明理由？（1）15cm、10cm、7cm (2) 4cm、5cm、10cm (3) 3cm、8cm、5cm
7、(4) 4cm、5cm、6cm练一练练一练4.4.一个等腰三角形的一边长一个等腰三角形的一边长9cm,9cm,另一边长另一边长4cm,4cm,则则它的周长是多少它的周长是多少? ?为什么为什么? ? 提示:既然是等腰三角形既然是等腰三角形, ,那么另一边的长要么是那么另一边的长要么是4, 4, 要么是要么是9cm.9cm. 如果是如果是4cm,4cm,那么那么4 49cm,4 49cm,这样不满足这样不满足三角形的三边关系三角形的三边关系, ,所以另一边的长只能是所以另一边的长只能是9cm,9cm,周长就应该是周长就应该是99499422cm.22cm. 3.3.一个三角形的两边长分别是一个三
8、角形的两边长分别是2cm2cm、5cm,5cm,则第则第三边长三边长X X的取值范围是多少的取值范围是多少? ?分析分析： X X X X应满足大于应满足大于应满足大于应满足大于525252523cm,3cm,3cm,3cm,小于小于小于小于5 2 5 2 5 2 5 2 7cm7cm7cm7cm，所以所以所以所以3 3 3 3X7.X7.X7.X7. 在一个三角形中，任意两边之和与第三边在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度之间有怎样的大小关系的长度之间有怎样的大小关系？为什么为什么？动脑筋动脑筋 在在ABC中，中，BC是连接是连接B，C两点的一条线段，两点的一条线段，由基本事实由基本事
9、实“两点之间线段最短两点之间线段最短”可得可得 AB + AC BC.同理可得同理可得AB + BC AC，AC + BC AB .结论结论三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之和大于第三边.一般地，我们可以得出：一般地，我们可以得出：两短边之和两短边之和大于大于长边长边.做一做做一做 有三根木棒，其长度分别为有三根木棒，其长度分别为2cm，3cm，6cm，它们能否首尾相接构成一个三角形，它们能否首尾相接构成一个三角形？举举例例例例1 如图，如图，D是是ABC的边的边AC上一点，上一点，AD=BD， 试判断试判断AC与与BC的大小的大小.解解 在在BDC 中，中，有有 BD+DC B
10、C（三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之和大于第三边）. .又又 AD = BD，则则 BD+DC = AD+DC = AC，所以所以 AC BC.练习练习1.（1）如图，图中有几个三角形如图，图中有几个三角形？把它们分别把它们分别 表示出来表示出来.答：五个三角形答：五个三角形.（2）如图，在如图，在DBC 中，写出中，写出D 的对边，的对边， BD 边的对角边的对角.答：答：D的对边是的对边是BC， BD边的对角是边的对角是BCD.2. 三根长分别为三根长分别为2cm，5cm，6cm的小木棒能的小木棒能 首尾相接构成一个三角形吗首尾相接构成一个三角形吗？答：答：能能. 从三角形
11、的一个顶点向它的对边所在的直从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的的高线高线，简称三角形的，简称三角形的高高. 如图，如图，AHBC，垂足为点，垂足为点H，则线段，则线段AH是是ABC的的BC边上的高边上的高.如图，试画出图中如图，试画出图中ABC的的BC边上的高边上的高.做一做做一做D 在三角形中，一个角的平分线与这个角的在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的作三角形的角平分线角平分线. 如图，如图，BAD=CAD，则线段，则
12、线段AD是是ABC的一的一条角平分线条角平分线. 在三角形中，连接一个顶点和它的对边中在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的点的线段叫作三角形的中线中线. 如图，如图，BE=EC，则线段，则线段AE是是ABC的的BC边上的中线边上的中线. 任意画一个三角形，画出三边上的中线任意画一个三角形，画出三边上的中线.你发现了什么你发现了什么？做一做做一做EFDEFD 事实上，三角形的三条中线相交于一点事实上，三角形的三条中线相交于一点. 我们把这三条中线的交点叫作三角形的我们把这三条中线的交点叫作三角形的重心重心. 如图，如图，ABC的三条中线的三条中线AD，BE，CF相交于相交于点
13、点G，则点，则点G为为ABC的重心的重心.G举举例例例例2 如图，如图，AD是是ABC的中线，的中线，AE是是ABC的高的高. （1）图中共有几个三角形图中共有几个三角形？请分别列举出来请分别列举出来.解解 （1）图中有图中有6个三角形，个三角形，它们分别是：它们分别是：ABD，ADE，AEC，ABE，ADC，ABC.（2）其中哪些三角形的面积相等其中哪些三角形的面积相等？解解 因为因为AD是是ABC的中线，的中线，所以所以 BD=DC.因为因为AE是是ABC的高，也是的高，也是ABD和和ADC的高，的高，所以所以SABD = SADC .又又练习练习1. 利用三角尺（或直尺）、量角器任意画出
14、一利用三角尺（或直尺）、量角器任意画出一 个三角形，并画出其中一条边上的中线、高以个三角形，并画出其中一条边上的中线、高以 及这条边所对的角的平分线及这条边所对的角的平分线.2. 如图，如图，AD是是ABC的高，的高，DE是是ADB的中线，的中线， BF是是EBD的角平分线，根据已知条件填空：的角平分线，根据已知条件填空：ADC90AEABEBFDBE动脑筋动脑筋 在小学，我们通过对一个三角形进行折叠、在小学，我们通过对一个三角形进行折叠、剪拼等操作剪拼等操作（如图如图），知道三角形的内角和是，知道三角形的内角和是180，你能说出这些方法的原理吗，你能说出这些方法的原理吗？动脑筋动脑筋 在小学
15、，我们通过对一个三角形进行折叠、在小学，我们通过对一个三角形进行折叠、剪拼等操作剪拼等操作（如图如图），知道三角形的内角和是，知道三角形的内角和是180，你能说出这些方法的原理吗，你能说出这些方法的原理吗？ 上述两种操作都是将三角形的三个内角拼上述两种操作都是将三角形的三个内角拼到一起构成一个平角到一起构成一个平角.由此受到启发：由此受到启发：因为直线在平移下的像是与它平行的直线，因为直线在平移下的像是与它平行的直线，如图，将如图，将ABC的边的边BC所在的直线平移，所在的直线平移，使其像经过点使其像经过点A，得到直线，得到直线 .所以所以 .则则 ，所以所以B+BAC+C=180.又又结论结
16、论三角形的内角和等于三角形的内角和等于180.举举例例例例3 在在ABC中，中，A的度数是的度数是B的度数的的度数的3倍，倍， C 比比B 大大15，求，求A，B，C的度数的度数.解解 设设B为为x ，则则A为为( (3x) )，C为为( (x+ 15) )，从而有从而有 3x+x+( (x+15) )=180.解得解得 x=33.所以所以 3x=99 ，x+15 =48.答：答：A，B，C的度数分别的度数分别 为为99，33，48.议一议议一议 一个三角形的三个内角中，最多有几个一个三角形的三个内角中，最多有几个直角直角？最多有几个钝角最多有几个钝角？ 三角形的内角和等于三角形的内角和等于1
17、80，因此最多有一个直，因此最多有一个直角或一个钝角角或一个钝角. 三角形中，三个角都是锐角的三角形叫三角形中，三个角都是锐角的三角形叫锐角锐角三角形三角形， 有一个角是直角的三角形叫有一个角是直角的三角形叫直角三角形直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形钝角三角形.锐角三角形锐角三角形直角三角形直角三角形钝角三角形钝角三角形 直角三角形可用符号直角三角形可用符号“Rt”来表示，例来表示，例如直角三角形如直角三角形ABC可以记作可以记作“RtABC”. 在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边边，直角的对边叫
18、作斜边. 两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形角三角形. 如图，把如图，把ABC的一边的一边BC延长，得到延长，得到ACD. 像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作成的角，叫作三角形的外角三角形的外角. 对外角对外角ACD来说，来说，ACB是与它相邻的内角，是与它相邻的内角，A，B是与它不相邻的内角是与它不相邻的内角.D 探究探究 在图中，外角在图中，外角ACD和与它不相邻的内角和与它不相邻的内角A，B之间有什么大小关系之间有什么大小关系？ 我觉得可以利用我觉得可以利用“三三角形的内角和等于角形的
19、内角和等于180”的结论的结论.因为因为ACD+ACB = 180， A +B +ACB = 180，所以所以ACD - -A - -B = 0（等量减等量，差相等等量减等量，差相等）于是于是ACD =A +B.结论结论 三角形的一个外角等于与它不相邻三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的两个内角的和.练习练习1. 填空：填空： （1）在在ABC中，中，A= 60，B=C， 则则B= ；（2）在在ABC中，中，A- -B= 50， C- -B= 40， 则则B= .60302. 如图，如图，AD是是ABC的角平分线，的角平分线，B= 36， C= 76，求，求DAC的度数的度数.答：答：DAC的度数是的度数是343. 如图，如图，CAD=100，B=30， 求求C 的度数的度数.答：答：C的度数是的度数是70
