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1、一、数列的概念一、数列的概念一、数列的概念一、数列的概念二、数列的极限二、数列的极限二、数列的极限二、数列的极限第一节第一节第一节第一节 数列的极限数列的极限数列的极限数列的极限第二章第二章第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质一、数列的概念一、数列的概念一、数列的概念一、数列的概念定义定义1 按一定顺序排列的一列数： 称为数列，记为 。数列中的每一个数称为数列的项，第 项 称为通项或一般项。数列 也可以理解为定义域为正整数集的函数，从而可以表示为 因此，数列又可以称为整变量函数。由于数列是一种特殊的函数，
2、所以我们下面讨论其单调性和有界性。则称数列 是单调增加的。对于数列 ，若有成立，则称数列 是单调减少的。对于数列 ，若有成立，单调增加或单调减少的数列统称为单调数列。对于数列 ，若存在正数 ，使得对于一切的 都有 成立，则称数列 是有界的，否则称 是无界的。例如数列 是有界的，而 是无界的。例如数列 是单调增加的，数列 是单调减少的。若数列 的项数 无限增大时，它的一般项 无限接近于某个确定的常数 ，则称 是数列 的极限，或称数列 收敛于 ，记为二、数列的极限二、数列的极限二、数列的极限二、数列的极限从上述各个数列可以看到，随着 的逐渐增大，它们有其各自的变化趋势：数列 无限接近于常数0，但数
3、列 则不能。下面给出数列极限的初步定义： 或 （ 当 时）。若这样的常数 不存在，就称数列没有极限或称数列发散。当 无限增大时，如果 无限增大，则该数列极限不存在。此时，为方便起见，记为 。但是，上述数列极限是直观上的观察结果，它没有反映 接近 的程度与 之间的关系，不能满足数学理论上的推导的需要，为此，对数列极限需要给以严格的、精确的定义。定义定义2 设数列 及常数 ，如果对于任意给定的正数 ，总存在一个正整数 ，当 时，不等式 恒成立，则称常数 为数列 的极限，或称数列 收敛于 。例例1 用定义验证 。对于任意给定的正数 ，要使证：证：只要 ，于是取正整数 ，则当 ， 恒成立，从而数列 收
4、敛于 的几何意义如下：在数轴上，对点 的任何一个邻域 ，都存在一个序号 ，使得点列 的第 个点 以后的所有点 都在这个邻域之内，即点列中最多除去前 个点外，都聚集在点 的这个邻域之内，如图所示。上述几何意义表明：一个数列增加或删除有限多项不会影响其敛散性定理定理1（唯一性）（唯一性） 若数列 收敛，则其极限唯一。三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质利用这个定理，可以判断某些数列没有极限。例如，数列 ，一般项 ，当 为奇数时等于1；当 为偶数时等于1，由收敛数列极限的惟一性可以判定该数列一定发散。定理定理2 （有界性）（有界性） 若数列 收敛，则数列 一定 有界。上述定理的逆否命题表明：无界数列一定发散。例如，数列 是发散的，因为它是无界数列；但要注意，数列有界是数列收敛的必要条件，而不是充分条件。例如，数列 是有界的，而 却是发散数列。
