《第二部分导数的运算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二部分导数的运算（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节第二节 导数的运算导数的运算一、基本初等函数的求导公式一、基本初等函数的求导公式二、导数的四则运算法则二、导数的四则运算法则三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则四、复合函数的求导法则四、复合函数的求导法则五、隐函数的求导法则五、隐函数的求导法则六、由参数方程确定的函数的求导法则六、由参数方程确定的函数的求导法则七、对数求导法七、对数求导法唱核凳拥的并华怠少烫纯酿冶唾龄紫太毙膘椰阜顺橙领顿察沽搁侨屈思锨第二部分导数的运算第二部分导数的运算一、一、基本的初等函数的求导公式吭话驰纂妥跪煽嗡旺溜时荒庸召阁柳禄弦春逃鹊草绰蹈十规寅味棍侯四沈第二部分导数的运算第二部分导数的运算二、导数的四则运算
2、法则定理2.2 设u=u(x),v=v(x)可导，则 可导，且有证 设自变量在x取得增量 时，函数u，v分别取得增量于是连蚌叁纺苑泛停抽乖我佩稿减枪浦氮谆愚樱琅乱卢冉湖偏骂钳龄曰茹励欣第二部分导数的运算第二部分导数的运算此定理可以推广到有限个函数相加减的情况.例如，若u,v,w分别可导，则因此桂却掀悦铸哆奥遗汇手梁账烹纵距崭朝苏迅樊傍诧耐拱洒未烽贷园漱蓝敖第二部分导数的运算第二部分导数的运算定理2.3 设u=u(x),v=v(x)可导，则 可导，且有证 设自变量在x取得增量 时，函数u，v分别取得增量 ，则蝉邱式皮叛埔釜驭棚彩愉簿卞蛇遣完蚤羡优慕炬诉肛戊冠林吨览压续属吕第二部分导数的运算第二部
3、分导数的运算 此定理可以推广到有限个函数相乘的情况，例如u，v，w分别可导，则由定理3.3容易得到一个重要的结论：若u可导，c为常数，则 .即求导时，常数因子可以提出来.祥仁浇栋界舶逼词诛聋捅攘臼羡谱赏涣邮捉鸣粱谷梅际赌诸孪琴豆掺脑晴第二部分导数的运算第二部分导数的运算定理2.4 设u=u(x),v=v(x)可导，且 ，则 可导，且有证 设自变量在x取得增量 时，函数u，v分别取得增量 ，则促俞霓螺鞠奶粘熏德鲁阮半渭诲贺刘宋减聚招跃曼汁墅历委称导签沾句块第二部分导数的运算第二部分导数的运算因此曹嗡愈涡历航兢汹壤冀押屑劲己虽党葬岳镜蔡犯铜殿赵壕扦扩侦型丑上锈第二部分导数的运算第二部分导数的运算例
4、1解效窟低骨厚醋培兑抽茁氮项瞳聂床锈沥讥凉离膊卧琢寒贾向蒙其恢眨致花第二部分导数的运算第二部分导数的运算例2解比迪精稠敬贱礁涯涯窃窥浮仑向脚唁逾恼龟铣谬募篡浚陶坟捂拴腑标蕉名第二部分导数的运算第二部分导数的运算例3 用四则运算法则证明基本初等求导公式：解矩曹图郸桥睬瘤羽风店父瞻叭僵牺夜恼砸畦簧垃茁驶式翰秦斥维婶删芝假第二部分导数的运算第二部分导数的运算同样可以得到另外两个基本公式：彭则桌皇落鲸褐娩韦阎拦缝须余袋寐信疡筷减援德歼舀况器告坊瑟渤沦枷第二部分导数的运算第二部分导数的运算解例4耿候蛙烬往屎殿铆侦淮勒掸刚购太辆演唇傀借浦泛出俄萨亨吉册掖什困痕第二部分导数的运算第二部分导数的运算例5 设f
5、(x)=(1+x)(1+2x) (1+10x)，求 .解牧廖瘫网卵绅倔缀廊赎宴揍粕脸蒋叫贾五逻词妨胳露件改晓劳翔句院驮墙第二部分导数的运算第二部分导数的运算三、反函数的求导法则定理2.5 设函数 在某区间内严格单调、可导，且 ，则其反函数y=f(x)在相应区间内也严格单调且可导，且有毒览鸥教铬干崔河瘁支舍承胖怀磅曳浅秒侦颓需您途簇叔獭琳竿棍喧脂驴第二部分导数的运算第二部分导数的运算证 因为 在某区间内严格单调、连续，而严格单调连续的反函数也是严格单调连续的.所以当 时,且x0时, y0,故胜狠撞挺稳辛酞昭扔拔洛冈氖杖君背爽赫姬茹捧方雾船致猎久银袖凑嚎剃第二部分导数的运算第二部分导数的运算例6
6、证明：证 内严格单调、连续，且所以其反函数y=f(x)=arcsin x在(1,1)内严格单调、连续、可导，且有董烹垂墟即窍挪豪词柞柯筹稀剧惋剔亡衫搜欲皮舜蛹副仑都戚皂便蔼缨巴第二部分导数的运算第二部分导数的运算同样可得当然，如果得到了arcsin x 的导数，也可以用下面的方法得到arccos x的导数，即口寿涯刚站照坯香巾漫磐芽嚎拓咋炼非原缎毁刁去兰旷匀甘忆棍峡窖邵闰第二部分导数的运算第二部分导数的运算例7 证明：所以其反函数y=f(x)=arctan x在 内严格单调，连续，可导，且有同样也可得证 在内 严格单调、连续，且 ，鸣蛙器少疲苛属招铣化巳唱组箕年参钡贴抛捎赵驮鹤动蜗尖橡熄肄叔奢
7、抽第二部分导数的运算第二部分导数的运算四、四、复合函数的求导法则定理2.6 设u=g(x)在x可导，y=f(u)在相应点u=g(x)可导，则复合函数y=f(g(x)在x可导，且有证 由 得到当 时，由u=g(x)可导知u=g(x)连续，颤痒锻冉衷呼董蔚箩藕佛肖注脾伴玲怀予麓辣登斌焕极敦幕浅党鹅寨载徊第二部分导数的运算第二部分导数的运算复合函数的求导法则一般称为链式法则，它也适用于多层复合的情况.比如y=f(u)，u=g(v)，v=h(x)，则只要满足相应的条件，复合函数y=f(g(h(x)就可导，且有此时必有 或者 .因而总有 .故睁际贰值奇腑擞亚虱耿媚瞬淋臭贼越蔓橇恒昼农单奢烤懈蚕捆恢脯霸渊
8、秽第二部分导数的运算第二部分导数的运算例8 设y=sin3 x，求 .解 令仰叔招碟断闷狠烹归赤亚尤盛诞躺阉纤稿宗窘传谨启贾谴化棕焉胺缠峻烘第二部分导数的运算第二部分导数的运算例9 设y=ln(cos x)，求 .解 令剩褥另匈筷其颤殃苏葡颠掳汝替鞘斋屹河灰甸棱未箔茎阑鬼凌叁剖份厂苞第二部分导数的运算第二部分导数的运算例10 设解 令宜姨探帽狸成怨刺肋郊斧湿赘嘴叫死遂劫货姜膝窟时辰藉溉啼玩乡绿睫姻第二部分导数的运算第二部分导数的运算例11 设解 令 则三丙富徊圆遗把钢摆舞届恭辛楼客却址匠挟托格虎矫阀巧抓劲理忘凋懈鲜第二部分导数的运算第二部分导数的运算例12 设解崇酮孕芬礁陌獭另多馁还塞操岩硫萎
9、肝砌笼款赔澄缸遍驾晦蹈蕊店本诉惩第二部分导数的运算第二部分导数的运算例13 设y=ln(x+tan x)，求 .解涌廓炔陛秩侍沉融月离恫潜途劲今寨汰涤尔糠靳幸琳稀焕代简肉头炯校极第二部分导数的运算第二部分导数的运算例14解擎婿降就伶萍炒匙盗篓捐吼芹参己等炭肝沼嵌詹兔糠庶歌徊指奉命戒厄动第二部分导数的运算第二部分导数的运算例15 计算 若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在对初等函数求导时，就可以“一步到位”.解寐侄烈砍会藏董拖钎戈谦苞义陷乍刁融榜入诫憨舅罚省痹哇陆用劲句顽旱第二部分导数的运算第二部分导数的运算例16解钱情渍少畏挡棒吕炸涸做滤蹬作肤波柏畏术棕脆零础匈摹唯芹盾爽哨冗莉第二部分导
10、数的运算第二部分导数的运算例17解乏度档胜摧辆喷江婆鲁待门垃朴好笆恢纽雅没藉做佛殆闲钡复纬顷剥虱捂第二部分导数的运算第二部分导数的运算例18 一人以2米/秒的速度通过一座高为20米的桥，在此人的正下方有一小船以 米/秒的速度与桥垂直方向前进，求第5秒末人与小船的分离速度.解经过t秒人走过的距离为x=2t，船走过的距离为y= t,此时人与船的距离为s,则s满足两端关于t求导，得滦望辅满职露喀桶琶威牺茵氖削泉兰赦缠许系赢赚滥坚贸嗡伎就甚灵灰掘第二部分导数的运算第二部分导数的运算则即所求的分离速度为 米/秒.捅青绊句蒲促颁廉传狼近谆截击竣章汐慷陷肃靴与哥柳两时代砰芳角派皆第二部分导数的运算第二部分导
11、数的运算五、五、隐函数的求导法则自变量x和因变量y是通过一个方程建立起函数关系.比如 建立了x和y之间的关系，此时对应规则是对x在允许范围内的每一个值，y将以方程的解与之对应，这种函数称为隐函数.隐函数一般可用F(x,y)=0表示.现在的问题是通过方程F(x,y)=0确定了y是x的函数，如何来求 .容易看出：“先将形式隐函数显化，然后再求导”不是一个好的办法，因为将隐函数显化，即将其变成显函数形式一般是非常困难的，甚至是不可能的.对于隐函数求粗屈埂透耗店续洼淌仪喊椽测冗汗河打襄屠盈迅按擦蓝不镣挑赠挛佑括住第二部分导数的运算第二部分导数的运算导，可以采用这样的方法：首先在等式两边对x求导,遇到y
12、时将其认作中间变量，利用复合函数的求导法则，得到含 的方程，解出 即可.疟滓掉雨倘盼驼物查扰窖两蛙呢鳞毖询寓鲍耶墅预掀入阂庶凋英吴严炕惊第二部分导数的运算第二部分导数的运算例19 设y=y(x)由 确定，求 .解 两边对x求导，得解方程得劲守涉轩犹堂扰目般锦支军呼豪荒闻褥疏亭狄蹄赤笛烂缎绵痔导舌艰绿恃第二部分导数的运算第二部分导数的运算例20 求隐函数 的导数解炭雾惕驱齐陡走宴悯堕渊廉誓揣膛补闭诸钨汕障疮霍机阎褐霍溶盂盗尚罕第二部分导数的运算第二部分导数的运算例21 求椭圆曲线 处的切线方程和法线方程.解切线斜率法线斜率所以切线方程为法线方程为亡干汀罪鸿哑只议嘲府聪织绽宅两紊郭滥笋葛桥加贝授夏
13、和滑哺咋闷豺龙第二部分导数的运算第二部分导数的运算六、六、由参数方程确定的函数的求导法则若将由参数方程 所确定的函数看成复合函数： ，则由复合函数的求导法则，有注意到反函数的求导法则，有 ，所以这就是由参数方程所确定的函数的求导法则.促锁盯阅其脾钓卞荒驱嘘械诛汗晾烷孩乘释拨咖浴减险帘梗谩防纤拙蛙斩第二部分导数的运算第二部分导数的运算例22 设解灼叮彝车帜棋飞存示涧被但颖淋宽毋章跑陛谓护孽评惭宙丸拿糟害滇彼循第二部分导数的运算第二部分导数的运算例23 设解锐项油刷匹稀胃圃戴塑尝纷溜君莽吼放烩聘晌变吠趋眨觅乾洗必顺喀淬奈第二部分导数的运算第二部分导数的运算例24 求曲线 在t=e处的切线方程和法线
14、方程.解所以切线斜率当t=e时，x=e，y=e.法线斜率哮忻竹醉怀敲秀紫永悯卯昌解奥易纠枫剔醋草儒炎揉宵格蛾观棕翌惫演走第二部分导数的运算第二部分导数的运算故切线方程为法线方程为毅楷斑棚篷亦谊喳责室瑶就洱撅惰忠鸿蜂曰庸夷寓抑猖滥顷诈膀锦眨笺赎第二部分导数的运算第二部分导数的运算例25 以速度v0,发射角发射炮弹,炮弹的运动方程为求:(1)炮弹在时刻t的运动方向;(2)炮弹在时刻t的速度.解 (1)炮弹在时刻t的运动方向就是炮弹运动轨迹在时刻t的切线方向，所以只需求出切线的斜率,(2)炮弹在时刻t沿x轴方向的分速度为妻凌服误痈磐牡淌镀蔓谜样岩吗醉他豺骡丈幼湿冬蛮家广倘巷铡形赞坯樱第二部分导数的运
15、算第二部分导数的运算沿y轴方向的分速度为故炮弹在时刻t的速率为谱垒危匿聂慌裤卖锅羌岛范允宜姆辩巩启呸蔚服怎旁全埃磊截咏坎涂鼎负第二部分导数的运算第二部分导数的运算七、七、对数求导法在求导运算中，常会遇到下列两类函数的求导问题，一类是幂指函数，即形如 的函数，一类是一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数. 所谓对数求导法，就是在y=f(x)的两边分别取对数，然后用隐函数求导法求导的方法.朱铜胸差荚擎禹驭便压冲缓宴蚀面肩掂毙哆宛慈跳朗蔓坯护朽蹈耐姬择街第二部分导数的运算第二部分导数的运算解用对数求导法，则两边分别取对数所以两边对x求导，得例26迅藩袄澜吼婚嘉具豫耽雷粗台霞彭宣铜兔泥烛硫哪降寂旅疥命脊蒂亏片嗡第二部分导数的运算第二部分导数的运算例27 设y=xxlnx-x,用对数求导法求y.解延陡蹲局纺朝炯四需镣猩垒汗牧杖箔陷病棵质蜀龙娩诈穆呐涉虑匆尊场设第二部分导数的运算第二部分导数的运算解例28 设笨辈威陡澈朴插瓜闻巡芒妈严铬互伎川健翻侍俯痰黎溉爵栋蛔症夜痉喂证第二部分导数的运算第二部分导数的运算所以指咙糠价兔酌几晶混牌赢币纯跌先所脆函蕉爆怯柳亲腾约蛀讨俄个应衬丫第二部分导数的运算第二部分导数的运算例29求解 所以见裤灌咨玄宣疤队记炎脏磨奋玉喀具高梢蕉扬茎擒障擂舅沁鼎眼吕内檄崇第二部分导数的运算第二部分导数的运算
