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1、第八章 立体几何高考文数高考文数8.3空间点、线、面的位置关系空间点、线、面的位置关系知识清单考点空间点、线、面的位置关系考点空间点、线、面的位置关系1.平面的基本性质2.点、线、面的位置关系(1)空间两条直线的位置关系(2)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.(3)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.(4)两条异面直线所成的角过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线,那么这两条相交直线所成的锐角或直角叫做这两条异面直线所成的角,若记这个角为,则.当两条异面直线所成的角为时,这两条异面直线互相垂直.(5)直线与平面的位置关系拓展延伸利用平移法求
2、异面直线所成角的途径:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线;补形平移.判断空间点、线、面位置关系的方法判断空间点、线、面位置关系的方法在判断空间直线、平面的位置关系问题时,常采用画图法(尤其是画一般长方体和正方体),实物判断法(如墙角等),定理性质证明法等.判断命题真假时应注意命题等价性的转化,从而简化判断过程.例1(2017广东五校联考,14)已知m,n是两条不同的直线,、为两个不同的平面,有下列四个命题:若,m,n,则mn;若m,n,mn,则;若m,n,mn,则;若m,n,则mn.其中所有正确命题的序号是.方法技巧方法1解题导引依据点、线、面位置关系的判定逐项判
3、断得到正确命题的序号结论解析对于,当两个平面互相垂直时,分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直,因此不正确.对于,依据结论“由空间一点向一个二面角的两个半平面(或半平面所在平面)引垂线,这两条垂线的夹角与这个二面角的平面角相等或互补”可知正确.对于,分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行,因此不正确.对于,由n得在平面内必存在直线n1平行于直线n;由m,得m,则mn1;又n1n,因此有mn,正确.综上所述,所有正确命题的序号是.答案方法点拨在解决此类问题时,可借助特殊几何体,如正方体、正三棱锥等来帮助思考.例2(2017河北邯郸调研,5)如图,在三棱锥S-ABC中,G1,G2分别是SAB和S
4、AC的重心,则直线G1G2与BC的位置关系是(B)A.相交B.平行C.异面D.以上都有可能解题导引连SG1交AB于M,连SG2交AC于N,连MN利用重心的性质得M、N分别为AB与AC的中点得G1G2MN,MNBC由公理4得G1G2BC解析连接SG1并延长交AB于M,连接SG2并延长交AC于N,连接MN.由题意知SM为SAB的中线,且SG1=SM,SN为SAC的中线,且SG2=SN,在SMN中,=,G1G2MN.易知MN是ABC的中位线,MNBC,因此可得G1G2BC,即直线G1G2与BC的位置关系是平行.故选B.证明点共线、线共点及点线共面的方法证明点共线、线共点及点线共面的方法1.证明点线共
5、面问题的两种方法:(1)归一法:首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;(2)重合法:将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.2.证明点共线问题的两种方法:(1)先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上.3.证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.方法2求证:(1)E、C、D1、F四点共面;(2)CE、D1F、DA三线共点.例3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA的中点.证明(1)如图,分别连接EF、A1B、D1C.E、F分别是AB、AA1的中点,EFA1B,EF=A1B.又A1D1 BC,四边形A1D1CB是平行四边形.A1B CD1,EFCD1.EF与CD1确定一个平面.E、F、C、D1,故E、C、D1、F四点共面.(2)由(1)知EFCD1,且EF=CD1,四边形CD1FE为梯形,CE与D1F相交,设交点为P(如图所示),PCE,CE面ABCD,P面ABCD,同理,P面A1ADD1.又面A1ADD1面ADCB=AD,PAD,故CE、D1F、DA三线共点.
