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1、2 2. .3 3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-2-知识梳理考点自测1.函数的奇偶性f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x) 原点 第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-3-知识梳理考点自测2.函数的周期性(1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足条件:T0;对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个就叫做f(x)的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(xR)的一个周
2、期,则nT(nZ,且n0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).f(x+T)=f(x) 最小的正数 最小正数 第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-4-知识梳理考点自测1.函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(4)在公共定义域内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.第二章第二章2.3函数的奇
3、偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-5-知识梳理考点自测2.周期性的几个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x(其中a0,且为常数):(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-6-知识梳理考点自测3.对称性的四个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(3)若函数y=f(x+b)是奇
4、函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.(4)若y=f(x)对任意的xR,都有f(a-x)=f(b+x),则f(x)的图象关于直线第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-7-知识梳理考点自测234151.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)函数y=x2在区间(0,+)内是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.()(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,
5、0)中心对称.()(4)如果函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,那么F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.()(5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若在(-,0)内f(x)是减少的,则在(0,+)内f(x)是增加的.()(6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(nZ)是函数f(x)的周期.() 答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)(6)第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-8-知识梳理考点自测23415 答案解析解析关闭 答案解析关闭第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识3.
6、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x(1+x),则当x0时,f(x)的解析式为()A.f(x)=x(1+x)B.f(x)=x(1-x)C.f(x)=-x(1+x)D.f(x)=x(x-1)-9-知识梳理考点自测23415 答案解析解析关闭(方法一)由题意得f(2)=2(1+2)=6.函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(-2)=-6.经验证,仅有f(x)=x(1-x)时,f(-2)=-6.故选B.(方法二)当x0,f(-x)=-x1+(-x).又f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x).-f(x)=-x(1-x),f(x)=x(1-x),故选B. 答案解析关闭B第二章第
7、二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识4. 已知函数f(x)是奇函数,在区间(0,+)内是减函数,且在区间a,b(ab0时,-x0,此时f(x)=-x2+2x+1,f(-x)=x2-2x-1=-f(x);当x0,此时f(x)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x).故对于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-14-考点1考点2考点3考点4第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-
8、15-考点1考点2考点3考点4解题心得解题心得判断函数的奇偶性要注意两点:(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.(2)判断关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.思考判断函数的奇偶性要注意什么? 第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-16-考点1考点2考点3考点4 答案 答案关闭第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-17-考点1考点2考点3考点4例2(1)(2017齐鲁名校模拟)已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x+m,则f(
9、-2)=()(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)f(a),则实数a的取值范围是()A.(-,-1)(2,+) B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-,-2)(1,+)(3)已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)= ,则函数f(x)的解析式为;(4)已知函数f(x)为奇函数,当x0时,f(x)=x2-x,则当x0时,函数f(x)的最大值为.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-18-考点1考点2考点3考点4解析: (1)因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)
10、=20+m=0,解得m=-1,则f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.(2)因为f(x)是奇函数,所以当xf(a),得2-a2a,解得-2a0时,f(x)=x3-8,则x|f(x-2)0=() A.x|-2x2B.x|0x4 C.x|x0或2x4D.x|x2 答案解析解析关闭 答案解析关闭第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-22-考点1考点2考点3考点4例3(1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1x3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 017)等于
11、()A.336 B.337 C.1 678D.2 012(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)= .若当2x3时,f(x)=x,则f(105.5)=.答案: (1)B(2)2.5 第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-23-考点1考点2考点3考点4解析: (1)f(x+6)=f(x),函数f(x)的周期T=6.当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1xf(-3)f(-2) B.f()f(-2)f(-3)C.f()f(-3)f(-2)D.f()f(-2)32,且当x0,+)时,f(x)是增加的,所以f()f(3)f(2).又
12、函数f(x)为R上的偶函数,所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2),故f()f(-3)f(-2).第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-31-考点1考点2考点3考点4(3)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.又对任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3),所以当x=-3时,有f(3)=f(-3)+f(3)=0,所以f(-3)=0,f(3)=0,所以f(x+6)=f(x),周期为6.故f(2 017)=f(1)=2.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-32-考点1考点2考点3考点4思
13、考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性的综合问题的策略有哪些?解题心得解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略:(1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-33-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练4(1)已知
14、f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,若f(1)1, ,则实数a的取值范围为()A.(-1,4)B.(-2,0)C.(-1,0)D.(-1,2)(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且f(x)在区间0,2上是增函数,则()A.f(-25)f(11)f(80)B.f(80)f(11)f(-25)C.f(11)f(80)f(-25)D.f(-25)f(80)f(11)答案: (1)A(2)D 第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-34-考点1考点2考点3考点4解析: (1)f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数,f(5)
15、=f(5-6)=f(-1)=f(1),解得-1a4.(2)因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).因为f(x)在区间0,2上是增加的,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在区间-2,2上是增加的,所以f(-1)f(0)f(1),即f(-25)f(80)f(11).第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力
16、-35-考点1考点2考点3考点41.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个关键点:(1)“定义域关于原点对称”是“函数f(x)为奇函数或偶函数”的必要不充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.2.奇函数、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数进行化简,或应用定义的等价3.函数的奇偶性、对称性、周期性,知二断一.特别注意“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0;偶函数一定有f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-36-考点1考点2考点3考点4第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-37-考点1考点2考点3考点4
