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1、 留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志；留留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志；留数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。一一.孤立奇点及其分类孤立奇点及其分类定义定义1 若若 在在 不解析，但在不解析，但在 的某一去心邻域的某一去心邻域内解析，则称内解析，则称 是是 的的孤立奇点孤立奇点。第第6 6节节 解析函数的孤立奇点解析函数的孤立奇点（1） 为 的可去奇点可去奇点：若 中无负幂项无负幂项根据Laurent级数的形式分类：设 为 的孤立奇点,在 的去心邻域内， 的Laurent 展式为:（3） 为 的本性奇点本性奇点：（2） 为 ( m 级级)极点极点
2、： 负幂项只有负幂项只有m项项 负幂项无穷多项负幂项无穷多项定义定义2 根据 的极 限分类：性质性质1性质性质2例例1 求下列函数的奇点，并指出其类型：解：解：解：解Laurent 展式为展式为:Laurent 展式为展式为:无负幂项有限个负幂项无穷个负幂项二二.留数留数设设 为为 的孤立奇点的孤立奇点,在在 的去心邻的去心邻域域内内 ， 的的Laurent 展式为展式为:留数计算法：留数计算法：证明2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m,也可也可当作级数为当作级数为m 来计算。这是因为表达式来计算。这是因为表达式这不影响证明结果。这不影响证明结果。
3、的系数的系数 中可能有一个或几个为零而已中可能有一个或几个为零而已，解例2 求下列函数的有限奇点并计算留数：无穷远点处的留数无穷远点处的留数例3 求下列函数在无穷远处的留数：解 法法1所以，所以，0为为 的三级极点，且的三级极点，且法2 因为因为0是分子的一级零点，是分母的四级零点是分子的一级零点，是分母的四级零点，所以所以0是是 的三级极点，取的三级极点，取 m=4,由公式由公式 2 得三三.留数定理留数定理定理定理1 设函数设函数 在区域在区域D内除有限个孤立奇点内除有限个孤立奇点外处处解析，外处处解析，L是是D内包围诸奇点的内包围诸奇点的一条逆时针方向简单闭曲线，那么条逆时针方向简单闭曲线，那么由复合闭路定理由复合闭路定理,得得利用这个定理，可将求沿封闭曲线利用这个定理，可将求沿封闭曲线L的积分的积分，转化为求被积函数在转化为求被积函数在L中的各孤立奇点处的留数中的各孤立奇点处的留数。定理定理2 如果函数如果函数 在扩充的复平面内除有限在扩充的复平面内除有限个点总和必等于零点总和必等于零, ）的留数的）的留数的即孤立奇点外解析，那么孤立奇点外解析，那么 在所有各奇点（包括在所有各奇点（包括
