《1.11.2随机变量的定义及条件数学期望》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1.11.2随机变量的定义及条件数学期望（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章第一章 预预 备备 知知 识识1.1随机变量随机变量随机变量的概念随机变量的概念引入随机变量的意义引入随机变量的意义：建立了集合函数与数学分析：建立了集合函数与数学分析中所研究的点函数之间的联系。中所研究的点函数之间的联系。随机变量的概念随机变量的概念定义定义：设 是一样本空间， 是定义在 上的单值实函数，则称X为一个随机变量。称 为随机变量的分布函数。离散型随机变量离散型随机变量设离散型随机变量X，一切可能值为 ，记称 为X的分布列，也称为X的概率函数。连续型随机变量连续型随机变量定义：对于随机变量定义：对于随机变量X，若存在非负函数，若存在非负函数 ，且，且 ，使，使X取值于任意区间
2、的概率取值于任意区间的概率称称X为连续型随机变量。为连续型随机变量。随机向量及其分布随机向量及其分布 定义定义：设设 是一样本空间，是一样本空间， 是定义在这个样本空间上的是定义在这个样本空间上的n个随机变量，称个随机变量，称 为为 上的一个上的一个n维维随机向量。随机向量。 随机向量的联合分布函数随机向量的联合分布函数 设设 是样本空间是样本空间 上的上的n维随机维随机向量。称向量。称n元函数元函数是是n维随机向量维随机向量 的分布函数，也的分布函数，也称为称为n个随机变量个随机变量 的联合分布的联合分布函数。函数。随机变量的独立性随机变量的独立性 定义定义：设 是n个随机变量，若对于任意的
3、n个实数 ，均有则称n个随机变量是相互独立的。随机变量的独立性随机变量的独立性设设 的分布函数分别为的分布函数分别为 ，它们的联合分布函数为它们的联合分布函数为 ，则上式等，则上式等价于价于矩函数矩函数一个随机变量一个随机变量 矩函数矩函数矩函数矩函数两个随机变量两个随机变量 联合矩函数联合矩函数 j+k阶原点距阶原点距 j+k阶中心距阶中心距 矩函数矩函数常用的几种矩函数常用的几种矩函数 一阶原点矩一阶原点矩 描述概率分布的中心或均值描述概率分布的中心或均值 二阶原点矩二阶原点矩 描述平均功率描述平均功率 二阶中心矩二阶中心矩 描述概率分布的离散程度。描述概率分布的离散程度。矩函数矩函数 相
4、关函数相关函数 协方差协方差相关系数相关系数 不相关不相关 描述两个随机变量的线性相关关系描述两个随机变量的线性相关关系柯西柯西-施瓦茨不等式施瓦茨不等式设 ， 则 1.2 条件数学期望条件数学期望定义定义：设：设(X,Y)的联合分布函数为的联合分布函数为F(x, y)，称，称为在为在X=x 的的条件下条件下, ,随机变量随机变量Y的的条件分布函数条件分布函数. . 离散型离散型随机变量随机变量( (X,Y), 在在y=yk条件下条件下X的条件的条件分布函数为分布函数为称为称为条件分布律条件分布律. .连续型连续型(X, Y), ,有有为在条件为在条件X=x 下下, , 随机变量随机变量Y 的
5、的条件密度函数条件密度函数. . 三、条件数学期望三、条件数学期望 1.条件数学期望概念条件数学期望概念 定义定义 设设(X, Y)是二维随机变量是二维随机变量, ,条件分布函数条件分布函数 或或 存在，若存在，若或或则则称为在称为在X=x的的条件下条件下, ,随机变量随机变量X的的条件数学期望条件数学期望. 若若(X, Y)是离散型随机变量是离散型随机变量, ,则则 若若(X, Y)是连续型随机变量是连续型随机变量, ,则则例例1： 设随机变量设随机变量(X, Y)的联合概率密度为的联合概率密度为试求试求E(YX=x).解解在在“X=x”的条件下的条件下,有条件概率密度有条件概率密度一般有一
6、般有 定理定理 设函数设函数g(x)在在R上连续上连续, ,若若 则则随机变量随机变量g(X)在在 “Y=y”条件下的条件数期望为条件下的条件数期望为 定义定义 称称为为“Y=y”的条件下的条件下, ,随机变量随机变量X的的条件方差条件方差. . 为随机变量为随机变量X 相对于条件数学期望相对于条件数学期望 的偏离程度的衡量指标的偏离程度的衡量指标. .一般一般 是实值函数是实值函数,而而随机变量的函数随机变量的函数仍是随机变量仍是随机变量. .有随机变量有随机变量的概率性质的概率性质. .2.条件数学期望性质条件数学期望性质 定理定理: :设设X,Y,Z是随机变量是随机变量, ,g g( (
7、) )和和h h( () )为为R上连上连续函数续函数, ,且各数学期望存在且各数学期望存在. .有有1) ) c是常数是常数; ;证：证：1) ) 对对 , ,2) ) a, b是常数是常数. .自证自证. .3) 如果如果X与与Y相互独立相互独立, ,则则证证: :X与与Y 独立独立, ,自证自证. .3. .全期望公式全期望公式 例例2 ： 常用全数学期望公式常用全数学期望公式 若若Y是离散型随机变量：是离散型随机变量：例例3 设随机变量序列设随机变量序列 独立同分布，独立同分布，随机变量随机变量N, N仅取自然数仅取自然数, E(N)存在，并且存在，并且N与与 相互独立相互独立.随机变
8、量随机变量 且且E(Y)存在。试证明：存在。试证明：证明：证明：因为因为Xk 具有相具有相同分布同分布, ,则则 例例4 设某段时间内到达商场的顾客人数设某段时间内到达商场的顾客人数N服从服从参数为参数为的泊松分布的泊松分布.每位顾客在该商场的消费每位顾客在该商场的消费额额X 服从服从a, b上的均匀分布上的均匀分布.各位顾客之间消费各位顾客之间消费是相互独立的且与是相互独立的且与N 独立独立.求顾客在该商场总的求顾客在该商场总的消费额消费额. 解解 设第设第i 个顾客消费额为个顾客消费额为Xi , 全体顾客在该全体顾客在该商场总消费额为商场总消费额为根据全数学期望公式得根据全数学期望公式得例
9、例5 已知随机变量已知随机变量X服从服从0, a上的均匀分布上的均匀分布,随随机变量机变量Y 服从服从X, a 上的均匀分布上的均匀分布, 试求试求1) E(Y X=x), 0 x 0, 有有对任意的对任意的0 x a 有有解解:设窃贼需走设窃贼需走X个小时到达地面个小时到达地面,并设并设Y为窃贼为窃贼每次对三个门的选择每次对三个门的选择,则则Y均以均以1/3的概率取值为的概率取值为1,2,3,可利用全期望公式得可利用全期望公式得:而有而有例例6 6（巴格达窃贼问题）（巴格达窃贼问题） 一窃贼被关在一窃贼被关在3 3个门的地牢个门的地牢中，其中第中，其中第1 1个门通向自由，出这个门后个门通向
10、自由，出这个门后3 3个小时便回个小时便回到地面；第到地面；第2 2个门通向一个地道，在此地道中走个门通向一个地道，在此地道中走5 5个小个小时后将返回地牢；第时后将返回地牢；第3 3个门通向一个更长的地道，沿个门通向一个更长的地道，沿着这个地道走着这个地道走7 7个小时也回到地牢，如果窃贼每次选个小时也回到地牢，如果窃贼每次选择择3 3个门的可能性总相等，试求他为获得自由而奔走个门的可能性总相等，试求他为获得自由而奔走的平均时间。的平均时间。由于若窃贼选第由于若窃贼选第2个门时个门时,他花他花5个小时重回地个小时重回地牢牢,此时处境与开始时完全一样此时处境与开始时完全一样,故有故有同理同理,窃贼选第窃贼选第3门时门时故得故得解得解得
