上海同济大学高等数学知识点归纳_研究生考试-专业课

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1、 第一讲: 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *( )naf n; *1()nnaf a (2)初等函数: (3)分段函数: *0102( )( ),( )xxf xF xxxfx; *00( )( ),xxf xF xxxa;* (4)复合(含f)函数: ( ),( )yf uux (5)隐式(方程): ( , )0F x y (6)参式(数一,二): ( )( )xx tyy t (7)变限积分函数: ( )( , )xaF xf x t dt (8)级数和函数(数一,三): 0( ),nnnS xa xx 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (

2、)f x单调000, ()( )()xxxf xf x定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 11( )( )( )yf xxfyyfx 二. 极限性质: 1. 类型: *limnna; *lim( )xf x(含x ); *0lim( )xxf x(含0xx) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000, 1 , 0, 0 ,0 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11nn , 1(0)1naa , 1()max( , , )nnnnabca b c , 00!naan 1(0 )xx , 0lim1xxx, lim

3、0nxxxe, lnlim0nxxx, 0l i ml n0nxxx, 0,xxex 四. 必备公式: 1. 等价无穷小: 当( )0u x 时, s i n()()u xu x; tan ( )( )u xu x; 211cos ( )( )2u xux; ( )1( )u xeu x ; ln(1( )( )u xu x; (1( )1( )u xu x ; a r c s i n()(u xu x; arctan( )( )u xu x 2. 泰勒公式: (1)2211()2!xexxo x ; (2)221ln(1)()2xxxo x ; (3)341sin()3!xxxo x ; (

4、4)24511cos1()2!4!xxxo x ; (5)22(1)(1)1()2!xxxo x . 五. 常规方法: 前提: (1)准确判断0,1 ,0M(其它如:00, 0, 0 , ); (2)变量代换(如:1tx) 1. 抓大弃小(), 2. 无穷小与有界量乘积 (M) (注:1sin1, xx) 3. 1处理(其它如:000 , ) 4. 左右极限(包括x ): (1)1(0)xx; (2)()xex ; 1(0)xex ; (3)分段函数: x, x, max( )f x 5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子) 6. 洛必达法则 (1)先” 处理” ,后法则(00

5、最后方法); (注意对比: 1lnlim1xxxx与0lnlim1xxxx) (2)幂指型处理: ( )( )ln( )( )v xv xu xu xe(如: 1111111(1)xxxxxeeee) (3)含变限积分; (4)不能用与不便用 7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: ( )lim( , )nf xF x n(分段函数) 数数一三特征几何单调性与有界性判别单调定号奇偶性与周期性应用反函数与直接函数二极限性质类型含含无穷小与无穷大注无穷量未定型性质有界性保号性归并性三常用结论四必备公式等价无穷小当时泰勒公式五常规方法前提准中的无穷小注非零因子洛必达法则

6、先处理后法则最后方法注意对比与幂指型处理如含变限积分不能用与不便用泰勒公式皮亚诺余项处理和式中的无穷小分段函数极限函数六非常手段收敛准则双边夹单边挤导数定义洛必达积分和中值性附极限函数连续性八上连续函数性质连通性注平均值介值定理附达布定理零点存在定理根的个数第二讲导数及应用一元含中值定理一基本概念差商与导数注连续左右导可导与连续在处连续不可导可导微分与导数可微可导比较与的 六. 非常手段 1. 收敛准则: (1)( )lim( )nxaf nf x (2)双边夹: *?nnnbac, *,?nnb ca (3)单边挤: 1()nnaf a *21?aa *?naM *( )0?fx 2. 导数

7、定义(洛必达?): 00lim()xffxx 3. 积分和: 10112lim( )( )( )( )nnffff x dxnnnn , 4. 中值定理: lim ()( )lim( )xxf xaf xaf 5. 级数和(数一三): (1)1nna收敛lim0nna, (如2!limnnnnn) (2)121lim()nnnnaaaa , (3)na与11()nnnaa同敛散 七. 常见应用: 1. 无穷小比较(等价,阶): *( ),(0)?nf xkxx (1)(1)( )(0)(0)(0)0,(0)nnffffa ( )()!nnnaaf xxxxnn (2)00( )xxnf t d

8、tkt dt 2. 渐近线(含斜): (1)( )lim,lim( )xxf xabf xaxx( )f xaxb (2)( )f xaxb ,(10x) 3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, ( )fx连续性) 八. , a b上连续函数性质 1. 连通性: ( , ),fa bm M (注:01 , “ 平均” 值:0( )(1) ( )()f af bf x ) 2. 介值定理: (附: 达布定理) (1)零点存在定理: ( )( )0f a f b 0()0f x(根的个数); (2)( )0( )0xaf xf x dx . 数数一三特征几

9、何单调性与有界性判别单调定号奇偶性与周期性应用反函数与直接函数二极限性质类型含含无穷小与无穷大注无穷量未定型性质有界性保号性归并性三常用结论四必备公式等价无穷小当时泰勒公式五常规方法前提准中的无穷小注非零因子洛必达法则先处理后法则最后方法注意对比与幂指型处理如含变限积分不能用与不便用泰勒公式皮亚诺余项处理和式中的无穷小分段函数极限函数六非常手段收敛准则双边夹单边挤导数定义洛必达积分和中值性附极限函数连续性八上连续函数性质连通性注平均值介值定理附达布定理零点存在定理根的个数第二讲导数及应用一元含中值定理一基本概念差商与导数注连续左右导可导与连续在处连续不可导可导微分与导数可微可导比较与的 第二讲

10、:导数及应用(一元)(含中值定理) 一. 基本概念: 1. 差商与导数: ( )fx 0()( )limxf xxf xx; 0()fx000( )()limxxf xf xxx (1)0( )(0)(0)limxf xffx (注:0( )lim(xf xA fx连续)(0)0,(0)ffA) (2)左右导: 00(),()fxfx; (3)可导与连续; (在0x 处, x连续不可导; x x可导) 2. 微分与导数: ()( )( )()( )ff xxf xfxxoxdffx dx (1)可微可导; (2)比较, f df与0的大小比较(图示); 二. 求导准备: 1. 基本初等函数求导

11、公式; (注: ( ) )f x) 2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数1dxdyy 三. 各类求导(方法步骤): 1. 定义导: (1)( )fa与( )x afx; (2)分段函数左右导; (3)0()()limhf xhf xhh (注: 00( )( ),xxF xf xxxa, 求:0(),( )fxfx及( )fx的连续性) 2. 初等导(公式加法则): (1) ( )uf g x, 求:0()u x(图形题); (2)( )( )xaF xf t dt, 求:( )Fx (注: ( , ), ( , ), ( )xbbaaaf x t dtf x t d

12、tf t dt) (3)0102( ),( )xxf xyxxfx,求00(),()fxfx及0()fx (待定系数) 3. 隐式( , )0f x y )导: 22,dy d ydxdx (1)存在定理; (2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法. 4. 参式导(数一,二): ( )( )xx tyy t, 求:22,dy d ydxdx 数数一三特征几何单调性与有界性判别单调定号奇偶性与周期性应用反函数与直接函数二极限性质类型含含无穷小与无穷大注无穷量未定型性质有界性保号性归并性三常用结论四必备公式等价无穷小当时泰勒公式五常规方法前提准中的无穷小注非零因子洛必达法则先处理后

13、法则最后方法注意对比与幂指型处理如含变限积分不能用与不便用泰勒公式皮亚诺余项处理和式中的无穷小分段函数极限函数六非常手段收敛准则双边夹单边挤导数定义洛必达积分和中值性附极限函数连续性八上连续函数性质连通性注平均值介值定理附达布定理零点存在定理根的个数第二讲导数及应用一元含中值定理一基本概念差商与导数注连续左右导可导与连续在处连续不可导可导微分与导数可微可导比较与的 5. 高阶导( )( )nfx公式: ( )()axnnaxea e; ( )11!()()nnnb nabxabx; ( )(sin)sin()2nnaxaaxn ; ( )(cos)cos()2nnaxaaxn ()()1(1

14、)2(2 )()nnnnnnuvuvC uvC uv 注: ( )(0)nf与泰勒展式: 2012( )nnf xaa xa xa x ( )(0)!nnfan 四. 各类应用: 1. 斜率与切线(法线); (区别: ( )yf x上点0M和过点0M的切线) 2. 物理: (相对)变化率速度; 3. 曲率(数一二): 23( )( 1 ( )fxfx(曲率半径, 曲率中心, 曲率圆) 4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点0()0fx): (1) ( )0( )fxf x ; ( )0( )fxf x ; (2)分段函

15、数的单调性 (3)( )0fx 零点唯一; ( )0fx 驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点: (1)表格( )fx变号); (由0002( )( )( )lim0, lim0, lim00xxxxxxfxfxfxxxxx 的特点) (2)二阶导(0()0fx) 注(1)f与,ff的匹配(f图形中包含的信息); (2)实例: 由( )( )( )( )fxx f xg x确定点“0xx” 的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明( )0f x ) (1)区别: *单变量与双变量? * , xa b与 ,),(,)xax ? (2)类型:

16、 *0,( )0ff a; *0,( )0ff b 数数一三特征几何单调性与有界性判别单调定号奇偶性与周期性应用反函数与直接函数二极限性质类型含含无穷小与无穷大注无穷量未定型性质有界性保号性归并性三常用结论四必备公式等价无穷小当时泰勒公式五常规方法前提准中的无穷小注非零因子洛必达法则先处理后法则最后方法注意对比与幂指型处理如含变限积分不能用与不便用泰勒公式皮亚诺余项处理和式中的无穷小分段函数极限函数六非常手段收敛准则双边夹单边挤导数定义洛必达积分和中值性附极限函数连续性八上连续函数性质连通性注平均值介值定理附达布定理零点存在定理根的个数第二讲导数及应用一元含中值定理一基本概念差商与导数注连续左

17、右导可导与连续在处连续不可导可导微分与导数可微可导比较与的 *0,( ),( )0ff af b; *00( )0,()0,()0fxfxf x (3)注意: 单调性端点值极值凹凸性. (如: max( )( )f xMfxM) 4. 函数的零点个数: 单调介值 六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. y 表格; (0()0fx) 2. 应用: (1)泰勒估计; (2)f单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论: ( )( )( )( )0F bF aFf 2. 辅助函数构造实例: (1)( )f( )( )xaF xf t dt (2)( ) (

18、)( )( )0( )( ) ( )fgfgF xf x g x (3)( )( ) ( )( )( )0( )( )f xfgfgF xg x (4)( )( )( )0ff ( )( )( )x dxF xef x; 3. ( )( )0( )nff x 有1n个零点(1)( )nfx有2个零点 4. 特例: 证明( )( )nfa的常规方法:令( )( )( )nF xf xP x有1n个零点( )nP x待定) 5. 注: 含12,时,分家!(柯西定理) 6. 附(达布定理): ( )f x在 , a b可导,( ),( )cfafb , , a b ,使:( )fc 八. 拉格朗日中

19、值定理 1. 结论: ( )( )( )()f bf afba; ( )( ),( )0ab ) 2. 估计: ( )ffx 九. 泰勒公式(连接,fff之间的桥梁) 1. 结论: 2300000011( )()()()()()( )()2!3!f xf xfxxxfxxxfxx; 2. 应用: 在已知( )f a或( )f b值时进行积分估计 十. 积分中值定理(附:广义): 注:有定积分(不含变限)条件时使用 数数一三特征几何单调性与有界性判别单调定号奇偶性与周期性应用反函数与直接函数二极限性质类型含含无穷小与无穷大注无穷量未定型性质有界性保号性归并性三常用结论四必备公式等价无穷小当时泰勒

20、公式五常规方法前提准中的无穷小注非零因子洛必达法则先处理后法则最后方法注意对比与幂指型处理如含变限积分不能用与不便用泰勒公式皮亚诺余项处理和式中的无穷小分段函数极限函数六非常手段收敛准则双边夹单边挤导数定义洛必达积分和中值性附极限函数连续性八上连续函数性质连通性注平均值介值定理附达布定理零点存在定理根的个数第二讲导数及应用一元含中值定理一基本概念差商与导数注连续左右导可导与连续在处连续不可导可导微分与导数可微可导比较与的 第三讲: 一元积分学 一. 基本概念: 1. 原函数( )F x: (1)( )( )Fxf x; (2)( )( )f x dxdF x; (3)( )( )f x dxF

21、 xc 注(1)( )( )xaF xf t dt(连续不一定可导); (2)() ( )( )( )xxaaxt f t dtf t dtf x ( )f x连续) 2. 不定积分性质: (1)( )( )f x dxf x; ( )( )df x dxf x dx (2)( )( )fx dxf xc; ( )( )df xf xc 二. 不定积分常规方法 1. 熟悉基本积分公式 2. 基本方法: 拆(线性性) 1212()() )()()k fxk gxd xkfx d xkgx d x 3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活(221sincosxx) 如: 211(),ln ,2dxd

22、xd axbxdxdxdxax2dxdxx 221,(1ln )( ln )1xdxdxx dxd xxx 4. 变量代换: (1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): 1sin ,1xxtaxbttetx (2)作用与引伸(化简): 21xxt 5. 分部积分(巧用): (1)含需求导的被积函数(如ln ,arctan,( )xaxxf t dt); (2)“ 反对幂三指” : ,ln,naxnx e dxxxdx (3)特别: ( )xf x dx (*已知( )f x的原函数为( )F x; *已知( )( )fxF x) 6. 特例: (1)11sincossincosaxbxdxax

23、bx; (2)( ),( )sinkxp x e dxp xaxdx快速法; (3)( )( )nv xdxux 数数一三特征几何单调性与有界性判别单调定号奇偶性与周期性应用反函数与直接函数二极限性质类型含含无穷小与无穷大注无穷量未定型性质有界性保号性归并性三常用结论四必备公式等价无穷小当时泰勒公式五常规方法前提准中的无穷小注非零因子洛必达法则先处理后法则最后方法注意对比与幂指型处理如含变限积分不能用与不便用泰勒公式皮亚诺余项处理和式中的无穷小分段函数极限函数六非常手段收敛准则双边夹单边挤导数定义洛必达积分和中值性附极限函数连续性八上连续函数性质连通性注平均值介值定理附达布定理零点存在定理根的

24、个数第二讲导数及应用一元含中值定理一基本概念差商与导数注连续左右导可导与连续在处连续不可导可导微分与导数可微可导比较与的 三. 定积分: 1. 概念性质: (1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值) *220(0)8aaxx dx aa; *()02baabxdx (3)附: ( )()baf x dxM ba, ( ) ( )( )bbaaf x g x dxMg x dx) (4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重 2: 变限积分( )( )xaxf t dt的处理(重点) (1)f可积 连续, f连续 可导 (2)

25、( )xaf t dt( )f x; () ( )( )xxaaxt f t dtf t dt; ( )() ( )xaf x dtxa f x (3)由函数( )( )xaF xf t dt参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题 3. NL公式: ( )( )( )baf x dxF bF a( )F x在 , a b上必须连续!) 注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性 (2)有理式, 三角式, 根式 (3)含( )baf t dt的方程. 4. 变量代换: ( )( ( ) ( )baf x dxf u t u t dt (1)00( )()()aaf x dxf ax

26、 dx xat , (2)0( )()() ( )()aaaaaf x dxfx dx xtf xfx dx (如:4411 sindxx) (3)2201sinnnnnIxdxIn, (4)2200(sin )(cos)fx dxfx dx; 200(sin )2(sin )fx dxfx dx, (5)00(sin)(sin)2xfx dxfx dx, 5. 分部积分 (1)准备时“ 凑常数” (2)已知( )fx或( )xaf x 时, 求( )baf x dx 数数一三特征几何单调性与有界性判别单调定号奇偶性与周期性应用反函数与直接函数二极限性质类型含含无穷小与无穷大注无穷量未定型性质

27、有界性保号性归并性三常用结论四必备公式等价无穷小当时泰勒公式五常规方法前提准中的无穷小注非零因子洛必达法则先处理后法则最后方法注意对比与幂指型处理如含变限积分不能用与不便用泰勒公式皮亚诺余项处理和式中的无穷小分段函数极限函数六非常手段收敛准则双边夹单边挤导数定义洛必达积分和中值性附极限函数连续性八上连续函数性质连通性注平均值介值定理附达布定理零点存在定理根的个数第二讲导数及应用一元含中值定理一基本概念差商与导数注连续左右导可导与连续在处连续不可导可导微分与导数可微可导比较与的 6. 附: 三角函数系的正交性: 222000s i nc o ss i nc o s0n x d xn x d xn

28、 xm x d x 2200sinsincoscos()0nxmxdxnxmxdx nm 222200sincosnxdxnxdx 四. 反常积分: 1. 类型: (1)( ),( ),( )aaf x dxf x dxf x dx ( )f x连续) (2)( )baf x dx: ( )f x在,()xaxbxc acb 处为无穷间断) 2. 敛散; 3. 计算: 积分法NL公式极限(可换元与分部) 4. 特例: (1)11pdxx; (2)101pdxx 五. 应用: (柱体侧面积除外) 1. 面积, (1) ( )( );baSf xg x dx (2)1( )dcSfy dy; (3

29、)21( )2Srd ; (4)侧面积:22( ) 1 ( )baSf xfx dx 2. 体积: (1)22( )( )bxaVfxgx dx; (2)12( )2( )dbycaVfydyxf x dx (3)0x xV与0y yV 3. 弧长: 22()()dsdxdy (1)( ), , yf xxa b 21 ()basfx d x (2)12( ), , ( )xx ttt tyy t 2122 ( ) ( )ttsxtyt dt (3)( ), ,rr : 22( ) ( )srrd 4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心, 5. 平均值(中值定理): (1)1 , ( )

30、baf a bf x dxba; (2)0( )0)limxxf t dtfx , (f以T为周期:0( )Tf t dtfT) 数数一三特征几何单调性与有界性判别单调定号奇偶性与周期性应用反函数与直接函数二极限性质类型含含无穷小与无穷大注无穷量未定型性质有界性保号性归并性三常用结论四必备公式等价无穷小当时泰勒公式五常规方法前提准中的无穷小注非零因子洛必达法则先处理后法则最后方法注意对比与幂指型处理如含变限积分不能用与不便用泰勒公式皮亚诺余项处理和式中的无穷小分段函数极限函数六非常手段收敛准则双边夹单边挤导数定义洛必达积分和中值性附极限函数连续性八上连续函数性质连通性注平均值介值定理附达布定理

31、零点存在定理根的个数第二讲导数及应用一元含中值定理一基本概念差商与导数注连续左右导可导与连续在处连续不可导可导微分与导数可微可导比较与的 第四讲: 微分方程 一. 基本概念 1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件) 2. 变换方程: (1)令( )xx tyDy(如欧拉方程) (2)令( , )( , )uu x yyy x uy(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力 二. 一阶方程: 1. 形式: (1)( , )yf x y; (2)( , )( , )0M x y dxN x y dy; (3)( )y ab 2. 变量分离型: ( ) ( )yf x

32、g y (1)解法: ( )( )( )( )dyf x dxG yF xCg y (2)“ 偏” 微分方程: ( , )zf x yx; 3. 一阶线性(重点): ( )( )yp x yq x (1)解法(积分因子法): 00( )01( )( ) ( )( )xxp x dxxxM xeyM x q x dxyM x (2)变化: ( )( )xp y xq y; (3)推广: 伯努利(数一) ( )( )yp x yq x y 4. 齐次方程: ()yyx (1)解法: ( ),( )ydudxuuxuuxuux (2)特例: 111222a xb ycdydxa xb yc 5. 全

33、微分方程(数一): ( , )( , )0M x y dxN x y dy且NMxy dUMdxNdyUC 6. 一阶差分方程(数三): 1*0( )( )xxxxxnxxycayayb p xyx Q x b 数数一三特征几何单调性与有界性判别单调定号奇偶性与周期性应用反函数与直接函数二极限性质类型含含无穷小与无穷大注无穷量未定型性质有界性保号性归并性三常用结论四必备公式等价无穷小当时泰勒公式五常规方法前提准中的无穷小注非零因子洛必达法则先处理后法则最后方法注意对比与幂指型处理如含变限积分不能用与不便用泰勒公式皮亚诺余项处理和式中的无穷小分段函数极限函数六非常手段收敛准则双边夹单边挤导数定义

34、洛必达积分和中值性附极限函数连续性八上连续函数性质连通性注平均值介值定理附达布定理零点存在定理根的个数第二讲导数及应用一元含中值定理一基本概念差商与导数注连续左右导可导与连续在处连续不可导可导微分与导数可微可导比较与的 三. 二阶降阶方程 1. ( )yf x: 12( )yF xc xc 2. ( ,)yf x y: 令( )( ,)dpyp xyf x pdx 3. ( ,)yf y y: 令( )( , )dpyp yypf y pdy 四. 高阶线性方程: ( ) ( )( )( )a x yb x yc x yf x 1. 通解结构: (1)齐次解: 01122( )( )( )y

35、xc y xc yx (2)非齐次特解: 1122( )( )( )*( )y xc y xc yxyx 2. 常系数方程: ( )aybycyf x (1)特征方程与特征根: 20abc (2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: ( )axf xke的算子法) (3)由已知解反求方程. 3. 欧拉方程(数一): 2( )ax ybxycyf x, 令2(1) ,txex yD Dy xyDy 五. 应用(注意初始条件): 1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距 2. 积分等式变方程(含变限积分); 可设 ( )( ),( )0xaf x dxF

36、 x F a 3. 导数定义立方程: 含双变量条件()f xy 的方程 4. 变化率(速度) 5. 22dvd xFmadtdt 6. 路径无关得方程(数一): QPxy 7. 级数与方程: (1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法:201201,(0),(0)yaa xa xayay 8. 弹性问题(数三) 数数一三特征几何单调性与有界性判别单调定号奇偶性与周期性应用反函数与直接函数二极限性质类型含含无穷小与无穷大注无穷量未定型性质有界性保号性归并性三常用结论四必备公式等价无穷小当时泰勒公式五常规方法前提准中的无穷小注非零因子洛必达法则先处理后法则最后方法注意对比与幂指型处理如含变限积分不

37、能用与不便用泰勒公式皮亚诺余项处理和式中的无穷小分段函数极限函数六非常手段收敛准则双边夹单边挤导数定义洛必达积分和中值性附极限函数连续性八上连续函数性质连通性注平均值介值定理附达布定理零点存在定理根的个数第二讲导数及应用一元含中值定理一基本概念差商与导数注连续左右导可导与连续在处连续不可导可导微分与导数可微可导比较与的 第五讲: 多元微分与二重积分 一. 二元微分学概念 1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)xyff xx yyff xx yff xyy (2)lim,lim,limyxxyfffffxy

38、 (3)22, lim()()xyfdffxfydfxy (判别可微性) 注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: 00( ,0)(0,0)(0, )(0,0)(0,0)lim,(0,0)limxyxyf xffyfffxy 2. 特例: (1)22(0,0)( , )0,(0,0)xyxyf x y: (0,0)点处可导不连续; (2)22(0,0)( , )0,(0,0)xyf x yxy: (0,0)点处连续可导不可微; 二. 偏导数与全微分的计算: 1. 显函数一,二阶偏导: ( , )zf x y 注: (1)yx型; (2)00(,)xxyz; (3)含变限积分 2. 复合

39、函数的一,二阶偏导(重点): ( , ), ( , )zf u x yv x y 熟练掌握记号12111222,fffff的准确使用 3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *( , , )0F x y z ; *( , , )0( , , )0F x y zG x y z (存在定理) (2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): 0xyzF dxF dyF dz (要求: 二阶导) (3)注: 00(,)xy与0z的及时代入 (4)会变换方程. 数数一三特征几何单调性与有界性判别单调定号奇偶性与周期性应用反函数与直接函数二极限性质类型含含无穷小与无穷大注无穷量未定型性质有界性

40、保号性归并性三常用结论四必备公式等价无穷小当时泰勒公式五常规方法前提准中的无穷小注非零因子洛必达法则先处理后法则最后方法注意对比与幂指型处理如含变限积分不能用与不便用泰勒公式皮亚诺余项处理和式中的无穷小分段函数极限函数六非常手段收敛准则双边夹单边挤导数定义洛必达积分和中值性附极限函数连续性八上连续函数性质连通性注平均值介值定理附达布定理零点存在定理根的个数第二讲导数及应用一元含中值定理一基本概念差商与导数注连续左右导可导与连续在处连续不可导可导微分与导数可微可导比较与的 三. 二元极值(定义?); 1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别) 2. 条件极值

41、(拉格朗日乘数法) (注: 应用) (1)目标函数与约束条件: ( , )( , )0zf x yx y, (或: 多条件) (2)求解步骤: ( , , )( , )( , )L x yf x yx y, 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值(重点). (1)( , )( , )( , )0zf x yMDx yx y (2)实例: 距离问题 四. 二重积分计算: 1. 概念与性质(“ 积” 前工作): (1)Dd, (2)对称性(熟练掌握): *D域轴对称; *f奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标; (3)“ 分块” 积分: *12DDD; *( , )f x y分片定义; *( ,

42、)f x y奇偶 2. 计算(化二次积分): (1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D” 为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): 22()f xy 附: 222:()()DxaybR; 2222:1xyDab; 双纽线222222()()xyaxy :1Dxy 4. 特例: (1)单变量: ( )f x或( )f y (2)利用重心求积分: 要求: 题型12()Dk xk y dxdy, 且已知D的面积DS与重心( , )x y 5. 无界域上的反常二重积分(数三) 五: 一类积分的应用():; ; ;f M dDL): 1. “ 尺寸” : (1)DDdS;

43、 (2)曲面面积(除柱体侧面); 2. 质量, 重心(形心), 转动惯量; 3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备. 数数一三特征几何单调性与有界性判别单调定号奇偶性与周期性应用反函数与直接函数二极限性质类型含含无穷小与无穷大注无穷量未定型性质有界性保号性归并性三常用结论四必备公式等价无穷小当时泰勒公式五常规方法前提准中的无穷小注非零因子洛必达法则先处理后法则最后方法注意对比与幂指型处理如含变限积分不能用与不便用泰勒公式皮亚诺余项处理和式中的无穷小分段函数极限函数六非常手段收敛准则双边夹单边挤导数定义洛必达积分和中值性附极限函数连续性八上连续函数性质连通性注平均值介值定理附达布定理零点

44、存在定理根的个数第二讲导数及应用一元含中值定理一基本概念差商与导数注连续左右导可导与连续在处连续不可导可导微分与导数可微可导比较与的 第六讲: 无穷级数(数一,三) 一. 级数概念 1. 定义: (1)na, (2)12nnSaaa ; (3)limnnS (如1(1)!nnn) 注: (1)limnna; (2)nq(或1na); (3)“ 伸缩” 级数:1()nnaa收敛na收敛. 2. 性质: (1)收敛的必要条件: lim0nna; (2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0nnnnss assss; 二. 正项级数 1. 正项级数: (1)定义: 0n

45、a ; (2)特征: nS ; (3)收敛nSM(有界) 2. 标准级数: (1)1pn, (2)lnknn, (3)1lnknn 3. 审敛方法: (注:222abab,lnlnbaab) (1)比较法(原理):npkan(估计), 如10( )nf x dx; ( )( )P nQ n (2)比值与根值: *1limnnnuu *limnnnu (应用: 幂级数收敛半径计算) 三. 交错级数(含一般项): 1( 1)nna(0na ) 1. “ 审” 前考察: (1)0?na (2)0?na ; (3)绝对(条件)收敛? 注: 若1lim1nnnaa ,则nu发散 2. 标准级数: (1)

46、11( 1)nn; (2)11( 1)npn; (3)11( 1)lnnpn 3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提: na发散; (2)条件: ,0nnaa ; (3)结论: 1( 1)nna条件收敛. 4. 补充方法: (1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)221,0nnnnss assss. 5. 注意事项: 对比 na; ( 1)nna; na; 2na之间的敛散关系 数数一三特征几何单调性与有界性判别单调定号奇偶性与周期性应用反函数与直接函数二极限性质类型含含无穷小与无穷大注无穷量未定型性质有界性保号性归并性三常用结论四必备公式等价无穷小当时泰勒公式五常规方法前提准中的无

47、穷小注非零因子洛必达法则先处理后法则最后方法注意对比与幂指型处理如含变限积分不能用与不便用泰勒公式皮亚诺余项处理和式中的无穷小分段函数极限函数六非常手段收敛准则双边夹单边挤导数定义洛必达积分和中值性附极限函数连续性八上连续函数性质连通性注平均值介值定理附达布定理零点存在定理根的个数第二讲导数及应用一元含中值定理一基本概念差商与导数注连续左右导可导与连续在处连续不可导可导微分与导数可微可导比较与的 四. 幂级数: 1. 常见形式: (1)nna x, (2)0()nnaxx, (3)20()nnaxx 2. 阿贝尔定理: (1)结论: *xx敛*0Rxx; *xx散*0Rxx (2)注: 当*x

48、x条件收敛时*Rxx 3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1),nnnnana xxn与nna x同收敛半径 (2)nna x与20()nnaxx之间的转换 4. 幂级数展开法: (1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域) 23111,2!3!xexxxR 24111()1,22!4!xxeexxR 35111(),23!5!xxeexxxR 3511sin,3!5!xxxxR 2411cos1,2!4!xxxR ; 211,(1, 1)1xxxx ; 211,( 1,1)1xxxx 2311ln(1),( 1,123xxxxx 2311ln(1), 1,1)23xxxxx 351

49、1arctan, 1,135xxxxx (2)分解: ( )( )( )f xg xh x(注:中心移动) (特别: 021,xxaxbxc) (3)考察导函数: ( )( )g xfx0( )( )(0)xf xg x dxf (4)考察原函数: 0( )( )xg xf x dx( )( )f xgx 5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换): (1)( ),S x (2)( )S x ,(注意首项变化) 数数一三特征几何单调性与有界性判别单调定号奇偶性与周期性应用反函数与直接函数二极限性质类型含含无穷小与无穷大注无穷量未定型性质有界性保号性归并性三常用结论四必备公式等价无穷

50、小当时泰勒公式五常规方法前提准中的无穷小注非零因子洛必达法则先处理后法则最后方法注意对比与幂指型处理如含变限积分不能用与不便用泰勒公式皮亚诺余项处理和式中的无穷小分段函数极限函数六非常手段收敛准则双边夹单边挤导数定义洛必达积分和中值性附极限函数连续性八上连续函数性质连通性注平均值介值定理附达布定理零点存在定理根的个数第二讲导数及应用一元含中值定理一基本概念差商与导数注连续左右导可导与连续在处连续不可导可导微分与导数可微可导比较与的 (3)( )()S x , (4)( ) ( )S xS x的微分方程 (5)应用:( )(1)nnnnaa xS xaS. 6. 方程的幂级数解法 7. 经济应用

51、(数三): (1)复利: (1)nAp; (2)现值: (1)nAp 五. 傅里叶级数(数一): (2T) 1. 傅氏级数(三角级数): 01( )cossin2nnnaS xanxbnx 2. Dirichlet充分条件(收敛定理): (1)由( )( )f xS x(和函数) (2)1( )()()2S xf xf x 3. 系数公式: 01( )cos1( ),1,2,3,1( )sinnnaf xnxdxaf x dxnbf xnxdx 4. 题型: (注: ( )( ),?f xS xx) (1)2T且( ),(, f xx (分段表示) (2)(, x 或0, 2 x (3)0,x

52、正弦或余弦 *(4)0,x(T) *5. 2Tl 6. 附产品: ( )f x 01( )cossin2nnnaS xanxbnx 00001()cossin2nnnaS xanxbnx001()()2f xf x 数数一三特征几何单调性与有界性判别单调定号奇偶性与周期性应用反函数与直接函数二极限性质类型含含无穷小与无穷大注无穷量未定型性质有界性保号性归并性三常用结论四必备公式等价无穷小当时泰勒公式五常规方法前提准中的无穷小注非零因子洛必达法则先处理后法则最后方法注意对比与幂指型处理如含变限积分不能用与不便用泰勒公式皮亚诺余项处理和式中的无穷小分段函数极限函数六非常手段收敛准则双边夹单边挤导数

53、定义洛必达积分和中值性附极限函数连续性八上连续函数性质连通性注平均值介值定理附达布定理零点存在定理根的个数第二讲导数及应用一元含中值定理一基本概念差商与导数注连续左右导可导与连续在处连续不可导可导微分与导数可微可导比较与的 第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一) 一. 向量基本运算 1. 12k ak b; (平行ba) 2. a; (单位向量(方向余弦) 01( c o s, c o s, c o s)aaa) 3. a b; (投影:( )aa bba; 垂直:0aba b ; 夹角:( , )a ba ba b) 4. ab ; (法向:,naba b ; 面积:Sab ) 二. 平面

54、与直线 1.平面 (1)特征(基本量): 0000(,)( , , )Mx y znA B C (2)方程(点法式): 000:()()()00A xxB yyC zzAxByCzD (3)其它: *截距式1xyzabc ; *三点式 2.直线L (1)特征(基本量): 0000(,)( , , )Mx y zsm n p (2)方程(点向式): 000:xxyyzzLmnp (3)一般方程(交面式): 1111222200AxB yC zDA xB yC zD (4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段AB的参数表示:121121121()() ,0,1()xaaa tybbb t t

55、zccc t ) 3. 实用方法: (1)平面束方程: 11112222:()0AxB yC zDA xB yC zD (2)距离公式: 如点000(,)Mxy到平面的距离000222AxByCzDdABC (3)对称问题; (4)投影问题. 数数一三特征几何单调性与有界性判别单调定号奇偶性与周期性应用反函数与直接函数二极限性质类型含含无穷小与无穷大注无穷量未定型性质有界性保号性归并性三常用结论四必备公式等价无穷小当时泰勒公式五常规方法前提准中的无穷小注非零因子洛必达法则先处理后法则最后方法注意对比与幂指型处理如含变限积分不能用与不便用泰勒公式皮亚诺余项处理和式中的无穷小分段函数极限函数六非常

56、手段收敛准则双边夹单边挤导数定义洛必达积分和中值性附极限函数连续性八上连续函数性质连通性注平均值介值定理附达布定理零点存在定理根的个数第二讲导数及应用一元含中值定理一基本概念差商与导数注连续左右导可导与连续在处连续不可导可导微分与导数可微可导比较与的 三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面 (1)形式: ( , , )0F x y z 或( , )zf x y; (注: 柱面( , )0f x y ) (2)法向(,)(cos,cos,cos )xyznF F F (或(,1)xynzz ) 2. 曲线 (1)形式( ):( )( )xx tyy tzz t, 或( , , )0( , ,

57、)0F x y zG x y z; (2)切向: ( ),( ),( )sx ty tz t (或12snn ) 3. 应用 (1)交线, 投影柱面与投影曲线; (2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转; (3)锥面计算. 四. 常用二次曲面 1. 圆柱面: 222xyR 2. 球面: 2222xyzR 变形: 2222xyRz , 222()zRxy, 2222xyzaz, 2222000()()()xxyyzzR 3. 锥面: 22zxy 变形: 222xyz, 22zaxy 4. 抛物面: 22zxy, 变形: 22xyz, 22()zaxy 5. 双曲面: 2221xyz 6. 马鞍面

58、: 22zxy , 或zxy 数数一三特征几何单调性与有界性判别单调定号奇偶性与周期性应用反函数与直接函数二极限性质类型含含无穷小与无穷大注无穷量未定型性质有界性保号性归并性三常用结论四必备公式等价无穷小当时泰勒公式五常规方法前提准中的无穷小注非零因子洛必达法则先处理后法则最后方法注意对比与幂指型处理如含变限积分不能用与不便用泰勒公式皮亚诺余项处理和式中的无穷小分段函数极限函数六非常手段收敛准则双边夹单边挤导数定义洛必达积分和中值性附极限函数连续性八上连续函数性质连通性注平均值介值定理附达布定理零点存在定理根的个数第二讲导数及应用一元含中值定理一基本概念差商与导数注连续左右导可导与连续在处连续

59、不可导可导微分与导数可微可导比较与的 五. 偏导几何应用 1. 曲面 (1)法向: ( , , )0(,)xyzF x y znF F F , 注: ( , )(,1)xyzf x ynff (2)切平面与法线: 2. 曲线 (1)切向: ( ),( ),( )( , , )xx tyy tzz tsx y z (2)切线与法平面 3. 综合: :00FG , 12snn 六. 方向导与梯度(重点) 1. 方向导(l方向斜率): (1)定义(条件): (, , )(cos,cos,cos)lm n p (2)计算(充分条件:可微): coscoscosxyzuuuul 附: 0( , ),co

60、s,sin zf x yl cossinxyzffl (3)附: 2222cos2sincossinxxxyyyffffl 2. 梯度(取得最大斜率值的方向) G : (1)计算: ()( ,)(,)xya zf x yGgradzff ; ( )( ,)(,xyzb ufx y zGg r a d uuuu (2)结论 ( )aul0G l ; ( )b取lG 为最大变化率方向; ( ) c0()G M 为最大方向导数值. 数数一三特征几何单调性与有界性判别单调定号奇偶性与周期性应用反函数与直接函数二极限性质类型含含无穷小与无穷大注无穷量未定型性质有界性保号性归并性三常用结论四必备公式等价无

61、穷小当时泰勒公式五常规方法前提准中的无穷小注非零因子洛必达法则先处理后法则最后方法注意对比与幂指型处理如含变限积分不能用与不便用泰勒公式皮亚诺余项处理和式中的无穷小分段函数极限函数六非常手段收敛准则双边夹单边挤导数定义洛必达积分和中值性附极限函数连续性八上连续函数性质连通性注平均值介值定理附达布定理零点存在定理根的个数第二讲导数及应用一元含中值定理一基本概念差商与导数注连续左右导可导与连续在处连续不可导可导微分与导数可微可导比较与的 第八讲: 三重积分与线面积分(数一) 一. 三重积分(fdV) 1. 域的特征(不涉及复杂空间域): (1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于

62、重心 (2)投影法: 22212( , )( , )( , )xyDx y xyRz x yzzx y (3)截面法: 222( )( , )( )D zx y xyRzazb (4)其它: 长方体, 四面体, 椭球 2. f的特征: (1)单变量( )f z, (2)22()f xy, (3)222()f xyz, (4)faxbyczd 3. 选择最适合方法: (1)“ 积” 前: *dv; *利用对称性(重点) (2)截面法(旋转体): ( )baD zIdzfdxdy (细腰或中空, ( )f z, 22()f xy) (3)投影法(直柱体): 21( , )( , )xyzx yzx

63、 yDIdxdyfdz (4)球坐标(球或锥体): 22000sin()RIddfd , (5)重心法(faxbyczd ): ()Iaxbyczd V 4. 应用问题: (1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力 (2)Gauss公式 二. 第一类线积分(Lfds) 1. “ 积” 前准备: (1)LdsL; (2)对称性; (3)代入“L” 表达式 2. 计算公式: 22( ) , ( ( ), ( ) ( ) ( )( )baLxx tta bfdsf x ty txtyt dtyy t 3. 补充说明: (1)重心法: ()()Laxbyc dsaxbyc L ; (2)与

64、第二类互换: LLA dsA dr 数数一三特征几何单调性与有界性判别单调定号奇偶性与周期性应用反函数与直接函数二极限性质类型含含无穷小与无穷大注无穷量未定型性质有界性保号性归并性三常用结论四必备公式等价无穷小当时泰勒公式五常规方法前提准中的无穷小注非零因子洛必达法则先处理后法则最后方法注意对比与幂指型处理如含变限积分不能用与不便用泰勒公式皮亚诺余项处理和式中的无穷小分段函数极限函数六非常手段收敛准则双边夹单边挤导数定义洛必达积分和中值性附极限函数连续性八上连续函数性质连通性注平均值介值定理附达布定理零点存在定理根的个数第二讲导数及应用一元含中值定理一基本概念差商与导数注连续左右导可导与连续在

65、处连续不可导可导微分与导数可微可导比较与的 4. 应用范围 (1)第一类积分 (2)柱体侧面积 ,Lz x y ds 三. 第一类面积分(fdS) 1. “ 积” 前工作(重点): (1)dS ; (代入:( , , )0F x y z) (2)对称性(如: 字母轮换, 重心) (3)分片 2. 计算公式: (1)22( , ),( , )( , , ( , ) 1xyxyxyDzz x yx yDIf x y z x yzz dxdy (2)与第二类互换: A ndSA dS 四: 第二类曲线积分(1): ( , )( , )LP x y dxQ x y dy (其中L有向) 1. 直接计算

66、: ( )( )xx tyy t,2112:( )( )ttt ttIPx tQy t dt 常见(1)水平线与垂直线; (2)221xy 2. Green 公式: (1)()LDQPPdxQdydxdyxy; (2)()L AB: *PQyy换路径; *PQyy围路径 (3)L(xyQP但D内有奇点) *LL(变形) 3. 推广(路径无关性):PQyy (1)PdxQdydu(微分方程)()BAL ABu(道路变形原理) (2)( , )( , )LP x y dxQ x y dy与路径无关(f待定): 微分方程. 4. 应用 功(环流量):IF dr (有向,( , )FP Q R ,(,

67、)drdsdx dy dz ) 数数一三特征几何单调性与有界性判别单调定号奇偶性与周期性应用反函数与直接函数二极限性质类型含含无穷小与无穷大注无穷量未定型性质有界性保号性归并性三常用结论四必备公式等价无穷小当时泰勒公式五常规方法前提准中的无穷小注非零因子洛必达法则先处理后法则最后方法注意对比与幂指型处理如含变限积分不能用与不便用泰勒公式皮亚诺余项处理和式中的无穷小分段函数极限函数六非常手段收敛准则双边夹单边挤导数定义洛必达积分和中值性附极限函数连续性八上连续函数性质连通性注平均值介值定理附达布定理零点存在定理根的个数第二讲导数及应用一元含中值定理一基本概念差商与导数注连续左右导可导与连续在处连

68、续不可导可导微分与导数可微可导比较与的 五. 第二类曲面积分: 1. 定义: PdydzQdzdxRdxdy, 或( , , )R x y z dxdy (其中含侧) 2. 计算: (1)定向投影(单项): ( , , )R x y z dxdy, 其中:( , )zz x y(特别:水平面); 注: 垂直侧面, 双层分隔 (2)合一投影(多项,单层): (,1)xynzz ()()xyPdydzQdzdxRdxdyPzQzR dxdy (3)化第一类(不投影): (cos,cos,cos)n (coscoscos )PdydzQdzdxRdxdyPQRdS 3. Gauss公式及其应用: (

69、1)散度计算: PQRdivAxyz (2)Gauss公式: 封闭外侧, 内无奇点 PdydzQdzdxRdxdydivAdv (3)注: *补充“ 盖” 平面:0; *封闭曲面变形(含奇点) 4. 通量与积分: A d S (有向n, ,AP Q R,(,)dSndSdydz dzdx dxdy ) 六: 第二类曲线积分(2): ( , , )( , , )( , , )P x y z dxQ x y z dyR x y z dz 1. 参数式曲线: 直接计算(代入) 注(1)当0rot A 时, 可任选路径; (2)功(环流量):IF dr 2. Stokes 公式: (要求: 为交面式(

70、有向), 所张曲面含侧) (1)旋度计算: (,)( , )RAP Q Rxyz (2)交面式(一般含平面)封闭曲线: 00FG同侧法向,xyznF F F或,xyzG GG; (3)Stokes 公式(选择): ()A drA ndS 数数一三特征几何单调性与有界性判别单调定号奇偶性与周期性应用反函数与直接函数二极限性质类型含含无穷小与无穷大注无穷量未定型性质有界性保号性归并性三常用结论四必备公式等价无穷小当时泰勒公式五常规方法前提准中的无穷小注非零因子洛必达法则先处理后法则最后方法注意对比与幂指型处理如含变限积分不能用与不便用泰勒公式皮亚诺余项处理和式中的无穷小分段函数极限函数六非常手段收

71、敛准则双边夹单边挤导数定义洛必达积分和中值性附极限函数连续性八上连续函数性质连通性注平均值介值定理附达布定理零点存在定理根的个数第二讲导数及应用一元含中值定理一基本概念差商与导数注连续左右导可导与连续在处连续不可导可导微分与导数可微可导比较与的 (a)化为PdydzQdzdxRdxdy; (b)化为( , , )R x y z dxdy; (c)化为fdS 数数一三特征几何单调性与有界性判别单调定号奇偶性与周期性应用反函数与直接函数二极限性质类型含含无穷小与无穷大注无穷量未定型性质有界性保号性归并性三常用结论四必备公式等价无穷小当时泰勒公式五常规方法前提准中的无穷小注非零因子洛必达法则先处理后法则最后方法注意对比与幂指型处理如含变限积分不能用与不便用泰勒公式皮亚诺余项处理和式中的无穷小分段函数极限函数六非常手段收敛准则双边夹单边挤导数定义洛必达积分和中值性附极限函数连续性八上连续函数性质连通性注平均值介值定理附达布定理零点存在定理根的个数第二讲导数及应用一元含中值定理一基本概念差商与导数注连续左右导可导与连续在处连续不可导可导微分与导数可微可导比较与的