《概率论与数理统计》全套课件（浙大版）

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1、概率与统计 开课系：非数学专业开课系：非数学专业教材：教材：概率论与数理统计王松桂 等编科学出版社2002参考书：参考书：1.1.概率论与数理统计浙江大学 盛骤等 编高等教育出版社2. 概率论与数理统计魏振军 编中国统计出版社序序 言言概率论是研究什么的？随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性概率论概率论研究和揭示随机现象研究和揭示随机现象的统计规律性的科学的统计规律性的科学 目目 录录第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率第二章第二章 随机变量随机变量第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第

2、四章第四章 样本及抽样分布样本及抽样分布第五章第五章 参数估计参数估计第六章第六章 假设检验假设检验第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率随机事件及其运算随机事件及其运算概率的定义及其运算概率的定义及其运算条件概率条件概率事件的独立性事件的独立性 1.1随机事件及其概率随机事件及其概率一、随机试验一、随机试验(简称简称“试验试验”)随机试验的特点(p1)1.可在相同条件下重复进行； 2.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。 随机试验常用E表示 E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面;E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3

3、:某城市某年某月内发生交通事故的次数；E4:掷一颗骰子，可能出现的点数；E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重 。随机实验的例子随机事件二、样本空间二、样本空间(p2) 1、样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为 =e； 2、样本点: 试验的单个结果或样本空间的单元素称为样本点,记为e. 3.由样本点组成的单点集由样本点组成的单点集称为基本事件,也记为e. 幻灯片 6随机事件随机事件 1.定义定义 样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“事件”.记作A、B、C等 任何事件均可表示为样本空间的某个

4、子集任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件事件A发生发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。 2.两个特殊事件两个特殊事件: 必然事件S 、不可能事件.(p3) 例如例如 对于试验E2 ，以下A 、 B、C即为三个随机事件: A“至少出一个正面” HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH； B = “两次出现同一面”=HHH,TTTC=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH再如，试验E6中D“灯泡寿命超过1000小时”x:1000xm),要求第要求第 i i 组恰组恰有有ni个球个球(i=1,m)，共有分法：，共有分法：4 4 随机取数问题随机取数问题例例4 4

5、 从从1 1到到200200这这200200个自然数中任取一个个自然数中任取一个, ,(1)(1)求取到的数能被求取到的数能被6 6整除的概率整除的概率(2)(2)求取到的数能被求取到的数能被8 8整除的概率整除的概率(3)(3)求取到的数既能被求取到的数既能被6 6整除也能被整除也能被8 8整除的概率整除的概率解解:N(S)=200,:N(S)=200,N(3)=200/24=8N(3)=200/24=8N(1)=200/6=33,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25N(2)=200/8=25(1),(2),(3)(1),(2),(3)的概率分别为的概率分别为:33/200

6、,1/8,1/25:33/200,1/8,1/25某人向目标射击，某人向目标射击，以以A A表示事件表示事件“命中目标命中目标”，P P（A A）= =？定义定义:(p8) 事件事件A在在n次重复试验中出现次重复试验中出现nA次，则次，则比值比值nA/n称为事件称为事件A在在n次重复试验中次重复试验中出现的出现的频率频率，记为，记为fn(A). 即即 fn(A) nA/n.1.3 频率与概率频率与概率历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.

7、5069K. Pearson 12000 6019 0.5016K. Pearson 24000 12012 0.5005 频率的性质频率的性质(1) 0 fn(A) 1；(2) fn(S)1； fn( )=0(3) 可加性：若可加性：若AB ，则则 fn(A B) fn(A) fn(B).实践证明：当试验次数实践证明：当试验次数n增大时，增大时， fn(A) 逐渐逐渐 趋向一个稳定值趋向一个稳定值。可将此稳定值记作可将此稳定值记作P(A)，作为事件作为事件A的概率的概率1.3.2. 概率的公理化定义概率的公理化定义 注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述

8、三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义1.定义定义(p8) 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1) P(A) 0；(2) P()1； (3) 可列可加性可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. (1.1)则称P(A)为事件A的概率概率。2.概率的性质概率的性质 P(10-13) (1) 有限有限可加性可加性：设A1，A2，An , 是n个两两互不相容的事件，即AiAj ，(ij), i

9、 , j1, 2, , n ,则有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An); (3)事件差事件差 A、B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB) (2) 单调不减性单调不减性：若事件AB，则P(A)P(B) (4) 加法公式加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 该公式可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形；(3) 互补性互补性：P(A)1 P(A);(5) 可分性可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)P(AB)P(AB ) . 某某市市有有甲甲,乙乙,丙丙三三种种报报纸纸,订订每每种种报报纸纸的的人人数数分分别别占占全全体

10、体市市民民人人数数的的30%,其其中中有有10%的的人人同同时时定定甲甲,乙乙两两种种报报纸纸.没没有有人人同同时时订订甲甲乙乙或或乙乙丙丙报报纸纸.求求从从该该市市任任选选一一人人,他他至至少少订订有有一一种种报报纸纸的概率的概率.解解:设设A,B,C分别表示选到的人订了甲分别表示选到的人订了甲,乙乙,丙报丙报例例1.3.2.1.3.2.在在1 1 1010这这1010个自然数中任取一数，求个自然数中任取一数，求（1 1）取到的数能被）取到的数能被2 2或或3 3整除的概率，整除的概率，（2 2）取到的数即不能被）取到的数即不能被2 2也不能被也不能被3 3整除的概率，整除的概率，（3 3）

11、取到的数能被）取到的数能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。整除的概率。解解:设设A取到取到的数能被的数能被2 2整除整除; ;B-B-取到取到的数能被的数能被3 3整除整除故故 袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球十人依次从袋中各取一球(不放回不放回)，问，问第一个人取得红球的概率是多少？第一个人取得红球的概率是多少？第第二二 个人取得红球的概率是多少？个人取得红球的概率是多少？1.4 条件概率条件概率若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为A条件下B的

12、条件概率，记作P(B|A)若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？一、条件概率一、条件概率例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率; （2）求第二次取到红球的概率（3）求两次均取到红球的概率设A第一次取到红球,B第二次取到红球S=ABA第一次取到红球,B第二次取到红球显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率条件概率(p14) 一般地，设A、B是S中的两个事件，则 “条件概率条件概

13、率”是是“概率概率”吗？吗？概率定义概率定义 若对随机试验E所对应的样本空间S中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)P(A) 00； (2) P(S)1;(3) 可列可加性可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称P(A)为事件A的概率概率。例例2.2.(p14)一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白两色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红白新4030旧2010设A-从盒中随机取到一只红球.

14、 B-从盒中随机取到一只新球. 二、二、乘法公式乘法公式(p15)设A、B ，P（A）0,则 P(AB)P(A)P(B|A). (1.4.2)式(1.4.2)就称为事件A、B的概率乘法公式乘法公式。 式(1.4.2)还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). (1.4.3) 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1). (1.4.4)例例3 3 合中有合中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从袋中任个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的

15、球，若从合中连续入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球取球4 4次次, ,试求第试求第1 1、2 2次取得白球、次取得白球、第第3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。解：设解：设A Ai i为第为第i i次取球时取到白球，则次取球时取到白球，则三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式例4.(p16)市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。定义定义 (p17)事件组A1，A2，An (n可为)，称为样本空间的一个划分，若满足：A1A2An

16、B定理定理1、(p17) 设设A1，, An是是的一个划的一个划分，且分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件则对任何事件B 有有 式式(1.4.5)就称为就称为全概率公式全概率公式。例例5 (P17)有有甲甲乙乙两两个个袋袋子子，甲甲袋袋中中有有两两个个白白球球，1个个红红球球，乙乙袋袋中中有有两两个个红红球球，一一个个白白球球这这六六个个球球手手感感上上不不可可区区别别今今从从甲甲袋袋中中任任取取一一球球放放入入乙乙袋袋，搅搅匀匀后后再再从从乙乙袋袋中中任任取取一球，问此球是红球的概率？一球，问此球是红球的概率？解：设A1从甲袋放入乙袋的是白球；A2从甲袋放入乙袋的是红球；B从乙袋中

17、任取一球是红球；甲乙定理定理2 2 (p18) 设A1，, An是S的一个划分，且P(Ai) 0，(i1，n)，则对任何事件BS，有 式(1.4.6)就称为贝叶斯公式贝叶斯公式。思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答答: :(P22,22.) (P22,22.) 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解解: :设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的. B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只

18、次品已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1由Bayes公式:例6(p18)数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?)BA (P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+ 0.067解：设A-发射端发射0， B- 接收端接收到一个“1”的信号0 (0.55)0 0

19、1 1 不不清清(0.9)(0.05)(0.05)1 (0.45)1 1 0 0 不不清清(0.85)(0.05)(0.1)条件概率 条件概率条件概率 小小 结结缩减样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式1.5 事件的独立性事件的独立性一、两事件独立一、两事件独立(P19) 定义定义1 设A、B是两事件，P(A) 0,若 P(B)P(B|A) (1.5.1)则称事件A与B相互独立。式(1.5.1)等价于： P(AB)P(A)P(B) (1.5.2)从一付从一付5252张的扑克牌中任意抽取一张，张的扑克牌中任意抽取一张，以以A A表示抽出一张表示抽出一张A A，以，以B B表示抽出一

20、张表示抽出一张黑桃，问黑桃，问A A与与B B是否独立？是否独立？定理、定理、以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。二、多个事件的独立二、多个事件的独立定义定义2、(p20) 若三个事件A、B、C满足：(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立两两相互独立；若在此基础上还满足：(2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), (1.5.3)则称事件A、B、C相互独立相互独立。一般地，设A1，A2，An是n个事件个事件，如果对任

21、意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik) (1.5.4)则称n个事件个事件A1，A2，An相互独立相互独立。思考：思考：1.设事件A、B、C、D相互独立，则2.一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷24次至少得一个双六，这两件事，哪一个有更多的机会遇到？答:0.518, 0.496三、事件独立性的应用三、事件独立性的应用1、加法公式的简化加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立, 则 (1.5.5)2、在可靠性理论上的应用在可靠性理论上的应用P23, 24如图，1、2、3、4、5表示继电器触点

22、,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。设设A-L至至R为通路为通路,Ai-第第i个继电器通个继电器通,i=1,2,5由全概率公式由全概率公式EX1:一个学生欲到三家图书馆借一本参考书每家图书馆购进这种书的概率是1/2，购进这种书的图书馆中该书被借完了的概率也是1/2各家图书馆是否购进该书相互独立问该学生能够借到书的概率是多少？第一章第一章 小结小结本章由六个概念（随机试验、事件、概率、条件概率、本章由六个概念（随机试验、事件、概率、条件概率、独立性），四个公式（加法公式、乘法公式、全概率独立性），四个公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式

23、）和一个概型（古典概型）组成公式、贝叶斯公式）和一个概型（古典概型）组成第二章随机变量第二章随机变量 离散型随机变量离散型随机变量随机变量的分布函数随机变量的分布函数连续型随机变量连续型随机变量 一维一维随机变量函数的分布随机变量函数的分布二维随机变量的联合分布二维随机变量的联合分布多维随机变量的边缘分布与独立性多维随机变量的边缘分布与独立性条件分布条件分布多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布 关于随机变量关于随机变量(及向量及向量)的研究，是概率论的的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的们

24、所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是个更高的理论体系，其基础概念是随机变量随机变量2.12.1随

25、机变量的概念随机变量的概念(p24)定义定义. . 设设S=eS=e是试验的样本是试验的样本空间，如果量空间，如果量X X是定义在是定义在S S上的一个上的一个单值实值函数即对于每一个单值实值函数即对于每一个e e S S，有一实数有一实数X=X(e)X=X(e)与之对应，则称与之对应，则称X X为为随机变量随机变量。随机变量随机变量常用常用X X、Y Y、Z Z 或或 、 、 等表示。等表示。随机变量的特点随机变量的特点: 1 X X的全部可能取值是互斥且完备的的全部可能取值是互斥且完备的2 X X的部分可能取值描述随机事件的部分可能取值描述随机事件EXEX引入适当的随机变量描述下列事件：引

26、入适当的随机变量描述下列事件：将将3 3个球随机地放入三个格子中，个球随机地放入三个格子中，事件事件A=A=有有1 1个空格个空格 ，B=B=有有2 2个空格个空格 ，C=C=全有球全有球 。进行进行5 5次试验，事件次试验，事件D=D=试验成功一次试验成功一次 ，F=F=试验至少成功一次试验至少成功一次 ，G=G=至多成功至多成功3 3次次 随机变量的分类随机变量的分类：随机变量随机变量2.22.2离散型随机变量离散型随机变量(P25)(P25)定义定义 若随机变量若随机变量X取值取值x1, x2, , xn, 且取这些值的概率依次为且取这些值的概率依次为p1, p2, , pn, , 则称

27、则称X为离散型随机变量，而称为离散型随机变量，而称PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为为X的的分布律分布律或概率分布。可表为或概率分布。可表为 X PX=xk=pk, (k=1, 2, )，或或 X Xx x1 1 x x2 2x xK KP Pk kp1p2pk(1) pk 0, k1, 2, ;(2) 例例1 设袋中有设袋中有5只球，其中有只球，其中有2只白只白3只黑。现从只黑。现从中任取中任取3只球只球(不放回不放回)，求抽得的白球数，求抽得的白球数X为为k的的概率。概率。解解 k可取值可取值0，1，22. 分布律的性质分布律的性质例例2.2.某射手对目标独立射击某射手对目标独立

28、射击5 5次，每次命中目标的概次，每次命中目标的概率为率为p p，以，以X X表示命中目标的次数，求表示命中目标的次数，求X X的分布律。的分布律。解：设解：设A Ai i第第i i次射击时命中目标，次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5i=1,2,3,4,5则则A A1 1,A,A2,2,A A5,5,相互独立且相互独立且P(AP(Ai i)=p,i=1,2,)=p,i=1,2,5. S5. SX X=0,1,2,3,4,5,=0,1,2,3,4,5,(1-p)5 几个常用的离散型分布几个常用的离散型分布（一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布1. (0-1)分布分布(p26) 若

29、以若以X表示进行一次试验事件表示进行一次试验事件A发生的次数，则称发生的次数，则称X服从服从(01)分布分布(两点分布两点分布) XPXkpk(1p)1k, (0p1时时,X的全部取值为的全部取值为:m,m+1,m+2,PX=m+1=P第第m+1次试验时成功并且次试验时成功并且 在前在前m次试验中成功了次试验中成功了m-1次次想一想：离散型随机变量的统计特征可以想一想：离散型随机变量的统计特征可以用分布律描述，非离散型的该如何描述？用分布律描述，非离散型的该如何描述？如：熊猫彩电的寿命如：熊猫彩电的寿命X X是一个随机变量，对是一个随机变量，对消费者来说，你是否在意消费者来说，你是否在意X5X

30、5年年 还是还是X5X5年零年零1 1分钟分钟 2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数一、分布函数的概念一、分布函数的概念. 定义定义(P29)(P29) 设设X是是随机变量，对任意实数随机变量，对任意实数x，事事件件X x的概率的概率PX x称为随机变量称为随机变量X的的分布函数分布函数。记为记为F(x)，即即 F(x)P X x. 易知，对任意实数易知，对任意实数a, b (ab), P aX bPX bPX a F(b)F(a).二、分布函数的性质二、分布函数的性质(P29) 1、单调不减性单调不减性：若：若x1x2, 则则F(x1) F(x2); 2、归一归一 性性：对任意实数：

31、对任意实数x，0 F(x) 1，且且 3、右连续性：对任意实数右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质分布函数的充分必要性质。一般地，对离散型随机变量一般地，对离散型随机变量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函数为其分布函数为 例例1 设随机变量设随机变量X具分布律具分布律如右表如右表解解X012P0.1 0.60.3试求出试求出X的分布函数的分布函数。例例2 向向0,1区间随机抛一质点，以区间随机抛一质点，以X表示质点坐表示质点坐

32、标标.假定假定质点落在质点落在0,1区间内任一子区间内的概率区间内任一子区间内的概率与区间长成正比与区间长成正比，求，求X的分布函数的分布函数解：解： F(x)=PXx 当x1时,F(x)=1当0x1时,特别,F(1)=P0x1=k=1用分布函数描述随机变量不如分布律直观，用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？a ab b2.4 连续型随机变量一、概率密度一、概率密度 1. 定义定义(p33) 对于随机变量对于随机变量X，若存在非负若存在非负函数函数f(x)，(- x+ )，使对任意实数使对任意实数x，都有都

33、有则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量， f(x)为为X的的概率概率密度函数密度函数，简称概率密度或密度函数，简称概率密度或密度函数. 常记为常记为X f(x) , (- x+ )密度函数的密度函数的几何意义几何意义为为2. 密度函数的性质密度函数的性质 (p34) (1) 非负性非负性 f(x) 0，(- x )； (2)归一性归一性性质性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；是密度函数的充要性质； 设随机变量X的概率密度为求常数a.答:(3) 若若x是是f(x)的连续点，则的连续点，则设随机变量X的分布函数为求f(x)（4 4） 对任意实数对任意实数b b，若若X X f(x)f(

34、x)，(-(- xx ) )，则则PX=PX=b b 0 0。于是于是P(35) P(35) 例例2.3.2.2.3.2.已知随机变量已知随机变量X X的概率密度为的概率密度为1)1)求求X X的分布函数的分布函数F(x), 2)F(x), 2)求求PXPX (0.5,1.5)(0.5,1.5)二、几个常用的连续型分布二、几个常用的连续型分布1. 均匀分布均匀分布(p36) 若Xf(x) 则称则称X在在(a, b)内服从内服从均匀分布。记作均匀分布。记作 XU(a, b) 对任意实数对任意实数c, d (acd0的的指数分布。指数分布。其分布函数为其分布函数为例例 .电子元件的寿命电子元件的寿

35、命X(X(年）年）服从参数为服从参数为3 3的指数的指数分布分布(1)(1)求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过2 2年的概率。年的概率。(2)(2)已知该电子元件已使用了已知该电子元件已使用了1.51.5年，求它还能年，求它还能使用两年的概率为多少？使用两年的概率为多少？解解例例. .某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T T，设设00，tt时段内过桥的汽车数时段内过桥的汽车数X Xt t服从服从参数为参数为 t t的泊松分布，求的泊松分布，求T T的概率密度。的概率密度。解当t 0时，当t 0时，=1- 在在t t时刻之前无汽车过桥时刻之前无汽车过桥于是正态

36、分布是实践中应用最为广泛，在理论上正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。别重要的地位。3. 正态分布正态分布ABA，B间真实距离为间真实距离为 ，测量值为，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？其中其中 为实数，为实数， 0 ，则称，则称X服从参数为服从参数为 , 2的的正态正态分布分布,记为记为N( , 2)，可表为可表为XN( , 2).若随机变量随机变量 (1) 单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x= 对称对称；(p38)f()maxf(x) .正态分布有两个特性正态分

37、布有两个特性：(2) 的大小直接影响概率的分布的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻越小，曲线越陡峻，。，。正态分布也称为高斯正态分布也称为高斯(Gauss)分布分布4.标准正态分布标准正态分布(p38) 参数参数 0， 21的正态分布称为的正态分布称为标准正态分标准正态分布，记作布，记作XN(0, 1)。分布函数表示为分布函数表示为其其密度函数密度函数表示为表示为一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅供读者查阅 (x)的值。的值。(P226附表附表1)如，若如，若ZN（0，1）, （0.5)=0.69

38、15,P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注注：(1) (x)1 (x)； (2) 若XN(, 2)，则正态分布表设随机变量设随机变量XN(-1,22),P-2.45X2.45=?P(39)P(39)例例2.3.5.2.3.5.设设 X X N(N( , , 2 2),),求求PP -3-3 XX3|X|3的值的值. . 如在质量控制中，常用标准指标值如在质量控制中，常用标准指标值3 3 作作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报外时发出警报. .表明生产出现异常表明生产出现异常. .正态分布表(p6

39、7)14 一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布分布(100,15(100,152 2),),某仪器上装有某仪器上装有3 3个这种元件，三个个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的元件损坏与否是相互独立的. .求：使用的最初求：使用的最初9090小时小时内无一元件损坏的概率内无一元件损坏的概率. .解:设设Y为为使用的最初使用的最初9090小时内损坏的元件数小时内损坏的元件数, ,故则YB(3,p)其中正态分布表一、离散型随机变量函数的分布律一、离散型随机变量函数的分布律 2.5 2.5 一维随机变量函数的分布一维随机变量函数的分布 (p55) 设设X

40、一个随机变量，分布律为一个随机变量，分布律为 XPXxkpk, k1, 2, 若若yg(x)是一元单值实函数，则是一元单值实函数，则Yg(X)也是一个随也是一个随机变量。求机变量。求Y的分布律的分布律.例例:已知已知XPk-1 0 1求：求：Y=X2的分布律的分布律YPk1 0 或或 Yg(X)PYg(xk)pk ， k1, 2, （其中其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）有相同的，其对应概率合并。）一般地一般地XPkY=g(X)二、连续型随机变量函数的密度函数二、连续型随机变量函数的密度函数 1 1、一般方法、一般方法(p56)(p56) 若若Xf(x), -Xf(x), - x +

41、x + , Y=g(X), Y=g(X)为随为随机变量机变量X X 的函数，则可先求的函数，则可先求Y Y的分布函数的分布函数 FY (y) PY yP g(X) y 然后再求然后再求Y的密度函数的密度函数此法也叫此法也叫“ 分布函数法分布函数法”例例1.1.设设X X U(-1,1),U(-1,1),求求Y=XY=X2 2的分布函数与概率密度。的分布函数与概率密度。当y0时当0y1时当y1时例例2.2.设设X X的概率密度为的概率密度为f fX X(x),y=g(x)(x),y=g(x)关于关于x x处处可导且是处处可导且是x x的严格单减函数，求的严格单减函数，求Y=g(X)Y=g(X)的

42、概率密度。的概率密度。解：解：Y Y的分布函数为的分布函数为FY(y)=PYy=Pg(X)y=PXg-1(y)=1-FX(g-1(y)Y Y的概率密度为的概率密度为 fY(y)=F(g-1(y)=fX(g-1(y) g-1(y)2、公式法：一般地 若XfX(x), y=g(x)是单调可导函数，则 注注：1 1 只有当只有当g(x)g(x)是是x x的单调可导函数时，才可用以的单调可导函数时，才可用以上公式推求上公式推求Y Y的密度函数。的密度函数。2 2 注意定义域的选择注意定义域的选择其中h(y)为yg(x)的反函数.例3.已知XN(,2),求 解：的概率密度关于x严单,反函数为故例例4 4

43、 设设XU(0,1),XU(0,1),求求Y=ax+bY=ax+b的概率密度的概率密度.(a0).(a0)解解: Y=ax+bY=ax+b关于关于x严单严单,反函数为反函数为故而故小结.习题课习题课一、填空：一、填空：1.设随机变量设随机变量X服从参数为（服从参数为（2,p）的二项分布，）的二项分布，随机变量随机变量Y服从参数（服从参数（3,p）的二项分布，若）的二项分布，若 ， 则则PY1=2.设随机变量设随机变量X服从（服从（0，2）上的均匀分布，则随）上的均匀分布，则随机变量机变量Y=X2在（在（0，4）内的密度函数为）内的密度函数为fY(y)= 3.设随机变量设随机变量XN（2，2 2

44、），且），且P（2X4）=0.3，则，则P(X0)=二二. .从某大学到火车站途中有从某大学到火车站途中有6 6个交通岗个交通岗, ,假设在各假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立个交通岗是否遇到红灯相互独立, ,并且遇到红灯的并且遇到红灯的概率都是概率都是1/3.1/3.以以Y Y表示汽车在第一次停止之前所通表示汽车在第一次停止之前所通过的交通岗数过的交通岗数, ,求求Y Y的分布律的分布律.(.(假定汽车只在遇到假定汽车只在遇到红灯或到达火车站时停止红灯或到达火车站时停止) )三、三、某射手对靶射击，单发命中概率都为某射手对靶射击，单发命中概率都为0.6，现，现他扔一个均匀的骰子，扔出几点就

45、对靶独立射击他扔一个均匀的骰子，扔出几点就对靶独立射击几发，求他恰好命中两发的概率。几发，求他恰好命中两发的概率。四.已知随机变量已知随机变量X X的概率密度为的概率密度为求：求：Y=1-XY=1-X2 2的概率密度的概率密度2.6 二维随机变量的联合分布一、 多维随机变量1.1.定义定义( (p41)p41)将将n n个随机变量个随机变量X X1 1，X X2 2，.,X.,Xn n构构成一个成一个n n维向量维向量 (X(X1,1,X X2 2,.,X,.,Xn n) )称为称为n n维随机变量。维随机变量。一维随机变量一维随机变量XR1上的随机点坐标上的随机点坐标二维随机变量二维随机变量

46、(X,Y)R2上的随机点坐标上的随机点坐标n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)Rn上的随机点坐标上的随机点坐标多维随机变量的研究方法也与一维类似，多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律律 (p41)设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)R2, 则称 F(x,y)=PXx, Yy为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。 二. 联合分布函数联合分布函数几何意义：几何意义：分布函数分布函数F( )表示随机点表示随机点(X,Y)落在区域落在区域 中的概率。如图阴影部分：中的概率。如图阴影部分：对

47、于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ),则 Px1X x2， y1yy2 F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1).(x1, y1)(x2, y2)(x2, y1)(x1, y2)分布函数F(x, y)具有如下性质：(p41-42)且(1)归一性归一性 对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1, (2)单调不减单调不减 对任意y R, 当x1x2时， F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意x R, 当y1y2时， F(x, y1) F(x , y2). (3)右连续右连续 对任意xR, yR, (4)

48、矩形不等式矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)0.反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。例2.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为1)求常数A，B，C。 2)求P0X2,0YY求：求：(1)(1)常数常数A A；(2) F(1,1)(2) F(1,1)；(3) (X, Y)(3) (X, Y)落在三角形区域落在三角形区域D D：x x 0, y0, y 0, 0, 2X+3y2X+3y 6 6

49、内的概率。内的概率。 例例4. 设解(1)由归一性(3) (X, Y)(3) (X, Y)落在三角形区域落在三角形区域D D：x x 0, y0, y 0, 0, 2X+3y2X+3y 6 6 内的概率。内的概率。解 3. 两个常用的二维连续型分布两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布二维均匀分布(p45) 若二维随机变量若二维随机变量(X, Y)的密度函数为的密度函数为则称则称(X, Y)在区域在区域D上上(内内) 服从均匀分布。服从均匀分布。 易见，若（易见，若（X，Y）在区域在区域D上上(内内) 服从均匀分布，服从均匀分布，对对D内任意区域内任意区域G，有有例例5.5.设设(X,Y

50、)(X,Y)服从如图区服从如图区域域D D上的均匀分布，上的均匀分布，(1)(1)求求(X,Y)(X,Y)的概率密度的概率密度；(2)(2)求求PY2X PY0、 20、| |1，则称，则称(X, Y) 服从参数为服从参数为 1, 2, 1, 2, 的的二维正态分布，可记为二维正态分布，可记为 (2)二维正态分布二维正态分布N( 1, 2, 1, 2, ) 若二维随机变量若二维随机变量(X, Y)的密度函数为的密度函数为(P101)分布函数的概念可推广到分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。维随机变量的情形。事实上，对事实上，对n维随机变量维随机变量(X1, X2, , Xn)， F(x1

51、, x2, , xn)P(X1 x1, X2 x2, , Xn xn)称为的称为的n维随机变量维随机变量(X1, X2, , Xn)的的分布函数，分布函数，或或随机变量随机变量X1, X2, , Xn的联合的联合分布函数分布函数。定义定义2.4.6. n2.4.6. n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )，如果存在非负的如果存在非负的n n元函数元函数f(xf(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n) )使对任意的使对任意的n n元立方体元立方体定义定义2.4.7. 2.4.7. 若若(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )的全部可能取值为的全

52、部可能取值为R Rn n上的有限或可列无穷多个点，称上的有限或可列无穷多个点，称(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )为为n n维离散型的，称维离散型的，称PXPX1 1=x=x1,1,X X2 2=x=x2 2,.X,.Xn n=x=xn n ，(x(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n) )为为n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )的联合分布律。的联合分布律。则称则称(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )为为n n维连续型随机变量，称维连续型随机变量，称f(xf(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n) )为为(X(

53、X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )的概率密度。的概率密度。求求：（1 1）PXPX 0,(2)PX0,(2)PX 1,(3)PY 1,(3)PY y y0 0 EX:EX:随机变量（随机变量（X X，Y Y）的概率密度为）的概率密度为xyD答答: PXPX 0=00=0FY(y)F (+, y) PYy 称为称为二维随机变量二维随机变量(X, Y)关于关于Y的边缘分布函数的边缘分布函数. 2.7.边缘分布与独立性边缘分布与独立性一、边缘分布函数一、边缘分布函数(p46)(p46)FX(x)F (x, +) PXx称为二维随机变量称为二维随机变量(X, Y)关于关于X的边缘分布函数；

54、的边缘分布函数；边缘分布实际上是高维随机变量的某个边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些某些)低维分量的分布低维分量的分布。例例1.已知已知(X,Y)的分布函数为的分布函数为 求求FX(x)与与FY(y)。二、边缘分布律二、边缘分布律若随机变量若随机变量X与与Y的联合分布的联合分布律为律为 (p47) (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，i, j1, 2, 则称则称 PXxipi. ，i1, 2, 为为(X, Y)关于关于X的的边缘分布律边缘分布律； PY yjp.j ，j1, 2, 为为(X, Y)关于关于Y的边缘分布律。的边缘分布律。 边缘分布律自然也满足分布律的性质。边缘分

55、布律自然也满足分布律的性质。例例2.已知已知(X,Y)的分布律为的分布律为xy10 11/10 3/100 3/10 3/10求求X、Y的边缘分布律。的边缘分布律。解：解：xy10pi.11/10 3/1003/10 3/10 p.j 故关于故关于X和和Y的分布律分别为：的分布律分别为： X10Y10 P 2/53/5P2/53/52/53/52/53/5三、边缘密度函数三、边缘密度函数为为(X, Y)关于关于Y的边缘密度函数。的边缘密度函数。 设设(X, Y)f (x, y), (x, y) R2, 则称则称 (p48)(p48) 为为(X, Y)关于关于X的边缘密度函数；的边缘密度函数；

56、同理，称同理，称易知易知N( 1, 2, 12, 22, )的边缘密度函数的边缘密度函数fX(x)是是N( 1, 12)的密度函数，而的密度函数，而fX(x)是是N( 2, 22)的密度函数，故的密度函数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布二维正态分布的边缘分布也是正态分布。例例3.3.设设(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为（1 1）求常数）求常数c;(2)c;(2)求关于求关于X X的边缘概率密度的边缘概率密度解解:(1)由归一性由归一性设设(X,Y)(X,Y)服从如图区域服从如图区域D D上上的均匀分布，的均匀分布， 求关于求关于X X的和关于的和关于Y Y的边缘的边缘概率密度

57、概率密度x=yx=-y四、随机变量的相互独立性四、随机变量的相互独立性定定义义2.4.1 2.4.1 称称随随机机变变量量X X与与Y Y独独立立，如如果果对对任任意意实实数数ab,cdab,cd，有，有(p49)(p49)paXpaX b,cYb,cY d=paXd=paX bpcYbpcY d d 即即事事件件aXaX bb与与事事件件cYcY dd独独立立，则则称称随随机机变量变量X X与与Y Y独立。独立。定理定理2.4.22.4.2：随机变量：随机变量X X与与Y Y独立的充分必要条件独立的充分必要条件是是(p49)(p49)F(x,y)=FX(x)FY(y) 定定理理2.4.3.(

58、p50) 2.4.3.(p50) 设设(X,Y)(X,Y)是是二二维维连连续续型型随随机机变变量量，X X与与Y Y独立的充分必要条件独立的充分必要条件是是f(x,y)=ff(x,y)=fX X(x)f(x)fY Y(y)(y)定定理理2.4.4. 2.4.4. (p50)(p50)设设(X,Y)(X,Y)是是二二维维离离散散型型随随机机变变量量，其其分分布布律律为为P Pi,ji,j=PX=x=PX=xi,i,Y=yY=yj j,i,j=1,2,.,i,j=1,2,.，则则X X与与 Y Y独独 立立 的的 充充 分分 必必 要要 条条 件件 是是 对对 任任 意意 i,ji,j，P Pi,

59、ji,j=P=Pi i . .P P j j 。由上述定理可知，要判断两个随机变量由上述定理可知，要判断两个随机变量X X与与Y Y的独立性，只需求出它们各自的边缘的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对分布，再看是否对(X,Y)(X,Y)的每一对可能取的每一对可能取值点值点, ,边缘分布的乘积都等于联合分布即边缘分布的乘积都等于联合分布即可可EXEX：判断例：判断例1 1、例、例2 2、例、例3 3中的中的X X与与Y Y是否相互独立是否相互独立例例(p50).已知随机变量已知随机变量(X,Y)的分布律为的分布律为且知且知X与与Y独立，求独立，求a、b的值。的值。例例4.(p51)4

60、.(p51)甲乙约定甲乙约定8:008:00 9:009:00在某地会面。设两人都随机地在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待到者最多等待1515分钟过时不候。分钟过时不候。求两人能见面的概率求两人能见面的概率。定义定义. 设设n维随机变量维随机变量(X1,X2,.Xn)的分布函数为的分布函数为F(x1,x2,.xn), (X1,X2,.Xn)的的k（1 k0, 则称同理，同理，对固定的i, pi. 0, 称为X xi的条件下，Y的条件分布律条件分布律;EXEX.设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8

61、,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫产卵数X与下一代只数Y的联合分布律.二 连续型随机变量的条件概率密度定义. 给定y，设对任意固定的正数0，极限存在，则称此极限为在条件条件下X的条件分布函数.记作可证当 时 若记 为在Y=y条件下X的条件概率密度，则由(3.3.3)知,当 时， . 类似定义，当 时例2.已知(X,Y)的概率密度为(1)求条件概率密度(2)求条件概率xy1解:=p552.8 多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布一、一、二维离散型随机变量函数的分布律二维离散型随机变量函数的分布律设二维离散型随机变量（X，Y）， (X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ，i, j1,

62、2, 则 Zg(X, Y)PZzk pk , k1, 2, (X,Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj)pijp12p13p14Z=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)或 EXEX 设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为 X 0 1 P q p (1) 求WXY的分布律;(2) 求Vmax(X, Y)的分布律；(3) 求Umin(X, Y)的分布律。(4)求w与V的联合分布律。(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pijWXYVmax(X, Y)Umin(X, Y)011201110001VW0 10 1 2000二、多个随机变量函

63、数的密度函数二、多个随机变量函数的密度函数1、一般的方法：、一般的方法：分布函数法分布函数法(p60) 若(X1, X2, , Xn)f (x1, x2, , xn), (x1, x2, , xn)Rn, Y=g(X1, X2, , Xn), 则可先求Y的分布函数: 然后再求出Y的密度函数:2、几个常用函数的密度函数 (1)和的分布 已知(X, Y)f(x, y), (x, y)R2, 求ZXY的密度。 z x+y=z x+y z 若X与Y相互独立，则ZXY的密度函数 例1. 设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布。一般地，设随机变量X1, X2，.,

64、Xn独立且Xi服从正态分布N(i ,i2),i=1,.,n, 则p62例2.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.解:设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量.则由题意,令查表得 (2)商的分布 已知(X, Y)f(x, y), (x, y)R2, 求Z 的密度。 y G1 0 x G2特别，当X，Y相互独立时，上式可化为 其中fX(x), fY(y)分别为X和Y的密度函数。 3、极大、极大(小小)值的分布值的分布 设X1, X2, , Xn相互独立，其分布函数分别为F1(x

65、1),F2(x2), , Fn(xn)，记MmaxX1, X2, , Xn , NminX1, X2, , Xn 则，M和N的分布函数分别为： FM(z)F1(z) Fn(z) 特别，当X1, X2, , Xn独立同分布(分布函数相同)时，则有 FM(z)F(z)n; FN(z)11F(z)n. 进一步地，若X1, X2, , Xn独立且具相同的密度函数f (x)，则M和N的密度函数分别由以下二式表出 fM(z)nF(z)n1f (z)； fN(z)n1F(z)n1f (z). 例3. 设系统L由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方式分别为(i)串联，(ii)并联，如图所示设L1,L2的寿命

66、分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为其中0，0,试分别就以上两种联结方式写出L的寿命Z的概率密度小结小结第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 随机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量的方差随机变量的方差随机变量的协方差和相关系数随机变量的协方差和相关系数大数定律大数定律中心极限定理中心极限定理3.13.1数学期望数学期望一一. .数学期望的定义数学期望的定义例例1 设某班设某班40名学生的概率统计成绩及得分名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：人数如下表所示： 分数分数 40 60 70 80 90 100 人数人数 1 6 9 15 7 2则学生的平均成绩是总分则学生

67、的平均成绩是总分总人数总人数(分分)。即。即数学期望数学期望描述随机变量取值的平均特征描述随机变量取值的平均特征 定义定义 1. 若XPX=xk=pk, k=1,2,n, 则称 定义定义 2. (p73)若XPX=xk=pk, k=1,2,且 为r.v.X的数学期望，简称期望或均值。，则称为r.v.X的数学期望例例2 掷一颗均匀的骰子，以掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求表示掷得的点数，求X的数学期望。的数学期望。定义定义 3 若若Xf(x), - x0)a0) (p77) (p77)定理定理2 若Xf(x), -x, 则Y=g(X)的期望推论推论 若若(X, Y) f (x, y),

68、- x , - y0,DY0，则称为X与Y的相关系数相关系数. 注：注：若记若记称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且2.相关系数的性质相关系数的性质 (1) |XY|1； (2) |XY|=1存在常数a, b 使PY= aX+b=1； (3) X与Y不相关 XY=0;1.设设(X,Y)服从区域服从区域D:0x1,0y0, 使得则称Xn依概率收敛依概率收敛于于X. 可记为可记为切切比比雪雪夫夫不不等等式式如如意思是意思是:当当a而而意思是意思是:时时,Xn落在落在内的概率越来越大内的概率越来越大.,当当二二.几个常用的大数定律几个常用的大数定律1.切比雪夫切比雪夫大数定律大数定律 设X

69、k,k=1,2,.为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望，及方差20，则即若任给0, 使得证明证明:由切由切比雪夫不等式比雪夫不等式这里这里故故2.伯努里伯努里大数定律大数定律 设进行设进行n次独立重复试验，每次试验中事件次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p，记，记fn为为n次试验中事件次试验中事件A发生的频发生的频率，则率，则证明证明:设设第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则由切由切比雪夫大数定理比雪夫大数定理3. 辛钦大数定律辛钦大数定律 若若Xk,k=1.2,.为独立为独立同分布同分布随机变量序列随机变量序列, EXk=

70、 , k=1, 2, 则则推论推论:若若Xi,i=1.2,.为独立为独立同分布同分布随机变量序列随机变量序列, E(X1k)= , 则则3.6.3. 中心极限定理中心极限定理一一.依分布收敛依分布收敛 设设Xn为随机变量序列，为随机变量序列，X为随机变量，其为随机变量，其对应的分布函数分别为对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在若在F(x)的的连续点，有连续点，有则称则称Xn依分布收敛依分布收敛于于X. 可记为可记为二二.几个常用的中心极限定理几个常用的中心极限定理1.独立同分布独立同分布中心极限定理中心极限定理(Levy-Lindeberg) 设设Xn为独立为独立同分布同分布随机

71、变量序列，若随机变量序列，若EXk= ，DXk= 2 ，k=1, 2, , 则则Xn满满足中心极限足中心极限定理。定理。根据上述定理，当根据上述定理，当n充分大时充分大时例例1.1.将一颗骰子连掷将一颗骰子连掷100100次，则点数之和不少于次，则点数之和不少于500500的概率是多少？的概率是多少？解解:设设 Xk为第为第k 次掷出的点数次掷出的点数,k=1,2,100,则则X1,X100独立同分布独立同分布.由中心极限定理由中心极限定理设随机变量设随机变量 n(n=1, 2, .)服从参数为服从参数为n, p(0p1)的二项分布，则的二项分布，则2.德莫佛德莫佛-拉普拉斯中心极限定理拉普拉

72、斯中心极限定理(De Moivre-Laplace)证明证明:设设第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则由中心极限定理由中心极限定理,结论得证结论得证 例例2 2 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问： (1)保险公司亏本的概率有多大？ (2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？解解 设设X表示一年内死亡的人数，则表示一年内死亡的人数，则XB(n, p), 其中其中n= 10000，p=0.6%，设设

73、Y表示保险公司一年的利润，表示保险公司一年的利润， Y=10000 12-1000X于是于是由中心极限定理由中心极限定理 (1)PY0=P10000 12-1000X60000=P1000012-aX60000=PX 60000/a 0.9;（2）设赔偿金为）设赔偿金为a元，则令元，则令由中心极限定理由中心极限定理,上式等价于上式等价于第四第四 章章 样本及抽样分布样本及抽样分布引言引言随机样本随机样本抽样分布抽样分布run4.1 随机样本随机样本一、总体与样本一、总体与样本 1. 1. 总体总体：研究对象的全体。通常指研究对象的某项数量指标。组成总体的元素称为个体。个体。从本质上讲，总体就是

74、所研究的随机变量或从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。随机变量的分布。2. 样本：样本：来自总体的部分个体X X1 1， ，X Xn n 如果满足：如果满足：（1）同分布性：同分布性： Xi，i=1,n与总体同分布.（2）独立性：独立性： X1， ，Xn 相互独立； 则称为容量为n 的简单随机样本，简称样本样本。而称X1， ，Xn 的一次实现为样本观察值，记为x1， ，xn 来自总体X的随机样本X X1 1， ，X Xn n可记为显然，样本联合分布函数或密度函数为或或3.总体、样本、样本观察值的关系总体、样本、样本观察值的关系总体总体 样本样本 样本观察值样本观察值 理论分布

75、理论分布 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断样本观察值，去推断总体的情况总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体推断总体二、统计量二、统计量定义：称样本X1， ，Xn 的函数g(X1， ，Xn )是总体X的一个统计量统计量,如果如果g(X1， ，Xn )不含不含 未知未知 参数参数几个常用的统计量 ： 3.样本样本k阶矩阶矩4.2 抽样分布抽样分布一、

76、一、 2分布分布 统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布： 2 2分布、 t t 分布和F F分布。 2.2分布的分布的密度函数密度函数f(y)曲线曲线3. 分位点分位点 设X 2(n)，若对于 ：0 1， 存在满足满足则称则称为为分布的上分布的上 分位点。分位点。P228附表附表34.性质：性质：(p124)a.分布可加性分布可加性 若X 2(n1)，Y 2(n2 )， X， Y独立，则 X + Y 2(n1+n2 )b.期望与方差期望与方差 若X 2(n)，则E(X)= n，D(X)=2n1.构造构造 若 N(0, 1), 2(n), 与 独立，则t(n)称为自由度为n的t

77、分布。二、二、t分布分布t(n)(n) 的概率密度为(p125)2.2.基本性质基本性质: (1) f(t)(1) f(t)关于t=0t=0(纵轴)对称。 (2) f(t)(2) f(t)的极限为N(0N(0，1)1)的密度函数，即 3.3.分位点分位点设T Tt(n)t(n)，若对 :0:0 1,0(n)0， 满足PTPT t t (n)=(n)= ，则称t t (n)(n)为t(n)t(n)的上侧分位点注注:三、三、F分布分布1.构造构造 若 1 2(n1)， 2 2(n2)， 1， 2独立，则 称为第一自由度为n1 ，第二自由度为n2的F分布,其概率密度为2. F2. F分布的分位点分布

78、的分位点对于对于 ：00 10)0，满足满足PFPF F F (n(n1 1, , n n2 2)=)= ， 则称则称F F (n(n1 1, , n n2 2) )为为F(nF(n1 1, , n n2 2) )的的上侧上侧 分位点；分位点；证明证明:设设FF(n1,n2),则则注：注：得证得证!4.3 正态总体的抽样分布定理正态总体的抽样分布定理证明证明:是是n 个独立的正态随个独立的正态随机变量的线性组合机变量的线性组合,故故服从正态分布服从正态分布(3)证明证明:且且U与与V独立独立,根据根据t分布的构造分布的构造得证得证!(P127)例1：设总体XN(10,32), X1， ，Xn是

79、它的一个样本(1)写出Z所服从的分布;(2)求P(Z11).例2：设X1， ，X10是取自N（0，0.32)的样本,求例3：设X1， ，Xn是取自N（,2)的样本,求样本方差S2的期望与方差。第五章第五章 参数估计参数估计点估计点估计 估计量的评选标准估计量的评选标准 区间估计区间估计正态总体参数的区间估计正态总体参数的区间估计5.2 5.1 5.1 点估计点估计一、参数估计的概念一、参数估计的概念 定义定义 设X1， ， Xn是总体X的一个样本，其分布函数为F(x; ), 。其中为未知参数, 为参数空间, 若统计量g(X1， ， Xn)可作为 的一个估计,则称其为的一个估计量，记为注：注：F

80、(x; )也可用分布律或密度函数代替.若x1， ， xn是样本的一个观测值。 由于g(x1， ， xn) 是实数域上的一个点，现用它来估计 ， 故称这种估计为点估计点估计。 点估计的经典方法是矩估计法与极大似然估极大似然估计法计法。二、矩估计法（简称二、矩估计法（简称“矩法矩法”） 关键点：1.用样本矩作为总体同阶矩的估计，即2.约定：若 是未知参数的矩估计，则g()的矩估计为g( ), 例例1：设X1， ， Xn为取自总体B(m,p),的样本，其中m已知，0p0为一给定实数。求p=PX0未知，求参数 的极大似然估计。5.2 5.2 估计量的评选标准估计量的评选标准一、一致性一、一致性例例1.

81、设设 已知已知0p0,b0,a+b=1a0,b0,a+b=1统计量统计量 都是都是E E（X X）的无偏估）的无偏估计，并求计，并求a,ba,b使所得统计量最有效使所得统计量最有效5.3 5.3 区间估计区间估计一、概念一、概念 定义：定义： 设总体X的分布函数F(x；)含有未知参数，对于给定值（0 0(或 0 或H0：0；H1：u 0,现考虑完备的右边HT问题H0：0；H1： 0,若取拒绝域为则犯第一类错误的概率为于是故是H0：0；H1： 0,的水平为的拒绝域 例例1 1：设某厂生产一种灯管, 其寿命X N(X N( , 200, 2002 2), ), 由以往经验知平均寿命 =1500=1

82、500小时, 现采用新工艺后, 在所生产的灯管中抽取2525只, 测得平均寿命16751675小时, 问采用新工艺后, 灯管寿命是否有显著提高。(=0.05)解:这里拒绝H0左边HT问题H0： = 0；H1： 0,或或H0：0；H1： 1.96,|U|=3.781.96,故拒绝故拒绝H H0 0, ,说明可以认为说明可以认为该日铁水的平均含碳量显著异于该日铁水的平均含碳量显著异于4.55.4.55.但无但无法说明是显著高于还是低于法说明是显著高于还是低于4.55.4.55.不合题意不合题意若用右边检验若用右边检验, H, H0 0：4.554.55；H H1 1： 4.554.55, ,则拒绝

83、域为则拒绝域为由由U=-3.78-1.96,U=-3.78 0, 或或H0： 0 ；H1： 0,由pT t (n 1) = , 得水平为的拒绝域为T t (n 1),(P173,7) (P173,7) 某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为10620 (kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取10根,测得抗拉强度(kg/mm2)为: 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666, 10670. 认为抗拉强度服从正态分布,取=0.05 ,问新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合金线抗拉强度要高?解解:H0：

84、 =10620；H1： 10620由pT t0.05(9) =0.05, 得拒绝域为T t0.05(9)=1.8331这里接受H0左边HT问题 H0： = 0 ；H1： 0, 或或H0： 0 ；H1： 0,由pT - t (n 1) = , 得水平为的拒绝域为T - t (n 1)EX EX 设正品镍合金线的抗拉强度服从均值不低于设正品镍合金线的抗拉强度服从均值不低于10620 10620 (kg/mm(kg/mm2 2) )的正态分布的正态分布, , 今从某厂生产的镍合金线中抽取今从某厂生产的镍合金线中抽取1010根根, ,测得平均抗拉强度测得平均抗拉强度10600 (kg/mm10600

85、(kg/mm2 2) ,) ,样本标准差为样本标准差为80.,80.,问该厂问该厂的镍合金线的抗拉强度是否不合格的镍合金线的抗拉强度是否不合格? (? ( =0.1)=0.1) 解解:H0：10620；H1： 10620由pT - t0.1(9) =0.1, 得拒绝域为T - t0.1(9) =1.383这里接受H0二、单总体方差的假设检验二、单总体方差的假设检验假定假定 未知, 双边检验:对于假设得水平为的拒绝域为(P173,11.)电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化时间（min）为42, 65, 75, 78, 59, 57, 68, 54, 55, 71.问是否可以认为整批保险

86、丝的熔化时间的方差小于等于80?(=0.05) , 熔化时间为正态变量.)得水平为=0.05的拒绝域为这里接受H0设设保保险险丝丝的的融融化化时时间间服服从从正正态态分分布布，取取9 9根根测测得得其其熔熔化化时时间间（minmin）的的样样本本均均值值为为62,62,标标准准差差为为 10.10.(1)(1)是是否否可可以以认认为为整整批批保保险险丝丝的的熔熔化化时时间间服服从从N(60, 9N(60, 92 2 ) ? () ? ( =0.05)=0.05)(2)(2)是是否否可可以以认认为为整整批批保保险险丝丝的的熔熔化化时时间间的的方方差显著大于差显著大于70?(70?( =0.05)

87、=0.05)答:(1) |t|=0.62.306,接受60;2.18X2=9.87717.535,接受 10(2) X2=11.421.3304,故拒绝故拒绝H H0,0,认为认为甲安眠药比乙安眠药疗效甲安眠药比乙安眠药疗效显著显著上题中,试检验是否乙安眠药比甲安眠药疗效显著?二、方差比的假设检验二、方差比的假设检验两样本独立, 给定检验水平 , 由观测值假定假定 1, 2未知由pF F1/2(n1 1, n2 1)或F F /2(n1 1, n2 1) = F1/2F /2得拒绝域F F1/2(n1 1, n2 1) 或F F /2(n1 1, n2 1)而对应的单边问题拒绝域为F F (n

88、1 1, n2 1)F F1(n1 1, n2 1)拒绝域为P174,21.P174,21.有甲乙两种机床有甲乙两种机床, ,加工同样产品加工同样产品, ,从这两台机床加工从这两台机床加工的产品中的产品中 随随 机机 地地 抽抽 取取 若若 干干 产品产品, ,测得产品直径为测得产品直径为( (单单位位:mm):mm):甲甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.9, 19.6, : 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.9, 19.6, 19.9.19.9.乙乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2. : 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2. 假定甲假定甲, ,乙乙 两台机床的产品直径都服从正态分布两台机床的产品直径都服从正态分布, ,试比较甲试比较甲, ,乙两台机床加工的精度有无显著差异乙两台机床加工的精度有无显著差异?(?( =0.05=0.05 )解:拒绝域为F F1 0.025(7, 6)=1/5.12=0.1953或F F0.025(7, 6)=5.7这里: 接受H0温馨提示：本PPT课件下载后，即可编辑修改，也可直接使用。（希望本课件对您有所帮助）