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1、第第2 2章章 离散系统的变换域分析离散系统的变换域分析z变换变换 2.1 z变换和逆z变换2.2 离散系统的系统函数与系统特性的描述2.4 系统的频率响应与系统滤波特性2.3 离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）12.1 2.1 z变换和逆变换和逆z变换变换2.1.1 z变换的定义与收敛域1. z变换的定义对于离散时间信号x(n)，x(n)的z变换定义为记为：简称z变换。2例例1 1 已知两序列分别为分别求它们的z变换。解：解： ，它是几何级数，若时，级数收敛，于是，即3 同理 4对于任意给定的有界序列xn，使z变换定义式级数收敛的z值的集合，称为z变换的收敛域（变换的收敛域（ROC）。 比
2、值判定法比值判定法：若有一个正项级数 根值判定法根值判定法：若有一个正项级数52. z变换收敛域 按照级数理论，级数收敛的充分必要条件是绝对可和，因此，z变换收敛的充要条件为: 通常可以用两种方法求级数的收敛域比值判定法和根值判定法。 所谓根值判定法就是说若有一个正项级数 ，令正项级数一般项的n次根等于 ，即当 时级数收敛， 时级数发散， 时,级数可能收敛也可能发散。 6要满足上述不等式， 必须限定在一定的范围内，这个范围就称为z变换的收敛域 ( ROC )。3.序列的类型与收敛域(1) 有限长序列有限长序列是指在有限区间( )之间内，序列具有非零的有限值，在此区间内，序列值都为零，即：显然，
3、z在 区域，都满足此条件。7 7有限长序列的收敛域是否包含0点或者 主要由序列的起始、终止位置 和 决定，收敛域可分为以下三种情况： 当 时（双边有限序列），收敛域为当 时（右边有限序列），收敛域为当 时（左边有限序列），收敛域为X XX X8 82）右边序列）右边序列 这类序列是有始无终的序列，即当nn1时xn=0。此时 z变换为若满足即 则其级数收敛。其中 为收敛半径。可见，右边序列的收敛域是半径 的圆外部分。 收敛域(b)收敛域91、n10 n2=1011因果序列：在右边序列中，有一种特殊的右边序列，即 的序列，这样的序列称为因果序列，即：其收敛域为：或简记为113) 左边序列左边序列
4、这类序列是无始有终的序列，nn2时xn=0。此时z变换为 若令m= - n，上式变为 如果将变量再改为n，则 12若满足即则该级数收敛。可见，左边序列的收敛域是半径为Rx2的圆内部分。 131、n1=- n202、n1=- n2 0, b 0, b a）。解解：这是一个双边序列，令则：由上例结果可以直接得到x1n与x2n的z变换，即17Re(z)jIm(z)18例2-5 已知某序列x(n)z变换X(z)的极点分布如图所示，试判断X(z)可能的ROC及对应序列x(n)的类型。 Re(z)jIm(z)z1z2z3解：由于不同的收敛域对应不同的序列，因此有：(1)当 ，对应的序列x(n)为左边序列。
5、(2)当 ，对应的序列x(n)为双边序列。(3)当 ，对应的序列x(n)为双边序列。(4)当 ，对应的序列x(n)为右边序列。19典型离散序列的典型离散序列的z变换变换（一）单位样值序列（一）单位样值序列（二）单位阶跃序列（二）单位阶跃序列0n20（三）斜变序列（三）斜变序列un01n1 2 3 421Zxn0n22上式两边分别对上式两边分别对z -1求导，得求导，得 两边乘以两边乘以z -1 ，得，得 （四）指数序列（四）指数序列Z（1 1）右边指数序列）右边指数序列23（2 2）左边指数序列）左边指数序列Z01n1 2 3 424Z0-1n-2-325（五）单边正、余弦序列（五）单边正、余
6、弦序列xn01n1 226令指数序列中令指数序列中 ，那么，那么 ，同理：272.1.2 2.1.2 z逆变换逆变换由z变换表达式X(z)以及相应的收敛域求原序列x(n)过程称为z逆变换，记为： 求逆z变换的方法主要有三种：围线积分法、部分分式展开法和长除法。3. 部分分式展开法当X(z)是z的有理分式时，一般可以表示为然后对每一个部分分式求逆z变换，将各个逆变换相加，就可以得到所要求的x(n)。28利用部分分式法求逆z变换，可通过以下几步完成：(1)将X(z)除以z,得到(2)将 展开成为部分分式之和的形式。(3)将展开的部分分式乘以z,得到X(z)的部分分式表达式。(4)对各部分分式进行逆
7、z变换，求出原序列。展开成部分分式的方法：(1) 仅含有单极点仅含有单极点，则 展开为：29(2)含有重极点含有重极点设 在 处有r重极点， 其余为单实极点其中待定系数 可由以下关系求得例 已知试利用部分分式法求逆z变换。30解：31例例 求 的逆z变换。解：解：所以，因为32补例：332.1.3 2.1.3 z变换的基本性质变换的基本性质例：求序列例：求序列 anun-anun-1 的的z变换。变换。已知:ZZZZZ 其中其中, , a、b为任意常数。为任意常数。Z1. 线性性质342. 移位性如果则有：例2-11 求序列x(n)=RN(n)=u(n)-u(n-N)的z变换。353. 3.
8、z z 域微分（序列线性加权）域微分（序列线性加权）推广推广式中符号 表示共求导m次。ZZ36 例：例：若已知 ，求斜变序列 的z变换 。 Z 解解：ZZ374. 4. 序列指数加权（序列指数加权（z z域尺度变换）域尺度变换）若Z则ZZZ38其收敛域为，即例：例：已知 求序列的z变换。Z由上述性质可得： ZZ解：解：395. 共轭序列如果，则证明：其中 x*(n)是x(n)的共轭序列406. 翻褶序列(反褶)如果，则证明：417. 初值定理和终值定理证明：对于因果序列 则初值定理：初值定理：终值定理：终值定理：设x(n)是因果序列，且X(z)=Zx(n)的极点处于单位圆|z|=1以内(单位圆
9、上最多在z=1处有一阶极点)，则428.时域卷积定理(序列的卷积和) 如果 而且则有：证明：439. z域复卷积定理（序列相乘）如果且则有：442.2 2.2 离散系统的系统函数与系统特性的描述离散系统的系统函数与系统特性的描述1. 1. 系统函数系统函数一个线性时不变系统，在时域中可以用它的单位脉冲响应h(n)来描述。若LTI系统的输入为x(n)，则系统的输出y(n)满足：对等式两边取z变换H(z)-线性时不变系统的系统函数。因此系统函数H(z)也可看成离散LTI系统的单位冲激响应的h(n)的z变换：452.稳定系统(系统的稳定性)对于线性时不变(LTI)系统，系统稳定的充分必要条件是系统的
10、单位冲激响应h(n)满足绝对可和，即而z变换H(z)的收敛域由满足的那些z值确定，所以，当 时，有以下关系：结论：如果系统函数的收敛域包含单位圆 ，则系统是稳定的，否则系统不稳定。 463.因果系统(系统的因果性)对于线性时不变(LTI)系统，系统为因果系统的充分必要条件是系统的单位冲激响应h(n)为因果序列，即系统的收敛域一定满足 。即因果系统的收敛域是圆的外部，且包含 。4.因果稳定系统对于线性时不变(LTI)系统，系统为因果稳定系统的充分必要条件是系统函数H(z)的收敛域必须包含单位圆在内的 到 的整个z域也就是说系统函数的全部极点必须在单位圆内。也就是说系统函数的全部极点必须在单位圆内
11、。475. 系统函数和差分方程的关系线性时不变系统常用差分方程表示：取z变换得：对上式因式分解48例1：LTI系统差分方程为讨论该系统的稳定性和因果性，并求出对应的例2：某因果LTI系统的系统函数零极点如图所示同时已知当z=1时，H(z)=6，(1)求H(z)(2)求单位脉冲响应(3)当输入为 ，求系统响应49例3：考虑一个LTI系统，其系统函数为(a) 假设系统是稳定的，求当输入 的输出(b) 假设H(z)的收敛域包括 ，当输入xn如图所示时，求 n =2时的输出yn210n-1501序列傅里叶变换的定义序列傅里叶变换的定义其中： - 模拟角频率， T -取样间隔（1）、（2）两式就是序列x
12、n的傅里叶变换两种不同的表示形式。DTFT存在的充分条件：存在的充分条件：令 （ 称为数字频率），则上式可写成2.32.3离散时间信号的傅里叶变换（离散时间信号的傅里叶变换（DTFTDTFT）51(1)(2)式(1)以模拟角频率（单位：弧度/秒）为变量，而式(2)以数字频率（单位：弧度）为变量，两者的关系为 = T（T为采样间隔）。从式(1)看出，序列xn的傅氏变换X(e jT )是的连续的周期函数，周期为2/T；而从式(2)看出，X(e j)是的连续的周期函数，周期为2。 xn X(e j)52X(ej) = ej()其中， 称为幅度谱（magnitude spectrum）， () 称为相
13、位谱（phase spectrum）例例 求xn = anun（ | a | 1）的傅里叶变换X(ej)， 并画出频谱图。= () = -arctan解解：由式(2)得X(e j) =53幅度谱与相位谱如图所示。可见，幅度谱与相位谱都是以2为周期的连续的周期函数。542序列的傅里叶变换和序列的傅里叶变换和z变换的关系变换的关系xn的傅里叶变换为：的傅里叶变换为：xn的的 z 变换为：变换为：比较上述两式可得：比较上述两式可得： 序列的傅里叶变换就是该序列的序列的傅里叶变换就是该序列的z 变换在单位圆变换在单位圆 上的取值。上的取值。结论：结论：55离散时间傅里叶变换的性质1.线性设则2.移位(
14、时移和频移)设则563.共轭性设，则564.对称性共轭对称序列：设一复序列xe(n)，如果满足 xe(n)=xe*(-n)则称序列为共轭对称序列。共轭反对称序列： 设一复序列xo(n)，如果满足 xo(n)=-xo*(-n) 则称序列为共轭反对称序列任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和5757 序列的DTFT可分解为共轭对称分量与共轭反对称分量之和：其中由此看出，序列x(n)的傅里叶变换具有如下性质：(1)序列x(n)的实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量，即5858(2)序列x(n)的虚部乘j后的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量，即(3)序列x(n)的共轭对
15、称分量 和共轭反对称分量 的傅里叶变换等于序列的傅里叶变换的实部和j乘以虚部：(4)若x(n)为实序列 ，则其傅里叶变换 满足共轭对称性，即：59595. 时域卷积定理若 ，则有6. 频域卷积定理(加窗定理)若 ，则有6060617. 频域微分定理8. 帕塞瓦尔(Parseval)定理6162常用的DTFT变换对：62例1 若x(n)的傅里叶变换为 ，试利用序列傅里叶变换的性质，求下面序列的傅里叶变换。(1)kx(n) (k为常数) (2)x(n-4) (3) x*(n)(4)为偶数为奇数解: (1) (2) (3) (4)63(5)为偶数为奇数632.4 2.4 系统的频率响应和系统滤波特性
16、系统的频率响应和系统滤波特性1.系统的频率响应系统的频率响应 定义为在单位圆上( )的系统函数，即：也可将系统频率响应表示为：其中 称为系统的幅度响应， 称为系统的相位响应- 对数幅度 (dB) Gain in dB = 64) 2c22222. 离散系统的滤波特性离散系统的频率响应是 的连续的周期函数，其周期是 。这是离散系统有别于连续系统的一个突出特点。- 主周期653.系统函数的零、极点分布对系统频率响应的影响频响的零极点表达式66幅度响应相位响应ej67因此：说明 (1)在原点处的极点或者零点至单位圆的距离大小 不变，其值为 故对幅度响应不起作用。(2) 单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的位置与 深度有明显影响。(3) 单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位置和高度 有明显影响。68补例：补例：求下图所示一阶因果离散系统的频率响应求下图所示一阶因果离散系统的频率响应xna1yn解解 : 该一阶系统的差分方程为 它是因果系统，其系统函数为当 时，频率响应为69a1Re(z)jIm(z)0+1001）0 a1170a1Re(z)jIm(z) 0+102）-1a1 0071例：例：求下图二阶离散因果系统的幅频响应。求下图二阶离散因果系统的幅频响应。0.9-0.8172732 /3 5/31.10.376.066.060.371.10 /3 5/374
