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1、 晶体学与衍射技术晶体学与衍射技术Crystallography and Diffraction 刘刘 泉泉 林林北京科技大学材料物理与化学系北京科技大学材料物理与化学系 刘泉林 教授Tel： 62334705Email： 金物楼 410 Contact InformationDepartment of Materials physics & Chemistry University of Science &Technology Beijing Introduction 材材 料料 ( (物质物质) ) 科科 学学化学化学构造构造物理物理机制机制性能性能应用应用化学，相图，热力学晶体结构电子结
2、构固体物理量子力学统计物理光谱学性能表征器件应用 材料制备工艺组分结构材料性能材料应用 结构 决定 性能C 金刚石C 石墨 引 言是X-射线衍射理论与技术把人们对物质的认识从宏观带进了微观(原子水平上)。晶体结构的测定和物相鉴定主要依赖X-射线衍射。Ca 2+F - 与X射线和晶体学有关的诺贝尔奖1901190119011901伦琴伦琴伦琴伦琴 (W.C. Roentgen)(W.C. Roentgen)(W.C. Roentgen)(W.C. Roentgen) 发发发发现现现现X X X X射射射射线线线线(1895) (1895) (1895) (1895) 物理物理物理物理191419
3、1419141914劳厄（劳厄（劳厄（劳厄（M. Von LaueM. Von LaueM. Von LaueM. Von Laue） 晶晶晶晶体体体体的的的的X X X X射射射射线线线线衍衍衍衍射射射射 物理物理物理物理1915191519151915布拉格父子布拉格父子布拉格父子布拉格父子 (W.H.Bragg W.L.Bragg (W.H.Bragg W.L.Bragg (W.H.Bragg W.L.Bragg (W.H.Bragg W.L.Bragg 分析晶体结构分析晶体结构分析晶体结构分析晶体结构 物理物理物理物理1917191719171917巴克拉巴克拉巴克拉巴克拉 (C. G
4、. Barkla(C. G. Barkla(C. G. Barkla(C. G. Barkla） 元素的标识元素的标识元素的标识元素的标识X X X X射线射线射线射线 物理物理物理物理1924192419241924塞塞塞塞 格格格格 巴巴巴巴 恩恩恩恩 (K.M.G.Siegbahn) (K.M.G.Siegbahn) (K.M.G.Siegbahn) (K.M.G.Siegbahn) X X X X射射射射 线线线线 光光光光 谱谱谱谱 学学学学 物理物理物理物理1927192719271927康普顿康普顿康普顿康普顿 (A.H. Compton) (A.H. Compton) (A.H
5、. Compton) (A.H. Compton) 康康康康 普普普普 顿顿顿顿 效效效效 应应应应 物理物理物理物理1936193619361936德拜德拜德拜德拜 (P.J.W. Debye) (P.J.W. Debye) (P.J.W. Debye) (P.J.W. Debye) 粉末衍射粉末衍射粉末衍射粉末衍射 化学化学化学化学1937193719371937 戴维森戴维森戴维森戴维森 (C.J. Davisson)(C.J. Davisson)(C.J. Davisson)(C.J. Davisson) 汤姆逊汤姆逊汤姆逊汤姆逊 (G.P. Thomson) (G.P. Thomso
6、n) (G.P. Thomson) (G.P. Thomson) 电子衍射电子衍射电子衍射电子衍射 物理物理物理物理1946194619461946缪勒缪勒缪勒缪勒 (H.J. Muller) (H.J. Muller) (H.J. Muller) (H.J. Muller) X X X X射射射射线线线线诱诱诱诱发发发发遗遗遗遗传传传传突突突突变变变变 医学医学医学医学 1954 1954 1954 1954 鲍林鲍林鲍林鲍林 (L.C. Pauling) (L.C. Pauling) (L.C. Pauling) (L.C. Pauling) 物质结构物质结构物质结构物质结构 化学键化学键
7、化学键化学键 化学化学化学化学1962 1962 1962 1962 沃森、克里克、威尔金斯沃森、克里克、威尔金斯沃森、克里克、威尔金斯沃森、克里克、威尔金斯 DNA DNA DNA DNA 双螺旋结构双螺旋结构双螺旋结构双螺旋结构 生理医学生理医学生理医学生理医学1962 1962 1962 1962 佩鲁茨和肯德鲁佩鲁茨和肯德鲁佩鲁茨和肯德鲁佩鲁茨和肯德鲁 蛋白质晶体结构蛋白质晶体结构蛋白质晶体结构蛋白质晶体结构 化学化学化学化学1964196419641964霍奇金霍奇金霍奇金霍奇金 (Hodgkin) (Hodgkin) (Hodgkin) (Hodgkin) 青霉素青霉素青霉素青霉素
8、 B12B12B12B12结构结构结构结构 化学化学化学化学1969 1969 1969 1969 哈塞尔哈塞尔哈塞尔哈塞尔 巴顿巴顿巴顿巴顿 复杂分子结构复杂分子结构复杂分子结构复杂分子结构 化学化学化学化学1973 1973 1973 1973 威尔金森威尔金森威尔金森威尔金森 费歇尔费歇尔费歇尔费歇尔 有机金属化学有机金属化学有机金属化学有机金属化学 化学化学化学化学 1976 1976 1976 1976 普斯科姆普斯科姆普斯科姆普斯科姆 硼化合物结构硼化合物结构硼化合物结构硼化合物结构 化学化学化学化学1979197919791979豪森菲尔德豪森菲尔德豪森菲尔德豪森菲尔德 柯马克柯
9、马克柯马克柯马克 X X X X射线断层照相射线断层照相射线断层照相射线断层照相 生理医生理医生理医生理医学学学学 1980 1980 1980 1980 桑格桑格桑格桑格 吉尔伯特吉尔伯特吉尔伯特吉尔伯特 伯格伯格伯格伯格 胰岛素分子结构胰岛素分子结构胰岛素分子结构胰岛素分子结构 DNA DNA DNA DNA核苷酸顺序核苷酸顺序核苷酸顺序核苷酸顺序 化学化学化学化学1981198119811981 塞格巴恩塞格巴恩塞格巴恩塞格巴恩 X X X X射线光电子能谱射线光电子能谱射线光电子能谱射线光电子能谱 物理物理物理物理1982 1982 1982 1982 克卢格克卢格克卢格克卢格 生物物
10、质的结构生物物质的结构生物物质的结构生物物质的结构 化学化学化学化学1985 1985 1985 1985 豪普特曼豪普特曼豪普特曼豪普特曼 卡尔勒卡尔勒卡尔勒卡尔勒 直接法直接法直接法直接法 化学化学化学化学 1988 1988 1988 1988 胡伯尔胡伯尔胡伯尔胡伯尔 戴森霍弗戴森霍弗戴森霍弗戴森霍弗 米歇尔米歇尔米歇尔米歇尔 中心复合物的立体结构中心复合物的立体结构中心复合物的立体结构中心复合物的立体结构 化学化学化学化学1994 1994 1994 1994 布罗克豪斯布罗克豪斯布罗克豪斯布罗克豪斯 沙尔沙尔沙尔沙尔 中子衍射中子衍射中子衍射中子衍射 中子谱学中子谱学中子谱学中子谱
11、学 物理物理物理物理1997199719971997 斯科斯科斯科斯科 博耶博耶博耶博耶 沃克沃克沃克沃克 人体细胞内的离子传输酶人体细胞内的离子传输酶人体细胞内的离子传输酶人体细胞内的离子传输酶 化学化学化学化学2002 2002 2002 2002 贾科尼贾科尼贾科尼贾科尼 X X X X射线天文学射线天文学射线天文学射线天文学 物理物理物理物理2003 2003 2003 2003 阿格雷阿格雷阿格雷阿格雷 麦金农麦金农麦金农麦金农 细胞膜水通道细胞膜水通道细胞膜水通道细胞膜水通道 化学化学化学化学2006200620062006 科恩伯格科恩伯格科恩伯格科恩伯格 真核转录的分子基础真核
12、转录的分子基础真核转录的分子基础真核转录的分子基础 化学化学化学化学2011 2011 2011 2011 Daniel Shechtman 准晶的发现准晶的发现 化学 ？ 如何测定晶体结构 （原子的空间排列方式） ？ 如何测定晶体结构晶体结构Crystal structure衍射图谱Diffraction SpectrumX-射线衍射（222222）C C（111111）C CCuKCuK 布拉格：衍射峰 一组平行原子排列面有序与无序 建立结构与衍射峰之间的联系遇到的困难：X射线衍射中的相角问题X探测器2探测强度10 = 5+5 4+6 12-2? X射线粉末衍射分析射线粉末衍射分析物质材料
13、物相多晶单晶晶胞原子衍射图谱衍射波的叠加探测器2 Course Outline Course Outline 一、几何晶体学1 晶体及点群：晶体外形 晶体对称操作，对称元素及组合规律。空间点阵 ，晶胞 ，晶向 ，晶面 ，晶体定向，布拉维点阵 2空间群：微观空间对称元素及组合，空间群 晶体学国际表，等效点系，应用举例 Course Outline Course Outline 二、X射线物理学及衍射理论3X射线物理学：X射线本质 X射线与物质的相 互作用 X射线的探测与防护 X射线散射4X射线衍射的运动学： 独立电子散射，原子散射， 结构因数， 一个晶体内所有晶胞对X射线的散射，干涉函数， 劳厄
14、方程式与布拉格方程式 Course Outline Course Outline 二、X射线晶体衍射实验技术、结构分析及应用5布拉格方程及其应用： 确定晶体所属点阵，检查固溶体中原子占位的有序化， 确定晶体所具有的微观对称元素，确定简单晶体结构，新材料探索 6倒易点阵，衍射数据指标化，空间群的确认， 晶体点阵常数的测定及应用，7 衍射强度和峰形分析，晶体结构测定 及应用8 电子衍射和中子衍射 Rietveld 全谱拟合及应用 What Would I Gain at the End of the Course?What Would I Gain at the End of the Course
15、?Understand Basic physical concepts and principleConsider the materials problems In the view of crystal structureObtain a comprehensive understanding to diffraction spectrum and crystal structure. Enhance Interest in diffraction physics and structure analysis of materials Reference Texts Recommended
16、 Reading粉末衍射法测定晶体结构（上下册）梁敬魁 科学出版社 2003固体X射线学 (一 二 册）黄胜涛 高等教育出版社 1985X射线分析的发展W.L. Bragg 科学出版社 1988An introduction to X-ray crystallographyM.M. Woolfson 1974 1997 Assessment (Grading Policy)Grading Policy)Grading Policy)Grading Policy) paper No final exam CourseCourse一、几何晶体学晶体学简史1 晶体及点群：晶体外形 晶体对称操作，对称
17、元素及组合规律。空间点阵 ，晶胞 ，晶向 ，晶面 ，晶体定向，布拉维点阵 晶体学简史 晶体学源于矿物学，其发展史可追溯到人类对天然矿物晶体的美丽和规则感到惊奇的年代。古代，中外都把水晶（即具有规则的几何多面体形态的SiO2）称为晶体。后来，这一名词推广了，自然界的矿物绝大部分矿物是晶体，也是人类最早所研究和利用的主要对象。 石英晶簇石英晶簇 晶体学简史 晶体学作为独立的分支学科开始形成于17-19世纪 晶体学简史 1669年丹麦学者N.Steno根据对天然晶体外形的研究，提出了一个普遍关系，即“同种物质的所有晶体，不论其晶面的大小和形状如何，晶体的对应晶面间的角度守恒”这就是Steno面角守恒
18、定律。这一定律为研究复杂纷乱的晶体形态开辟了一条途径。通过对晶面间角度的精确测量好投影，可以揭示晶体的固有对称性，为几何晶体学的发展奠定了基础。 晶体学简史 1784年R.J.Hauy提出晶体结构是由相同的组成分子所构成的，并给出了精美的堆积图解，这一思想与现代的空间点阵概念十分类似。 晶体学简史 1815年，C.S. Weiss提出了结晶轴的概念和结晶轴与三维空间中对称轴的关系，确定了等轴、四方、正交、六方和三方晶系。1825年，F.Mohs 确立了单斜和三斜晶系。德国学者J. Hessel 通过对任何几何形状可能具有的各种对称类型的系统研究，推导出了只有32个晶类，以及只有二、三、四、六次
19、旋转对称轴与平移对称性相容的结论。 晶体学简史 1840年，G.Delafosse指出Hauy的组成分子就是晶体点阵中的点阵点，即它只有几何意义，没有化学组成的意义。1848年，A.Bravais独立的提出了Hessel推出的32个晶类，并提出了14种空间点阵，它们属于7种不同的点阵对称，对应于以前所认识到的七个晶系。1879年，L.Sohncke发现了螺旋轴和滑移面两种新的对称要素。 晶体学简史 1881年，俄国晶体学家E.S. Federov推到出了230个空间群；1890年，德国数学家A.Schoenflies独立的利用群论导出了同样的230个空间群；同时，W. Barlow在研究了球体
20、的对称排列后，也得出了230个空间群。至此，建立起了完善的几何晶体学。 晶体学简史 萤石云母 晶体学简史 刚玉邻苯二甲酸氢锗酸铋电气石 (宏观) 晶体学简史 是晶体学, X射线衍射技术把人们的认识从宏观带进了微观(原子水平上). 晶体学简史 想象力比知识更重要 假如由于某种大灾难，所有的科学知识都丢失了，只有一句话可传给下一代,那么怎样用最少的词汇来传达最多的信息呢？ If, in some cataclysm, all of scientific knowledge were to be destroyed, and only one sentence passed on to the ne
21、xt generations of creatures, what statement would contain the most information in the fewest words? 物质(世界)是有原子构成的, 且它们不停地运动着 物质(世界)是有原子构成的, 且它们不停地运动着 晶体的定义及基本特征晶体有别于非晶物质，它的内部所有原子、离子或分子具有严格的三维有规则的周期性排列。 晶体的定义及基本特征晶体有别于非晶物质，它的内部所有原子、离子或分子具有严格的三维有规则的周期性排列。 Resolving Power of MicroscopesResolving Power
22、of Microscopes 结构 决定 性能 晶体 crystal非晶 amorphous 彭斯说过“有些书从头到尾都是一派胡言”科学推测似乎正在走向这种结局！WL Bragg教授断言：“在氯化钠中，以NaCl表示的分子看来并不存在。钠和氯两种原子数目之所以相等，乃是因为这两种原子形成棋盘式结构；这是几何学的结果，而不是原子配对的结果。”这种说法比“常识所不容”还要走得更远些。其荒谬性已达到n次高度，不是正当的化学陈述。化学即非象棋，亦非几何学，也无论X射线物理学究竟是什么东西。再也不能容忍对我们最需要的调味品的分子性质进行这种毫无道理的诽谤了现在到时候了，化学家应该重新把化学管理起来，防止
23、新手去敬拜假神；至少要告诉他们，需要寻求比棋盘结构更多的证据来。 晶体学简史 ？ 如何测定晶体结构 （原子的空间方式） 本课程核心 Course Key晶体结构Crystal structure衍射图谱Diffraction Spectrum衍射技术（222222）C C（111111）C CCuKCuK 如何测定晶体结构 如何测定晶体结构SrSr2 2FeFe1.051.05MoMo0.950.95OO6 6（116116）（420420）（332332）X射线分辨率 实验误差问题 鉴定物相基础 Double-Slit ExperimentDouble-Slit ExperimentDoub
24、le-Slit ExperimentDouble-Slit ExperimentThomas Young (1773-1829)Light (Waves) Electron DiffractionElectron DiffractionX-rayselectrons Bragg ScatteringBragg ScatteringBragg ScatteringBragg Scattering 本课程核心 Course Key晶体结构Crystal structure衍射图谱Diffraction Spectrum衍射技术 一、几何晶体学 1.1 晶体及基本特征 晶体有别于非晶物质，它的内部所
25、有原子、离子或分子晶体有别于非晶物质，它的内部所有原子、离子或分子具有严格的三维有规则的周期性排列。具有严格的三维有规则的周期性排列。（1）对称性（2）均一性（3）各向异性（4）封闭性（5）自由能最小晶体 crystal1.1 晶体的定义及基本特征 1.2 1.2 晶体的宏观对称晶体的宏观对称symmetry operationsymmetry operation如何描述/研究晶体的对称? 晶体的外形 Crystal Form晶形与对称晶形与对称 56经验课堂 晶体有别于非晶物质，它的内部所有原子、离子或分子具有严格的三维有规则的周期性排列。 NaCl 受力易解理原因 结构与性能结构与性能性能
26、与对称性能与对称58经验课堂 NaCl抗拉强度抗拉强度(g/mm2)的对称性的对称性2150 2150 1150 1150 570 570 59经验课堂 对称的概念和对称性原理是自然界的最基本的概念和原理之一。雪花的形成，音乐的旋律，蜜蜂的行为样式从天体运行的轨道到原子中电子的行为 对称就是一种周期性的重复“对称”也用于描写整个物体在与各组成部分的关系上蕴藏的内在的美，“对称美”。亚里斯多德给对称下过最早最广泛地定义：“在对称的概念中，局部之构成整体，不是单元的堆积，而是一和谐的实体。” 自然界中对称现象形形色色，对称性原理具有普适性；但对称性理论基本上是在晶体学中得到发展和完善起来的。20世
27、纪物理学的发展深化了对称性概念并扩展了它的应用范围。 1.2.1 1.2.1 晶体的宏观对称操作晶体的宏观对称操作symmetry operationsymmetry operation如何描述/研究晶体的对称? 如果一平面将物体对分成两部分，使这两部分恰好互为物体与镜象的关系，则此平面称为对称面（反映面），称此物体具有对称面（反映面）的对称。对称面（反映面）国际符号为mA plane of symmetry (reflection plane, mirror plane) 对称中心（反演中心）国际符号为Centre of symmetry, inversion centre 对称中心是通过它
28、的反演对称操作使图像复原的一种对称元素。 旋转对称轴（旋转轴，对称轴）2,3,4,6 n-fold rotation axis 物体绕某一固定轴转一个角度后，在大小和形态上跟旋转前完全一样（恢复原状），称此对称操作为旋转，而凭借以旋转的轴称为n次旋转轴，称这物体具有n次旋转对称。 旋转对称轴（旋转轴，对称轴）2,3,4,6 n-fold rotation axis 物体绕某一固定轴转一个角度 对于晶体，n只能为1，2，3，4，6 五个整数。相对应的国际符号分别为1，2，3，4，6。晶体不可能具有5次或高于6次的旋转对称轴。（5次，准晶） 为什么蜂巢选择六边形？Why ？ 选取六边形 绕轴转动一
29、个确定的角度，再加上通过转动轴上的一点的反演构成的。 旋转反演轴 （反演轴）Rotoinversion axis 旋转反映轴Rotoreflection axis一次旋转反映轴m二次旋转反映轴三次旋转反映轴四次旋转反映轴六次旋转反映轴 综上所述，晶体的宏观对称性中有以下综上所述，晶体的宏观对称性中有以下七种独立的基本对称元素。七种独立的基本对称元素。 以色列科学家丹尼尔舍特曼(Daniel Shechtman)获得了2011年诺贝尔化学奖，其贡献在于发现了准晶体(quasicrystals)。诺贝尔化学奖评审委员会认定，舍特曼发现准晶体，“根本上改变了化学家们对固态物质的构想” 晶体及基本特征
30、晶体及基本特征晶体有别于非晶物质，它的内部所有原子、离子或分子具有严格的三维有规则的周期性排列。晶体结构 空间点阵结构基元Crystal Lattice + Basis 准晶体是一类不具备晶格周期性、却显现长程有序性的固体材料长程有序性，在某个方向上往往以无理数序列的方式表达，而序列则像无理数一样无限不循环 (黄金分割, Fibonacci 序列)。 1960年，Pauling在 The Nature of the chemical bond 一书中所描述Al12Mo晶体中的20面体团簇 (P235) The Penrose PatternThe Penrose Pattern 1.2.2 宏
31、观对称元素的组合 1.2.2 宏观对称元素组合定理定理1 两个对称面的交角为，经过两个对称面依次反射，则等价于以两个对称面的交线为轴，旋转2角度的操作。它的逆定理也存在，即绕某轴旋转2角等价于相交在这个轴上的两个镜面，其交角为的作用。 定理2 如有一对称面垂直于偶次旋转轴，则对称面与旋转轴的交点为对称中心。逆定理存在 定理3 两个相交旋转轴的组合，则通过交点还存在另一旋转轴，后者的对称操作等于前两者之和。 定理4 若一个对称面m通过n次旋转对称轴Ln，则必有n个对称面m通过n次旋转轴Ln。 定理5 如有一个二次轴L2垂直于n次旋转轴Ln，则必有n个L2垂直于Ln 对称性高低？能级解简并（自由空
32、间对称性球体） 1.2.3.1 点群与晶系根据晶体对称元素的组合定理，可推导出32种组合方式，32个晶体类型（32种晶类）。点群: 点群是宏观对称元素操作的组合，当晶体具有一个以上对称元素时，这些宏观对称元素一定要通过一个公共点。将晶体中可能存在的各种宏观对称元素通过一个公共点并按一切可能性组合起来，将同样可得到32中形式，这32种相应的对称操作群称为32个晶体点群。因此，点群和晶体对称类型（晶类）是等同的。 晶系 名称 特征对称立 方四个3次轴六方一个6次轴四方一个4次轴三方一个3次轴正交三个互相垂直的2次轴或对称面或它们的组合，而无更高次轴单斜只具有一个二次轴或对称面或它们的组合，而无更高
33、次轴三斜不具有对称轴和对称面，只能含一次对称轴和对称中心高级中级低级 晶体的对称分类晶体的对称分类 晶体学点群相交定理：有限的理想晶形的任何两个对称元素必须相交于一点。 该点也是坐标原点，正因如此，这些操作组成的群叫做点群。95经验课堂 1.2.3.2 1.2.3.2 点群推导与符号点群推导与符号96经验课堂 晶体学点群（32） 97经验课堂 1.2.3.3 1.2.3.3 晶体的对称分类晶体的对称分类 ( (手性问题手性问题) )手性问题（chirality） 1.2.3.3 1.2.3.3 晶体的对称分类晶体的对称分类 ( (手性问题手性问题) )手性问题（chirality） 线性正交变
34、换物理图像：原点重合，刚性变换。变换矩阵中9个系数只有3个是独立的。第一类对称操作，也称真旋转 1， 2， 3， 4， 6 第一类对称操作，也称真旋转 第一类对称操作，也称真旋转（proper rotation）,这种操作只包括纯粹的旋转操作。在这种操作下，不论绕什么轴旋转，也不论是左旋还是右旋，坐标系具有相同的手性（chirality）。100经验课堂第二类对称操作，也称为非真旋转（improper rotation） 第二类对称操作，也称为非真旋转（improper rotation）。包括中心反演（inversion），旋转反演（rotation inversion），即旋转操作伴随着中
35、心反演及镜面反映（reflection）等操作。经过第二类操作，前后坐标系具有相反的手性。101经验课堂第一类点群 （11） 1， 2， 3， 4， 6 222，32， 422， 622， 23，432 102经验课堂第一类点群 （11） 1， 2， 3， 4， 6 222，32， 422， 622， 23，432 103经验课堂 中心对称群（11） 第一类点群加对称中心1， 2， 3， 4， 6 222，32， 422， 622， 23，432 104经验课堂由中心对称点群导出新群晶体学点群（32） 105经验课堂晶体的任何宏观物理性质的对称元素，必须包括晶体所属点群的全部对称元素。1.2.
36、4 晶体的宏观物理性质和晶体对称性的关系晶体的宏观物理性质和晶体对称性的关系 Neumann原理原理C-C C=C 键106经验课堂若晶体物理性质的对称性高于晶体所属点群的对称性，则高出的部分是由该物理性质张量的固有对称性所决定的。 晶体物理性质的对称性不能低于晶体所属点群的对称性。 107经验课堂（1）所有晶类都可能具有偶数阶极张量和奇数阶轴张量描述的物理性质。这些张量都是中心对称的。例如热膨胀系数，介电系数，弹性系数等。108经验课堂（2）凡是中心对称的晶类都不可能具有奇数阶极张量和偶数阶轴张量描述的物理性质，这些张量都是中心反对称的。如压电模量、线性电光系数和二级非线性极化率，旋光性等。
37、109经验课堂（3）只有极性晶类（具有单向极轴的晶类）才能具有极矢量（即一阶极张量）描述的物理性质。如热释电性，非中心对称晶类中的非极性晶类也不可能具有这种性质。110经验课堂中心对称晶类（11）：非中心对称晶类（21）：极性晶类（10）：非极性晶类（11）： 111经验课堂 在代数理论中，满足一定条件的一些“元素”的集合称为“群”。点群是代数理论中一种抽象的“群”。在代数理论中，如果一些“元素”构成一个“群”，它们应具有如下性质（不管这些“元素”具体意义是什么）理论补充112经验课堂（1）任何两个元素R1,R2的积，也是群的一个元素，（2）群的元素中包括一个单位元素E，它具有性质： REERR，R是群中任一元素 （3）每个元素R都有一个逆元素R1， RR1R1RE （4）元素的积服从结合律 R1 （R2 R3）（R1 R2） R3113经验课堂 Eu3+ 离子发光特征与所处的晶格点位对称性关系 从从晶晶体体结结构构特特点点的的分分析析出出发发，提提出出通通过过原原子子占占位位有有序序化化实实现晶体结构对称性降低的可能性现晶体结构对称性降低的可能性( R(T,M)13 ) ( RT9M4 ) ( RT7M6 ) Fm3c I4/mcm Ibam
