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1、22.3 一元二次方程的应用一元二次方程的应用第二课时第二课时:面积问题面积问题 要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长27,宽宽21,正正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等上、下边衬等宽宽,左、右边衬等宽左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度应如何设计四周边衬的宽度?分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两依题知正中央的矩形两边之比也为边之比也为9:7解法一解法一:设正中央的矩形两边分别为设正中央
2、的矩形两边分别为9xcm，7xcm依题意得依题意得解得解得 故上下边衬的宽度为故上下边衬的宽度为: 左右边衬的宽度为左右边衬的宽度为:探究探究3:2721 要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长27,宽宽21,正中央是正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽上、下边衬等宽,左、左、右边衬等宽右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度应如何设计四周边衬的宽度?2721分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也正中央的
3、矩形两边之比也为为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7解法二解法二:设上下边衬的宽为设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为，左右边衬宽为7xcm依题意依题意得得解方程得解方程得故上下边衬的宽度为: 1.8 CM 左右边衬的宽度为:1.4 CM例例例例1 1、如图甲，有一张长、如图甲，有一张长、如图甲，有一张长、如图甲，有一张长40cm40cm，宽，宽，宽，宽25cm25cm的长方形硬纸片，的长方形硬纸片，的长方形硬纸片，的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图乙所示的无盖纸裁去角上四个小正方形之后，折成如图乙所示的无盖纸裁去角
4、上四个小正方形之后，折成如图乙所示的无盖纸裁去角上四个小正方形之后，折成如图乙所示的无盖纸盒。若纸盒的底面积是盒。若纸盒的底面积是盒。若纸盒的底面积是盒。若纸盒的底面积是450cm450cm2 2，那么纸盒的高是多少？，那么纸盒的高是多少？，那么纸盒的高是多少？，那么纸盒的高是多少？解解: :设高为设高为xcmxcm, ,可列方程为可列方程为（40402x)(25 -2x)=4502x)(25 -2x)=450解得解得x x1 1=5, x=5, x2 2=27.5=27.5经检验：经检验：x=27.5x=27.5不符合实际，舍去。不符合实际，舍去。答：纸盒的高为答：纸盒的高为5cm5cm。
5、在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽宽为为20cm,要使制成的长方形框的面积为要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个求这个长方形框的边宽。长方形框的边宽。X XX X30cm30cm20cm20cm解解:设长方形框的边宽为设长方形框的边宽为xcm,依题意依题意,得得3020(302x)(202x)=400整理得整理得 x2 25x+100=0得得 x1=20, x2=5当当x=20时时,20-2x= -20(舍去舍去);当当x=5时时,20-2x=10
6、答答:这个长方形框的边宽为这个长方形框的边宽为5cm变式变式分析分析:本题关键是如何用本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积的代数式表示这个长方形框的面积 取一张长与宽之比为取一张长与宽之比为取一张长与宽之比为取一张长与宽之比为5 5：2 2的长方形纸板，剪去四个边的长方形纸板，剪去四个边的长方形纸板，剪去四个边的长方形纸板，剪去四个边长为长为长为长为5cm5cm的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒。要使包装盒的容积为的包装盒。要使包装盒的容积为的包装盒
7、。要使包装盒的容积为的包装盒。要使包装盒的容积为200cm200cm3 3（纸板的厚度略（纸板的厚度略（纸板的厚度略（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少cmcm？试一试试一试设长为设长为5x5x，宽为，宽为2x2x，得：，得：5 5（5x-105x-10）（）（2x-102x-10）=200=200例例2 2、某中学为美化校园，准备在长、某中学为美化校园，准备在长32m32m，宽，宽20m20m的长方形的长方形场地上，修筑若干条笔直场地上，修
8、筑若干条笔直等宽等宽道路，余下部分作草坪，道路，余下部分作草坪，下面请同学们共同参与图纸设计，要求草坪面积为下面请同学们共同参与图纸设计，要求草坪面积为540m540m2 2，求出设计方案中道路的宽分别为多少米？求出设计方案中道路的宽分别为多少米？3220答：道路宽为答：道路宽为1 1米。米。1 1、若设计方案图纸为如图，草坪总面积、若设计方案图纸为如图，草坪总面积540m540m2 2长方形面积长方形面积= =长长宽宽解：设道路宽为解：设道路宽为 m,m,则草坪的长为则草坪的长为 m m，宽为宽为 m m，由由题意得：题意得：解得解得 （不合题意舍去）不合题意舍去）分析：利用分析：利用“图形
9、经过平移图形经过平移”，它的面积大小不会，它的面积大小不会改变的道理，把纵横两条路平移一下改变的道理，把纵横两条路平移一下2 2、设计方案图纸为如图，草坪总面积、设计方案图纸为如图，草坪总面积540m540m2 2答：道路宽为答：道路宽为2 2米。米。32322020解：设道路的宽为解：设道路的宽为 米，根据题意得，米，根据题意得，化简，得化简，得解得解得 1 12 2， 2 25050（不合题意舍去）不合题意舍去）3 3、设计方案图纸为如图，草坪总面积、设计方案图纸为如图，草坪总面积540m540m2 23220解：设道路宽为解：设道路宽为 m m，则草坪的长为则草坪的长为 m m，宽为宽为
10、 m m，由题意得：由题意得：谢谢大家！探究探究4一辆汽车以 的速度行驶，司机发现前方有情况，紧急刹车后又滑行了 后停车。（1）从刹车到停车用了多次时间？（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少? (3)刹车后汽车滑行到15米时约用了多少时间？（精确到0.1S）分析：汽车滑行到停止的过程可视为匀减速直线运动，受摩擦力的影响如图4所示，在ABC中，C90，AC6cm，BC8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得P
11、CQ的面积等于ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.图4探究探究5解因为C90，所以AB10（cm）.（1）设xs后，可使PCQ的面积为8cm2，所以 APxcm，PC(6x)cm，CQ2xcm.根据题意，(6x)2x8.整理，得x26x+80，解这个方程，得x12，x24.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使PCQ的面积为8cm2.（2）设点P出发x秒后，PCQ的面积等于ABC面积的一半.探究6:读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华
12、属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x3.则根据题意，得x210(x3)+x，即x2-11x+300，解这个方程，得x5或x6.当x5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.探究7一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解依题意，梯子的顶端距墙角8（m）.（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面
13、7m.设梯子底端滑动xm.则根据勾股定理，列方程72+(6+x)2102，整理，得x2+12x150，解这个方程，得x11.14，x213.14（舍去），所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm.则根据勾股定理，列方程(8x)2+(6+1)2100.整理，得x216x+130.解这个方程，得x10.86，x215.14（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.（3）设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm.则根据勾股定理，列方程 (8x)2+(6+x)2102，整理，得2x24x0，解这个方程，得x1
14、0（舍去），x22.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形. 如图如图,已知已知A、B、C、D为矩为矩形的四个顶点形的四个顶点,AB=16,AD=6,动动点点P、Q分别从点分别从点A、C同时出发同时出发,点点P以以3/s的速度向点的速度向点B移动移动,一直到一直到点点B为止为止,点点Q以以2/s的速度向点的速度向点D移动移动. 问问:P、Q两点从出发开始几秒时两点从出发开始几秒时,四边形四边形PBCQ的面积是的面积是33c例例APDQBC问问(1)P、Q两点从出发开始几秒时两点从出发开始几秒时,四边形四边形P
15、BCQ的面积是的面积是33cAPDQBC分析分析:四边形四边形PBCQ的形状是梯形的形状是梯形,上下底上下底,高高各是多少各是多少?.如图，如图，ABC中，中，B=90，点，点P从点从点A开始开始沿沿AB边向点边向点B以以1cm/s的速度移动，点的速度移动，点Q从点从点B开始沿开始沿BC边向点边向点C以以2cm/s的速度移动的速度移动.（1）如果点）如果点P、Q分别从点分别从点A、B同时出发，同时出发，经过几秒钟，经过几秒钟，PBQ的面积等于的面积等于8cm2？ABCQP（2）如果点）如果点P、Q分别从点分别从点A、B同时出发，同时出发，并且点并且点P到点到点B后又继续在后又继续在BC边上前进，点边上前进，点Q到点到点C后又继续在后又继续在CA边上前进，经过几秒边上前进，经过几秒钟，钟，PCQ的面积等于的面积等于12.6cm2？ABCQP2.如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB=12cm，BC=6cm.点点P沿沿AB边从点边从点A开始向点开始向点B以以2cm/s的速度移动，点的速度移动，点Q沿沿DA边从点边从点D开始开始向点向点A以以1cm/s的速度移动的速度移动.如果如果P、Q同时同时出发，用出发，用t（s）表示移动的时间（）表示移动的时间（0t6）.那么当那么当t为何值时，为何值时，QAP的面积等于的面积等于8cm2？ABCDPQ
