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1、进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三五成群，聚在大树，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩
2、子们却在周下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑了，快来我给你扇扇强子，别跑了，快来我给你扇扇”。孩。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你看热的，跑什么？你看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味
3、道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的半个人
4、生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅长的时间隧道，袅定积分第六章副本第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的元素法一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ? 第六六章 例例3. 求椭圆解解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当 a = b 时得圆面积公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参
5、数值则曲边梯形面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求由摆线的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 极坐标情形极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积 .在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应 从 0 变例例5. 计算阿基米德螺线解解:点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 到 2 所围图形面积 . 例例6. 计算心形线所围图形的面积 . 解解:(利用对称性)心形线 目录 上页 下页
6、返回 结束 例例7. 计算心形线与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性 , 所求面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求双纽线所围图形面积 . 解解: 利用对称性 ,则所求面积为思考思考: 用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案答案:二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称(1
7、) 曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分) :因此所求弧长(P168)机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分) :因此所求弧长机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分) :(自己验证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,成悬链线 .求这一段弧长 . 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 下垂悬链线方程为例例10. 求连续曲线段解解:的弧长.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 计算摆线一拱的弧长 .解解:机动 目录 上页
8、 下页 返回 结束 例例12. 求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解解:(P349 公式39)小结 目录 上页 下页 返回 结束 三三、已知平行截面面积函数的立体体积、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 上连续,特别 , 当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时, 有当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13. 计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程则(利
9、用对称性)机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法方法2 利用椭圆参数方程则特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例14. 计算摆线的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解解: 绕 x 轴旋转而成的体积为利用对称性利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 绕 y 轴旋转而成的体积为注意上下限 !注注注 目录 上页 下页 返回 结束 柱壳体积说明说明: 柱面面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 偶函数奇奇函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例15. 设在 x0 时为连续的非负函数, 且 形绕直线 x
10、t 旋转一周所成旋转体体积 , 证明:证证: 利用柱壳法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 故例例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,并与底面交成 角,解解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 可否选择 y 作积分变量 ?此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 垂直 x 轴的截面是椭圆例例17. 计算由曲面所围立体(椭球体)解解:它的面积为因此椭球体体积为特别当 a = b = c 时就是球
11、体体积 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 的体积.例例18. 求曲线与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.(94 考研)解解: 利用对称性 ,故旋转体体积为在第一象限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、旋转体的侧面积四、旋转体的侧面积 (补充补充)设平面光滑曲线求积分后得旋转体的侧面积它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .取侧面积元素:机动 目录 上页 下页 返回 结束 侧面积元素的线性主部 .若光滑曲线由参数方程给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积S 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:侧面积为例例19. 计算圆x 轴
12、旋转一周所得的球台的侧面积 S .解解: 对曲线弧应用公式得当球台高 h2R 时, 得球的表面积公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例20. 求由星形线一周所得的旋转体的表面积 S .解解: 利用对称性绕 x 轴旋转 星形线 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕 x 轴 :4. 旋转体的侧面积侧面积元素
13、为(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)绕 y 轴 :(柱壳法)机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .提示提示: 交点为弧线段部分直线段部分机动 目录 上页 下页 返回 结束 以 x 为积分变量 , 则要分两段积分, 故以 y 为积分变量. 2. 试用定积分求圆绕 x 轴上上半圆为下下求体积 :提示提示:方法方法1 利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .方法方法2 用柱壳法说明说明: 上式可变形为机动 目录 上页 下页 返回 结束 上上半圆为下下此式反映了环体微元的另一种取
14、法(如图所示). 求侧面积求侧面积 :利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 上式也可写成上上半圆为下下它也反映了环面微元的另一种取法. 备用题备用题解：解：1. 求曲线所围图形的面积.显然面积为同理其它.机动 目录 上页 下页 返回 结束 又故在区域分析曲线特点2. 解解:与 x 轴所围面积由图形的对称性 ,也合于所求. 为何值才能使与 x 轴围成的面积等机动 目录 上页 下页 返回 结束 故3. 求曲线图形的公共部分的面积 .解解：与所围成得所围区域的面积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 设平面图形 A 由与所确定 , 求图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积 . 提示
15、：提示： 选 x 为积分变量.旋转体的体积为4.机动 目录 上页 下页 返回 结束 若选 y 为积分变量, 则 习题课1. 定积分的应用定积分的应用几何方面几何方面 : 面积、体积、 弧长、 表面积 .物理方面物理方面 : 质量、作功、 侧压力、引力、2. 基本方法基本方法 : 微元分析法微元形状 : 条、段、 带、 片、扇、环、壳 等.转动惯量 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的应用 第六六章 例例1. 求抛物线在(0,1) 内的一条切线, 使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解: 设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与 x , y 轴的交点分别为所指面积机动 目录 上
16、页 下页 返回 结束 且为最小点 . 故所求切线为得 0 , 1 上的唯一驻点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1) 求函数(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解: (1)由方程得面积为 2 ,体积最小 ? 即故得机动 目录 上页 下页 返回 结束 又(2) 旋转体体积又为唯一极小点,因此时 V 取最小值 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明曲边扇形绕极轴证证: 先求上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积体积微元故旋转而成的体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 故所求旋转体体积为例例4. 求由与所围区域绕旋转所得旋转体体积.解解: 曲线与直线的交点坐标为曲线上任一点到直线的距离为则机动 目录 上页 下页 返回 结束
