《高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 2.5 与圆有关的比例线段课件 新人教A版选修41》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 2.5 与圆有关的比例线段课件 新人教A版选修41（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、首页课前篇自主预习课堂篇合作学习五五与圆有关的比例线段与圆有关的比例线段首页课前篇自主预习课堂篇合作学习首页课前篇自主预习课堂篇合作学习1.相交弦定理(1)文字叙述:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.(2)图形及符号表示:如图,AB,CD是O的两条弦,AB,CD相交于点P,则PAPB=PCPD.首页课前篇自主预习课堂篇合作学习名师点拨由相交弦定理可得如下推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.如图,若AB是圆O的直径,弦CD与AB垂直,则PC2=PD2=PAPB.首页课前篇自主预习课堂篇合作学习【做一做1】如图,圆O的两条弦AB与CD相交于点
2、P.若PC=1,PD=8,且P为AB的中点,则AB=.首页课前篇自主预习课堂篇合作学习2.割线定理(1)文字叙述:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.(2)图形及符号表示:如图,PA和PC是圆O的两条割线,与圆分别交于点B,A和D,C,则PAPB=PCPD.首页课前篇自主预习课堂篇合作学习【做一做2】如图,已知圆O的两条割线PAB与PCD.若PC=2,CD=5,则PAPB=.解析:由割线定理,得PAPB=PCPD,故PAPB=2(2+5)=14.答案:14首页课前篇自主预习课堂篇合作学习3.切割线定理(1)文字叙述:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点
3、到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.(2)图形及符号表示:如图,从O外一点P引圆的切线PA和割线PBC,A是切点,则PA2=PBPC.首页课前篇自主预习课堂篇合作学习【做一做3】如图,PM是圆O的切线,PAB是圆O的割线.若PM=4,PA=2,则AB=.解析:由切割线定理,得PM2=PAPB,故42=2(2+AB),解得AB=6.答案:6首页课前篇自主预习课堂篇合作学习4.切线长定理(1)文字叙述:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.(2)图形及符号表示:如图,PA,PB分别与O相切于点A,B,则PA=PB,OPA=OPB.特别提醒1.切线长定理
4、在证明线段相等、角相等及垂直关系中占有重要地位,故为重点.2.切割线定理和切线长定理实际上是割线定理的特例.首页课前篇自主预习课堂篇合作学习【做一做4】如图,PM,PN是圆O的两条切线,切点为M,N.若MON=110,则MPO=.解析:由切线长定理可知PM=PN,OPN=OPM,而MON=110,所以MPN=70,从而MPO=35.答案:35首页课前篇自主预习课堂篇合作学习思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)若圆O的两条割线是PAB与PCD,则PAAB=PCCD.()(2)如果AB,CD是O的两条相交弦,交点为P,且AB被点P平分,那么PA是PC与PD
5、的比例中项.()(3)如果圆的一条弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.()(4)如果PAB,PCD是O的两条割线,且PA=PC,那么PB与PD相等.()答案:(1)(2)(3)(4)首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三规范解答当堂检测相交弦定理的应用相交弦定理的应用【例1】如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N.若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为()答案:A首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三规范解答当堂检测反思感悟用相交弦定理解决问题的步骤1.结合图形,找准分点及线段被分点所分成的线段;2
6、.正确应用相交弦定理列出关系式;3.代入数值运算,求出正确的答案.首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三规范解答当堂检测变式训练变式训练1如图,AC为O的直径,弦BDAC于点P,PC=2,PA=8,则tanACD的值为.解析:AC为O的直径,弦BDAC,PB=PD,APB=90.由相交弦定理,得PBPD=PAPC,即PB2=82=16,PB=4.B=ACD,tanACD=tanB=2.答案:2首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三规范解答当堂检测切割线定理的应用切割线定理的应用【例2】如图,AD为O的直径,AB为O的切线,割线BMN交AD的延长线于C,且BM=MN=NC
7、,AB=.求:(1)BC的长;(2)O的半径r.分析:对于(1),可由切割线定理求得BM的长,从而求出BC的长度;对于(2),应由割线定理求得半径.解:(1)不妨设BM=MN=NC=x.首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三规范解答当堂检测反思感悟1.应用切割线定理的一般步骤(1)观察图形,寻找切割线定理成立的条件;(2)找准相关线段的长度,列出等式;(3)解方程,求出结果.2.应用切割线定理及割线定理的前提条件只有从圆外一点才能作出圆的切线和割线,因此才可能用到割线定理或切割线定理,切割线定理是指一条切线和一条割线,而割线定理则是指两条割线,只有弄清前提,才能正确运用定理.首页课
8、前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三规范解答当堂检测变式训练变式训练2如图,AB切O于B,ACD为割线,E为的中点,BE交DC于F.求证:AF2=ACAD.证明:连接BC,BD.E为的中点,DBE=CBE.又AB是O的切线,ABC=CDB.ABC+CBE=DBE+CDB,即ABF=AFB.AB=AF.又AB是O的切线,ACD为割线,由切割线定理可知ACAD=AB2,AF2=ACAD.首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三规范解答当堂检测切线长定理的应用切线长定理的应用【例3】如图,已知AB是O的直径,C为圆上任意一点,过点C的切线分别与过A,B两点的切线交于P,Q.求证:A
9、B2=4APBQ.分析:一种思路是证明AOPBQO,通过对应边成比例结合切线长定理进行证明;另一种思路是在RtPOQ中,利用射影定理结合切线长定理进行证明.首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三规范解答当堂检测证明:(证法1)如图,连接OP,OQ.AP,PQ,BQ为O的切线,1=2,3=4.AP,BQ为O的切线,AB为直径,ABAP,ABBQ,APBQ.A=B=90,1+2+3+4=180.1+4=2+3=90.又1+5=90,4=5.(证法2)连接OC,同上可证得2+3=90.PQ切O于点C,OCPQ.在RtPQO中,由射影定理,得OC2=PCCQ.利用切线长定理,有PC=AP,
10、CQ=BQ,OC2=APBQ.OC=AB,AB2=4APBQ.首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三规范解答当堂检测反思感悟运用切线长定理时,应首先分析其中的等量关系,即(1)切线长相等;(2)圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角,然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明.首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三规范解答当堂检测变式训练变式训练3如图,AB是O的直径,C是O上一点,过点C的切线与过A,B两点的切线分别交于点E,F,AF与BE交于点P.求证:EPC=EBF.证明:EA,EF,FB是O的切线,EA=EC,FC=FB.EA,FB切O于A,B,AB是直径,首页
11、课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三规范解答当堂检测圆中比例线段的综合问题【典例】如图,O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为O上一点,DE交AB于点F.(1)证明:DFEF=OFFP;(2)当AB=2BP时,证明:OF=BF.【审题策略】(1)证明OFEDFP后利用对应边成比例求解;(2)利用相交弦定理化简证明.首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三规范解答当堂检测【规范展示】(1)连接OE.所以AOE=CDE,所以EOF=PDF.又EFO=PFD,所以OFEDFP.故DFEF=OFFP.(2)设BP=a,由AB=2BP,得AO=BO=BP=a,由相交弦定
12、理得DFEF=AFBF,所以AFBF=OFFP,所以(a+OF)BF=OF(a+BF),整理可得OF=BF.首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三规范解答当堂检测【答题模板】(1)第1步:作辅助线;第2步:证明两个三角形相似;第3步:得到成比例线段,证得结论.(2)第1步:利用相交弦定理得到成比例线段;第2步:结合(1)的结论得到欲证线段之间关系;第3步:整理即得所证结论.失误警示通过阅卷统计分析,造成失分的原因是:(1)不能正确地作出辅助线,无法后续证明;(2)不会利用圆周角定理以及圆心角定理,从而无法证明三角形相似;(3)不能正确地运用相交弦定理得到成比例线段;(4)不能合理地
13、对线段进行分解,导致无法和欲证问题联系.首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三规范解答当堂检测变式训练变式训练如图,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交O于点E.求证:(1)BE=EC;(2)ADDE=2PB2.首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三规范解答当堂检测证明:(1)因为PC=2PA,PD=DC,所以PA=PD,PAD为等腰三角形.连接AB,设PAB=DEB=,BCE=BAE=.因为PAB+BCE=PAB+BAD=PAD=PDA=DEB+DBE,所以+=+DBE,所以=DBE,即BCE=
14、DBE,所以BE=EC.(2)因为ADDE=BDDC,PA2=PBPC,PD=DC=PA,所以PA2=PBPC=PB2PA,即PA=2PB,所以BDDC=(PA-PB)PA=PA2-PBPA=PBPC-PBPA=PB(PC-PA)=PBPA=PB2PB=2PB2,故ADDE=2PB2.首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三规范解答当堂检测1.设圆内两条相交弦,其中一条弦长为8cm,且被交点平分,另一条弦被交点分成14两部分,则这条弦长是()A.2cm B.8cmC.10cmD.12cm解析:设另一条弦被分成xcm、4xcm两部分,则=x4x,解得x=2,故这条弦长为10cm.答案:
15、C首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三规范解答当堂检测答案:B首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三规范解答当堂检测3.如图,PA,PB是O的两条切线,A,B为切点,连接OP交AB于C,连接OA,OB,则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为()A.1,2B.2,2C.2,6D.1,6解析:PA,PB为O的切线,OAAP,OBPB,PA=PB,OP平分APB,OPAB.直角三角形有6个:OAP,OBP,OCA,OCB,ACP,CBP;等腰三角形有2个:OAB,ABP.答案:C首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三规范解答当堂检测4.如图,过点P的直线与O相交于A,B两点.若PA=1,AB=2,PO=3,则O的半径等于.首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三规范解答当堂检测5.如图,在两圆公共弦AB上,任取一点G,过点G作直线交O1于点C,D,交O2于点E,F.求证:CGED=EGCF.证明:AB与CD是O1的相交弦,AGBG=CGDG.同理在O2中,AGBG=EGFG.CGDG=EGFG,
