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1、第八节第八节 LaplaceLaplace定理定理 行列式乘法法则行列式乘法法则一一 k 级子式与余子式、代数余子式级子式与余子式、代数余子式定义定义在一个在一个 n 级级行列式行列式 D 中任意中任意选选定定 k 行行 k 列列按照按照原来次序原来次序组组成一个成一个 k 级级行列式行列式 M，称，称为为行列行列 ( ) )，位于位于这这些行和列的交些行和列的交叉点上的叉点上的 个元素个元素式式 D 的一个的一个 k 级子式级子式；在；在 D 中划去这中划去这 k 行行 k 列后列后 式式 ，称，称为为 k 级级子式子式 M 的的余子式余子式； 余下的元素按照原来的次序组成的余下的元素按照原
2、来的次序组成的 级级 行列行列 若若 k 级子式级子式 M 在在 D 中所在的行、列指标分别是中所在的行、列指标分别是 ，则则在在 M 的余子式的余子式前前后称之后称之为为 M 的的代数代数加上符号加上符号余子式余子式，记为记为 . 注：注： k 级级子式不是唯一的子式不是唯一的.（任一（任一 n 级行列式有级行列式有 个个 k 级级子式）子式） 时时，D本身本身为为一个一个n级级子式子式时时，D中每个元素都是一个中每个元素都是一个1级级子式；子式；二二 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)定理定理引理引理行列式行列式 D 的任一子式的任一子式 M 与它的代数余子式与它的代数余子式 A的的乘积中
3、的每一项都是行列式乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中的展开式中的一项，而且符号也一致的一项，而且符号也一致Laplace 定理定理由由这这 k 行行元素所组成的一切元素所组成的一切k级子式与它们的级子式与它们的设设在行列式在行列式 D 中任意取中任意取 k ( )行，行，代数余子式的乘积和等于代数余子式的乘积和等于 D即即若若 D 中取定中取定 k 行后，由行后，由这这 k 行得到的行得到的 k 级级子式子式则则 .，它，它们对应们对应的代数余子的代数余子式分别为式分别为为为 时，时，即为行列式即为行列式 D 按某行展开；按某行展开； 注：注：为行列式为行列式 D 取定前取定前 k 行运用行运用Laplace 定理结果定理结果 例如：计算行列式例如：计算行列式 解解： 它们的代数余子式为它们的代数余子式为,. 三三 行列式乘法法则行列式乘法法则设设有两个有两个n 级级行列式行列式其中其中则则证：证：作一个作一个2n级的行列式级的行列式由拉普拉斯定理由拉普拉斯定理 又又对对D作初等行作初等行变换变换：可得可得这这里里从而从而 例如：证明齐次性方程组例如：证明齐次性方程组只有零解其中只有零解其中 不全为不全为0证：证：系数行列式系数行列式 由由 不全不全为为0，有，有即即 ，故方程，故方程组组只有零解只有零解
