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1、角动量角动量转动定理力矩力转动惯量质量刚体的定轴转动质点的运动质点的运动的规律和刚体的定轴转动的规律对比质点的运动的规律和刚体的定轴转动的规律对比运动定律机械能守恒重力势能动能定理动能定理转动动能动能力矩的功力的功角动量守恒动量守恒角动量定理动量定理重力势能 题型题型一一.质点平动与刚体的定轴转动问题质点平动与刚体的定轴转动问题1.对质点质点应用对刚体刚体应用联系式联系式Mg例：一个质量为例：一个质量为半径为半径为的定滑轮（当的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物的物体而下垂。忽略轴处
2、摩擦，求滑轮以角速体而下垂。忽略轴处摩擦，求滑轮以角速度度 转动转动,经多长时间角速度为经多长时间角速度为0,此时物体此时物体上升高度上升高度是多少是多少?解：取竖直向上为正解：取竖直向上为正.轴向轴向 为正。为正。.滑轮作匀加速圆周转动滑轮作匀加速圆周转动, ,)(20202qq-=-Mg.求出加速度，从物体作匀加速直线运动计算更简单。求出加速度，从物体作匀加速直线运动计算更简单。另解另解: :视为一系统视为一系统, ,用角动量定理求用角动量定理求t t. .Mg仅有仅有重力作功重力作功, 系统机械能守恒系统机械能守恒2.看成一个系统, 用质点组的动能定理和角动量定理质点组的动能定理和角动量
3、定理求解。.取轴向取轴向 为正。为正。. 例：力学系统由两个质点组成，它们之间只有引例：力学系统由两个质点组成，它们之间只有引 力作用，若质点所受合外力的矢量和为零，力作用，若质点所受合外力的矢量和为零， 则系统：则系统：（A）动量、机械能守恒及对一轴的角动量守恒；动量、机械能守恒及对一轴的角动量守恒；（B）动量、机械能守恒但角动量不能守恒；动量、机械能守恒但角动量不能守恒；（C）动量守恒、但角动量、机械能是否守恒不能确定；动量守恒、但角动量、机械能是否守恒不能确定； （D）角动量、动量守恒，但机械能是否守恒不能确定；角动量、动量守恒，但机械能是否守恒不能确定； C二二.有关三大守恒定律的问题
4、有关三大守恒定律的问题1.守恒条件守恒条件各不相同，注意区分。例如：对质点组有以下几种说法：例如：对质点组有以下几种说法： （1）质点组总动量的改变与内力无关。）质点组总动量的改变与内力无关。 （2）质点组总动能的改变与内力无关。）质点组总动能的改变与内力无关。 （3）质点组机械能的改变与保守内力无关。）质点组机械能的改变与保守内力无关。 在上述说法中在上述说法中 （A）只有（）只有（1）是正确的。）是正确的。 （B）（）（1） （3）是正确的。）是正确的。 （C）（）（1） （2）是正确的。）是正确的。 （D）（）（2） （3）是正确的。）是正确的。 所有所有外力作的功与所有内力作的功外力作
5、的功与所有内力作的功的代数和等于系统的代数和等于系统总动能的增量总动能的增量. .由由n个质点组成的力学系统所受个质点组成的力学系统所受合外力合外力的冲量等于系的冲量等于系统总动量的增量。统总动量的增量。系统系统外力与非保守内力作功外力与非保守内力作功之和等于系统机械能的增量。之和等于系统机械能的增量。B二二.有关三大守恒定律的问题有关三大守恒定律的问题1.守恒条件守恒条件各不相同，注意区分。2.26证明行星在轨道上运动的总能量为证明行星在轨道上运动的总能量为 式式中中M和和m分分别别为为太太阳阳和和行行星星的的质质量量，r1和和r2分分别别为为太太阳阳 和和行行星星轨轨道道的近日点和远日点的
6、距离的近日点和远日点的距离r1r2v1v2证明证明设行星在近日点和远日点的速度分别为设行星在近日点和远日点的速度分别为v1和和v2，由于只有保守力做功，所以机械能守由于只有保守力做功，所以机械能守恒，总能量为恒，总能量为 行星相对于参考点行星相对于参考点( (太阳太阳) )不不受外力矩作用，所以行星的角动量守恒行星受外力矩作用，所以行星的角动量守恒行星在两点的位矢方向与速度方向垂直，可得角动量守恒方程在两点的位矢方向与速度方向垂直，可得角动量守恒方程 mv1r1 = mv2r2 即 v1r1 = v2r2 （3）， （1）（2）二二.有关三大守恒定律的问题有关三大守恒定律的问题1.守恒条件守恒
7、条件各不相同，注意区分。2.物体在引力场引力场中的运动总是遵循机械能守恒和角动量守恒。将（将（1）式各项同乘以）式各项同乘以r12得得Er12 = m(v1r1)2/2 - GMmr1， (4)将（将（2）式各项同乘以）式各项同乘以r22得得Er22 = m(v2r2)2/2 - GMmr2， (5)将（将（5）式减（）式减（4）式，利用（）式，利用（3）式，可得）式，可得E(r22 - r12) = -GMm(r2 - r1)， (6)由于由于r1不等于不等于r2，所以所以（r2 + r1)E = -GMm，v1r1 = v2r2 （3）， （2）（1）r1r2v1v23.涉及到刚体的碰撞碰
8、撞总是满足系统角动量守恒.ch l mmS例例. .如图所示，匀质直杆长如图所示，匀质直杆长 l ，杆与物体的质量，杆与物体的质量m相等。杆从相等。杆从水平位置开始静止下落，水平位置开始静止下落，于铅垂位置和于铅垂位置和物体物体碰撞碰撞， 碰撞碰撞后后物物体体移动距离移动距离s 后停止，后停止，求碰撞后直杆求碰撞后直杆中点中点达到的高度达到的高度h。设物设物体与地面的摩擦系数为体与地面的摩擦系数为 。解：杆从水平位置开始静止下落，解：杆从水平位置开始静止下落，机械机械能守恒能守恒。令碰撞后杆的角速度为令碰撞后杆的角速度为 ，物体的，物体的速度为速度为v。，。，由角动量守恒，有由角动量守恒，有二
9、二.有关三大守恒定律的问题有关三大守恒定律的问题1.守恒条件守恒条件各不相同，注意区分。2.物体在引力场引力场中的运动总是遵循机械能守恒和角动量守恒。联立解得：联立解得：碰撞后碰撞后杆杆的质心的质心达到的高达到的高度度满足满足 机械能守恒，机械能守恒，碰撞碰撞后后物体物体移动距离移动距离S S 后后停止，按动能定理停止，按动能定理ch l mmS下落下落碰撞碰撞4.系统绕一共同固定轴转动时系统绕一共同固定轴转动时,若若合外力矩合外力矩M=0,则系统则系统对该轴的对该轴的角动量守恒角动量守恒. 例. 空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动，转动惯量为J0，环的半径为R，初始时环的角速度为0质量
10、为m的小球静止在环内最高处A点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心O在同一高度的B点和环的最低处的C点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多大?(设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径rR.) 解：解：选小球和小球和环为系系统运运动过程中所受合外力矩程中所受合外力矩为零，角零，角动量守恒量守恒对地球、小球和地球、小球和环系系统机械能守恒取机械能守恒取过环心的水平面心的水平面为势能零点能零点 J00(J0mR2) vB表示小球在B点时相对于地面的竖直分速度，也等于它相对于环的速度 J0 0 / (J0 + mR2) 小球到B点时： 由式得：代入式得： 当小球滑
11、到C点时，由角动量守恒定律，系统的角速度又回复至0，又由机械能守恒定律知，小球在C的动能完全由重力势能转换而来即： 解解:对对A,B轮分别用角动量定理轮分别用角动量定理两轮间无相对滑动时两轮间无相对滑动时,有有:ABO例例:轮轮A(质量质量 ,半径半径 )以角速度以角速度 绕绕OA轻杆的轻杆的A端转动端转动,将将其放在静止的轮其放在静止的轮B (质量质量 , 半径半径 )上上,设两轮间摩擦系数为设两轮间摩擦系数为 ,求两轮间无相对滑动时的角速度求两轮间无相对滑动时的角速度 .4.系统绕一共同固定轴转动时系统绕一共同固定轴转动时,若若合外力矩合外力矩M=0,则系统则系统对该轴的对该轴的角动量守恒
12、角动量守恒. 如果问题中涉及两个或多个轴如果问题中涉及两个或多个轴,则不能用角动量守则不能用角动量守恒定律求解。恒定律求解。一对摩擦力对各自中心轴的力矩不能抵消一对摩擦力对各自中心轴的力矩不能抵消,因而系统角动量不守恒因而系统角动量不守恒.例：均质矩形薄板绕竖直边转动，初始角速度为例：均质矩形薄板绕竖直边转动，初始角速度为 0 0，转动时转动时受到空气的阻力阻力垂直于板面，受到空气的阻力阻力垂直于板面，每一小面积所受阻力的每一小面积所受阻力的大小与其面积及速度的平方的乘积成正比，比例常数为大小与其面积及速度的平方的乘积成正比，比例常数为k试计算经过多少时间，薄板角速度减为原来的一半设薄板试计算
13、经过多少时间，薄板角速度减为原来的一半设薄板竖直边长为竖直边长为b，宽为宽为a，薄板质量为薄板质量为m 解解 在在板板上上取取一一长长度度为为b，宽宽度度为为dr的的面积面积元元 dS = bdr 当板的角速度当板的角速度 时，面积元时，面积元所受的阻力为所受的阻力为 df = kv2dS = k 2r2bdr，力矩为力矩为dM = -rdf = -k 2r3bdr，因此合力矩为因此合力矩为 abdSrr0负号表示负号表示力矩力矩的方向与角速度的方向相反的方向与角速度的方向相反. . 三三.有关力矩的问题有关力矩的问题由于由于 = d /dt，可得可得分离变量得分离变量得 当当t = 0时时，
14、 = 0，当当 = 0/2时时，积分解得时间为积分解得时间为 ：其角加速度为其角加速度为abdSrr01.轨道是光滑的，物体从轨道是光滑的，物体从A滑到滑到C的过程中，哪个说法是正确的？的过程中，哪个说法是正确的？（A）它的加速度方向永远指向圆心。它的加速度方向永远指向圆心。（B）它的速率均匀增加。可向由汽车速度及该处曲率半径求得它的速率均匀增加。可向由汽车速度及该处曲率半径求得.（C）它的合外力大小变化，方向永远指向圆心。它的合外力大小变化，方向永远指向圆心。（D）它的合外力大小不变。它的合外力大小不变。（E）轨道的支持力大小不断增加。轨道的支持力大小不断增加。 E 一一.选择题选择题根据牛
15、顿定律法向与切向分量公式：物体做变速圆周运动，从A至C的下滑过程中速度增大，法向加速度增大。由轨道支持力提供的向心力增大。2.一质量为一质量为m，半径为半径为R的质量均匀的圆形转台的质量均匀的圆形转台 ，可绕通过台心的铅直轴转动（与轴的磨擦不，可绕通过台心的铅直轴转动（与轴的磨擦不 计）。台上也有一质量为计）。台上也有一质量为m的人，当他在转台的人，当他在转台 边缘时，转台与人一起以角速度边缘时，转台与人一起以角速度 旋转，当人走旋转，当人走 到台心时，转台的角速度为：到台心时，转台的角速度为：（A）、）、3 ； （B）、）、2 ；（C）、）、 ； （D）、）、3 / 2+ mm A F/Nt
16、/s510-102001. 质量为质量为2kg的物体作直线运动，其所受的作用力的物体作直线运动，其所受的作用力F 随时随时间的变化关系如图所示。若物体从静止开始出发，则间的变化关系如图所示。若物体从静止开始出发，则10s末物体的速率末物体的速率v= 。求面积求面积!二二. 填空题填空题2. 图中，沿着半径为R圆周运动的质点，所受的几个力中有一个是恒力，方向始终沿x轴正向，即.当质点从A点沿逆时针方向走过3 /4圆周到达B点时，力 所作的功为A_F0R3.一个力F作用在质量为1.0kg的质点上,使之沿X轴运动,已知在此力作用下质点的运动方程为x=3t-4t2 + t3（SI）, 在0到4s的时间
17、间隔内， （1）力F的冲量大小I= . （2）力F对质点所作的功A= .4 一长为l、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m和m的小球，杆可绕通过其中心O且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动开始杆与水平方向成某一角度q，处于静止状态，如图所示释放后，杆绕O轴转动则当杆转到水平位置时，该系统所受到的合外力矩的大小M_，此时该系统角加速度的大小 _2g / (3l) =2g / (3l) 5. 质量为质量为m、长为长为l 的的直杆直杆以以 v0沿水平方向平沿水平方向平动动, 与前方光滑固定轴与前方光滑固定轴 O 作作完完全非全非弹性碰撞。弹性碰撞。求碰撞后直杆求碰撞后直杆的角速度的角速
18、度 = _lmV0OCl/4由角动量守恒，有由角动量守恒，有1. 如图所示一根长 l，质量为m1的均匀直棒，静止放在水平桌面()上，可绕o端转动。今有一质量为m2的小球，以水平速度v1与A端相碰,沿反方向以速度v2弹回,。求碰后棒从开始转动到停止所需的时间。解：碰撞时动量矩守恒 =AxOdxC三三 计算题计算题据角动量定理:碰后受摩擦力矩两式联立而解，得：2.2.如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度摆锤拉到高度 h
19、o ，自静止状态下，自静止状态下落落, , 和直杆作弹性碰撞。求和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度碰撞后直杆下端达到的高度h。chchh=2 hcbamlhol令碰撞后直杆的角令碰撞后直杆的角速度为速度为 ，摆锤的，摆锤的速度为速度为v。弹性碰撞弹性碰撞动动能守恒能守恒: :解解: :碰撞前单摆的速度为碰撞前单摆的速度为由角动量守恒，有由角动量守恒，有令碰撞后直杆的角速度为令碰撞后直杆的角速度为 ，摆锤的速度为，摆锤的速度为v。由角动量守恒，有由角动量守恒，有在弹性碰撞过程中在弹性碰撞过程中动动能也是守恒的能也是守恒的: :二式联立解得：二式联立解得：按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为而杆的质心达到的高度满足而杆的质心达到的高度满足由此得由此得解解: :碰撞前单摆摆锤的速度为碰撞前单摆摆锤的速度为
