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1、第二节第二节 分式线性映射分式线性映射一、分式线性映射的概念一、分式线性映射的概念二、几种简单的分式线性映射二、几种简单的分式线性映射三、分式线性映射的性质三、分式线性映射的性质四、小结与思考四、小结与思考1复变函数62分式线性映射课件一、分式线性映射的概念一、分式线性映射的概念称为称为分式线性映射分式线性映射.说明说明: 否则否则, 由于由于那末整个那末整个z平面映射成平面映射成 w平面上的一点平面上的一点.小知识小知识2复变函数62分式线性映射课件分式线性映射的分式线性映射的逆映射逆映射, 也是分式线性映射也是分式线性映射.2) 由由3) 两分式线性映射两分式线性映射仍复合为分式线性映仍复
2、合为分式线性映3复变函数62分式线性映射课件4) 分式线性映射分式线性映射一个一般形式的分式线性映射是由下列三种一个一般形式的分式线性映射是由下列三种特殊的简单映射复合而成特殊的简单映射复合而成:4复变函数62分式线性映射课件二、几种简单的分式线性映射二、几种简单的分式线性映射平移映射平移映射(为方便起见为方便起见, 令令w平面与平面与z平面重合平面重合)5复变函数62分式线性映射课件二、几种简单的分式线性映射二、几种简单的分式线性映射平移映射平移映射(为方便起见为方便起见, 令令w平面与平面与z平面重合平面重合)6复变函数62分式线性映射课件旋转与伸长旋转与伸长(或缩短或缩短)变换变换事实上
3、事实上, 设设那末那末因此因此, 把把z先转一个角度先转一个角度7复变函数62分式线性映射课件关于横轴对称关于横轴对称反演变换反演变换此映射可进一步分解为此映射可进一步分解为欲由点欲由点z作出点作出点w, 可考虑如下作图次序可考虑如下作图次序:关键关键: 8复变函数62分式线性映射课件对称点的定义对称点的定义: 设设C为以原点为中心为以原点为中心, r为半径的圆周为半径的圆周. 在以在以满足关系式满足关系式那末就称这两点为关于这圆周的那末就称这两点为关于这圆周的对称点对称点.规定规定: 无穷远点的对称点是圆心无穷远点的对称点是圆心O O.9复变函数62分式线性映射课件.设设P在在C外外, 从从
4、P作作C的切线的切线PT, 由由T作作OP的垂的垂作图作图:.10复变函数62分式线性映射课件故可知故可知:.关于单位圆对称关于单位圆对称关于实轴对称关于实轴对称11复变函数62分式线性映射课件三、分式线性映射的性质三、分式线性映射的性质1.1.一一对应性一一对应性例如例如:结论结论:分式线性映射在扩充复平面上一一对应分式线性映射在扩充复平面上一一对应.12复变函数62分式线性映射课件2.2.保角性保角性若若规定规定: 两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处的交角的交角, 等于它们在映射等于它们在映射 下所映成的通过下所映成的通过原点的两条象曲线的交角原点的两条象曲线
5、的交角.13复变函数62分式线性映射课件综上所述知综上所述知:14复变函数62分式线性映射课件综上所述综上所述:定理一定理一 分式线性映射在扩充复平面上是一一对分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的，且具有保角性应的，且具有保角性15复变函数62分式线性映射课件3. 保圆性保圆性 所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为圆周的性质圆周的性质. .特殊地特殊地，直线可看作是半径为无穷大的圆周直线可看作是半径为无穷大的圆周.1) 映射映射特点特点: 所以此映射在扩充复平面上具有保圆性所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.16复变函数62分式线性映射课件2) 映射映
6、射若若z平面上圆方程为平面上圆方程为:令令有有代入代入z平面圆方程得其象曲线方程平面圆方程得其象曲线方程:即即所以此映射在扩充复平面上具有保圆性所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.17复变函数62分式线性映射课件3) 分式线性映射分式线性映射定理定理二二 分式线性映射将扩充分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射平面上的圆周映射成成扩充扩充w平面上的圆周平面上的圆周, 即具有保圆性即具有保圆性.说明说明: : 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周那末它就映射成半径为有限的圆周;有一个点映射成无穷远点有一个点映射成无穷
7、远点, 那末它就映射成直线那末它就映射成直线.如果如果18复变函数62分式线性映射课件4. 保对称性保对称性对称点的特性对称点的特性. .19复变函数62分式线性映射课件. .20复变函数62分式线性映射课件结论结论充要条件是充要条件是:21复变函数62分式线性映射课件即即分式线性映射具有保对称性分式线性映射具有保对称性.定理定理三三22复变函数62分式线性映射课件证证分式线性映射分式线性映射证毕证毕23复变函数62分式线性映射课件小知识小知识1.分式线性映射首先由德国数学家默比乌斯分式线性映射首先由德国数学家默比乌斯(17901868)研究研究, 所以也称为所以也称为默比乌斯映射默比乌斯映射
8、.对每一个固定的对每一个固定的w, 此式关于此式关于z是线性的是线性的;对每一对每一个固定的个固定的z, 此式关于此式关于w也是线性的也是线性的, 因此称上式因此称上式是双线性的是双线性的. 分式线性映射也称分式线性映射也称双线性映射双线性映射. 默比乌斯默比乌斯24复变函数62分式线性映射课件四、小结与思考四、小结与思考 分式线性映射是一类比较简单而又很重要的分式线性映射是一类比较简单而又很重要的共形映射共形映射,应熟悉分式线性映射的分解和复合应熟悉分式线性映射的分解和复合, 及及其保角性、保圆性和保对称性其保角性、保圆性和保对称性.25复变函数62分式线性映射课件思考题思考题26复变函数62分式线性映射课件思考题答案思考题答案放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .27复变函数62分式线性映射课件默比乌斯资料默比乌斯资料 August MbiusBorn: 17 Nov 1790 in Schulpforta, Saxony (now Germany)Died: 26 Sept 1868 in Leipzig, Germany 28复变函数62分式线性映射课件
