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1、目录 上页 下页 返回 结束 习题课一、一、 曲线积分的计算法曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法 线面积分的计算 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、曲线积分的计算法一、曲线积分的计算法1. 基本方法曲线积分第一类 ( 对弧长 )第二类 ( 对坐标 )(1) 选择积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下限第一类: 下小上大第二类: 下始上终练习题: P244 题 3 (1), (3), (6)目录 上页 下页 返回 结束 解答提示解答提示: 计算其中L为圆周提示提示: 利用极坐标 ,原式 =说明说明: 若用参数方程计算, 则P24
2、4 3 (1)目录 上页 下页 返回 结束 P244 3(3). 计算其中L为摆线上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.提示提示:目录 上页 下页 返回 结束 P244 3(6). 计算其中 由平面 y = z 截球面提示提示: 因在 上有故原式 = 从 z 轴正向看沿逆时针方向.目录 上页 下页 返回 结束 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;(2) 利用积分与路径无关的等价条件;(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .2. 基本技巧基本技巧目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算其中 为曲线解
3、解: 利用轮换对称性 , 有利用重心公式知( 的重心在原点) 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算其中L 是沿逆时针方向以原点为中心、解法解法1 令则这说明积分与路径无关, 故a 为半径的上半圆周.目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考思考:(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:则添加辅助线段目录 上页 下页 返回 结束 思考题解答思考题解答:(1)(2)目录 上页 下页 返回 结束 证证: :把例例3. 设在上半平面内函数具有连续偏导数, 且对任意 t 0 都有证明对D内任意分段光滑的
4、闭曲线L, 都有两边对t求导, 得:则有因此结论成立.(2006考研)目录 上页 下页 返回 结束 计算其中L为上半圆周提示提示: :沿逆时针方向.练习题练习题: P244 题 3(5) ; P245 题 6; 11. 3(5).用格林公式: 目录 上页 下页 返回 结束 P245 6 . 设在右半平面 x 0 内, 力构成力场,其中k 为常数, 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示提示:令易证F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为目录 上页 下页 返回 结束 P245 11. 求力沿有向闭曲线 所作的其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三提示提示:
5、方法方法1从 z 轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形的整个边界,功,目录 上页 下页 返回 结束 设三角形区域为 , 方向向上, 则方法方法2 利用利用公式 斯托克斯公式斯托克斯公式目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设L 是平面与柱面的交线从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解解: 记 为平面上 L 所围部分的上侧, D为 在 xOy 面上的投影. 由斯托克斯公式公式 目录 上页 下页 返回 结束 D 的形心目录 上页 下页 返回 结束 二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法1. 基本方法曲面积分第一类( 对面积 )第二类( 对坐标 )转化二重积分(1) 选择积分变量
6、代入曲面方程(2) 积分元素投影第一类: 始终非负第二类: 有向投影(3) 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面目录 上页 下页 返回 结束 思思 考考 题题1) 二重积分是哪一类积分? 答答: 第一类曲面积分的特例.2) 设曲面问下列等式是否成立? 不对不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关 目录 上页 下页 返回 结束 2. 基本技巧基本技巧(1) 利用对称性及重心公式简化计算(2) 利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3) 两类曲面积分的转化目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:P244 题题4(3) 其中 为半球面的上侧.且取下侧 , 原
7、式 =P244 题题4(2) , P245 题题 10 同样可利用高斯公式计算.记半球域为 ,高斯公式有计算提示提示: 以半球底面为辅助面, 利用目录 上页 下页 返回 结束 例例5.证明证明: 设(常向量)则单位外法向向量, 试证设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n为 的 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 计算曲面积分其中,解解:思考思考: 本题 改为椭球面时, 应如何计算 ?提示提示: 在椭球面内作辅助小球面内侧, 然后用高斯公式 .目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 设 是曲面解解: 取足够小的正数 , 作曲面取下侧使其包在 内, 为 xOy 平面上夹于之间的部分, 且
8、取下侧 ,取上侧, 计算则目录 上页 下页 返回 结束 第二项添加辅助面, 再用高斯公式, 注意曲面的方向 !得目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 计算曲面积分中 是球面解解: 利用对称性用重心公式目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P244 3 (2) , (4) ; 4 (2) 5 ; 9目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 已知平面区域L为D 的边界, 试证证证: (1) 根据格林公式所以相等, 从而左端相等, 即(1)成立.(2003 考研)因、两式右端积分具有轮换对称性,目录 上页 下页 返回 结束 (2) 由式由轮换对称性目录 上页 下页 返回 结束 (1) 在任
9、一固定时刻 , 此卫星能监视的地球表面积是 2. 地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄象机能监视其”视线”所及地球表面的每一处的景象并摄像, 若地球半径为R , 卫星距地球表面高度为 H =0.25 R ,卫星绕地球一周的时间为 T , 试求(2) 在解解: 如图建立坐标系.的时间内 , 卫星监视的地球表面积是多少 ?多少 ? 设卫星绕 y 轴旋转目录 上页 下页 返回 结束 (1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为(2) 在时间内监视的地球表面积为点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停注意盲区与重复部分其中S0 为盲区面积目录 上页 下页 返回 结束 (1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为(2) 在其中盲区面积时间内监视的地球表面积为
