离散数学(第15章)陈瑜.ppt

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1、陈瑜陈瑜Email：第第15章：章： 半群与群半群与群15.1 半群半群2024/7/252024/7/252 2计算机学院计算机学院n群群是是一一种种特特殊殊的的代代数数系系统统，是是最最重重要要的的代代数数系系统统之之一一。群群的的理理论论广广泛泛应应用用于于数数学学、物物理理、化化学学以以及及很很多多人人们们不不太太熟熟悉悉的的领领域域如如社社会会学学等等。对对计计算算机机科科学学而而言言，群群在在自自动动化化理理论论、形形式式语语言言、语语法法分分析析、编编码码理理论论等等方方面都有直接应用，并显示出其强大功能。面都有直接应用，并显示出其强大功能。n上上一一章章中中已已经经给给出出了了

2、半半群群的的定定义义，它它要要求求运运算算是是可可结结合合的的。许许多多常常见见的的代代数数系系统统都都是是半半群群，甚甚至至是是含含幺幺半半群。下面是一些典型的半群例子。群。下面是一些典型的半群例子。 2024/7/252024/7/253 3计算机学院计算机学院n群群是是一一种种特特殊殊的的代代数数系系统统，是是最最重重要要的的代代数数系系统统之之一一。群群的的理理论论广广泛泛应应用用于于数数学学、物物理理、化化学学以以及及很很多多人人们们不不太太熟熟悉悉的的领领域域如如社社会会学学等等。对对计计算算机机科科学学而而言言，群群在在自自动动化化理理论论、形形式式语语言言、语语法法分分析析、编

3、编码码理理论论等等方方面都有直接应用，并显示出其强大功能。面都有直接应用，并显示出其强大功能。n上上一一章章中中已已经经给给出出了了半半群群的的定定义义，它它要要求求运运算算是是可可结结合合的的。许许多多常常见见的的代代数数系系统统都都是是半半群群，甚甚至至是是含含幺幺半半群。下面是一些典型的半群例子。群。下面是一些典型的半群例子。 2024/7/252024/7/254 4计算机学院计算机学院n例：例： 满满足足封封闭闭、可可结结合合、有有幺幺元元0 0的的条条件件，因因而而是是含含幺幺半半群群。另另外外，它它还还满满足足可可换换性性，每每个个元元x xR R都都有加法逆元有加法逆元-x-x

4、，因此，因此， 也是一个可换群。也是一个可换群。 R, 满满足足封封闭闭、可可结结合合、有有幺幺元元1 1，因因此此是是含含幺幺半半群群。注注意意，因因为为0 0无无乘乘法法逆逆元元，所所以以R, 只只能能是是含含幺半群。幺半群。 2024/7/252024/7/255 5计算机学院计算机学院n例例 设设M Mm,nm,n表表示示全全休休m m行行n n列列矩矩阵阵构构成成的的集集合合，+ +是是矩矩阵阵加加法法，那那么么 +满满足足封封闭闭、可可结结合合的的条条件件，元元素素全全为为0 0的的m m行行n n列矩阵是幺元，因此列矩阵是幺元，因此 M+是含幺半群。是含幺半群。 此此外外，M M

5、m,nm,n中中每每个个矩矩阵阵A Am,nm,n都都有有加加法法逆逆矩矩阵阵-A-Am,nm,n ，因而因而 M+还满足逆元条件。还满足逆元条件。 2024/7/252024/7/256 6计算机学院计算机学院n例例 设设F F是是由由定定义义在在非非空空集集合合S S上上的的全全体体函函数数构构成成的的集集合合，即即F= F= f: f: S SSS。对对于于函函数数的的复复合合运运算算“ ” ，F 满足封闭性和可结合性，所以是半群。满足封闭性和可结合性，所以是半群。 此此外外，定定义义在在S S上上的的恒恒等等函函数数I Is s是是F 的的幺幺元元，所所以以F 又是含幺半群。又是含幺半

6、群。 2024/7/252024/7/257 7计算机学院计算机学院n例例 设设是是非非空空有有限限字字母母表表，* *是是由由定定义义在在上上的的全全体体有有限限长长字字母母串串构构成成的的集集合合，或或叫叫做做上上全全体体字字的的集集合合。在在* *上上定定义义运运算算为为字字的的连连接接“ ”，则则 满满足足封封闭闭和和可可结结合合的的条条件件，并并且且空空字字 是是系系统统的的幺幺元元，所所以以 是一个含幺半群。是一个含幺半群。n半半群群或或含含幺幺半半群群在在计计算算机机科科学学中中有有广广泛泛的的应应用用，尤尤其其在在从从编编译译技技术术发发展展起起来来的的形形式式语语言言与与自自

7、动动机机理理论论领领域域，含含幺幺半半群群是是很很重重要要的的的的内内容容之之一一。下下面面是是半半群群的的一一个个简简单单的应用例子。的应用例子。 2024/7/252024/7/258 8计算机学院计算机学院n例例 设设一一个个简简单单的的液液晶晶显显示示电电子子表表仅仅有有显显示示时时、分分的的两两个个功功能能，有有0 0、1 1两两个个按按键键。按按1 1键键时时由由正正常常状状态态转转入入调调分分状状态态，此此时时按按0 0键键m m次次可可以以调调增增分分数数m m；再再按按1 1键键则则转转入入调调时时状状态态，此此时时按按0 0键键n n次次，则则时时数数增增加加n n；最最后

8、后再再按按1 1键回复到正常状态。这一调节过程如图键回复到正常状态。这一调节过程如图 (b)(b)所示。所示。(a)(b)2024/7/252024/7/259 9计算机学院计算机学院 上面的调分和调时过程可表示为上面的调分和调时过程可表示为 : : 或或由由符符号号1 1和和0 0组组成成的的形形如如1010m m1010n n1 1的的字字符符串串集集，即即字母表字母表=0=0，11上的一个语言上的一个语言L=10L=10m m1010n n1 |m1 |m，n0n0。 这这种种字字母母串串可可以以被被电电子子表表中中的的微微处处理理器器( (可可以以看看成成是是一一个个小小小小的的计计算

9、算机机) )识识别别并并执执行行，其其动动作作原原理理就就是是图图15-1.1(b)15-1.1(b)所所示示的的状状态态图图，称称为为一一个个有有限限自自动动机机，它它反反映映了了电电子子表表依依令令而而行行的的规规则则。语语言言L L被被相相应应地地称称为为这这个个自动机所识别的语言。自动机所识别的语言。 2024/7/252024/7/251010计算机学院计算机学院幂幂 设设S, 是是一一个个半半群群, ,由由于于* *满满足足结结合合律律，可定义幂运算，即可定义幂运算，即对对 x x S S，可定义：，可定义：x x =x=x，x x =x*x=x*x，x x =x*=x*x x =

10、 =x x *x=x*x*x*x=x*x*x，x xn n= =x xn-1n-1*x=x*x=x*x xn-1n-1=x*x*x*=x*x*x*x*x。如果如果S, 有单位元有单位元e e，可以定义：，可以定义：x x0 0=e=e幂运算有如下的公式：（见下页）幂运算有如下的公式：（见下页）2024/7/252024/7/251111计算机学院计算机学院n定定理理1 15.1 5.1 设设S*是是半半群群，a a S S，m m和和n n是是正正整整数数，则则： a am m*a*an n=a=am+nm+n； (a(am m) )n n=a=amnmn 。当当S*是是含含幺幺半半群群时时，

11、上述结论对任意非负整数上述结论对任意非负整数m m和和n n都成立。都成立。 证明：设证明：设m m是一个固定的正整数，对是一个固定的正整数，对n n进行归纳。进行归纳。 对于对于： 当当n=1n=1时，由幂的定义可知结论成立；时，由幂的定义可知结论成立； 设结论对设结论对n=kn=k时成立，则时成立，则 a am m*a*ak+1 k+1 = a= am m*(a*(ak k*a) (*a) (由幂的定义由幂的定义) ) = (a = (am m*a*ak k)*a ()*a (可结合性）可结合性） = (a = (am+km+k)*a )*a （归纳假设）（归纳假设） = a = am+(

12、k+1)m+(k+1) 由归纳法可知，结论成立。由归纳法可知，结论成立。2024/7/252024/7/251212计算机学院计算机学院n定定理理1 15.1 5.1 设设S*是是半半群群，a a S S，m m和和n n是是正正整整数数，则则： a am m*a*an n=a=am+nm+n； (a(am m) )n n=a=amnmn 。当当S*是是含含幺幺半半群群时时，上述结论对任意非负整数上述结论对任意非负整数m m和和n n都成立。都成立。 证明：证明：设设m m是一个固定的正整数，对是一个固定的正整数，对n n进行归纳。进行归纳。 对于对于： 当当n=1n=1时，由幂的定义可知结论

13、成立；时，由幂的定义可知结论成立； 设结论对设结论对n=kn=k时成立，则时成立，则 a am m*a*ak+1 k+1 = a= am m*(a*(ak k*a) (*a) (由幂的定义由幂的定义) ) = (a = (am m*a*ak k)*a ()*a (可结合性）可结合性） = (a = (am+km+k)*a )*a （归纳假设）（归纳假设） = a = am+(k+1)m+(k+1) 由归纳法可知，结论成立。由归纳法可知，结论成立。2024/7/252024/7/251313计算机学院计算机学院n定定理理1 15.1 5.1 设设S*是是半半群群，a a S S，m m和和n n

14、是是正正整整数数，则则： a am m*a*an n=a=am+nm+n； (a(am m) )n n=a=amnmn 。当当S*是是含含幺幺半半群群时时，上述结论对任意非负整数上述结论对任意非负整数m m和和n n都成立。都成立。 证明：证明：设设m m是一个固定的正整数，对是一个固定的正整数，对n n进行归纳。进行归纳。 对于对于： 当当n=1n=1时，由幂的定义可知结论成立；时，由幂的定义可知结论成立； 设结论对设结论对n=kn=k时成立，则时成立，则 a am m*a*ak+1 k+1 = a= am m*(a*(ak k*a) (*a) (由幂的定义由幂的定义) ) = (a = (

15、am m*a*ak k)*a ()*a (可结合性）可结合性） = (a = (am+km+k)*a )*a （归纳假设）（归纳假设） = a = am+(k+1)m+(k+1) 由归纳法可知，结论成立。由归纳法可知，结论成立。对于对于可以类似的进行归纳证明。可以类似的进行归纳证明。2024/7/252024/7/251414计算机学院计算机学院n注注意意：当当运运算算为为加加法法“ “+ +” ”时时，上上述述定定理理应应写写成：成： ma+na=(m+n)ama+na=(m+n)a n(ma)=(mn)a n(ma)=(mn)a2024/7/252024/7/251515计算机学院计算机学

16、院n定理定理1 15.25.2 有限半群有限半群 S S， 必有幂等元，即必有幂等元，即 存在存在 a a S S， a a2 2 = a= a 。( (参见教材参见教材p p183183） 注意此处的注意此处的a2的正确含义！的正确含义！a*a=a2,不是数学中的乘法！不是数学中的乘法！2024/7/252024/7/251616计算机学院计算机学院n定理定理1 15.25.2 有限半群有限半群 S S， 必有幂等元，即必有幂等元，即 存在存在 a a S S， a a2 2 = a = a 。 证明证明：如果：如果S S中有幺元中有幺元 e e，则，则 e e 就是幂等元。就是幂等元。如果

17、如果S S中没有幺元，任取中没有幺元，任取 b b S S。由集合。由集合S S的的有限性有限性，必有：，必有： b bi i = = b bj j = = b bj-ij-i b bi i ( j i ) ( j i )所以，对任何所以，对任何t i t i 都有：都有：b bt t = = b bj-ij-i b bt t ( (注注:t=:t=i+li+l, , b bt t= = b bi+li+l = b = bi i*b*b1 1 ) ) = b = b2( 2( j-ij-i ) ) b bt t = . = .（反复迭代）（反复迭代） = = b bk k( ( j-ij-i

18、) ) b bt t （此处（此处k(jk(j - i) i - i) i） 令令t=t=k(j-ik(j-i ), ), 则得到则得到 b bt t = = b bt t b bt t即即 b bt t是幂等元。是幂等元。2024/7/252024/7/251717计算机学院计算机学院n定理定理1 15.25.2 有限半群有限半群 S S， 必有幂等元，即必有幂等元，即 存在存在 a a S S， a a2 2 = a = a 。 证明证明：如果如果S S中有幺元中有幺元 e e，则，则 e e 就是幂等元。就是幂等元。如果如果S S中没有幺元，任取中没有幺元，任取 b b S S。由集合。

19、由集合S S的有限性，必有：的有限性，必有： b bi i = = b bj j = = b bj-ij-i b bi i ( j i ) ( j i )所以，对任何所以，对任何t i t i 都有：都有：b bt t = = b bj-ij-i b bt t ( (例如例如:t=:t=i+li+l, , b bt t= = b bi+li+l = b = bi i*b*b1 1 ) ) = b= b2( 2( j-ij-i ) ) b bt t = . = .（反复迭代）（反复迭代） = = b bk k( ( j-ij-i ) ) b bt t （此处（此处k(jk(j - i) i -

20、i) i） 令令t=t=k(j-ik(j-i ), ), 则得到则得到 b bt t = = b bt t b bt t即即 b bt t是幂等元。是幂等元。2024/7/252024/7/251818计算机学院计算机学院n定理定理1 15.25.2 有限半群有限半群 S S， 必有幂等元，即必有幂等元，即 存在存在 a a S S， a a2 2 = a = a 。 证明证明：如果如果S S中有幺元中有幺元 e e，则，则 e e 就是幂等元。就是幂等元。如果如果S S中没有幺元，任取中没有幺元，任取 b b S S。由集合。由集合S S的有限性，必有：的有限性，必有： b bi i = =

21、 b bj j = = b bj-ij-i b bi i ( j i ) ( j i )所以，对任何所以，对任何t i t i 都有：都有：b bt t = = b bj-ij-i b bt t ( (例如例如:t=:t=i+li+l, , b bt t= = b bi+li+l = b = bi i*b*b1 1 ) ) = b = b2( 2( j-ij-i ) ) b bt t = . = .（反复迭代）（反复迭代） = = b bk k( ( j-ij-i ) ) b bt t （此处（此处k(jk(j - i) i - i) i） 令令t=t=k(j-ik(j-i ), ), 则得到

22、则得到 b bt t = = b bt t b bt t即即 b bt t是幂等元是幂等元。2024/7/252024/7/251919计算机学院计算机学院n定理定理1 15.25.2 有限半群有限半群 S S， 必有幂等元，即必有幂等元，即 存在存在 a a S S， a a2 2 = a = a 。 证明证明：如果如果S S中有幺元中有幺元 e e，则，则 e e 就是幂等元。就是幂等元。如果如果S S中没有幺元，任取中没有幺元，任取 b b S S。由集合。由集合S S的有限性，必有：的有限性，必有： b bi i = = b bj j = = b bj-ij-i b bi i ( j

23、i ) ( j i )所以，对任何所以，对任何t i t i 都有：都有：b bt t = = b bj-ij-i b bt t ( (例如例如:t=:t=i+li+l, , b bt t= = b bi+li+l = b = bi i*b*b1 1 ) ) = b = b2( 2( j-ij-i ) ) b bt t = . = .（反复迭代）（反复迭代） = = b bk k( ( j-ij-i ) ) b bt t （此处（此处k(jk(j - i) i - i) i） 令令t=t=k(j-ik(j-i ), ), 则得到则得到 b bt t = = b bt t b bt t即即 b

24、bt t是幂等元是幂等元。 注注意意，若若S不不是是有有限限集集，则则不不一一定定有有幂幂等等元元。例例如如，正正整整数数集集关关于于加加法法运运算算是是一一个个半半群群，但但是是不不存存在在幂幂等等元元。含含幺幺半半群群至至少少含含有有一一个个幂幂等等元元，那那就就是是幺幺元元。一一个个半半群群甚甚至至含含幺幺半半群群也也可可以以含含有有多多个个幂幂等等元元。不不难难验验证证是是以以S为为幺幺元元的的含含幺幺半半群群。由由于于集集合合交交运运算算是是幂幂等等的的，所所以以中中每每个个元元都都是是幂幂等等元。元。2024/7/252024/7/252020计算机学院计算机学院子半群子半群n定义

25、定义15.115.1如如果果是是半半群群，T T是是S S的的非非空空子子集集，且且T T对对运运算算* *是是封封闭闭的的，则则称称是是半半群群的的子子半半群群；如如果果是是含含幺幺半半群群，TSTS，eTeT，且且T T对对运运算算* *是是封封闭闭的的，则则称称是是含含幺幺半半群群的子含幺半群。的子含幺半群。 n例例：半半群群R的的子子代代数数0，Z，R都是都是R的子半群。的子半群。2024/7/252024/7/252121计算机学院计算机学院子半群子半群n定义定义15.115.1如如果果是是半半群群，T T是是S S的的非非空空子子集集，且且T T对对运运算算* *是是封封闭闭的的，

26、则则称称是是半半群群的的子子半半群；群；如如果果是是含含幺幺半半群群，TSTS，eTeT，且且T T对对运运算算* *是是封封闭闭的的，则则称称是是含含幺幺半半群群的的子含幺半群子含幺半群。 n例例：半半群群R的的子子代代数数0，Z，R都是都是R的子半群。的子半群。2024/7/252024/7/252222计算机学院计算机学院子半群子半群n定义定义15.115.1如如果果是是半半群群，T T是是S S的的非非空空子子集集，且且T T对对运运算算* *是是封封闭闭的的，则则称称是是半半群群的的子子半半群；群；如如果果是是含含幺幺半半群群，TSTS，eTeT，且且T T对对运运算算* *是是封封

27、闭闭的的，则则称称是是含含幺幺半半群群的子含幺半群。的子含幺半群。 n例例：半半群群R的的子子代代数数0，Z，R都是都是R的子半群。的子半群。2024/7/252024/7/252323计算机学院计算机学院n例例 设设S 是是一一个个可可换换的的含含幺幺半半群群，M M是是它它的的所所有有的的等等幂元构成的集合，则幂元构成的集合，则M 是是S 的一个子含幺半群。的一个子含幺半群。证明：证明：(1) (1) 显然，显然，M M S S；(2) (2) S 是是含含幺幺半半群群，所所以以幺幺元元e e存存在在，又又e*ee*ee e，则则e e是一个等幂元，即有是一个等幂元，即有eMeM，所以，所

28、以M M是非空的；是非空的；(3) eM(3) eM；(4)(4)对对 任任 意意 a a， bMbM， 有有 (a*b)*(a*b)(a*b)*(a*b) a*(b*a)*ba*(b*a)*ba*(a*b)*ba*(a*b)*b (a*a)*(b*b)(a*a)*(b*b)a*ba*b，即运算即运算“*”“*”关于集合关于集合M M是封闭的运算。是封闭的运算。 由由(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)、(4)(4)知知：M 是是S 的的一一个个子子含含幺半群。幺半群。2024/7/252024/7/252424计算机学院计算机学院n例例 设设S 是是一一个个可可换换的的含含幺幺半半群群，

29、M M是是它它的的所所有有的的等等幂元构成的集合，则幂元构成的集合，则M 是是S 的一个子含幺半群。的一个子含幺半群。证明：证明：(1)(1) 显然，显然，M M S S；(2) (2) S 是是含含幺幺半半群群，所所以以幺幺元元e e存存在在，又又e*ee*ee e，则则e e是一个等幂元，即有是一个等幂元，即有eMeM，所以，所以M M是非空的；是非空的；(3) eM(3) eM；(4)(4)对对 任任 意意 a a， bMbM， 有有 (a*b)*(a*b)(a*b)*(a*b) a*(b*a)*ba*(b*a)*ba*(a*b)*ba*(a*b)*b (a*a)*(b*b)(a*a)*

30、(b*b)a*ba*b，即运算即运算“*”“*”关于集合关于集合M M是封闭的运算。是封闭的运算。 由由(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)、(4)(4)知知：M 是是S 的的一一个个子子含含幺半群。幺半群。2024/7/252024/7/252525计算机学院计算机学院n例例 设设S 是是一一个个可可换换的的含含幺幺半半群群，M M是是它它的的所所有有的的等等幂元构成的集合，则幂元构成的集合，则M 是是S 的一个子含幺半群。的一个子含幺半群。证明：证明：(1)(1) 显然，显然，M M S S；(2)(2) S 是是含含幺幺半半群群，所所以以幺幺元元e e存存在在，又又e*ee*ee e

31、，则则e e是一个等幂元，即有是一个等幂元，即有eMeM，所以，所以M M是非空的；是非空的；(3) eM(3) eM；(4)(4)对对 任任 意意 a a， bMbM， 有有 (a*b)*(a*b)(a*b)*(a*b) a*(b*a)*ba*(b*a)*ba*(a*b)*ba*(a*b)*b (a*a)*(b*b)(a*a)*(b*b)a*ba*b，即运算即运算“*”“*”关于集合关于集合M M是封闭的运算。是封闭的运算。 由由(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)、(4)(4)知知：M 是是S 的的一一个个子子含含幺半群。幺半群。2024/7/252024/7/252626计算机学院计

32、算机学院n例例 设设S 是是一一个个可可换换的的含含幺幺半半群群，M M是是它它的的所所有有的的等等幂元构成的集合，则幂元构成的集合，则M 是是S 的一个子含幺半群。的一个子含幺半群。证明：证明：(1)(1) 显然，显然，M M S S；(2)(2) S 是是含含幺幺半半群群，所所以以幺幺元元e e存存在在，又又e*ee*ee e，则则e e是一个等幂元，即有是一个等幂元，即有eMeM，所以，所以M M是非空的；是非空的；(3)(3) eM eM；(4)(4)对对 任任 意意 a a， bMbM， 有有 (a*b)*(a*b)(a*b)*(a*b) a*(b*a)*ba*(b*a)*ba*(a

33、*b)*ba*(a*b)*b (a*a)*(b*b)(a*a)*(b*b)a*ba*b，即运算即运算“*”“*”关于集合关于集合M M是封闭的运算。是封闭的运算。 由由(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)、(4)(4)知知：M 是是S 的的一一个个子子含含幺半群。幺半群。2024/7/252024/7/252727计算机学院计算机学院n例例 设设S 是是一一个个可可换换的的含含幺幺半半群群，M M是是它它的的所所有有的的等等幂幂元元构构成成的的集集合合，则则M 是是S 的的一一个个子子含含幺幺半半群。群。证明：证明：(1)(1) 显然，显然，M M S S；(2)(2) S 是是含含幺幺半

34、半群群，所所以以幺幺元元e e存存在在，又又e*ee*ee e，则则e e是一个等幂元，即有是一个等幂元，即有eMeM，所以，所以M M是非空的；是非空的；(3)(3) eMeM；(4)(4)对对 任任 意意 a a， bMbM， 有有 (a*b)*(a*b)(a*b)*(a*b) a*(b*a)*ba*(b*a)*ba*(a*b)*ba*(a*b)*b (a*a)*(b*b)(a*a)*(b*b)a*ba*b，即运算即运算“*”“*”关于集合关于集合M M是封闭的运算。是封闭的运算。 由由(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)、(4)(4)知知：M 是是S 的的一一个个子子含含幺半群。幺半

35、群。2024/7/252024/7/252828计算机学院计算机学院习题习题P193 2、4、62024/7/252024/7/252929计算机学院计算机学院15.2 群和子群群和子群2024/7/252024/7/253030计算机学院计算机学院主要内容主要内容n一个非常重要的代数系统一个非常重要的代数系统群。群。 主要从以下几个方面来介绍：主要从以下几个方面来介绍：1)1)群的概念和基本性质。群的概念和基本性质。2)2)群的子群和性质。群的子群和性质。3)3)群中元素的周期和性质。群中元素的周期和性质。4)4)特特殊殊群群及及其其性性质质，如如交交换换群群（AbelAbel群群）、循循环

36、群。环群。5)5)陪集和拉格郎日定理。陪集和拉格郎日定理。2024/7/252024/7/253131计算机学院计算机学院 在在14.214.2中中已已经经为为群群下下了了定定义义，把把群群看看成成是是在在含含幺幺半半群群的的基基础础上上加加上上每每元元有有逆逆元元的的条条件件，其其核核心心内内容容可可用用“闭闭、结结、幺幺、逆逆”四四个个字字予予以以概概括括。下下面面是是一一些典型的群的例子。些典型的群的例子。 2024/7/252024/7/253232计算机学院计算机学院n例例：我我们们已已经经知知道道是是含含幺幺半半群群，由由于于每每个个整整数数a a都都有有加加法法逆逆元元-a-a，

37、所所以以是是群群，一一般叫做般叫做整数加群整数加群。 同同理理，是是实实数数加加群群，是是有有理理数数加群加群。 对对于于数数的的乘乘法法，Z, 是是含含幺幺半半群群而而不不是是群群，因因为为整整数数一一般般无无Z Z中中的的乘乘法法逆逆元元。 R- 是是实实数数乘乘群群，它它的的幺幺元元是是1 1，每每元元的的乘乘法逆元为法逆元为1/a1/a。2024/7/252024/7/253333计算机学院计算机学院n例例：设设Z Zk k表表示示整整数数集集Z Z上上的的模模k k剩剩余余类类集集合合，即即: : Z Zk k=0,1,2,k-1=0,1,2,k-1。在。在Z Zk k上定义运算上定

38、义运算 和和 如下：如下： 那那么么， 是是群群。这这是是因因为为封封闭闭性性和和可可结结合合性性是是明明显成立的，显成立的，00是幺元，每元是幺元，每元ii的逆元是的逆元是k-ik-i。 群群 习惯上又称为习惯上又称为剩余类加群剩余类加群。 2024/7/252024/7/253434计算机学院计算机学院n例例 设设n n个个元元素素的的集集合合A A上上的的全全体体置置换换构构成成集集合合S Sn n。由由第第6 6章章中中关关于于置置换换的的讨讨论论，S Sn n中中两两个个置置换换的的复复合合仍仍然然是是A A上的一个置换，因而运算是封闭的；上的一个置换，因而运算是封闭的； 其其次次，

39、由由于于函函数数的的复复合合是是可可结结合合的的，因因而而置置换换的的复复合合也也是是可可结结合合的的；在在S Sn n中中存存在在幺幺置置换换 =(1) =(1) ，使使对对任任何何S Sn n中中的的置置换换 均均有有 ，因因而而 =(1)=(1)是是幺幺元元；把把每每个个元元素素的的x x变变成成y y的的置置换换，其其逆逆置置换换则则把把元元素素y y变变成成x x，因因而而每每个个置置换换都都有有逆逆。由由此此可可知知， 构构成成群群，这这个个群群一一般般称称为为n n次次对对称称群群，是是一一类类重重要的群。要的群。n群群尽尽管管是是用用“闭闭、结结、幺幺、逆逆”四四个个条条件件来

40、来定定义义的的，但是它还可以用别的形式等价地定义。但是它还可以用别的形式等价地定义。2024/7/252024/7/253535计算机学院计算机学院n例例 设设n n个个元元素素的的集集合合A A上上的的全全体体置置换换构构成成集集合合S Sn n。由由第第6 6章章中中关关于于置置换换的的讨讨论论，S Sn n中中两两个个置置换换的的复复合合仍仍然然是是A A上上的一个置换，因而运算是封闭的；的一个置换，因而运算是封闭的； 其其次次，由由于于函函数数的的复复合合是是可可结结合合的的，因因而而置置换换的的复复合合也也是是可可结结合合的的；在在S Sn n中中存存在在幺幺置置换换 =(1) =(

41、1) ，使使对对任任何何S Sn n中中的的置置换换 均均有有 ，因因而而 =(1)=(1)是是幺幺元元；把把每每个个元元素素的的x x变变成成y y的的置置换换，其其逆逆置置换换则则把把元元素素y y变变成成x x，因因而而每每个个置置换换都都有有逆逆。由由此此可可知知， 构成群，这个群一般称为构成群，这个群一般称为n n次对称群，是一类重要的群。次对称群，是一类重要的群。n群群尽尽管管是是用用“闭闭、结结、幺幺、逆逆”四四个个条条件件来来定定义义的的，但是它还可以用别的形式等价地定义。但是它还可以用别的形式等价地定义。2024/7/252024/7/253636计算机学院计算机学院群群n定

42、定理理15-2.1 15-2.1 如如果果是是半半群群，并并且且对对 a a，b b G G，都都存存在在x x，y y G G 使使x*a=bx*a=b，a*y=ba*y=b，则则是是群群。群群中中元元素的数目称为素的数目称为群的阶群的阶。 证明：证明： 设设 a a G G，方程，方程 x*a=a x*a=a 的解为的解为e e1 1， 对对 t t G G，方程方程 a*y=t a*y=t 有解有解y y0 0， e e1 1*t= e*t= e1 1* *（a*ya*y0 0）= =（e e1 1*a*a）* *y y0 0 =a*y =a*y0 0=t=t 即对即对 t t G G，

43、必有，必有e e1 1*t=t*t=t， e e1 1是是G G中的左幺元。中的左幺元。 同样可以证明同样可以证明G G中有右幺元中有右幺元e e2 2，所以，所以G G中有幺元中有幺元e e。 同同理理，对对 b b G G，方方程程x*b=ex*b=e有有解解x x0 0，这这个个x x0 0是是b b的的左左逆逆元元，方方程程b*y=eb*y=e的的解解是是b b的的右右逆逆元元，从从而而b b有有逆逆元元。所所以以， 是群。是群。2024/7/252024/7/253737计算机学院计算机学院群群n定定理理15.3 15.3 如如果果是是半半群群，并并且且对对 a a，b b G G，

44、都都存存在在x x，y y G G 使使x*a=bx*a=b，a*y=ba*y=b，则则是是群群。群群中中元元素素的数目称为群的阶。的数目称为群的阶。 证明：证明： 设设 a a G G，方程，方程 x*a=a x*a=a 的解为的解为e e1 1， 对对 t t G G，方程方程 a*y=t a*y=t 有解有解y y0 0， e e1 1*t= e*t= e1 1* *（a*ya*y0 0）= =（e e1 1*a*a）* *y y0 0 =a*y =a*y0 0=t=t 即对即对 t t G G，必有，必有e e1 1*t=t*t=t， e e1 1是是G G中的左幺元。中的左幺元。 同

45、样可以证明同样可以证明G G中有右幺元中有右幺元e e2 2，所以，所以G G中有幺元中有幺元e e。 同同理理，对对 b b G G，方方程程x*b=ex*b=e有有解解x x0 0，这这个个x x0 0是是b b的的左左逆逆元元，方方程程b*y=eb*y=e的的解解是是b b的的右右逆逆元元，从从而而b b有有逆逆元元。所所以以， 是群。是群。2024/7/252024/7/253838计算机学院计算机学院群群n定定理理15.3 15.3 如如果果是是半半群群，并并且且对对 a a，b b G G，都都存存在在x x，y y G G 使使x*a=bx*a=b，a*y=ba*y=b，则则是是

46、群群。群群中中元元素素的数目称为群的阶。的数目称为群的阶。 证明：证明： 设设 a a G G，方程，方程 x*a=a x*a=a 的解为的解为e e1 1， 对对 t t G G，方程方程 a*y=t a*y=t 有解有解y y0 0， e e1 1*t= e*t= e1 1* *（a*ya*y0 0）= =（e e1 1*a*a）* *y y0 0 =a*y =a*y0 0=t=t 即对即对 t t G G，必有，必有e e1 1*t=t*t=t， e e1 1是是G G中的左幺元。中的左幺元。 同样可以证明同样可以证明G G中有右幺元中有右幺元e e2 2，所以，所以G G中有幺元中有幺

47、元e e。 同同理理，对对 b b G G，方方程程x*b=ex*b=e有有解解x x0 0，这这个个x x0 0是是b b的的左左逆逆元元，方方程程b*y=eb*y=e的的解解是是b b的的右右逆逆元元，从从而而b b有有逆逆元元。所所以以， 是群。是群。2024/7/252024/7/253939计算机学院计算机学院群群n定定理理15.3 15.3 如如果果是是半半群群，并并且且对对 a a，b b G G，都都存存在在x x，y y G G 使使x*a=bx*a=b，a*y=ba*y=b，则则是是群群。群群中中元元素素的数目称为群的阶。的数目称为群的阶。 证明：证明： 设设 a a G

48、G，方程，方程 x*a=a x*a=a 的解为的解为e e1 1， 对对 t t G G，方程方程 a*y=t a*y=t 有解有解y y0 0， e e1 1*t= e*t= e1 1* *（a*ya*y0 0）= =（e e1 1*a*a）* *y y0 0 =a*y =a*y0 0=t=t 即对即对 t t G G，必有，必有e e1 1*t=t*t=t， e e1 1是是G G中的左幺元。中的左幺元。 同样可以证明同样可以证明G G中有右幺元中有右幺元e e2 2，所以，所以G G中有幺元中有幺元e e。 同同理理，对对 b b G G，方方程程x*b=ex*b=e有有解解x x0 0

49、，这这个个x x0 0是是b b的的左左逆逆元元，方方程程b*y=eb*y=e的的解解是是b b的的右右逆逆元元，从从而而b b有有逆逆元元。所所以以， 是群。是群。2024/7/252024/7/254040计算机学院计算机学院群群n定定理理15.3 15.3 如如果果是是半半群群，并并且且对对 a a，b b G G，都都存存在在x x，y y G G 使使x*a=bx*a=b，a*y=ba*y=b，则则是是群群。群群中中元元素素的数目称为群的阶。的数目称为群的阶。 证明：证明： 设设 a a G G，方程，方程 x*a=a x*a=a 的解为的解为e e1 1， 对对 t t G G，方

50、程方程 a*y=t a*y=t 有解有解y y0 0， e e1 1*t= e*t= e1 1* *（a*ya*y0 0）= =（e e1 1*a*a）* *y y0 0 =a*y =a*y0 0=t=t 即对即对 t t G G，必有，必有e e1 1*t=t*t=t， e e1 1是是G G中的左幺元。中的左幺元。 同样可以证明同样可以证明G G中有右幺元中有右幺元e e2 2，所以，所以G G中有幺元中有幺元e e。 同同理理，对对 b b G G，方方程程x*b=ex*b=e有有解解x x0 0，这这个个x x0 0是是b b的的左左逆逆元元，方方程程b*y=eb*y=e的的解解是是b

51、 b的的右右逆逆元元，从从而而b b有有逆逆元元。所所以以， 是群。是群。 这个定理说明，在群的定义中幺元及逆元的条件可用这个定理说明，在群的定义中幺元及逆元的条件可用方程有解来代替。方程有解来代替。 另外，另外， 群定义中的幺元条件可以用存在左幺元群定义中的幺元条件可以用存在左幺元(或右幺元或右幺元)的条的条件代替，逆元的条件可以用左逆元件代替，逆元的条件可以用左逆元(或右逆元或右逆元)代替。代替。 2024/7/252024/7/254141计算机学院计算机学院定理定理15.415.41)1)群群G G中中每每个个元元素素都都是是可可消消去去的的，即即运运算算满满足足消去律消去律；（即如果

52、（即如果a*b=a*ca*b=a*c，则必有，则必有b=cb=c）2)2)群群G G中除幺元中除幺元e e外无其它幂等元；外无其它幂等元；3)3)群群G G的的运运算算表表中中任任意意一一行行( (列列) )都都没没有有两两个个相相同的元素（重复元素）；同的元素（重复元素）；2024/7/252024/7/254242计算机学院计算机学院定理定理15.415.41)1)群群G G中中每每个个元元素素都都是是可可消消去去的的，即即运运算算满满足足消去律消去律；（即如果（即如果a*b=a*ca*b=a*c，则必有，则必有b=cb=c）2)2)群群G G中除幺元中除幺元e e外无其它幂等元；外无其它

53、幂等元；3)3)群群G G的的运运算算表表中中任任意意一一行行( (列列) )都都没没有有两两个个相相同的元素（重复元素）；同的元素（重复元素）；证明：证明：由于群由于群G G中每个元素都有逆元中每个元素都有逆元a a-1-1， 由由a a* *b=ab=a* *c c a a-1-1* *a a* *b=b=a a-1-1* *a a* *c c，即，即b=cb=c2024/7/252024/7/254343计算机学院计算机学院定理定理15.415.41)1)群群G G中中每每个个元元素素都都是是可可消消去去的的，即即运运算算满满足足消去律；（即如果消去律；（即如果a*b=a*ca*b=a*

54、c，则必有，则必有b=cb=c）2)2)群群G G中除幺元中除幺元e e外无其它幂等元；外无其它幂等元；3)3)群群G G的的运运算算表表中中任任意意一一行行( (列列) )都都没没有有两两个个相相同的元素（重复元素）；同的元素（重复元素）；2024/7/252024/7/254444计算机学院计算机学院定理定理15.415.41)1)群群G G中中每每个个元元素素都都是是可可消消去去的的，即即运运算算满满足足消去律；（即如果消去律；（即如果a*b=a*ca*b=a*c，则必有，则必有b=cb=c）2)2)群群G G中除幺元中除幺元e e外无其它幂等元；外无其它幂等元；3)3)群群G G的的运

55、运算算表表中中任任意意一一行行( (列列) )都都没没有有两两个个相相同的元素（重复元素）；同的元素（重复元素）；证明：（反证法）证明：（反证法）假设假设a a是群是群G G中非幺元的幂中非幺元的幂等元，即等元，即a*aa*aa a，且，且aeae。因此。因此a*aa*aa*ea*e， 由（由（1 1）知）知a ae e，矛盾。，矛盾。2024/7/252024/7/254545计算机学院计算机学院定理定理15.415.41)1)群群G G中中每每个个元元素素都都是是可可消消去去的的，即即运运算算满满足足消去律；（即如果消去律；（即如果a*b=a*ca*b=a*c，则必有，则必有b=cb=c）

56、2)2)群群G G中除幺元中除幺元e e外无其它幂等元；外无其它幂等元；3)3)群群G G的的运运算算表表中中任任意意一一行行( (列列) )都都没没有有两两个个相相同的元素（重复元素）；同的元素（重复元素）；2024/7/252024/7/254646计算机学院计算机学院定理定理15.415.41)1)群群G G中中每每个个元元素素都都是是可可消消去去的的，即即运运算算满满足足消去律；（即如果消去律；（即如果a*b=a*ca*b=a*c，则必有，则必有b=cb=c）2)2)群群G G中除幺元中除幺元e e外无其它幂等元；外无其它幂等元；3)3)群群G G的的运运算算表表中中任任意意一一行行(

57、 (列列) )都都没没有有两两个个相相同的元素（重复元素）；同的元素（重复元素）；证明：证明：（反证法）（反证法） 假设群假设群G G的运算表中某一行的运算表中某一行( (列列) )有两有两个相同的元素，设为个相同的元素，设为a a，并设它们所在的行表头元素，并设它们所在的行表头元素为为b b，列表头元素分别为，列表头元素分别为c c1 1,c,c2 2，这时显然有，这时显然有c c1 1cc2 2。而而a abcbc1 1bcbc2 2，由，由(1)(1)得得c c1 1c c2 2，矛盾。，矛盾。 2024/7/252024/7/254747计算机学院计算机学院补充补充n例：例：构造一个构

58、造一个3阶群。阶群。 解：解：设设e是幺元，是幺元，G=e, a, b 则可构造的则可构造的3阶群如下：阶群如下：2024/7/252024/7/254848计算机学院计算机学院n定理定理15.515.5 设设是群，是群，a aG G。 构造映射构造映射 ，使得对任意，使得对任意x xG G， ，令，令 ，则则对对于于函函数数的的复复合合运运算算“ “ ”，H, 是群。（是群。（P P185185） 定理的证明留与读者练习定理的证明留与读者练习 这个定理说明：可以由一个已知的群来构这个定理说明：可以由一个已知的群来构造出一个新的群。造出一个新的群。2024/7/252024/7/254949计

59、算机学院计算机学院n例例：设设X X是是任任意意集集合合，S=f:XS=f:XX|fX|f是是双双射射函函数数 ，即即S S是是X X上上的的所所有有双双射射函函数数的的集集合合，运运算算“。”是是函函数数的的复复合运算，证明合运算，证明S 是群。是群。 证明：证明： （1 1）封封闭闭性性： f f,gS,gS，f f、g g是是双双射射，则则f f。g g也也是是双双射射，因此因此f f。g Sg S，故封闭性成立。，故封闭性成立。 （2 2）结结合合律律：由由函函数数的的运运算算“。”满满足足结结合合律律，因因此此在在S S中也满足结合律。中也满足结合律。 2024/7/252024/7

60、/255050计算机学院计算机学院n例例：设设X X是是任任意意集集合合，S=f:XS=f:XX|fX|f是是双双射射函函数数 ，即即S S是是X X上上的的所所有有双双射射函函数数的的集集合合，运运算算“。”是是函函数数的的复复合运算，证明合运算，证明S 是群。是群。 证明：证明： （1 1）封封闭闭性性： f f,gS,gS，f f、g g是是双双射射，则则f f。g g也也是是双双射射，因此因此f f。g Sg S，故封闭性成立。，故封闭性成立。 （2 2）结结合合律律：由由函函数数的的运运算算“。”满满足足结结合合律律，因因此此在在S S中也满足结合律。中也满足结合律。 2024/7/

61、252024/7/255151计算机学院计算机学院n例例：设设X X是是任任意意集集合合，S=f:XS=f:XX|fX|f是是双双射射函函数数 ，即即S S是是X X上上的的所所有有双双射射函函数数的的集集合合，运运算算“。”是是函函数数的的复复合运算，证明合运算，证明S 是群。是群。 证明：证明： （1 1）封封闭闭性性： f f,gS,gS，f f、g g是是双双射射，则则f f。g g也也是是双双射射，因此因此f f。g Sg S，故封闭性成立。，故封闭性成立。 （2 2）结结合合律律：由由函函数数的的运运算算“。”满满足足结结合合律律，因因此此在在S S中也满足结合律。中也满足结合律。

62、 2024/7/252024/7/255252计算机学院计算机学院n例例：设设X X是是任任意意集集合合，S=f:XS=f:XX|fX|f是是双双射射函函数数 ，即即S S是是X X上上的的所所有有双双射射函函数数的的集集合合，运运算算“。”是是函函数数的的复复合运算，证明合运算，证明S 是群。是群。 证明：证明：（续）（续） （3 3）幺元）幺元：恒等映射：恒等映射I IX X S,S,且且 f fSS，有：，有： I IX X。f=ff=f。I IX X=f =f ，因此，因此I IX X是是S 的幺元。的幺元。 （4 4） f f,gS,gS是是双双射射，则则f f的的逆逆函函数数f f

63、-1-1存存在在， f f-1-1也也 是双射，即是双射，即f f-1-1SS，且有：，且有：f f-1-1。f=ff=f。f f-1-1= =I IX X， 因因此此，f f的的逆逆函函数数f f-1-1就就是是f f关关于于“。”的的逆逆元元，即即S S的任意元素都有逆元。的任意元素都有逆元。 综合（综合（1 1）（）（2 2）（）（3 3）（）（4 4）知）知S 是群。是群。2024/7/252024/7/255353计算机学院计算机学院n例例：设设X X是是任任意意集集合合，S=f:XS=f:XX|fX|f是是双双射射函函数数 ，即即S S是是X X上上的的所所有有双双射射函函数数的的

64、集集合合，运运算算“。”是是函函数数的的复复合运算，证明合运算，证明S 是群。是群。 证明：证明：（续）（续） （3 3）幺元）幺元：恒等映射恒等映射I IX X S,S,且且 f fSS，有：，有： I IX X。f=ff=f。I IX X=f =f ，因此，因此I IX X是是S 的幺元。的幺元。 （4 4） f f,gS,gS是是双双射射，则则f f的的逆逆函函数数f f-1-1存存在在， f f-1-1也也 是双射，即是双射，即f f-1-1SS，且有：，且有：f f-1-1。f=ff=f。f f-1-1= =I IX X， 因因此此，f f的的逆逆函函数数f f-1-1就就是是f f

65、关关于于“。”的的逆逆元元，即即S S的任意元素的任意元素都有逆元都有逆元。 综合（综合（1 1）（）（2 2）（）（3 3）（）（4 4）知）知S 是群。是群。2024/7/252024/7/255454计算机学院计算机学院n课课课课外外外外练练练练习习习习：设设A=R-0A=R-0，11，在在A A上上定定义义6 6个个映映射射如如下下：对于任意对于任意x xAA有：有： 令令G=fG=f1 1,f,f2 2,f,f3 3,f,f4 4,f,f5 5,f,f6 6 。试试证证明明G G关关于于函函数数的的复复合合运运算算“。”构成群构成群G 。2024/7/252024/7/255555计

66、算机学院计算机学院子群子群n定定义义15.215.2设设G 是是一一个个群群，S S是是G G的的一一个个非非空空子子集集，若若S S也是群，则称也是群，则称S 是是G 的的一个子群一个子群。 一一般般来来说说，对对任任意意的的群群G ，都都有有两两个个子子群群e ，G ，我我们们称称此此两两个个子子群群为为该该群群的的平平凡凡子子群群, ,而而若若有有子子群群S,且且S S ee和和S S G G，则则称称S 为为G 的真子群。的真子群。n另另外外，由由群群中中的的一一个个元元素素也也可可生生成成一一个个子子群群。定定义义为为：a a-k-k= =（a ak k）-1-1。 2024/7/2

67、52024/7/255656计算机学院计算机学院子群子群n定定义义15.215.2设设G 是是一一个个群群，S S是是G G的的一一个个非非空空子子集集，若若S S也是群，则称也是群，则称S 是是G 的一个子群。的一个子群。 一一般般来来说说，对对任任意意的的群群G ，都都有有两两个个子子群群e ，G ，我我们们称称此此两两个个子子群群为为该该群群的的平平凡凡子子群群, ,而而若若有有子子群群S,且且S S ee和和S S G G，则则称称S 为为G 的的真子群真子群。n另另外外，由由群群中中的的一一个个元元素素也也可可生生成成一一个个子子群群。为为此此，需需要要将将群群中中元元素素的的幂幂扩

68、扩充充到到负负指指数数的的形形式式，即即定定义义为为：a a-k-k= =（a ak k）-1-1。2024/7/252024/7/255757计算机学院计算机学院子群子群n定定义义15.215.2设设G 是是一一个个群群，S S是是G G的的一一个个非非空空子子集集，若若S S也是群，则称也是群，则称S 是是G 的一个子群。的一个子群。 一一般般来来说说，对对任任意意的的群群G ，都都有有两两个个子子群群e ，G ，我我们们称称此此两两个个子子群群为为该该群群的的平平凡凡子子群群, ,而而若若有有子子群群S,且且S S ee和和S S G G，则则称称S 为为G 的真子群。的真子群。n另另外

69、外，由由群群中中的的一一个个元元素素也也可可生生成成一一个个子子群群。为为此此，需需要要将将群群中中元元素素的的幂幂扩扩充充到到负负指指数数的的形形式式，即即定定义义为为：a a-k-k= =（a ak k）-1-1。2024/7/252024/7/255858计算机学院计算机学院n定定理理15.6 15.6 设设G 是是一一个个群群，对对任任意意的的aGaG，令令 S Saan n|nZ|nZ，Z Z是整数是整数 ，则，则S 是是G 的子群。的子群。 证明：证明： 因为因为aSaS，所以显然，所以显然S S是是G G的非空子集。的非空子集。对任意的对任意的a an n，a am mSS，则，

70、则a an n* *a am ma an+mn+m，由由n,mZn,mZ，有有n+mZn+mZ，所所以以a an+mn+mSS，即即运运算算是是封封闭闭的的；由由S S是是G G的的子子集集可可得得结结合合律律也也成成立立；由由于于 e=ae=a0 0 S S ，所所以以S S中有幺元；中有幺元； 又又a an n S S有逆元有逆元a a-n-n使使a an n*a*a-n-n=e=e 综上所述，综上所述，S 是是G 的子群。的子群。2024/7/252024/7/255959计算机学院计算机学院n定定理理15.6 15.6 设设G 是是一一个个群群，对对任任意意的的aGaG，令令 S Sa

71、an n|nZ|nZ，Z Z是整数是整数 ，则，则S 是是G 的子群。的子群。 证明：证明： 因为因为aSaS，所以显然，所以显然S S是是G G的的非空子集非空子集。对任意的对任意的a an n，a am mSS，则，则a an n* *a am ma an+mn+m，由由n,mZn,mZ，有有n+mZn+mZ，所所以以a an+mn+mSS，即即运运算算是是封封闭闭的的；由由S S是是G G的的子子集集可可得得结结合合律律也也成成立立；由由于于 e=ae=a0 0 S S ，所所以以S S中有幺元；中有幺元； 又又a an n S S有逆元有逆元a a-n-n使使a an n*a*a-n-

72、n=e=e 综上所述，综上所述，S 是是G 的子群。的子群。2024/7/252024/7/256060计算机学院计算机学院n定定理理15.6 15.6 设设G 是是一一个个群群，对对任任意意的的aGaG，令令 S Saan n|nZ|nZ，Z Z是整数是整数 ，则，则S 是是G 的子群。的子群。 证明：证明： 因为因为aSaS，所以显然，所以显然S S是是G G的非空子集。的非空子集。对任意的对任意的a an n，a am mSS，则，则a an n* *a am ma an+mn+m，由由n,mZn,mZ，有有n+mZn+mZ，所所以以a an+mn+mSS，即即运运算算是是封封闭闭的的；

73、由由S S是是G G的的子子集集可可得得结结合合律律也也成成立立；由由于于 e=ae=a0 0 S S ，所所以以S S中有幺元；中有幺元； 又又a an n S S有逆元有逆元a a-n-n使使a an n*a*a-n-n=e=e 综上所述，综上所述，S 是是G 的子群。的子群。2024/7/252024/7/256161计算机学院计算机学院n定定理理15.6 15.6 设设G 是是一一个个群群，对对任任意意的的aGaG，令令 S Saan n|nZ|nZ，Z Z是整数是整数 ，则，则S 是是G 的子群。的子群。 证明：证明： 因为因为aSaS，所以显然，所以显然S S是是G G的非空子集。

74、的非空子集。对任意的对任意的a an n，a am mSS，则，则a an n* *a am ma an+mn+m，由由n,mZn,mZ，有有n+mZn+mZ，所所以以a an+mn+mSS，即即运运算算是是封封闭闭的的；由由S S是是G G的的子子集集可可得得结结合合律律也也成成立立；由由于于 e=ae=a0 0 S S ，所所以以S S中中有幺元有幺元； 又又a an n S S有逆元有逆元a a-n-n使使a an n*a*a-n-n=e=e 综上所述，综上所述，S 是是G 的子群。的子群。2024/7/252024/7/256262计算机学院计算机学院n定定理理15-2.4 15-2.

75、4 设设G 是是一一个个群群，对对任任意意的的aGaG，令令 S Saan n|nZ|nZ，Z Z是整数是整数 ，则，则S 是是G 的子群。的子群。 证明：证明： 因为因为aSaS，所以显然，所以显然S S是是G G的非空子集。的非空子集。对任意的对任意的a an n，a am mSS，则，则a an n* *a am ma an+mn+m，由由n,mZn,mZ，有有n+mZn+mZ，所所以以a an+mn+mSS，即即运运算算是是封封闭闭的的；由由S S是是G G的的子子集集可可得得结结合合律律也也成成立立；由由于于 e=ae=a0 0 S S ，所所以以S S中有幺元；中有幺元； 又又a

76、an n S S有逆元有逆元a a-n-n使使a an n*a*a-n-n=e=e 综上所述，综上所述，S 是是G 的子群。的子群。2024/7/252024/7/256363计算机学院计算机学院n特特别别把把由由群群的的一一个个元元素素a a生生成成的的子子群群记记为为(a)(a)。例例如如在在Z+中中，由由元元素素2 2生生成成的的子子群群(2)(2)是是由由全全体体偶偶数数关关于于加加法法构构成成的的群群，而而由由元元素素1 1生生成成的子群正好是的子群正好是Z Z本身。本身。 2024/7/252024/7/256464计算机学院计算机学院n定定理理1 15.7 5.7 设设是是一一个

77、个群群,是是的的子子群群, ,则则: : 1 1）子群子群S*的幺元的幺元e eS S也是群也是群G*的幺元的幺元e eG G； 2 2）对）对 a a S S，a a在在S S中的逆元中的逆元a aS S-1-1就是就是a a在在G G中的逆元中的逆元a aG G-1-1。证明：证明： 1) 1)对对 a a S S，由于，由于e eS S是是S S的幺元，的幺元， 所以有：所以有：e eS S*a*aa*ea*eS Sa a 又又S S G,G,所以所以a a G,G,由由e eG G是是G G的幺元，所以有：的幺元，所以有： e eG G*a*aa*ea*eG Ga a 由由、有：有：e

78、 eS S*a*aa*ea*eS Sa ae eG G*a*aa*ea*eG G， 由于由于G G满足消去律，所以有：满足消去律，所以有：e eS Se eG G。 2)2)对对 a a S S，由由于于S S G G，所所以以a a G G，即即a a在在S S中中的的逆逆元元就是就是a a在在G G中的逆元。中的逆元。2024/7/252024/7/256565计算机学院计算机学院n定定理理1 15.7 5.7 设设是是一一个个群群,是是的的子子群群, ,则则: : 1 1）子群子群S*的幺元的幺元e eS S也是群也是群G*的幺元的幺元e eG G； 2 2）对对 a a S S，a a

79、在在S S中的逆元中的逆元a aS S-1-1就是就是a a在在G G中的逆元中的逆元a aG G-1-1。证明：证明： 1) 1)对对 a a S S，由于，由于e eS S是是S S的幺元，的幺元， 所以有：所以有：e eS S*a*aa*ea*eS Sa a 又又S S G,G,所以所以a a G,G,由由e eG G是是G G的幺元，所以有：的幺元，所以有： e eG G*a*aa*ea*eG Ga a 由由、有：有：e eS S*a*aa*ea*eS Sa ae eG G*a*aa*ea*eG G， 由于由于G G满足消去律，所以有：满足消去律，所以有：e eS Se eG G。 2

80、)2)对对 a a S S，由由于于S S G G，所所以以a a G G，即即a a在在S S中中的的逆逆元元就是就是a a在在G G中的逆元。中的逆元。2024/7/252024/7/256666计算机学院计算机学院n定定理理1 15.7 5.7 设设是是一一个个群群,是是的的子子群群, ,则则: : 1 1）子群子群S*的幺元的幺元e eS S也是群也是群G*的幺元的幺元e eG G； 2 2）对对 a a S S，a a在在S S中的逆元中的逆元a aS S-1-1就是就是a a在在G G中的逆元中的逆元a aG G-1-1。证明：证明： 1) 1)对对 a a S S，由于，由于e

81、eS S是是S S的幺元，的幺元， 所以有：所以有：e eS S*a*aa*ea*eS Sa a 又又S S G,G,所以所以a a G,G,由由e eG G是是G G的幺元，所以有：的幺元，所以有： e eG G*a*aa*ea*eG Ga a 由由、有：有：e eS S*a*aa*ea*eS Sa ae eG G*a*aa*ea*eG G， 由于由于G G满足消去律，所以有：满足消去律，所以有：e eS Se eG G。 2)2)对对 a a S S，由由于于S S G G，所所以以a a G G，即即a a在在S S中中的的逆逆元元就是就是a a在在G G中的逆元。中的逆元。2024/7

82、/252024/7/256767计算机学院计算机学院n定定理理1 15.7 5.7 设设是是一一个个群群,是是的的子子群群, ,则则: : 1 1）子群子群S*的幺元的幺元e eS S也是群也是群G*的幺元的幺元e eG G； 2 2）对对 a a S S，a a在在S S中的逆元中的逆元a aS S-1-1就是就是a a在在G G中的逆元中的逆元a aG G-1-1。证明：证明： 1) 1)对对 a a S S，由于，由于e eS S是是S S的幺元，的幺元， 所以有：所以有：e eS S*a*aa*ea*eS Sa a 又又S S G,G,所以所以a a G,G,由由e eG G是是G G

83、的幺元，所以有：的幺元，所以有： e eG G*a*aa*ea*eG Ga a 由由、有：有：e eS S*a*aa*ea*eS Sa ae eG G*a*aa*ea*eG G， 由于由于G G满足消去律，所以有：满足消去律，所以有：e eS Se eG G。 2)2)对对 a a S S，由由于于S S G G，所所以以a a G G，即即a a在在S S中中的的逆逆元元就是就是a a在在G G中的逆元。中的逆元。2024/7/252024/7/256868计算机学院计算机学院n定定理理1 15.7 5.7 设设是是一一个个群群,是是的的子子群群, ,则则: : 1 1）子群子群S*的幺元的

84、幺元e eS S也是群也是群G*的幺元的幺元e eG G； 2 2）对对 a a S S，a a在在S S中的逆元中的逆元a aS S-1-1就是就是a a在在G G中的逆元中的逆元a aG G-1-1。证明：证明： 1) 1)对对 a a S S，由于，由于e eS S是是S S的幺元，的幺元， 所以有：所以有：e eS S*a*aa*ea*eS Sa a 又又S S G,G,所以所以a a G,G,由由e eG G是是G G的幺元，所以有：的幺元，所以有： e eG G*a*aa*ea*eG Ga a 由由、有：有：e eS S*a*aa*ea*eS Sa ae eG G*a*aa*ea*

85、eG G， 由于由于G G满足消去律，所以有：满足消去律，所以有：e eS Se eG G。 2)2)对对 a a S S，由由于于S S G G，所所以以a a G G，即即a a在在S S中中的的逆逆元元就是就是a a在在G G中的逆元。中的逆元。2024/7/252024/7/256969计算机学院计算机学院n定定理理1 15.8 5.8 设设G*是是一一个个群群，S S是是G G的的一一个个非非空空子子集集，则则S 是是G*的的子子群群的的充充要要条件是：对条件是：对 a a，b b S S，有，有a*ba*b-1-1 S S。 证明：证明：“” ”设设S S是是G G的的子子群群，对

86、对 a a S S，由由群群的的定定义义知知，b b-1-1 S S，即有，即有a*ba*b-1-1 S S。 所以必要性成立；所以必要性成立； “ “”由子群的定义知，需证明如下四点：由子群的定义知，需证明如下四点： 1) S1) S是非空的子集；是非空的子集；2024/7/252024/7/257070计算机学院计算机学院n定定理理1 15.8 5.8 设设G*是是一一个个群群，S S是是G G的的一一个个非非空空子子集集，则则S 是是G*的的子子群群的的充充要要条件是：对条件是：对 a a，b b S S，有，有a*ba*b-1-1 S S。 证明：证明：“”设设S S是是G G的的子子

87、群群，对对 a a S S，由由群群的的定定义义知，知，b b-1-1 S S，即有，即有a*ba*b-1-1 S S。 所以必要性成立；所以必要性成立； “”由子群的定义知，需证明如下四点：由子群的定义知，需证明如下四点： 1) S1) S是非空的子集；是非空的子集；2024/7/252024/7/257171计算机学院计算机学院n定定理理1 15.8 5.8 设设G*是是一一个个群群，S S是是G G的的一一个个非非空空子子集集，则则S 是是G*的的子子群群的的充充要要条件是：对条件是：对 a a，b b S S，有，有a*ba*b-1-1 S S。 证明：证明：“” ”设设S S是是G

88、G的的子子群群，对对 a a S S，由由群群的的定定义义知知，b b-1-1 S S，即有，即有a*ba*b-1-1 S S。 所以必要性成立；所以必要性成立； “”由子群的定义知，需证明如下四点：由子群的定义知，需证明如下四点： 1)1) S S是非空的子集；是非空的子集；2024/7/252024/7/257272计算机学院计算机学院2)2) 幺幺元元存存在在：由由于于S S ，所所以以有有a a S S，由由对对 a,ba,b S,S,有有a*ba*b- - S,S,取取a ab,b,有有e eG Ga*aa*a- - S;S;3) 3) 逆元存在：对逆元存在：对 a,ba,b S S

89、，有，有a*ba*b-1-1 S S，对对 b b S S，由，由e eG G S S，有，有b b- - e eG G* *b b- - S S；4) 4) 封封闭闭性性：对对 a,ba,b S S，由由3)3)知知：b b- - S S，由由条条件知：件知：a*(ba*(b- - ) )- - S S，即，即a*ba*b S.S.由由1)1)、2)2)、3)3)、4)4)知知:是是的子群。的子群。2024/7/252024/7/257373计算机学院计算机学院2)2) 幺幺元元存存在在：由由于于S S ，所所以以有有a a S S，由由对对 a,ba,b S,S,有有a*ba*b- - S

90、,S,取取a ab,b,有有e eG Ga*aa*a- - S;S;3)3) 逆元存在：逆元存在：对对 a,ba,b S S，有，有a*ba*b-1-1 S S，对对 b b S S，由，由e eG G S S，有，有b b- - e eG G* *b b- - S S；4) 4) 封封闭闭性性：对对 a,ba,b S S，由由3)3)知知：b b- - S S，由由条条件知：件知：a*(ba*(b- - ) )- - S S，即，即a*ba*b S.S.由由1)1)、2)2)、3)3)、4)4)知知:是是的子群。的子群。2024/7/252024/7/257474计算机学院计算机学院2)2)

91、 幺幺元元存存在在：由由于于S S ，所所以以有有a a S S，由由对对 a,ba,b S,S,有有a*ba*b- - S,S,取取a ab,b,有有e eG Ga*aa*a- - S;S;3)3) 逆元存在：对逆元存在：对 a,ba,b S S，有，有a*ba*b-1-1 S S，对对 b b S S，由，由e eG G S S，有，有b b- - e eG G* *b b- - S S；4)4) 封封闭闭性性：对对 a,ba,b S S，由由3)3)知知：b b- - S S，由由条条件知：件知：a*(ba*(b- - ) )- - S S，即，即a*ba*b S.S.由由1)1)、2)

92、2)、3)3)、4)4)知知:是是的子群。的子群。2024/7/252024/7/257575计算机学院计算机学院例例: : 设设G 是一个群，令：是一个群，令：C Ca|aa|a G G且对且对 x x G G，有：，有：a*xa*xx*ax*a 证明证明C 是是G 的一个子群。的一个子群。 证明证明: : 1) 1) 非空性：对非空性：对 x x G G，由于幺元，由于幺元e e G G存在，所以有存在，所以有: : e*x e*xx*ex*ex x，即，即e e C C，所以，所以C C是非空的；是非空的； 2) 2) 封闭性：对封闭性：对 a a，b b C C，则有：对，则有：对 x

93、 x G Ga*xa*xx*ax*a，b*xb*xx*bx*b，(a*b)*x(a*b)*xa*(b*x)a*(b*x)a*(x*b)a*(x*b)(a*x)*b(a*x)*b(x*a)*b(x*a)*bx*(a*b)x*(a*b)，即：即：a*ba*b C C；2024/7/252024/7/257676计算机学院计算机学院例例: : 设设G 是一个群，令：是一个群，令：C Ca|aa|a G G且对且对 x x G G，有：，有：a*xa*xx*ax*a 证明证明C 是是G 的一个子群。的一个子群。 证明证明: : 1) 1) 非空性：非空性：对对 x x G G，由于幺元，由于幺元e e

94、 G G存在，所以有存在，所以有: : e*x e*xx*ex*ex x，即，即e e C C，所以，所以C C是非空的；是非空的； 2) 2) 封闭性：对封闭性：对 a a，b b C C，则有：对，则有：对 x x G Ga*xa*xx*ax*a，b*xb*xx*bx*b，(a*b)*x(a*b)*xa*(b*x)a*(b*x)a*(x*b)a*(x*b)(a*x)*b(a*x)*b(x*a)*b(x*a)*bx*(a*b)x*(a*b)，即：即：a*ba*b C C；2024/7/252024/7/257777计算机学院计算机学院例例: : 设设G 是一个群，令：是一个群，令：C Ca|

95、aa|a G G且对且对 x x G G，有：，有：a*xa*xx*ax*a 证明证明C 是是G 的一个子群。的一个子群。 证明证明: : 1) 1) 非空性：非空性：对对 x x G G，由于幺元，由于幺元e e G G存在，所以有存在，所以有: : e*x e*xx*ex*ex x，即，即e e C C，所以，所以C C是非空的；是非空的； 2)2) 封闭性：封闭性：对对 a a，b b C C，则有：对，则有：对 x x G Ga*xa*xx*ax*a，b*xb*xx*bx*b，(a*b)(a*b)*x*xa*(b*x)a*(b*x)a*(x*b)a*(x*b)(a*x)*b(a*x)*

96、b(x*a)*b(x*a)*bx*x*(a*b)(a*b)，即：即：a*ba*b C C；2024/7/252024/7/257878计算机学院计算机学院3)3)、逆元存在：逆元存在：对对 a a C C，有：，有：对对 x x G G，a*xa*xx*ax*aCC G G，a a G G，即有：，即有：a a-1-1 G G，有：，有：a a-1-1*(a*x)*a*(a*x)*a-1-1a a-1-1*(x*a)*a*(x*a)*a-1-1，即有：即有：x*ax*a-1-1a a-1-1*x*x，所以，所以a a-1-1 C C。由由1)1)、2)2)、3)3)知知:是是的一个子群。的一个

97、子群。2024/7/252024/7/257979计算机学院计算机学院3)3)、逆元存在：逆元存在：对对 a a C C，有：，有：对对 x x G G，a*xa*xx*ax*aCC G G，a a G G，即有：，即有：a a-1-1 G G，有：，有：a a-1-1*(a*x)*a*(a*x)*a-1-1a a-1-1*(x*a)*a*(x*a)*a-1-1，即有：即有：x*ax*a-1-1a a-1-1*x*x，所以，所以a a-1-1 C C。由由1)1)、2)2)、3)3)知知:是是的一个子群。的一个子群。2024/7/252024/7/258080计算机学院计算机学院3)3)、逆元

98、存在：逆元存在：对对 a a C C，有：，有：对对 x x G G，a*xa*xx*ax*aCC G G，a a G G，即有：，即有：a a-1-1 G G，有：，有：a a-1-1*(a*x)*a*(a*x)*a-1-1a a-1-1*(x*a)*a*(x*a)*a-1-1，即有：即有：x*ax*a-1-1a a-1-1*x*x，所以，所以a a-1-1 C C。由由1)1)、2)2)、3)3)知知:是是的一个子群。的一个子群。2024/7/252024/7/258181计算机学院计算机学院例例: :设设Z 是一个整数加群，令：是一个整数加群，令：H Hnk|knk|k Z Z且且n n

99、是一个是一个取定的自然数取定的自然数 ，证明证明H, 是是Z, 的一个子群。的一个子群。证明证明: :1) 1) 非空性：显然；非空性：显然；2) 2) 封闭性：封闭性：对对 a a，b b H H，有，有a anknk1 1，b bnknk2 2(k(k1 1，k k2 2 Z)Z)，a+ba+bnknk1 1+nk+nk2 2n(kn(k1 1+k+k2 2) ) H H (k(k1 1+k+k2 2 Z)Z)；3) 3) 逆元存在：对逆元存在：对 a a H H，有，有a anknk1 1(k(k1 1 Z)Z)，则则a a- - -a-a-nk-nk1 1n(-kn(-k1 1) )

100、H H(-k(-k1 1 Z)Z)。 由由1),2),3)1),2),3)知知H 是是Z 的一个子群。的一个子群。2024/7/252024/7/258282计算机学院计算机学院例例: :设设Z 是一个整数加群，令：是一个整数加群，令：H Hnk|knk|k Z Z且且n n是一个取定的自然数是一个取定的自然数 ，证明证明H, 是是Z, 的一个子群。的一个子群。证明证明: :1) 1) 非空性非空性：显然；：显然；2) 2) 封闭性封闭性：对对 a a，b b H H，有，有a anknk1 1，b bnknk2 2(k(k1 1，k k2 2 Z)Z)，a+ba+bnknk1 1+nk+nk

101、2 2n(kn(k1 1+k+k2 2) ) H H (k(k1 1+k+k2 2 Z)Z)；3) 3) 逆元存在：对逆元存在：对 a a H H，有，有a anknk1 1(k(k1 1 Z)Z)，则则a a- - -a-a-nk-nk1 1n(-kn(-k1 1) ) H H(-k(-k1 1 Z)Z)。 由由1),2),3)1),2),3)知知H 是是Z 的一个子群。的一个子群。2024/7/252024/7/258383计算机学院计算机学院例例: :设设Z 是一个整数加群，令：是一个整数加群，令：H Hnk|knk|k Z Z且且n n是一个取定的自然数是一个取定的自然数 ，证明证明H

102、, 是是Z, 的一个子群。的一个子群。证明证明: :1) 1) 非空性非空性：显然；显然；2) 2) 封闭性封闭性：对对 a a，b b H H，有，有a anknk1 1，b bnknk2 2(k(k1 1，k k2 2 Z)Z)，a+ba+bnknk1 1+nk+nk2 2n(kn(k1 1+k+k2 2) ) H H (k(k1 1+k+k2 2 Z)Z)；3) 3) 逆元存在逆元存在：对：对 a a H H，有，有a anknk1 1(k(k1 1 Z)Z)，则则a a- - -a-a-nk-nk1 1n(-kn(-k1 1) ) H H(-k(-k1 1 Z)Z)。 由由1),2),

103、3)1),2),3)知知H 是是Z 的一个子群。的一个子群。2024/7/252024/7/258484计算机学院计算机学院n例例：设设G 是是一一个个群群，H H1 1，H H2 2是是G G的的两两个个子子群群。证证明明H HH H1 1HH2 2是是G G的子群。的子群。证证明明1)1)、非非空空性性：由由于于H H1 1，H H2 2是是G G的的两两个个子子群群，所所以以有有：e e H H1 1，e e H H2 2，即有，即有e e H H1 1HH2 2；2)2)、封闭性：对、封闭性：对 a a，b b H H，有，有a a，b b H H1 1HH2 2，即即a a，b b

104、H H1 1，a a，b b H H2 2，由于由于H H1 1，H H2 2都是都是G G的子群，所以有：的子群，所以有：a*ba*b H H1 1，a*ba*b H H2 2，即有：，即有：a*ba*b H H1 1HH2 23)3)、逆逆元元存存在在：对对 a a H H，有有a a H H1 1HH2 2，即即a a H H1 1，a a H H2 2，由于，由于H H1 1，H H2 2都是都是G G的子群，所以有：的子群，所以有：a a-1-1 H H1 1，a a-1-1 H H2 2，即有：，即有：a a-1-1 H H1 1HH2 2。由由1)1)、2)2)、3)3)知：知：

105、H 是是G 的一个子群。的一个子群。2024/7/252024/7/258585计算机学院计算机学院n例例：设设G 是是一一个个群群，H H1 1，H H2 2是是G G的的两两个个子子群群。证证明明H HH H1 1HH2 2是是G G的子群。的子群。证证明明1)1)、非非空空性性：由由于于H H1 1，H H2 2是是G G的的两两个个子子群群，所所以以有有：e e H H1 1，e e H H2 2，即有，即有e e H H1 1HH2 2；2)2)、封闭性：对、封闭性：对 a a，b b H H，有，有a a，b b H H1 1HH2 2，即即a a，b b H H1 1，a a，b

106、 b H H2 2，由于由于H H1 1，H H2 2都是都是G G的子群，所以有：的子群，所以有：a*ba*b H H1 1，a*ba*b H H2 2，即有：，即有：a*ba*b H H1 1HH2 23)3)、逆逆元元存存在在：对对 a a H H，有有a a H H1 1HH2 2，即即a a H H1 1，a a H H2 2，由于，由于H H1 1，H H2 2都是都是G G的子群，所以有：的子群，所以有：a a-1-1 H H1 1，a a-1-1 H H2 2，即有：，即有：a a-1-1 H H1 1HH2 2。由由1)1)、2)2)、3)3)知：知：H 是是G 的一个子群。

107、的一个子群。2024/7/252024/7/258686计算机学院计算机学院n例例：设设G 是是一一个个群群，H H1 1，H H2 2是是G G的的两两个个子子群群。证证明明H HH H1 1HH2 2是是G G的子群。的子群。证证明明1)1)、非非空空性性：由由于于H H1 1，H H2 2是是G G的的两两个个子子群群，所所以以有有：e e H H1 1，e e H H2 2，即有，即有e e H H1 1HH2 2；2)2)、封闭性封闭性：对：对 a a，b b H H，有，有a a，b b H H1 1HH2 2，即即a a，b b H H1 1，a a，b b H H2 2，由于由

108、于H H1 1，H H2 2都是都是G G的子群，所以有：的子群，所以有：a*ba*b H H1 1，a*ba*b H H2 2，即有：，即有：a*ba*b H H1 1HH2 23)3)、逆逆元元存存在在：对对 a a H H，有有a a H H1 1HH2 2，即即a a H H1 1，a a H H2 2，由于，由于H H1 1，H H2 2都是都是G G的子群，所以有：的子群，所以有：a a-1-1 H H1 1，a a-1-1 H H2 2，即有：，即有：a a-1-1 H H1 1HH2 2。由由1)1)、2)2)、3)3)知：知：H 是是G 的一个子群。的一个子群。2024/7/

109、252024/7/258787计算机学院计算机学院n例例：设设G 是是一一个个群群，H H1 1，H H2 2是是G G的的两两个个子子群群。证证明明H HH H1 1HH2 2是是G G的子群。的子群。证证明明1)1)、非非空空性性：由由于于H H1 1，H H2 2是是G G的的两两个个子子群群，所所以以有有：e e H H1 1，e e H H2 2，即有，即有e e H H1 1HH2 2；2)2)、封闭性封闭性：对对 a a，b b H H，有，有a a，b b H H1 1HH2 2，即即a a，b b H H1 1，a a，b b H H2 2，由于由于H H1 1，H H2 2

110、都是都是G G的子群，所以有：的子群，所以有：a*ba*b H H1 1，a*ba*b H H2 2，即有：，即有：a*ba*b H H1 1HH2 23)3)、逆逆元元存存在在：对对 a a H H，有有a a H H1 1HH2 2，即即a a H H1 1，a a H H2 2，由于，由于H H1 1，H H2 2都是都是G G的子群，所以有：的子群，所以有：a a-1-1 H H1 1，a a-1-1 H H2 2，即有：，即有：a a-1-1 H H1 1HH2 2。由由1)1)、2)2)、3)3)知：知：H 是是G 的一个子群。的一个子群。2024/7/252024/7/25888

111、8计算机学院计算机学院推广推广 设设G 是是一一个个群群，H H1 1，H H2 2，H Hn n是是G G的的n n个个子子群群，则则有有H HH H1 1HH2 2HHn n是是G G的子群。的子群。2024/7/252024/7/258989计算机学院计算机学院复习复习n若若整整数数m m和和n n关关于于模模d d的的余余数数相相同同，称称m m和和n n（关关于模于模d d）是同余的，记为：）是同余的，记为： nm(mod)dnm(mod)dn同同余余是是整整数数之之间间的的一一种种重重要要关关系系。模模d d同同余余的的数数的的全全体体构构成成的的集集合合称称为为一一个个同同余余类

112、类。这这个个集集合可以表示成：合可以表示成： nnd d=x|nx(mod)d=x|nx(mod)dn=m+kdk为整数2024/7/252024/7/259090计算机学院计算机学院复习复习nZ Zk k表示整数集表示整数集Z Z上的模上的模k k剩余类集合，即剩余类集合，即 Z Zk k=0=0，11，22，k-1k-1n例：例：n=6n=6，则：，则： Z Zn n=0=0，11，22，33，44，55 0= 0=，-12-12，-6-6，0 0，6 6，1212，1818， 1= 1=，-11-11，-5-5，1 1，7 7，1313，1919， 2= 2=，-10-10，-4-4，2

113、 2，8 8，1414，2020， 2024/7/252024/7/259191计算机学院计算机学院例例: :设设Z Zk k表示整数集表示整数集Z Z上的模上的模k k剩余类集合，即剩余类集合，即Z Zk k=0=0，11，22，k-1k-1在在Z Zk k上定义运算上定义运算 和和 如下：如下：ii j=tj=t（i+ji+j） t t（modkmodk）ii j=tj=tijij t t（modkmodk）Z 是是群群（剩剩余余类类加加群群）。00是是 的的幺幺元元，每元每元ii的的 逆元是逆元是k-ik-i。Z 不不是是群群，因因为为虽虽然然它它满满足足封封闭闭性性和和可可结结合合性性

114、，且且11是是它它的的幺幺元元，但但是是00无无 逆逆元元，所以它仅仅是一个含幺半群。所以它仅仅是一个含幺半群。2024/7/252024/7/259292计算机学院计算机学院例例: :设设Z Zk k表示整数集表示整数集Z Z上的模上的模k k剩余类集合，即剩余类集合，即Z Zk k=0=0，11，22，k-1k-1在在Z Zk k上定义运算上定义运算 和和 如下：如下：ii j=tj=t（i+ji+j） t t（modkmodk）ii j=tj=tijij t t（modkmodk）Z 是是群群（剩剩余余类类加加群群）。00是是 的的幺幺元元，每元每元ii的的 逆元是逆元是k-ik-i。Z

115、 不不是是群群，因因为为虽虽然然它它满满足足封封闭闭性性和和可可结结合合性性，且且11是是它它的的幺幺元元，但但是是00无无 逆逆元元，所以它仅仅是一个含幺半群。所以它仅仅是一个含幺半群。2024/7/252024/7/259393计算机学院计算机学院例例: :设设Z Zk k表示整数集表示整数集Z Z上的模上的模k k剩余类集合，即剩余类集合，即Z Zk k=0=0，11，22，k-1k-1在在Z Zk k上定义运算上定义运算 和和 如下：如下：ii j=tj=t（i+ji+j） t t（modkmodk）ii j=tj=tijij t t（modkmodk）Z 是是群群（剩剩余余类类加加群

116、群）。00是是 的的幺幺元元，每元每元ii的的 逆元是逆元是k-ik-i。Z 不不是是群群，因因为为虽虽然然它它满满足足封封闭闭性性和和可可结结合合性性，且且11是是它它的的幺幺元元，但但是是00无无 逆逆元元，所以它仅仅是一个含幺半群所以它仅仅是一个含幺半群。2024/7/252024/7/259494计算机学院计算机学院Z 是不是群呢？是不是群呢？不一定！不一定！Z Z4 4-0=1-0=1，22，33，而而22 2=02=0 Z Z4 4-0-0 Z 不是群。不是群。而而Z Z5 5-0=1-0=1，22，33，44其运算表如右图，其运算表如右图，运算是封闭的，可结合的；运算是封闭的，可

117、结合的；11是幺元，是幺元，11、44的逆元的逆元是自身，是自身，22、33互为逆元；互为逆元；因此因此Z 是群。是群。2024/7/252024/7/259595计算机学院计算机学院Z 是不是群呢？不一定！是不是群呢？不一定！Z Z4 4-0=1-0=1，22，33，而而22 2=02=0 Z Z4 4-0-0 Z 不是群。不是群。而而Z Z5 5-0=1-0=1，22，33，44其运算表如右图，其运算表如右图，运算是封闭的，可结合的；运算是封闭的，可结合的；11是幺元，是幺元，11、44的逆元的逆元是自身，是自身，22、33互为逆元；互为逆元；因此因此Z 是群。是群。2024/7/2520

118、24/7/259696计算机学院计算机学院Z 是不是群呢？不一定！是不是群呢？不一定！Z Z4 4-0=1-0=1，22，33，而而22 2=02=0 Z Z4 4-0-0 Z 不是群。不是群。而而Z Z5 5-0=1-0=1，22，33，44其运算表如右图，其运算表如右图，运算是封闭的，可结合的；运算是封闭的，可结合的；11是幺元，是幺元，11、44的逆元的逆元是自身，是自身，22、33互为逆元；互为逆元；因此因此Z 是群。是群。 1234112342241333142443212024/7/252024/7/259797计算机学院计算机学院例例: : 设设n n个个元元素素的的集集合合A

119、A上上的的全全体体置置换换构构成成集集合合S Sn n，证明，证明S 构成群。（构成群。（n n次对称群次对称群）证证明明： 1 1）S Sn n中中两两个个置置换换的的复复合合仍仍然然是是A A上上的的一一个置换，所以运算是封闭的；个置换，所以运算是封闭的；2 2）由由于于函函数数的的复复合合是是可可结结合合的的，所所以以置置换换的的复复合也是可结合的；合也是可结合的；3 3）S Sn n中存在幺置换中存在幺置换( (单位置换）单位置换） = =（1 1），）， 使对使对 S Sn n， = = = = 所以所以 = =（1 1）是幺元；）是幺元；4 4）每每个个置置换换将将x x变变成成y

120、 y，而而逆逆置置换换是是将将y y变变成成x x，所以，每个置换都有逆。所以，每个置换都有逆。2024/7/252024/7/259898计算机学院计算机学院例例: : 设设n n个个元元素素的的集集合合A A上上的的全全体体置置换换构构成成集集合合S Sn n，证明，证明S 构成群。（构成群。（n n次对称群）次对称群）证证明明： 1 1）S Sn n中中两两个个置置换换的的复复合合仍仍然然是是A A上上的的一一个置换，所以运算是封闭的；个置换，所以运算是封闭的；2 2）由由于于函函数数的的复复合合是是可可结结合合的的，所所以以置置换换的的复复合也是可结合的；合也是可结合的；3 3）S S

121、n n中存在幺置换中存在幺置换( (单位置换）单位置换） = =（1 1），）， 使对使对 S Sn n， = = = = 所以所以 = =（1 1）是幺元；）是幺元；4 4）每每个个置置换换将将x x变变成成y y，而而逆逆置置换换是是将将y y变变成成x x，所以，每个置换都有逆。所以，每个置换都有逆。2024/7/252024/7/259999计算机学院计算机学院例例: : 设设n n个个元元素素的的集集合合A A上上的的全全体体置置换换构构成成集集合合S Sn n，证明，证明S 构成群。（构成群。（n n次对称群）次对称群）证证明明： 1 1）S Sn n中中两两个个置置换换的的复复合

122、合仍仍然然是是A A上上的的一一个置换，所以运算是封闭的；个置换，所以运算是封闭的；2 2）由由于于函函数数的的复复合合是是可可结结合合的的，所所以以置置换换的的复复合也是可结合的；合也是可结合的；3 3）S Sn n中存在幺置换中存在幺置换( (单位置换）单位置换） = =（1 1），）， 使对使对 S Sn n， = = = = 所以所以 = =（1 1）是幺元；）是幺元；4 4）每每个个置置换换将将x x变变成成y y，而而逆逆置置换换是是将将y y变变成成x x，所以，每个置换都有逆。所以，每个置换都有逆。2024/7/252024/7/25100100计算机学院计算机学院例例: :

123、设设n n个个元元素素的的集集合合A A上上的的全全体体置置换换构构成成集集合合S Sn n，证明，证明S 构成群。（构成群。（n n次对称群）次对称群）证证明明： 1 1）S Sn n中中两两个个置置换换的的复复合合仍仍然然是是A A上上的的一一个置换，所以运算是封闭的；个置换，所以运算是封闭的；2 2）由由于于函函数数的的复复合合是是可可结结合合的的，所所以以置置换换的的复复合也是可结合的；合也是可结合的；3 3）S Sn n中存在幺置换中存在幺置换( (单位置换）单位置换） = =（1 1），）， 使对使对 S Sn n， = = = = 所以所以 = =（1 1）是幺元；）是幺元；4

124、4）每每个个置置换换将将x x变变成成y y，而而逆逆置置换换是是将将y y变变成成x x，所以，每个置换都有逆。所以，每个置换都有逆。2024/7/252024/7/25101101计算机学院计算机学院例例: : 设设n n个个元元素素的的集集合合A A上上的的全全体体置置换换构构成成集集合合S Sn n，证明，证明S 构成群。（构成群。（n n次对称群）次对称群）证证明明： 1 1）S Sn n中中两两个个置置换换的的复复合合仍仍然然是是A A上上的的一一个置换，所以运算是封闭的；个置换，所以运算是封闭的；2 2）由由于于函函数数的的复复合合是是可可结结合合的的，所所以以置置换换的的复复合

125、也是可结合的；合也是可结合的；3 3）S Sn n中存在幺置换中存在幺置换( (单位置换）单位置换） = =（1 1），）， 使对使对 S Sn n， = = = = 所以所以 = =（1 1）是幺元；）是幺元；4 4）每每个个置置换换将将x x变变成成y y，而而逆逆置置换换是是将将y y变变成成x x，所以，每个置换都有逆。所以，每个置换都有逆。2024/7/252024/7/25102102计算机学院计算机学院习题习题nP193 102024/7/252024/7/25103103计算机学院计算机学院15.3 交换群和循环群交换群和循环群2024/7/252024/7/25104104计

126、算机学院计算机学院交换群交换群n定定义义15.315.3若若群群 *中中的的运运算算“*”“*”满满足足交交换换律律，则称该群则称该群 *是一个是一个交换群交换群（或（或阿贝尔阿贝尔(Abel)(Abel)群群）。）。n例例 整整数数加加群群 +，实实数数加加群群R+，有有理理数数加加群群Q+，剩剩余余类类乘乘群群Z 、实实数数乘乘群群R- 都是交换群都是交换群。n 而而n n阶阶非非奇奇异异矩矩阵阵乘乘群群M、n n阶阶置置换换群群S 等不是交换群。等不是交换群。n“可可换换性性”是是代代数数运运算算的的一一个个重重要要性性质质。习习惯惯上上都都把把数数的的加加法法运运算算作作为为可可换换性

127、性的的代代表表，因因而而交交换换群群又又常常被被称为加群。称为加群。2024/7/252024/7/25105105计算机学院计算机学院交换群交换群n定定义义15.315.3若若群群 *中中的的运运算算“*”“*”满满足足交交换换律律，则称该群则称该群 *是一个交换群是一个交换群（或（或阿贝尔阿贝尔(Abel)(Abel)群群）。）。n例例 整整数数加加群群 +，实实数数加加群群R+，有有理理数数加加群群Q+，剩剩余余类类乘乘群群Z 、实实数数乘乘群群R- 都是交换群都是交换群。 而而n n阶阶非非奇奇异异矩矩阵阵乘乘群群M、n n阶阶置置换换群群S 等不是交换群。等不是交换群。n“可可换换性

128、性”是是代代数数运运算算的的一一个个重重要要性性质质。习习惯惯上上都都把把数数的的加加法法运运算算作作为为可可换换性性的的代代表表，因因而而交交换换群群又又常常被被称为加群。称为加群。2024/7/252024/7/25106106计算机学院计算机学院交换群交换群n定定义义15.315.3若若群群 *中中的的运运算算“*”“*”满满足足交交换换律律，则称该群则称该群 *是一个交换群是一个交换群（或（或阿贝尔阿贝尔(Abel)(Abel)群群）。）。n例例 整整数数加加群群 +，实实数数加加群群R+，有有理理数数加加群群Q+，剩剩余余类类乘乘群群Z 、实实数数乘乘群群R- 都是交换群都是交换群。

129、 而而n n阶阶非非奇奇异异矩矩阵阵乘乘群群M、n n阶阶置置换换群群S 等不是交换群。等不是交换群。n“可可换换性性”是是代代数数运运算算的的一一个个重重要要性性质质。习习惯惯上上都都把把数数的的加加法法运运算算作作为为可可换换性性的的代代表表，因因而而交交换换群群又又常常被被称为称为加群加群。2024/7/252024/7/25107107计算机学院计算机学院n定理定理15.915.9 设设 *是是一一个个群群，则则 *为为交交换换群群的的充充分分必必要条件是：要条件是：对对 a a，b b G G，有有( (a*b)a*b) a a *b*b 证证明明“”对对 a a，b b G G，由

130、由于于运运算算“ “* *” ”是是可可交交换换的的，所以有所以有：( (a*b)a*b) (a*b)*(a*b)(a*b)*(a*b)a*(b*a)*ba*(b*a)*ba*(a*b)*ba*(a*b)*b(a*a)*(b*b)(a*a)*(b*b)a a *b*b 。“” ”对对 a a，b b G G，若有若有( (a*b)a*b) a a *b*b ，则：则：( (a*b)*(a*b)a*b)*(a*b)(a*a)*(b*b)(a*a)*(b*b)，a*(b*a)*ba*(b*a)*ba*(a*b)*ba*(a*b)*b，由消去律知由消去律知：b*ab*aa*ba*b，所以所以，运算运

131、算“*”“*”满足交换律满足交换律，即群即群 G,*是交换群是交换群。2024/7/252024/7/25108108计算机学院计算机学院n定理定理15.915.9 设设 *是是一一个个群群，则则 *为为交交换换群群的的充充分分必必要条件是：对要条件是：对 a a，b b G G，有有( (a*b)a*b) a a *b*b 证证明明“” 对对 a a，b b G G，由由于于运运算算“ “* *” ”是是可可交交换换的的，所所以有以有：( (a*b)a*b) (a*b)*(a*b)(a*b)*(a*b)a*(b*a)*ba*(b*a)*ba*(a*b)*ba*(a*b)*b(a*a)*(b*

132、b)(a*a)*(b*b)a a *b*b 。“” ”对对 a a，b b G G，若有若有( (a*b)a*b) a a *b*b ，则：则：( (a*b)*(a*b)a*b)*(a*b)(a*a)*(b*b)(a*a)*(b*b)，a*(b*a)*ba*(b*a)*ba*(a*b)*ba*(a*b)*b，由消去律知由消去律知：b*ab*aa*ba*b，所以所以，运算运算“*”“*”满足交换律满足交换律，即群即群 G,*是交换群是交换群。2024/7/252024/7/25109109计算机学院计算机学院n定理定理15.915.9 设设 *是是一一个个群群，则则 *为为交交换换群群的的充充分

133、分必必要条件是：对要条件是：对 a a，b b G G，有有( (a*b)a*b) a a *b*b 证证明明“”对对 a a，b b G G，由由于于运运算算“ “* *” ”是是可可交交换换的的，所以有所以有：( (a*b)a*b) (a*b)*(a*b)(a*b)*(a*b)a*(b*a)*ba*(b*a)*ba*(a*b)*ba*(a*b)*b(a*a)*(b*b)(a*a)*(b*b)a a *b*b 。“” ”对对 a a，b b G G，若有若有( (a*b)a*b) a a *b*b ，则：则：( (a*b)*(a*b)a*b)*(a*b)(a*a)*(b*b)(a*a)*(b

134、*b)，a*(b*a)*ba*(b*a)*ba*(a*b)*ba*(a*b)*b，由消去律知由消去律知：b*ab*aa*ba*b，所以所以，运算运算“*”“*”满足交换律满足交换律，即群即群 G,*是交换群是交换群。2024/7/252024/7/25110110计算机学院计算机学院循环群循环群(补：先看一个参考资料补：先看一个参考资料)n设设 *是一个群，若是一个群，若G G中中存在元素存在元素a a，使得使得G Gaak k| | k kZ，则称则称 *是是( (由由a a所生成的所生成的) )循环群循环群；而而a a称称为为G G的一个的一个生成元生成元，并记作，并记作G G(a)(a)

135、。n注：注：k k是正整数，是正整数，a ak k=a*a*a*a=a*a*a*a共共k k个元素乘积；记个元素乘积；记a a0 0e e，a a-k-k=(a=(ak k) )-1-1。2024/7/252024/7/25111111计算机学院计算机学院循环群循环群n定义定义15.415.4设设 *是一个群，若是一个群，若G G中中存在元素存在元素a a，使使得得G G能由能由a a生成，即生成，即G=G=（a a），），则称则称 *是由是由a a所生成所生成的的循环群循环群；而而a a称为称为G G的一个的一个生成元生成元，群，群G G中的一切生中的一切生成元的集合叫做该群成元的集合叫做该

136、群G G的的生成集生成集。n例如：例如：1 1）整数加群）整数加群Z 是一个无限是一个无限循环群循环群，1 1和和-1-1都是生成元，而除此以外别无其它生成元。都是生成元，而除此以外别无其它生成元。 2 2）剩余类加群）剩余类加群Z 是一个有限是一个有限循环群循环群，只要，只要aa满足满足gcd(a,k)=1gcd(a,k)=1，则，则Z Zk k= =（ a a ），即），即aa是是Z Zk k的的一个生成元。一个生成元。2024/7/252024/7/25112112计算机学院计算机学院循环群循环群n定义定义15.415.4设设 *是一个群，若是一个群，若G G中存在元素中存在元素a a，

137、使使得得G G能由能由a a生成，即生成，即G=G=（a a），），则称则称 *是由是由a a所生成所生成的循环群的循环群；而而a a称为称为G G的一个生成元的一个生成元，群，群G G中的一切生中的一切生成元的集合叫做该群成元的集合叫做该群G G的生成集的生成集。n例如：例如：1 1）整数加群整数加群Z 是一个是一个无限无限循环群循环群，1 1和和-1-1都是生成元，都是生成元，而除此以外别无其它生成元。而除此以外别无其它生成元。 2 2）剩余类加群）剩余类加群Z 是一个有限是一个有限循环群循环群，只要，只要aa满足满足gcd(a,k)=1gcd(a,k)=1，则，则 Z Zk k= =（

138、a a ），即），即aa是是Z Zk k的的一个生成元。一个生成元。2024/7/252024/7/25113113计算机学院计算机学院循环群循环群n定义定义15.415.4设设 *是一个群，若是一个群，若G G中存在元素中存在元素a a，使使得得G G能由能由a a生成，即生成，即G=G=（a a），），则称则称 *是由是由a a所生成所生成的循环群的循环群；而而a a称为称为G G的一个生成元的一个生成元，群，群G G中的一切生中的一切生成元的集合叫做该群成元的集合叫做该群G G的生成集的生成集。n例如：例如：1 1）整数加群）整数加群Z 是一个无限是一个无限循环群循环群，1 1和和-1-

139、1都是生成元，而除此以外别无其它生成元。都是生成元，而除此以外别无其它生成元。 2 2）剩余类加群剩余类加群Z 是一个有限是一个有限循环群循环群，只要，只要aa满足满足gcd(a,k)=1gcd(a,k)=1，则，则 Z Zk k= =（aa），即），即aa是是Z Zk k的一的一个生成元。个生成元。gcd表示：a、k的最大公约数,如 Z42024/7/252024/7/25114114计算机学院计算机学院n例例 由由n n次次代代数数方方程程x xn n-1=0-1=0的的全全部部复复根根构构成成的的集集合合RootRoot在复数乘法运算下构成群。此时，在复数乘法运算下构成群。此时， 如果记

140、如果记 ，那么：，那么： RootRoot=1=1，a a，a a2 2，a an-1n-1 。 显然，群显然，群 可以由元可以由元a a生成，因此是循环群。生成，因此是循环群。n例例 令令A=2A=2k k| | kNkN ，则则称称 *是是( (由由2 2所所生生成成的的) )循循环群环群2024/7/252024/7/25115115计算机学院计算机学院n例例：设设有有代代数数系系统统Z ，运运算算“*”“*”的的定定义义为为：对对任任意的意的a a、bZbZ，有，有a*b=a+b-2a*b=a+b-2。试证明。试证明Z 是循环群。是循环群。 证明：证明： a,b,cZZ， (a*b)*

141、c=(a+b-2)*c=a+b+c-4(a*b)*c=(a+b-2)*c=a+b+c-4 a*(b*c)=a*(b+c-2)=a+b+c-4 a*(b*c)=a*(b+c-2)=a+b+c-4 * *满足结合律。满足结合律。 aZZ，a*2=a+2-2=aa*2=a+2-2=a，2*a=a 22*a=a 2是幺元。是幺元。 aZZ，(4-a)*a=(4-a)+a-2=2 a(4-a)*a=(4-a)+a-2=2 a的逆元是的逆元是4-a4-a。 Z 是群。是群。 对对于于任任意意正正数数n n，1 1n n=2-n,=2-n,即即n=1n=12-n2-n， 1 1是是生生成成元元，也也可可以以

142、验验证证3 3也也是是生生成成元元，3 3n n=n+2=n+2。因因此此，Z 是是循循环群。环群。2024/7/252024/7/25116116计算机学院计算机学院n例例：设设有有代代数数系系统统Z ，运运算算“*”“*”的的定定义义为为：对对任任意的意的a a、bZbZ，有，有a*b=a+b-2a*b=a+b-2。试证明。试证明Z 是循环群。是循环群。 证明：证明： a,b,cZZ， (a*b)*c=(a+b-2)*c=a+b+c-4(a*b)*c=(a+b-2)*c=a+b+c-4 a*(b*c)=a*(b+c-2)=a+b+c-4 a*(b*c)=a*(b+c-2)=a+b+c-4

143、* *满足满足结合律结合律。 aZZ，a*2=a+2-2=aa*2=a+2-2=a，2*a=a 22*a=a 2是幺元。是幺元。 aZZ，(4-a)*a=(4-a)+a-2=2 a(4-a)*a=(4-a)+a-2=2 a的逆元是的逆元是4-a4-a。 Z 是群。是群。 对对于于任任意意正正数数n n，1 1n n=2-n,=2-n,即即n=1n=12-n2-n， 1 1是是生生成成元元，也也可可以以验验证证3 3也也是是生生成成元元，3 3n n=n+2=n+2。因因此此，Z 是是循循环群。环群。2024/7/252024/7/25117117计算机学院计算机学院n例例：设设有有代代数数系系

144、统统Z ，运运算算“*”“*”的的定定义义为为：对对任任意的意的a a、bZbZ，有，有a*b=a+b-2a*b=a+b-2。试证明。试证明Z 是循环群。是循环群。 证明：证明： a,b,cZZ， (a*b)*c=(a+b-2)*c=a+b+c-4(a*b)*c=(a+b-2)*c=a+b+c-4 a*(b*c)=a*(b+c-2)=a+b+c-4 a*(b*c)=a*(b+c-2)=a+b+c-4 * *满足满足结合律结合律。 aZZ，a*2=a+2-2=aa*2=a+2-2=a，2*a=a 22*a=a 2是是幺元幺元。 aZZ，(4-a)*a=(4-a)+a-2=2 a(4-a)*a=(

145、4-a)+a-2=2 a的的逆元逆元是是4-a4-a。 Z 是群是群。 对对于于任任意意正正数数n n，1 1n n=2-n,=2-n,即即n=1n=12-n2-n， 1 1是是生生成成元元，也也可可以以验验证证3 3也也是是生生成成元元，3 3n n=n+2=n+2。因因此此，Z 是是循循环群。环群。2024/7/252024/7/25118118计算机学院计算机学院n例例：设设有有代代数数系系统统Z ，运运算算“*”“*”的的定定义义为为：对对任任意的意的a a、bZbZ，有，有a*b=a+b-2a*b=a+b-2。试证明。试证明Z 是循环群。是循环群。 证明：证明： a,b,cZZ， (

146、a*b)*c=(a+b-2)*c=a+b+c-4(a*b)*c=(a+b-2)*c=a+b+c-4 a*(b*c)=a*(b+c-2)=a+b+c-4 a*(b*c)=a*(b+c-2)=a+b+c-4 * *满足结合律。满足结合律。 aZZ，a*2=a+2-2=aa*2=a+2-2=a，2*a=a 22*a=a 2是幺元。是幺元。 aZZ，(4-a)*a=(4-a)+a-2=2 a(4-a)*a=(4-a)+a-2=2 a的逆元是的逆元是4-a4-a。 Z 是群。是群。 对对于于任任意意正正数数n n，1 1n n=2-n=2-n, ,即即n=1n=12-n2-n， 1 1是是生生成成元元，

147、也也可可以以验验证证3 3也也是是生生成成元元，3 3n n=n+2=n+2。因因此此，Z 是是循循环群。环群。2024/7/252024/7/25119119计算机学院计算机学院2024/7/252024/7/25120120计算机学院计算机学院2024/7/252024/7/25121121计算机学院计算机学院元素的周期元素的周期n设设a a是是群群G G的的生生成成元元，对对（a a）=a an n| |n n Z Z ，有以下两种不同的情况：有以下两种不同的情况：1)1)存在整数存在整数i i和和j(ij(ij)j)，有，有: a: ai ia aj j2)2)对任意的整数对任意的整数

148、i i和和j(ij(ij) j) ，有，有: : a ai iaaj j 第一种情况表明有无限多个整数第一种情况表明有无限多个整数n n，使得，使得a an n=e =e 。 由此引出元素周期的概念。由此引出元素周期的概念。2024/7/252024/7/25122122计算机学院计算机学院元素的周期元素的周期n设设a a是是群群G G的的生生成成元元，对对（a a）=a an n| |n n Z Z ，有以下两种不同的情况：有以下两种不同的情况：1)1)存在整数存在整数i i和和j(ij(ij)j)，有，有: a: ai ia aj j2)2)对任意的整数对任意的整数i i和和j(ij(ij

149、) j) ，有，有: : a ai iaaj j第一种情况表明有无限多个整数第一种情况表明有无限多个整数n n，使得，使得a an n=e=e。n由此引出元素周期的概念。由此引出元素周期的概念。2024/7/252024/7/25123123计算机学院计算机学院n定定义义15.515.5 设设 *是是一一个个群群，对对 a a G G，若若有有a an n=e=e，( (其其中中：n n Z Z+ +，且且n n是是使使得得a an n=e=e成成立立的的最最小小的的正正整整数数) )，则则称称n n为为元元素素a a的的周周期期或或为为元元素素a a的的阶阶数数；若若对对a a G G，这这

150、样样的的n n不不存存在在，则称元素则称元素a a的的周期为周期为 。n例如：在剩余类加群例如：在剩余类加群Z 中，中， 元素元素11、55的周期是的周期是6 6； 元素元素22、44的周期是的周期是3 3； 元素元素33的周期是的周期是2 2；元素；元素00的周期是的周期是1 1。2024/7/252024/7/25124124计算机学院计算机学院n定定义义15.515.5 设设 *是是一一个个群群，对对 a a G G，若若有有a an n=e=e，( (其其中中：n n Z Z+ +，且且n n是是使使得得a an n=e=e成成立立的的最最小小的的正正整整数数) )，则则称称n n为为

151、元元素素a a的的周周期期或或为为元元素素a a的的阶阶数数；若若对对a a G G，这这样样的的n n不不存存在在，则称元素则称元素a a的周期为的周期为 。n例如：例如：在剩余类加群在剩余类加群Z 中，中， 元素元素11、55的周期是的周期是6 6；（教材（教材p p184184） 元素元素22、44的周期是的周期是3 3； 元素元素33的周期是的周期是2 2；元素；元素00的周期是的周期是1 1。幺元为幺元为幺元为幺元为002024/7/252024/7/25125125计算机学院计算机学院n定理定理15.10 15.10 设设 *是是一一个个群群，对对 a a G G，若若a a的的周

152、周期期为为n n，则则：a am m =e=e当且仅当当且仅当 n|m n|m；a ai ia aj j 当且仅当当且仅当 n| n|（i-ji-j）由由a a生成的子群恰有生成的子群恰有n n个元素，即个元素，即 （a a）= = e e，a a，a a2 2，a a3 3，a an-1n-1复习：p92：定义7-52024/7/252024/7/25126126计算机学院计算机学院证明证明： “” 设设 a am m=e=e。( (反证法反证法) )若若n|mn|m不成立，不成立，则则 q q Z Z，使得使得m=nq+r(1m=nq+r(1 r r n-1)n-1)，由由a a的周期为的

153、周期为n n，且，且a am m=e=e，有有：a am ma anq+rnq+ra anqnq*a*ar r(a(an n) )q q*a*ar re eq q*a*ar ra ar re e由于由于1 1 r r n-1n-1，这就与这就与a a的周期为的周期为n n矛盾矛盾，所以有所以有 n|m n|m。 “ “” ” 设设 n|m n|m。则则 k k Z Z，使得使得m=nkm=nk，于是有于是有：a am ma anknk(a(an n) )k ke ek ke e所以有所以有 a am m=e=e。证毕。证毕。2024/7/252024/7/25127127计算机学院计算机学院证

154、明证明： “” 设设 a am m=e=e。( (反证法反证法) )若若n|mn|m不成立，不成立，则则 q q Z Z，使得使得m=nq+r(1m=nq+r(1 r r n-1)n-1)，由由a a的周期为的周期为n n，且，且a am m=e=e，有有：a am ma anq+rnq+ra anqnq*a*ar r(a(an n) )q q*a*ar re eq q*a*ar ra ar re e由于由于1 1 r r n-1n-1，这就与这就与a a的周期为的周期为n n矛盾矛盾，所以有所以有 n|m n|m。 “” ” 设设 n|m n|m。则则 k k Z Z，使得使得m=nkm=n

155、k，于是有于是有：a am ma anknk(a(an n) )k ke ek ke e所以有所以有 a am m=e=e。证毕。证毕。2024/7/252024/7/25128128计算机学院计算机学院证明证明： “” 设设 a am m=e=e。( (反证法反证法) )若若n|mn|m不成立，不成立，则则 q q Z Z，使得使得m=nq+r(1m=nq+r(1 r r n-1)n-1)，由由a a的周期为的周期为n n，且，且a am m=e=e，有有：a am ma anq+rnq+ra anqnq*a*ar r(a(an n) )q q*a*ar re eq q*a*ar ra ar

156、 re e由于由于1 1 r r n-1n-1，这就与这就与a a的周期为的周期为n n矛盾矛盾，所以有所以有 n|m n|m。 “” ” 设设 n|m n|m。则则 k k Z Z，使得使得m=nkm=nk，于是有于是有：a am ma anknk(a(an n) )k ke ek ke e所以有所以有 a am m=e=e。证毕。证毕。2024/7/252024/7/25129129计算机学院计算机学院n定理定理15.10 15.10 设设 *是是一一个个群群，对对 a a G G，若若a a的的周周期期为为n n，则则：a am m =e=e当且仅当当且仅当 n|m n|m；a ai i

157、a aj j 当且仅当当且仅当 n| n|（i-ji-j）由由a a生成的子群恰有生成的子群恰有n n个元素，即个元素，即 （a a）= = e e，a a，a a2 2，a a3 3，a an-1n-1证明：证明：由群的消去律，由群的消去律，a ai i= a= aj j当且仅当当且仅当a ai-ji-j=e=e， 再由再由的结论知道的结论知道n|(i-j)n|(i-j)。2024/7/252024/7/25130130计算机学院计算机学院n定理定理15.10 15.10 设设 *是是一一个个群群，对对 a a G G，若若a a的的周周期期为为n n，则则：a am m =e=e当且仅当当

158、且仅当 n|m n|m；a ai ia aj j 当且仅当当且仅当 n| n|（i-ji-j）由由a a生成的子群恰有生成的子群恰有n n个元素，即个元素，即 （a a）= = e e，a a，a a2 2，a a3 3，a an-1n-1证证明明：由由的的结结论论，e e，a a，a a2 2，a an-1n-1中中没没有有两两个个是是 相相同同的的；此此外外，由由的的证证明明过过程程知知道道，对对任任何何使使a am m=e=e的的m m，都都存存在在0r0rn n使使a am m= = a ar ree，a a，a a2 2，a an-1n-1 ，因因而而(a)=(a)=ee，a a，a

159、 a2 2，a an-1n-1 。2024/7/252024/7/25131131计算机学院计算机学院n例例 设设 *是是一一个个群群，对对 a a，b b G G，若若a a的的周周期期为为2 2，b b的周期为的周期为3 3，且有：，且有：a*b=b*aa*b=b*a，证明，证明a*ba*b的周期为的周期为6 6。解解：设设a*ba*b的的周周期期为为n n，则则有有 (a*b)(a*b)n n=e=e ，由由于于a*b=b*aa*b=b*a，且运算且运算“ “* *” ”满足结合定律，所以有满足结合定律，所以有： ( (a*b)a*b)6 6=a=a6 6*b*b6 6=e*e=e=e*

160、e=e， 由定理知由定理知： n|6n|6，即即n=1n=1，2 2，3 3，6 6， 若若n=1n=1，2 2，3 3，则有则有： ( (a*b)a*b) =a*b=a*b e (e (因若因若a*ba*b=e=e，则由则由a a =e=e， 有有a*a=a*ba*a=a*b，由消去律知由消去律知：a=ba=b，矛盾矛盾) ) ( (a*b)a*b) =a=a *b*b =e*b=e*b =b=b e (e (因因b b的周期为的周期为3)3)， ( (a*b)a*b) =a=a *b*b =a=a *e=a*e=a e (e (因因a a的周期为的周期为2)2)， 所以，只有当所以，只有当

161、n=6n=6时，才有时，才有 ( (a*b)a*b)n n=e=e。2024/7/252024/7/25132132计算机学院计算机学院n例例 设设 *是是一一个个群群，对对 a a，b b G G，若若a a的的周周期期为为2 2，b b的周期为的周期为3 3，且有：，且有：a*b=b*aa*b=b*a，证明，证明a*ba*b的周期为的周期为6 6。解解：设设a*ba*b的的周周期期为为n n，则则有有(a*b)(a*b)n n=e=e，由由于于a*b=b*aa*b=b*a，且且运算运算“ “* *” ”满足结合定律，所以有满足结合定律，所以有： ( (a*b)a*b)6 6= =a a6

162、6*b*b6 6=e*e=e=e*e=e， 由定理知由定理知： n|6n|6，即即n=1n=1，2 2，3 3，6 6， 若若n=1n=1，2 2，3 3，则有则有： ( (a*b)a*b) =a*b=a*b e (e (因若因若a*ba*b=e=e，则由则由a a =e=e， 有有a*a=a*ba*a=a*b，由消去律知由消去律知：a=ba=b，矛盾矛盾) ) ( (a*b)a*b) =a=a *b*b =e*b=e*b =b=b e (e (因因b b的周期为的周期为3)3)， ( (a*b)a*b) =a=a *b*b =a=a *e=a*e=a e (e (因因a a的周期为的周期为2

163、)2)， 所以，只有当所以，只有当n=6n=6时，才有时，才有 ( (a*b)a*b)n n=e=e。2024/7/252024/7/25133133计算机学院计算机学院n例例 设设 *是是一一个个群群，对对 a a，b b G G，若若a a的的周周期期为为2 2，b b的周期为的周期为3 3，且有：，且有：a*b=b*aa*b=b*a，证明，证明a*ba*b的周期为的周期为6 6。解解：设设a*ba*b的的周周期期为为n n，则则有有(a*b)(a*b)n n=e=e，由由于于a*b=b*aa*b=b*a，且且运算运算“ “* *” ”满足结合定律，所以有满足结合定律，所以有： ( (a*

164、b)a*b)6 6=a=a6 6*b*b6 6=e*e=e=e*e=e， 由定理知由定理知： n|6n|6，即即n=1n=1，2 2，3 3，6 6， 若若n=1n=1，2 2，3 3，则有则有： ( (a*b)a*b) =a*b=a*b e (e (因若因若a*ba*b=e=e，则由则由a a =e=e， 有有a*a=a*ba*a=a*b，由消去律知由消去律知：a=ba=b，矛盾矛盾) ) ( (a*b)a*b) =a=a *b*b =e*b=e*b =b=b e (e (因因b b的周期为的周期为3)3)， ( (a*b)a*b) =a=a *b*b =a=a *e=a*e=a e (e

165、(因因a a的周期为的周期为2)2)， 所以，只有当所以，只有当n=6n=6时，才有时，才有 ( (a*b)a*b)n n=e=e。2024/7/252024/7/25134134计算机学院计算机学院n例例 设设 *是是一一个个群群，对对 a a，b b G G，若若a a的的周周期期为为2 2，b b的周期为的周期为3 3，且有：，且有：a*b=b*aa*b=b*a，证明，证明a*ba*b的周期为的周期为6 6。解解：设设a*ba*b的的周周期期为为n n，则则有有(a*b)(a*b)n n=e =e ，由由于于a*b=b*aa*b=b*a，且且运算运算“ “* *” ”满足结合定律，所以有

166、满足结合定律，所以有： ( (a*b)a*b)6 6=a=a6 6*b*b6 6=e*e=e=e*e=e， 由定理知由定理知： n|6n|6，即即n=1n=1，2 2，3 3，6 6， 若若n=1n=1，2 2，3 3，则有则有： ( (a*b)a*b) =a*b=a*b e e ( (因若因若a*ba*b=e=e，则由则由a a =e=e， 有有a*a=a*ba*a=a*b，由消去律知由消去律知：a=ba=b，矛盾矛盾) ) ( (a*b)a*b) =a=a *b*b =e*b=e*b =b=b e (e (因因b b的周期为的周期为3)3)， ( (a*b)a*b) =a=a *b*b =

167、a=a *e=a*e=a e (e (因因a a的周期为的周期为2)2)， 所以，只有当所以，只有当n=6n=6时，才有时，才有 ( (a*b)a*b)n n=e=e。2024/7/252024/7/25135135计算机学院计算机学院n例例 设设 *是是一一个个群群，对对 a a，b b G G，若若a a的的周周期期为为2 2，b b的周期为的周期为3 3，且有：，且有：a*b=b*aa*b=b*a，证明，证明a*ba*b的周期为的周期为6 6。解解：设设a*ba*b的的周周期期为为n n，则则有有(a*b)(a*b)n n=e =e ，由由于于a*b=b*aa*b=b*a，且且运算运算“

168、 “* *” ”满足结合定律，所以有满足结合定律，所以有： ( (a*b)a*b)6 6=a=a6 6*b*b6 6=e*e=e=e*e=e， 由定理知由定理知： n|6n|6，即即n=1n=1，2 2，3 3，6 6， 若若n=1n=1，2 2，3 3，则有则有： ( (a*b)a*b) =a*b=a*b e (e (因若因若a*ba*b=e=e，则由则由a a =e=e， 有有a*a=a*ba*a=a*b，由消去律知由消去律知：a=ba=b，矛盾矛盾) ) ( (a*b)a*b) =a=a *b*b =e*b=e*b =b=b e (e (因因b b的周期为的周期为3)3)， ( (a*b

169、)a*b) =a=a *b*b =a=a *e=a*e=a e (e (因因a a的周期为的周期为2)2)， 所以，只有当所以，只有当n=6n=6时，才有时，才有 ( (a*b)a*b)n n=e=e。2024/7/252024/7/25136136计算机学院计算机学院n例例 设设 *是是一一个个群群，对对 a a，b b G G，若若a a的的周周期期为为2 2，b b的周期为的周期为3 3，且有：，且有：a*b=b*aa*b=b*a，证明，证明a*ba*b的周期为的周期为6 6。解解：设设a*ba*b的的周周期期为为n n，则则有有(a*b)(a*b)n n=e =e ，由由于于a*b=b

170、*aa*b=b*a，且且运算运算“ “* *” ”满足结合定律，所以有满足结合定律，所以有： ( (a*b)a*b)6 6=a=a6 6*b*b6 6=e*e=e=e*e=e， 由定理知由定理知： n|6n|6，即即n=1n=1，2 2，3 3，6 6， 若若n=1n=1，2 2，3 3，则有则有： ( (a*b)a*b) =a*b=a*b e (e (因若因若a*ba*b=e=e，则由则由a a =e=e， 有有a*a=a*ba*a=a*b，由消去律知由消去律知：a=ba=b，矛盾矛盾) ) ( (a*b)a*b) =a=a *b*b =e*b=e*b =b=b e (e (因因b b的周期

171、为的周期为3)3)， ( (a*b)a*b) =a=a *b*b =a=a *e=a*e=a e (e (因因a a的周期为的周期为2)2)， 所以，只有当所以，只有当n=6n=6时，才有时，才有 ( (a*b)a*b)n n=e=e。2024/7/252024/7/25137137计算机学院计算机学院补充例题补充例题2024/7/252024/7/25138138计算机学院计算机学院作业作业P193 ：15、172024/7/252024/7/25139139计算机学院计算机学院15.4 陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理 2024/7/252024/7/25140140计算机学院计算机学

172、院置置 换换( (复习复习) )n定义 设A是有限集合，A=a1,a2,an。从A到A的双射函数称为A上的n阶置换或排列，记为 ：AA，n称为置换的阶。常表示为： A上的每一个置换结果都得到A中元素的一种排列。A上的n阶置换的数目为n!。n把每个元素映射到自身的置换称为把每个元素映射到自身的置换称为单位单位( (恒等恒等) )置换置换。2024/7/252024/7/25141141计算机学院计算机学院例例6.56.5： ( (复习复习) )n集合集合A=1,2,3A=1,2,3上的置换共有上的置换共有6 6个个: :第一个为单位置换。第一个为单位置换。以上以上6个置换也可以写成：个置换也可以

173、写成：(1), (2,3), (1,2), (1,2,3), (1,3,2), (1,3)2024/7/252024/7/25142142计算机学院计算机学院循循 环环( (复习复习) )n通通过过前前面面例例子子可可以以看看到到，前前面面用用两两行行表表示示法法有有时时显显得得很很繁繁琐琐，不不易易直直观观看看到到元元素素之之间间的的变变化化关关系系。下下面面介介绍绍一一种种将将“置置换换”表表示示成成“循循环环”的的积积的的形形式式，即即可可方便对置换运算进行处理。方便对置换运算进行处理。n方方法法思思路路：当当置置换换中中出出现现一一条条循循环环链链：i i变变成成j j、j j变变成成

174、k k，p p变变成成q q，q q变变成成i i时时，把把这这组组变变化化表表示示成成（ijkpqijkpq）的的循循环环形形式式，i i变变成成i i的的情情况况则则略略而而不不写写。这这样样即即可可把把置置换换中中所所有有的的循循环环变变化化链链都都转转换换成成循循环环形形式，置换就表示成了式，置换就表示成了“循环的积循环的积”。n注注意意：单单位位置置换换只只需需要要表表示示成成由由一一个个元元素素1 1构构成成的的循循环：（环：（1 1）。）。见下页示例。见下页示例。2024/7/252024/7/25143143计算机学院计算机学院例例6.66.6： ( (复习复习) )n设设则：

175、循环的积循环的积2024/7/252024/7/25144144计算机学院计算机学院例例6.66.6： ( (复习复习) )n设设则：循环的积循环的积2024/7/252024/7/25145145计算机学院计算机学院循环的积循环的积( (复习复习) )n一一个个置置换换可可能能由由一一个个单单一一的的循循环环表表示示出出来来，也也可可能能由由多多个个循循环环连连接接在在一一起起表表示示，称称之之为为循循环环的积（置换的复合）。的积（置换的复合）。n当当两两个个循循环环没没有有公公共共元元素素时时，它它们们的的积积仍仍是是原原来来的的两两个个循循环环；当当两两个个循循环环有有公公共共元元素素时

176、时，它它们的积按照复合的意义变成了新的循环的积。们的积按照复合的意义变成了新的循环的积。n例如：例如：2024/7/252024/7/25146146计算机学院计算机学院陪集陪集n群群的的子子群群反反映映了了群群的的结结构构和和性性质质，因因此此需需要要研研究究群群与与子群的关系和子群的性质。子群的关系和子群的性质。n定定义义15-4.115-4.1设设G*是是一一个个群群，H*是是G*的的任一个子群，任一个子群，a a G G。 集集合合：HaHab*a|bb*a|b H H 称称为为由由a a确确定定的的H H在在G*中中的一个右陪集；元素的一个右陪集；元素a a HaHa称为右陪集的代表

177、元。称为右陪集的代表元。 集集合合：aHaHa*b|ba*b|b H)H)称称为为由由a a确确定定的的H H在在G*中中的一个左陪集；元素的一个左陪集；元素a a a aH H称为左陪集的代表元。称为左陪集的代表元。n群群中中任任一一元元素素a a与与子子群群H H中中所所有有元元素素左左* *运运算算所所得得的的结结果果集为集为a a确定的确定的H H在在G G中的左陪集。中的左陪集。n由左（右）陪集构成的集合的基数称为子群的指数。由左（右）陪集构成的集合的基数称为子群的指数。2024/7/252024/7/25147147计算机学院计算机学院陪集陪集n群群的的子子群群反反映映了了群群的的

178、结结构构和和性性质质，因因此此需需要要研研究究群群与与子群的关系和子群的性质。子群的关系和子群的性质。n定定义义15.615.6设设G*是是一一个个群群，H*是是G*的的任任一个子群，一个子群，a a G G。 集集合合：HaHab*a|bb*a|b H H 称称为为由由a a确确定定的的H H在在G*中中的一个的一个右陪集右陪集；元素元素a a HaHa称为右陪集的代表元。称为右陪集的代表元。 集集合合：aHaHa*b|ba*b|b H)H)称称为为由由a a确确定定的的H H在在G*中中的一个的一个左陪集左陪集；元素元素a a a aH H称为左陪集的代表元。称为左陪集的代表元。n群群中中

179、任任一一元元素素a a与与子子群群H H中中所所有有元元素素左左* *运运算算所所得得的的结结果果集为集为a a确定的确定的H H在在G G中的左陪集。中的左陪集。n由左（右）陪集构成的集合的基数称为子群的指数。由左（右）陪集构成的集合的基数称为子群的指数。2024/7/252024/7/25148148计算机学院计算机学院陪集陪集n群群的的子子群群反反映映了了群群的的结结构构和和性性质质，因因此此需需要要研研究究群群与与子群的关系和子群的性质。子群的关系和子群的性质。n定定义义15.615.6设设G*是是一一个个群群，H*是是G*的的任任一个子群，一个子群，a a G G。 集集合合：HaH

180、ab*a|bb*a|b H H 称称为为由由a a确确定定的的H H在在G*中中的一个右陪集；元素的一个右陪集；元素a a HaHa称为右陪集的代表元。称为右陪集的代表元。 集集合合：aHaHa*b|ba*b|b H)H)称称为为由由a a确确定定的的H H在在G*中中的一个左陪集；元素的一个左陪集；元素a a a aH H称为左陪集的代表元。称为左陪集的代表元。n群群中中任任一一元元素素a a与与子子群群H H中中所所有有元元素素左左* *运运算算所所得得的的结结果果集集为为a a确定的确定的H H在在G G中的左陪集。中的左陪集。n由由左（右）陪集左（右）陪集构成的构成的集合的基数集合的基

181、数称为称为子群的指数。子群的指数。2024/7/252024/7/25149149计算机学院计算机学院n例：例：四阶群四阶群G 的运算表如下：的运算表如下： H=e,a H=e,a G G，显然，显然H 是是G 的子群，写出的子群，写出H H关于关于G G的所有陪集。的所有陪集。2024/7/252024/7/25150150计算机学院计算机学院n解：解：左陪集：左陪集： eHeH=eH=e*e,e*a=e,a=eH=e*e,e*a=e,a，aHaH=aH=a*e,a*a=a,e=eH,=aH=a*e,a*a=a,e=eH,bHbH=bH=b*e,b*a=b,c,=bH=b*e,b*a=b,c

182、,cHcH=cH=c*e,c*a=c,b=bH=cH=c*e,c*a=c,b=bH2024/7/252024/7/25151151计算机学院计算机学院n解：解：右陪集：右陪集： HeHe=He=e*e,a*e=e,a=He=e*e,a*e=e,a，HaHa=Ha=e*a,a*a=a,e=He,=Ha=e*a,a*a=a,e=He,HbHb=Hb=e*b,a*b=b,c,=Hb=e*b,a*b=b,c,HcHc=Hc=e*c,a*c=c,b=Hb=Hc=e*c,a*c=c,b=Hb参见另一个重要例子（P187）2024/7/252024/7/25152152计算机学院计算机学院事实事实H H关关

183、于于同同一一元元素素的的左左（右右）陪陪集集可可能能不不相相同同，如如 （1 31 3）H HH H（1 31 3）；）；凡凡是是同同属属某某个个左左（右右）陪陪集集的的元元素素，它它们们对对应的左（右）陪集相同；应的左（右）陪集相同；任任何何两两个个左左（右右）陪陪集集要要么么相相同同，要要么么无无公公共元素；共元素；所有左（右）陪集的元素数目相同。所有左（右）陪集的元素数目相同。n根根据据这这些些事事实实，我我们们可可以以建建立立下下述述关关于于群群中中元素间的等价二元关系。元素间的等价二元关系。2024/7/252024/7/25153153计算机学院计算机学院n 定理定理15.1115

184、.11 设设H H是是群群G G的的子子群群，a a，b b G G，在在G G中中建建立立二二元元关关系系：aRbaRbb b aHaH，则则R R是是G G上上的的一一个个等等价价关关系系。（这这里里的的R R是是以以同属一个左陪集为判断标准）同属一个左陪集为判断标准） 证明证明: : 由于由于eHeH，aaHaaH，即，即aRaaRa，说明，说明R R是自反的。是自反的。 如如 果果 aRbaRb， 则则 baH,baH,即即 存存 在在 hHhH使使 b=ah,b=ah,或或 a=bha=bh- -1 1bHbH，说明，说明R R是对称的。是对称的。 最最后后，设设aRbaRb且且bR

185、cbRc，根根据据定定义义必必存存在在h h1 1，h h2 2HH使使b=ahb=ah1 1，且，且c=bhc=bh2 2，于是，于是c=bhc=bh2 2=ah=ah1 1h h2 2aHaH ，说明，说明aRcaRc成立。成立。 综合上述，综合上述，R R是是G G上的一个等价关系。上的一个等价关系。 2024/7/252024/7/25154154计算机学院计算机学院n 定理定理15.1115.11 设设H H是是群群G G的的子子群群，a a，b b G G，在在G G中中建建立立二二元元关关系系：aRbaRbb b aHaH，则则R R是是G G上上的的一一个个等等价价关关系系。（

186、这这里里的的R R是是以以同属一个左陪集为判断标准）同属一个左陪集为判断标准） 证明证明: : 由于由于eHeH，aaHaaH，即，即aRaaRa，说明，说明R R是是自反的自反的。 如如 果果 aRbaRb， 则则 baH,baH,即即 存存 在在 hHhH使使 b=ah,b=ah,或或 a=bha=bh- -1 1bHbH，说明，说明R R是对称的。是对称的。 最最后后，设设aRbaRb且且bRcbRc，根根据据定定义义必必存存在在h h1 1，h h2 2HH使使b=ahb=ah1 1，且，且c=bhc=bh2 2，于是，于是c=bhc=bh2 2=ah=ah1 1h h2 2aHaH

187、，说明，说明aRcaRc成立。成立。 综合上述，综合上述，R R是是G G上的一个等价关系。上的一个等价关系。 2024/7/252024/7/25155155计算机学院计算机学院n 定理定理15.1115.11 设设H H是是群群G G的的子子群群，a a，b b G G，在在G G中中建建立立二二元元关关系系：aRbaRbb b aHaH，则则R R是是G G上上的的一一个个等等价价关关系系。（这这里里的的R R是是以以同属一个左陪集为判断标准）同属一个左陪集为判断标准） 证明证明: : 由于由于eHeH，aaHaaH，即，即aRaaRa，说明，说明R R是自反的。是自反的。 如如 果果

188、aRbaRb， 则则 baH,baH,即即 存存 在在 hHhH使使 b=ah,b=ah,或或 a=bha=bh- -1 1bHbH，说明，说明R R是是对称的对称的。 最最后后，设设aRbaRb且且bRcbRc，根根据据定定义义必必存存在在h h1 1，h h2 2HH使使b=ahb=ah1 1，且，且c=bhc=bh2 2，于是，于是c=bhc=bh2 2=ah=ah1 1h h2 2aHaH ，说明，说明aRcaRc成立。成立。 综合上述，综合上述，R R是是G G上的一个等价关系。上的一个等价关系。 2024/7/252024/7/25156156计算机学院计算机学院n 定理定理15.

189、1115.11 设设H H是是群群G G的的子子群群，a a，b b G G，在在G G中中建建立立二二元元关关系系：aRbaRbb b aHaH，则则R R是是G G上上的的一一个个等等价价关关系系。（这这里里的的R R是是以以同属一个左陪集为判断标准）同属一个左陪集为判断标准） 证明证明: : 由于由于eHeH，aaHaaH，即，即aRaaRa，说明，说明R R是自反的。是自反的。 如如 果果 aRbaRb， 则则 baH,baH,即即 存存 在在 hHhH使使 b=ah,b=ah,或或 a=bha=bh- -1 1bHbH，说明，说明R R是对称的。是对称的。 最最后后，设设aRbaRb

190、且且bRcbRc，根根据据定定义义必必存存在在h h1 1，h h2 2HH使使b=ahb=ah1 1，且，且c=bhc=bh2 2，于是，于是c=bhc=bh2 2=ah=ah1 1h h2 2aHaH ，说明，说明aRcaRc成立。成立。 综合上述，综合上述，R R是是G G上的一个上的一个等价关系等价关系。 2024/7/252024/7/25157157计算机学院计算机学院n 定理定理15.1115.11 设设H H是是群群G G的的子子群群，a a，b b G G，在在G G中中建建立立二二元元关关系系：aRbaRbb b aHaH，则则R R是是G G上上的的一一个个等等价价关关系

191、系。（这这里里的的R R是是以同属一个左陪集为判断标准）以同属一个左陪集为判断标准） 因因为为等等价价关关系系R R可可以以确确定定群群G G的的一一个个等等价价划划分分，每每个个左左陪陪集集就就是是分分划划中中的的一一块块（等等价价类类），所所以以G G可可以以表表示示为为 G=Ha G=Ha1 1HaHa2 2HH 同理，也可以得到右陪集的分解式同理，也可以得到右陪集的分解式 G=HHa G=HHa1 1HaHa2 22024/7/252024/7/25158158计算机学院计算机学院n 定理定理15.1115.11 设设H H是是群群G G的的子子群群，a a，b b G G，在在G G

192、中中建建立立二二元元关关系系：aRbaRbb b aHaH，则则R R是是G G上上的的一一个个等等价价关关系系。（这这里里的的R R是是以同属一个左陪集为判断标准）以同属一个左陪集为判断标准） 因因为为等等价价关关系系R R可可以以确确定定群群G G的的一一个个等等价价划划分分，每每个个左左陪陪集集就就是是分分划划中中的的一一块块（等等价价类类），所所以以G G可可以以表表示示为为 G=Ha G=Ha1 1HaHa2 2HH 同理，也可以得到右陪集的分解式同理，也可以得到右陪集的分解式 G=HHa G=HHa1 1HaHa2 22024/7/252024/7/25159159计算机学院计算机

193、学院n定定理理15.12 15.12 设设H*是是群群G*的的子子群群，则则H H的的所所有左（右）陪集都是等势的。有左（右）陪集都是等势的。证明：证明： 只需证明对只需证明对 a a H H，都有，都有a aH HH H就行了。就行了。 由由于于aHaHa*h|a*h| h h HH，对对 h h1 1,h,h2 2 H H，且且h h1 1 h h2 2，有有：a*ha*h1 1 a*ha*h2 2 ( (若若a*ha*h1 1a*ha*h2 2，因因H H是是子子群群，所所以以满满足足消消去去律律，两两边边消消去去元元素素a a，有有h h1 1h h2 2，矛矛盾盾) )，所所以以，可

194、可 定定 义义 H H上上 的的 双双 射射 f f： H H aHaH如如 下下 ： 对对 h h H H， f(h)=ahf(h)=ah； 因此因此 aH aHH H。2024/7/252024/7/25160160计算机学院计算机学院n定定理理15.12 15.12 设设H*是是群群G*的的子子群群，则则H H的的所所有左（右）陪集都是等势的。有左（右）陪集都是等势的。证明：证明： 只需证明对只需证明对 a a H H，都有，都有a aH HH H就行了。就行了。 由由于于aHaHa*h|a*h| h h HH，对对 h h1 1,h,h2 2 H H，且且h h1 1 h h2 2，有

195、有：a*ha*h1 1 a*ha*h2 2 ( (若若a*ha*h1 1a*ha*h2 2，因因H H是是子子群群，所所以以满满足足消消去去律律，两两边边消消去去元元素素a a，有有h h1 1h h2 2，矛矛盾盾) )，所所以以，可可 定定 义义 H H上上 的的 双双 射射 f f： H H aHaH如如 下下 ： 对对 h h H H， f(h)=ahf(h)=ah； 因此因此 aH aHH H。2024/7/252024/7/25161161计算机学院计算机学院n定定理理15.12 15.12 设设H*是是群群G*的的子子群群，则则H H的的所所有左（右）陪集都是等势的。有左（右）陪

196、集都是等势的。证明：证明： 只需证明对只需证明对 a a H H，都有，都有a aH HH H就行了。就行了。 由由于于aHaHa*h|a*h| h h HH，对对 h h1 1,h,h2 2 H H，且且h h1 1 h h2 2，有有：a*ha*h1 1 a*ha*h2 2 ( (若若a*ha*h1 1a*ha*h2 2，因因H H是是子子群群，所所以以满满足足消消去去律律，两两边边消消去去元元素素a a，有有h h1 1h h2 2，矛矛盾盾) )，所所以以，可可 定定 义义 H H上上 的的 双双 射射 f f： H H aHaH如如 下下 ： 对对 h h H H， f(h)=ahf

197、(h)=ah； 因此因此 aH aHH H。2024/7/252024/7/25162162计算机学院计算机学院n定定理理15.12 15.12 设设H*是是群群G*的的子子群群，则则H H的的所所有左（右）陪集都是等势的。有左（右）陪集都是等势的。证明：证明： 只需证明对只需证明对 a a H H，都有，都有a aH HH H就行了。就行了。 由由于于aHaHa*h|a*h| h h HH，对对 h h1 1,h,h2 2 H H，且且h h1 1 h h2 2，有有：a*ha*h1 1 a*ha*h2 2 ( (若若a*ha*h1 1a*ha*h2 2，因因H H是是子子群群，所所以以满满

198、足足消消去去律律，两两边边消消去去元元素素a a，有有h h1 1h h2 2，矛矛盾盾) )，所所以以，可可 定定 义义 H H上上 的的 双双 射射 f f： H H aHaH如如 下下 ： 对对 h h H H， f(h)=ahf(h)=ah； 因此因此 aH aHH H。2024/7/252024/7/25163163计算机学院计算机学院n定定理理15.12 15.12 设设H*是是群群G*的的子子群群，则则H H的的所所有左（右）陪集都是等势的。有左（右）陪集都是等势的。证明：证明： 只需证明对只需证明对 a a H H，都有，都有a aH HH H就行了。就行了。 由由于于aHaH

199、a*h|a*h| h h HH，对对 h h1 1,h,h2 2 H H，且且h h1 1 h h2 2，有有：a*ha*h1 1 a*ha*h2 2 ( (若若a*ha*h1 1a*ha*h2 2，因因H H是是子子群群，所所以以满满足足消消去去律律，两两边边消消去去元元素素a a，有有h h1 1h h2 2，矛矛盾盾) )，所所以以，可可 定定 义义 H H上上 的的 双双 射射 f f： H H aHaH如如 下下 ： 对对 h h H H， f(h)=ahf(h)=ah； 因此因此 aH aHH H。n此定理也可以换个说法，参见下页。此定理也可以换个说法，参见下页。2024/7/25

200、2024/7/25164164计算机学院计算机学院n定定理理15.12 15.12 设设H*是是群群G*的的子子群群，则则H H的的所所有左（右）陪集都是等势的。有左（右）陪集都是等势的。证明：证明： 只需证明对只需证明对 a a H H，都有，都有a aH HH H就行了。就行了。 由由于于aHaHa*h|a*h| h h HH，对对 h h1 1,h,h2 2 H H，且且h h1 1 h h2 2，有有：a*ha*h1 1 a*ha*h2 2 ( (若若a*ha*h1 1a*ha*h2 2，因因H H是是子子群群，所所以以满满足足消消去去律律，两两边边消消去去元元素素a a，有有h h1

201、 1h h2 2，矛矛盾盾) )，所所以以，可可 定定 义义 H H上上 的的 双双 射射 f f： H H aHaH如如 下下 ： 对对 h h H H， f(h)=ahf(h)=ah； 因此因此 aH aHH H。n此定理也可以换个说法，参见下页。此定理也可以换个说法，参见下页。2024/7/252024/7/25165165计算机学院计算机学院参考参考2024/7/252024/7/25166166计算机学院计算机学院拉格朗日定理拉格朗日定理n定定理理15.13 15.13 一一个个n n阶阶有有限限群群G*的的任任一一个个子子群群H*的的阶阶必必是是n n的的因因子子。即即若若|G|G

202、|n n，|H|H|m m，则则k k|G|/|H|G|/|H|n/mn/m是是一一个个整整数数，且且称称k k为为G G内内H H的的指指数数（即即子子群群的的指指数数），该该k k正正好好是是关关于于H H的的一一切不同的左切不同的左( (右右) )陪集的个数陪集的个数。 拉拉格格朗朗日日定定理理是是从从元元素素的的数数目目角角度度给给出出了了群群的的子子集集成成为为子子群群的的必必要要条条件件, ,但但它它不不是是充充分分条条件件。即当即当m m是是n n的因子时的因子时,n,n阶群不一定有阶群不一定有m m阶子群。阶子群。 ( (如如8 8是是2424的因子，但的因子，但S 却无却无8

203、 8阶子群）阶子群）2024/7/252024/7/25167167计算机学院计算机学院拉格朗日定理拉格朗日定理n定定理理15.13 15.13 一一个个n n阶阶有有限限群群G*的的任任一一个个子子群群H*的的阶阶必必是是n n的的因因子子。即即若若|G|G|n n，|H|H|m m，则则k k|G|/|H|G|/|H|n/mn/m是是一一个个整整数数，且且称称k k为为G G内内H H的的指指数数（即即子子群群的的指指数数），该该k k正正好好是是关关于于H H的的一一切不同的左切不同的左( (右右) )陪集的个数。陪集的个数。 拉拉格格朗朗日日定定理理是是从从元元素素的的数数目目角角度度

204、给给出出了了群群的的子子集集成成为为子子群群的的必必要要条条件件, ,但但它它不不是是充充分分条条件件。即当即当m m是是n n的因子时的因子时,n,n阶群不一定有阶群不一定有m m阶子群。阶子群。 ( (如如8 8是是2424的因子，但的因子，但S 却无却无8 8阶子群）阶子群）2024/7/252024/7/25168168计算机学院计算机学院n推推论论15.13.1 15.13.1 有有限限群群G 中中任任意意元元素素a a的的周周期都能整除群的阶。期都能整除群的阶。 证证明明设设群群G G的的阶阶为为n n，a a的的周周期期为为m m，则则集集合合H Hee，a a，a a2 2，a

205、 am-1m-1 是是G G的的子子群群，而而且且H H还还是是G G的的以以a a为为生生成成元元的的循循环环子子群群，则则由由拉拉格格朗朗日日定定理理有有k k|G|/|H|G|/|H|是整数，即是整数，即m m整除整除n n。2024/7/252024/7/25169169计算机学院计算机学院n推推论论15.13.1 15.13.1 有有限限群群G 中中任任意意元元素素a a的的周周期都能整除群的阶。期都能整除群的阶。 证证明明设设群群G G的的阶阶为为n n，a a的的周周期期为为m m，则则集集合合H Hee，a a，a a2 2，a am-1m-1 是是G G的的子子群群，而而且且

206、H H还还是是G G的的以以a a为为生生成成元元的的循循环环子子群群，则则由由拉拉格格朗朗日日定定理有理有k k|G|/|H|G|/|H|是整数，即是整数，即m m整除整除n n。2024/7/252024/7/25170170计算机学院计算机学院习题习题熟记相关概念熟记相关概念2024/7/252024/7/25171171计算机学院计算机学院15.5 正规子群正规子群与商群与商群 2024/7/252024/7/25172172计算机学院计算机学院不变子群不变子群 由由前前可可知知，对对于于群群G G的的子子群群H H来来说说，H H的的一一个个左左陪陪集集aHaH未未必必等等于于右右陪

207、陪集集HaHa，但但对对G G的的某某些些子子群群而而言言，却却可可能能有有aHaHHaHa（对对任任意意的的aGaG），这是一种十分重要的子群。这是一种十分重要的子群。n定定义义15-5.1 15-5.1 设设是是群群G 的的一一个个子子群群，如如果果对对 a a G G，都都有有aHaHHaHa，则则称称H H是是G G的的不不变变子子群群( (或或正正规规子子群群) )，此此时时H H的的一一个个左左、右右陪陪集集叫做叫做H H的陪集。的陪集。2024/7/252024/7/25173173计算机学院计算机学院不变子群不变子群 由由前前可可知知，对对于于群群G G的的子子群群H H来来说

208、说，H H的的一一个个左左陪陪集集aHaH未未必必等等于于右右陪陪集集HaHa，但但对对G G的的某某些些子子群群而而言言，却却可可能能有有aHaHHaHa（对对任任意意的的aGaG），这是一种十分重要的子群。这是一种十分重要的子群。n定定义义15.7 15.7 设设是是群群G 的的一一个个子子群群，如如果果对对 a a G G，都都有有aHaHHaHa，则则称称H H是是G G的的不不变变子子群群( (或或正正规规子子群群) )，此此时时H H的的一一个个左左、右右陪陪集集叫做叫做H H的陪集。的陪集。2024/7/252024/7/25174174计算机学院计算机学院例例 1.1.任任意意

209、群群G 的的平平凡凡子子群群（仅仅由由幺幺元元构构成成的的群群和和群群本身）都是本身）都是G G的不变子群。的不变子群。2.2.交交换换群群G 的的任任意意一一个个子子群群H 都都是是G G的的不不变变子群；子群；3.3.整整数数加加群群、实实数数加加群群、有有理理数数加加群群、复复数数加加群群的的任任意一个子群都是不变子群；意一个子群都是不变子群；4.4.一一个个循循环环群群G 的的任任意意一一个个子子群群H 都都是是G G的的不变子群。不变子群。5.5.素数阶群素数阶群G 没有非平凡不变子群。没有非平凡不变子群。2024/7/252024/7/25175175计算机学院计算机学院n定定理理

210、15.14 15.14 群群G*的的子子群群H*是是不不变变子子群群对对 a a G G，有：，有： aHa aHa-1-1 H H。 即：即： 对对 h h H H 有有 a*h*a a*h*a-1-1 H H。 证明：证明：“” ”若若HaHaaHaH，则对，则对 h h1 1*a*a Ha (hHa (h1 1 H)H) a*ha*h2 2 aH (haH (h2 2 H)H)，使得：，使得：h h1 1*a*aa*ha*h2 2，即有：即有：h h1 1a*ha*h2 2*a*a-1-1 H H。2024/7/252024/7/25176176计算机学院计算机学院n定定理理15.14

211、15.14 群群G*的的子子群群H*是是不不变变子子群群对对 a a G G，有：，有： aHa aHa-1-1 H H。 即：即： 对对 h h H H 有有 a*h*a a*h*a-1-1 H H。 证明：证明：“”若若HaHaaHaH，则对，则对 h h1 1*a*a Ha Ha (h(h1 1 H)H) a*ha*h2 2 aH aH (h(h2 2 H)H)，使得：，使得：h h1 1*a*aa*ha*h2 2，即有：即有：h h1 1a*ha*h2 2*a*a-1-1 H H。2024/7/252024/7/25177177计算机学院计算机学院“” 对对 a*ha*h aHaH，因

212、，因a a-1-1 G G，所以由，所以由a*h*aa*h*a-1-1 H H，必必 h h1 1 H H，使得：，使得：h h1 1a*h*aa*h*a-1-1，所以有：所以有：a*ha*hh h1 1*a*a，因因h h1 1*a*a HaHa，所以，所以a*ha*h HaHa，即有：，即有：aHaH HaHa；因因|aH|aH|Ha|Ha|且且HaHa是有限集合，是有限集合，所以由所以由aHaH HaHa可知有可知有aHaHHaHa。2024/7/252024/7/25178178计算机学院计算机学院“” 对对 a*ha*h aHaH，因，因a a-1-1 G G，所以由，所以由a*h*

213、aa*h*a-1-1 H H，必必 h h1 1 H H，使得：，使得：h h1 1a*h*aa*h*a-1-1，所以有：所以有：a*ha*hh h1 1*a*a，因因h h1 1*a*a HaHa，所以，所以a*ha*h HaHa，即有：，即有：aHaH HaHa；因因|aH|aH|Ha|Ha|且且HaHa是有限集合，是有限集合，所以由所以由aHaH HaHa可知有可知有aHaHHaHa。2024/7/252024/7/25179179计算机学院计算机学院“” 对对 a*ha*h aHaH，因，因a a-1-1 G G，所以由，所以由a*h*aa*h*a-1-1 H H，必必 h h1 1

214、H H，使得：，使得：h h1 1a*h*aa*h*a-1-1，所以有：所以有：a*ha*hh h1 1*a*a，因因h h1 1*a*a HaHa，所以，所以a*ha*h HaHa，即有：，即有：aHaH HaHa；因因|aH|aH|Ha|Ha|且且HaHa是有限集合，是有限集合，所以由所以由aHaH HaHa可知有可知有aHaHHaHa。2024/7/252024/7/25180180计算机学院计算机学院“” 对对 a*ha*h aHaH，因，因a a-1-1 G G，所以由，所以由a*h*aa*h*a-1-1 H H，必必 h h1 1 H H，使得：，使得：h h1 1a*h*aa*h

215、*a-1-1，所以有：所以有：a*ha*hh h1 1*a*a，因因h h1 1*a*a HaHa，所以，所以a*ha*h HaHa，即有：，即有：aHaH HaHa；因因|aH|aH|Ha|Ha|且且HaHa是有限集合，是有限集合，所以由所以由aHaH HaHa可知有可知有aHaHHaHa。2024/7/252024/7/25181181计算机学院计算机学院商群商群（这部分这部分课堂自课堂自学学P190）n若若H H为为G G的的正正规规子子群群，则则G/HG/H表表示示H H的的所所有有陪陪集集所所组成的集合，即组成的集合，即G/H=aH|aGG/H=aH|aG。n定定义义15.815.8

216、 设设是是的的一一个个正正规规子子群群，G/HG/H表表示示G G的的所所有有陪陪集集的的集集合合，则则G/H, 是是一个群，称为一个群，称为商群商群。其中。其中“”定义定义为：为： aH,bHG/HaH,bHG/H，aHbH=(a*b)HaHbH=(a*b)H。n如如果果G G是是有有限限群群，则则根根据据拉拉格格朗朗日日定定理理，商商群群的阶等于群的阶等于群G G的阶除以的阶除以H H的阶。的阶。 2024/7/252024/7/25182182计算机学院计算机学院习题习题熟记相关概念熟记相关概念2024/7/252024/7/25183183计算机学院计算机学院15.6 同态与同构同态与

217、同构2024/7/252024/7/25184184计算机学院计算机学院同态与同构同态与同构 本本节节研研究究的的是是一一个个代代数数系系统统与与另另外外一一个个代代数数系系统统之之间间的的关关系系，即即撇撇开开集集合合元元素素具具体体的的差差异异和和运运算算的的具具体体差差异异，只只考考虑虑两两代代数数系系统统的的运运算算性性质质上上的的差差异异，或或者者说说在在什什么么条条件件下下两两代代数数系统无差异或者相似系统无差异或者相似。 代代数数系系统统之之间间的的这这种种相相互互关关系系是是通通过过映映射射来来反反应应的的。映映射射有有单单射射、满满射射和和双双射射，相相应应本本节讲的是单同态

218、、满同态和同构以及性质。节讲的是单同态、满同态和同构以及性质。2024/7/252024/7/25185185计算机学院计算机学院同态与同构同态与同构 本本节节研研究究的的是是一一个个代代数数系系统统与与另另外外一一个个代代数数系系统统之之间间的的关关系系，即即撇撇开开集集合合元元素素具具体体的的差差异异和和运运算算的的具具体体差差异异，只只考考虑虑两两代代数数系系统统的的运运算算性性质质上上的的差差异异，或或者者说说在在什什么么条条件件下下两两代代数数系统无差异或者相似。系统无差异或者相似。 代代数数系系统统之之间间的的这这种种相相互互关关系系是是通通过过映映射射来来反反应应的的。映映射射有

219、有单单射射、满满射射和和双双射射，相相应应本本节讲的是单同态、满同态和同构以及性质。节讲的是单同态、满同态和同构以及性质。2024/7/252024/7/25186186计算机学院计算机学院n定义定义15.915.9 设设X X，* *与与Y,Y, 是是两两个个代代数数系系统统，如如在在集集合合X X与与Y Y之之间间存存在在映映射射f f：X XY Y，使使得得对对 a a，b b X X，有：，有：f(a*b)=f(a)f(a*b)=f(a)f(b)f(b)。 则则称称f f是是从从X X，* *到到Y,Y,的的同同态态映映射射，简简称称为为同同态态，此此时时代代数数系系统统X X，* *

220、与与代代数数系系统统Y,Y,称为同态的，记为称为同态的，记为XYXY。 f(X)f(X) Y Y 称为称为X X的一个同态象。的一个同态象。 如果：如果：2024/7/252024/7/25187187计算机学院计算机学院n定义定义15.915.9 设设X X，* *与与Y,Y, 是是两两个个代代数数系系统统，如如在在集集合合X X与与Y Y之之间间存存在在映映射射f f：X XY Y，使使得得对对 a a，b b X X，有：，有：f(a*b)=f(a)f(a*b)=f(a)f(b)f(b)。 则则称称f f是是从从X X，* *到到Y,Y,的的同同态态映映射射，简简称称为为同同态态，此此时

221、时代代数数系系统统X X，* *与与代代数数系系统统Y,Y,称为称为同态的同态的，记为，记为XYXY。 f(X)f(X) Y Y 称为称为X X的一个的一个同态象同态象。 如果：如果：2024/7/252024/7/25188188计算机学院计算机学院f f：X XY Y是是一一个个单单射射，则则称称f f是是从从X,*X,*到到Y,Y,的的单一同态单一同态；f f：X XY Y是是一一个个满满射射，则则称称f f是是从从X,*X,*到到Y,Y,的满同态；的满同态；f f：X XY Y是是一一个个双双射射，则则称称f f是是从从X,*X,*到到Y,Y,的同构，记为的同构，记为XYXY。 若若集

222、集合合X=YX=Y，则则此此时时对对应应的的同同态态和和同同构构分分别别称称为为自自同同态态、单单一一自自同同态态、满满自自同同态态和和自自同构。同构。2024/7/252024/7/25189189计算机学院计算机学院f f：X XY Y是是一一个个单单射射，则则称称f f是是从从X,*X,*到到Y,Y,的单一同态；的单一同态；f f：X XY Y是是一一个个满满射射，则则称称f f是是从从X,*X,*到到Y,Y,的的满同态满同态；f f：X XY Y是是一一个个双双射射，则则称称f f是是从从X,*X,*到到Y,Y,的同构，记为的同构，记为XYXY。 若若集集合合X=YX=Y，则则此此时时

223、对对应应的的同同态态和和同同构构分分别别称称为为自自同同态态、单单一一自自同同态态、满满自自同同态态和和自自同构。同构。2024/7/252024/7/25190190计算机学院计算机学院f f：X XY Y是是一一个个单单射射，则则称称f f是是从从X,*X,*到到Y,Y,的单一同态；的单一同态；f f：X XY Y是是一一个个满满射射，则则称称f f是是从从X,*X,*到到Y,Y,的满同态；的满同态；f f：X XY Y是是一一个个双双射射，则则称称f f是是从从X,*X,*到到Y,Y,的的同构同构，记为，记为XYXY。 若若集集合合X=YX=Y，则则此此时时对对应应的的同同态态和和同同构

224、构分分别称为自同态和自同构。别称为自同态和自同构。2024/7/252024/7/25191191计算机学院计算机学院f f：X XY Y是是一一个个单单射射，则则称称f f是是从从X,*X,*到到Y,Y,的单一同态；的单一同态；f f：X XY Y是是一一个个满满射射，则则称称f f是是从从X,*X,*到到Y,Y,的满同态；的满同态；f f：X XY Y是是一一个个双双射射，则则称称f f是是从从X,*X,*到到Y,Y,的同构，记为的同构，记为XYXY。 若若集集合合X=YX=Y，则则此此时时对对应应的的同同态态和和同同构构分分别称为别称为自同态自同态和和自同构自同构。2024/7/2520

225、24/7/25192192计算机学院计算机学院n例例 证明代数系统证明代数系统R R+ +，与与R R，+ +是同构的。是同构的。 证证 明明 ： 设设 f f： R R+ +R R， 且且 f f（ x x） =ln=ln（ x x） ， 则则 ： 1.1.对对 x x R R+ +, ,有有x x 0 0且且y=ln(x)y=ln(x) R R，所以，所以f f是一个函数；是一个函数； 2.2.对对 y y R,R,均均 x=ex=ey y R R+ +, ,使使得得f(x)=ln(x)=ln(f(x)=ln(x)=ln(e ey y)=y)=y， 所以所以f f是一个满射；是一个满射；

226、3.3.对对 x x y y R R+ +, ,有有ln(ln(x x) ) ln(y)ln(y)，所所以以f f是是一一个个单单射射； 由由1 1、2 2、3 3知：知：f f是一个双射。是一个双射。 4.4.对对 x x，y y R R+ +，有：，有： f(xf(xy)=ln(y)=ln(xxy)=ln(y)=ln(x x)+)+ln(ln(y)=f(x)+f(y)y)=f(x)+f(y) 由由1 1、2 2、3 3、4 4知：知：f f是一个双射且满足是一个双射且满足 f(x*y)=f(x)f(x*y)=f(x)f(y) f(y) R R+ + R R2024/7/252024/7/2

227、5193193计算机学院计算机学院n例例 证明代数系统证明代数系统R R+ +，与与R R，+ +是同构的。是同构的。 证证 明明 ： 设设 f f： R R+ +R R， 且且 f f（ x x） =ln=ln（ x x） ， 则则 ： 1.1.对对 x x R R+ +, ,有有x x 0 0且且y=ln(x)y=ln(x) R R，所以，所以f f是一个函数；是一个函数； 2.2.对对 y y R,R,均均 x=ex=ey y R R+ +, ,使使得得f(x)=ln(x)=ln(f(x)=ln(x)=ln(e ey y)=y)=y， 所以所以f f是一个满射；是一个满射； 3.3.对对

228、 x x y y R R+ +, ,有有ln(ln(x x) ) ln(y)ln(y)，所所以以f f是是一一个个单单射射； 由由1 1、2 2、3 3知：知：f f是一个双射。是一个双射。 4.4.对对 x x，y y R R+ +，有：，有： f(xf(xy)=ln(y)=ln(xxy)=ln(y)=ln(x x)+)+ln(ln(y)=f(x)+f(y)y)=f(x)+f(y) 由由1 1、2 2、3 3、4 4知：知：f f是一个双射且满足是一个双射且满足 f(x*y)=f(x)f(x*y)=f(x)f(y) f(y) R R+ + R R2024/7/252024/7/2519419

229、4计算机学院计算机学院n例例 证明代数系统证明代数系统R R+ +，与与R R，+ +是同构的。是同构的。 证证 明明 ： 设设 f f： R R+ +R R， 且且 f f（ x x） =ln=ln（ x x） ， 则则 ： 1.1.对对 x x R R+ +, ,有有x x 0 0且且y=ln(x)y=ln(x) R R，所以，所以f f是一个函数；是一个函数； 2.2.对对 y y R,R,均均 x=ex=ey y R R+ +, ,使使得得f(x)=ln(x)=ln(f(x)=ln(x)=ln(e ey y)=y)=y， 所以所以f f是一个满射；是一个满射； 3.3.对对 x x y

230、 y R R+ +, ,有有ln(ln(x x) ) ln(y)ln(y)，所所以以f f是是一一个个单单射射； 由由1 1、2 2、3 3知：知：f f是一个双射。是一个双射。 4.4.对对 x x，y y R R+ +，有：，有： f(xf(xy)=ln(y)=ln(xxy)=ln(y)=ln(x x)+)+ln(ln(y)=f(x)+f(y)y)=f(x)+f(y) 由由1 1、2 2、3 3、4 4知：知：f f是一个双射且满足是一个双射且满足 f(x*y)=f(x)f(x*y)=f(x)f(y) f(y) R R+ + R R2024/7/252024/7/25195195计算机学院

231、计算机学院n例例 证明代数系统证明代数系统R R+ +，与与R R，+ +是同构的。是同构的。 证证 明明 ： 设设 f f： R R+ +R R， 且且 f f（ x x） =ln=ln（ x x） ， 则则 ： 1.1.对对 x x R R+ +, ,有有x x 0 0且且y=ln(x)y=ln(x) R R，所以，所以f f是一个函数；是一个函数； 2.2.对对 y y R,R,均均 x=ex=ey y R R+ +, ,使使得得f(x)=ln(x)=ln(f(x)=ln(x)=ln(e ey y)=y)=y， 所以所以f f是一个满射；是一个满射； 3.3.对对 x x y y R R

232、+ +, ,有有ln(ln(x x) ) ln(y)ln(y)，所所以以f f是是一一个个单单射射； 由由1 1、2 2、3 3知：知：f f是一个双射。是一个双射。 4.4.对对 x x，y y R R+ +，有：，有： f(xf(xy)=ln(y)=ln(xxy)=ln(y)=ln(x x)+)+ln(ln(y)=f(x)+f(y)y)=f(x)+f(y) 由由1 1、2 2、3 3、4 4知：知：f f是一个双射且满足是一个双射且满足 f(x*y)=f(x)f(x*y)=f(x)f(y) f(y) R R+ + R R2024/7/252024/7/25196196计算机学院计算机学院n

233、例例 证明代数系统证明代数系统R R+ +，与与R R，+ +是同构的。是同构的。 证证 明明 ： 设设 f f： R R+ +R R， 且且 f f（ x x） =ln=ln（ x x） ， 则则 ： 1.1.对对 x x R R+ +, ,有有x x 0 0且且y=ln(x)y=ln(x) R R，所以，所以f f是一个函数；是一个函数； 2.2.对对 y y R,R,均均 x=ex=ey y R R+ +, ,使使得得f(x)=ln(x)=ln(f(x)=ln(x)=ln(e ey y)=y)=y， 所以所以f f是一个满射；是一个满射； 3.3.对对 x x y y R R+ +, ,

234、有有ln(ln(x x) ) ln(y)ln(y)，所所以以f f是是一一个个单单射射； 由由1 1、2 2、3 3知：知：f f是一个双射。是一个双射。 4.4.对对 x x，y y R R+ +，有：，有： f(xf(xy)=ln(y)=ln(xxy)=ln(y)=ln(x x)+)+ln(ln(y)=f(x)+f(y)y)=f(x)+f(y) 由由1 1、2 2、3 3、4 4知：知：f f是一个是一个双射双射且满足：且满足： f(x*y)=f(x)f(x*y)=f(x)f(y) f(y) R R+ + R R2024/7/252024/7/25197197计算机学院计算机学院n例例 在

235、在自自然然数数加加半半群群N N，+ +与与剩剩余余类类加加群群Z 之之间定义映射间定义映射f f：N NZ Z2 2 如下：如下： 证明证明f f是是N N到到Z Z2 2的满同态映射。的满同态映射。证明：证明： 对对 n n1 1,n,n2 2 N N ，1 1）当）当n n1 1和和n n2 2同奇偶时，同奇偶时，f(nf(n1 1+n+n2 2)=0)=0，而，而f(nf(n1 1) )和和f(nf(n2 2) ) 要么同为要么同为00，要么同为，要么同为11，从而，从而f(nf(n1 1) ) f(nf(n2 2)=0)=0；2 2）当）当n n1 1和和n n2 2同奇偶时，同奇偶

236、时，f(nf(n1 1+n+n2 2)=1)=1，而，而f(nf(n1 1) )和和f(nf(n2 2) )中一个为中一个为00，一个为，一个为11，从而，从而f(nf(n1 1) ) f(nf(n2 2)=1)=1； N NZ Z2 2 2024/7/252024/7/25198198计算机学院计算机学院n例例 在在自自然然数数加加半半群群N N，+ +与与剩剩余余类类加加群群Z 之之间定义映射间定义映射f f：N NZ Z2 2 如下：如下： 证明证明f f是是N N到到Z Z2 2的满同态映射。的满同态映射。证明证明： 对对 n n1 1,n,n2 2 N N ，1 1）当当n n1 1

237、和和n n2 2同奇偶时，同奇偶时，f(nf(n1 1+n+n2 2)=0)=0，而，而f(nf(n1 1) )和和f(nf(n2 2) ) 要么同为要么同为00，要么同为，要么同为11，从而，从而f(nf(n1 1) ) f(nf(n2 2)=0)=0；2 2）当）当n n1 1和和n n2 2不不同奇偶时，同奇偶时，f(nf(n1 1+n+n2 2)=1)=1，而，而f(nf(n1 1) )和和f(nf(n2 2) )中一个为中一个为00，一个为，一个为11，从而，从而f(nf(n1 1) ) f(nf(n2 2)=1)=1； N NZ Z2 2 2024/7/252024/7/25199

238、199计算机学院计算机学院n例例 在在自自然然数数加加半半群群N N，+ +与与剩剩余余类类加加群群Z 之之间定义映射间定义映射f f：N NZ Z2 2 如下：如下： 证明证明f f是是N N到到Z Z2 2的满同态映射。的满同态映射。证明证明： 对对 n n1 1,n,n2 2 N N ，1 1）当当n n1 1和和n n2 2同奇偶时，同奇偶时，f(nf(n1 1+n+n2 2)=0)=0，而，而f(nf(n1 1) )和和f(nf(n2 2) ) 要么同为要么同为00，要么同为，要么同为11，从而，从而f(nf(n1 1) ) f(nf(n2 2)=0)=0；2 2）当当n n1 1和

239、和n n2 2不不同奇偶时，同奇偶时，f(nf(n1 1+n+n2 2)=1)=1，而，而f(nf(n1 1) )和和f(nf(n2 2) )中一个为中一个为00，一个为，一个为11，从而，从而f(nf(n1 1) ) f(nf(n2 2)=1)=1； N NZ Z2 2 ,即即f f是是N N到到Z Z2 2的满同态映射。的满同态映射。2024/7/252024/7/25200200计算机学院计算机学院2024/7/252024/7/25201201计算机学院计算机学院2024/7/252024/7/25202202计算机学院计算机学院性性 质质n定定理理15.15 15.15 设设S S，

240、. .与与T,T,是是两两个个代代数数系系统统，f f：S ST T是是一个同态映射一个同态映射，则：，则：1 1）如如果果运运算算. .在在S S中中是是封封闭闭的的运运算算在在f f（S S）中中是封闭的；是封闭的； 2 2）S S， . .满足结合律满足结合律f f（S S）, ,满足结合律；满足结合律；3 3）S S，. .满足交换律满足交换律 f f（S S）, ,满足交换律满足交换律; ;4 4）S S，. .存在幺元存在幺元 f f（S S）, ,存在幺元；存在幺元；5 5）在在S S中中每每元元关关于于运运算算. . 有有逆逆元元 f f（S S）中中每每元元关关于于运算运算

241、有逆元。有逆元。2024/7/252024/7/25203203计算机学院计算机学院性性 质质n定定理理15.15 15.15 设设S S，. .与与T,T,是是两两个个代代数数系系统统，f f：S ST T是是一个同态映射一个同态映射，则：，则：1 1）如如果果运运算算. .在在S S中中是是封封闭闭的的运运算算在在f f（S S）中中是封闭的；是封闭的； 2 2）X X，* *满足结合律满足结合律f f（X X）, ,满足结合律；满足结合律；3 3）X X，* *满足交换律满足交换律 f f（X X）, ,满足交换律满足交换律; ;4 4）X X，* *存在幺元存在幺元e e1 1 f f

242、（X X）, ,存在幺元存在幺元e e2 2；5 5）在在X X中中每每元元关关于于运运算算* * 有有逆逆元元 f f（X X）中中每每元元关关于于运算运算 有逆元。有逆元。 证明：证明： 1 1）任取）任取a a、bSbS，由于，由于“.”在在S S中封闭，因此中封闭，因此a a.bSbS。 又因为又因为f f是是S S到到T T的同态映射，的同态映射， 所以所以f(af(a. b)f(Sb)f(S) ) T T， 即即f(af(a) )f(b)f(b)属于属于f(S)f(S)。 根据根据a a、b b的任意性知道，运算的任意性知道，运算“”在在f(S) f(S) T T中是封中是封 闭的

243、。闭的。 2024/7/252024/7/25204204计算机学院计算机学院性性 质质n定定理理15.15 15.15 设设S S，. .与与T,T,是是两两个个代代数数系系统统，f f：S ST T是是一个同态映射一个同态映射，则：，则：1 1）如如果果运运算算. .在在S S中中是是封封闭闭的的运运算算在在f f（S S）中中是封闭的；是封闭的； 2 2）S S， . .满足结合律满足结合律f f（S S）, ,满足结合律；满足结合律；3 3）S S，. .满足交换律满足交换律 f f（S S）, ,满足交换律满足交换律; ;4 4）S S，. .存在幺元存在幺元 f f（S S）, ,

244、存在幺元；存在幺元；5 5）在在S S中中每每元元关关于于运运算算. . 有有逆逆元元 f f（S S）中中每每元元关关于于运算运算 有逆元。有逆元。2024/7/252024/7/25205205计算机学院计算机学院性性 质质n定定理理15.15 15.15 设设S S，. .与与T,T,是是两两个个代代数数系系统统，f f：S ST T是是一个同态映射一个同态映射，则：，则：1 1）如如果果运运算算. .在在S S中中是是封封闭闭的的运运算算在在f f（S S）中中是封闭的；是封闭的； 2 2）S S， . .满足结合律满足结合律f f（S S）, ,满足结合律；满足结合律；3 3）S S

245、，. .满足交换律满足交换律 f f（S S）, ,满足交换律满足交换律; ;4 4）S S，. .存在幺元存在幺元 f f（S S）, ,存在幺元；存在幺元；5 5）在在S S中中每每元元关关于于运运算算. . 有有逆逆元元 f f（S S）中中每每元元关关于于运算运算 有逆元。有逆元。证明：证明：2 2）如果运算）如果运算“.”在在S S中是可结合的，中是可结合的， 则对任何则对任何a a，b b，c cS S，(a(a.b)b).c=ac=a.(b(b.c)c)，于是，于是 f(af(a.b)b).c)=c)=f(af(a.(b(b.c)c)。 但是但是f(af(a.b)b).c)=c)

246、=f(af(a.b)b)f(c)f(c) = =( (f(a)f(a)f(b)f(b) )f(c)f(c)， f(af(a.(b(b.c)=c)=f(af(a) )( (f(b)f(b)f(c)f(c) )， 所以在所以在f(S)f(S)中运算中运算“”是可结合的。是可结合的。 2024/7/252024/7/25206206计算机学院计算机学院性性 质质n定定理理15.15 15.15 设设S S，. .与与T,T,是是两两个个代代数数系系统统，f f：S ST T是是一个同态映射一个同态映射，则：，则：1 1）如如果果运运算算. .在在S S中中是是封封闭闭的的运运算算在在f f（S S）

247、中中是封闭的；是封闭的； 2 2）S S， . .满足结合律满足结合律f f（S S）, ,满足结合律；满足结合律；3 3）S S，. .满足交换律满足交换律 f f（S S）, ,满足交换律满足交换律; ;4 4）S S，. .存在幺元存在幺元 f f（S S）, ,存在幺元；存在幺元；5 5）在在S S中中每每元元关关于于运运算算. . 有有逆逆元元 f f（S S）中中每每元元关关于于运算运算 有逆元。有逆元。2024/7/252024/7/25207207计算机学院计算机学院性性 质质n定定理理15.15 15.15 设设S S，. .与与T,T,是是两两个个代代数数系系统统，f f：

248、S ST T是是一个同态映射一个同态映射，则：，则：1 1）如如果果运运算算. .在在S S中中是是封封闭闭的的运运算算在在f f（S S）中中是封闭的；是封闭的； 2 2）S S， . .满足结合律满足结合律f f（S S）, ,满足结合律；满足结合律；3 3）S S，. .满足交换律满足交换律 f f（S S）, ,满足交换律满足交换律; ;4 4）S S，. .存在幺元存在幺元 f f（S S）, ,存在幺元；存在幺元；5 5）在在S S中中每每元元关关于于运运算算. . 有有逆逆元元 f f（S S）中中每每元元关关于于运算运算 有逆元。有逆元。 证明：证明： 如果运算如果运算“.”在

249、在S S中可交换，则对任何中可交换，则对任何a a，bSbS，a a.b=bb=b.a a，于是，于是f(af(a.b)=f(bb)=f(b.a)a)。但是，。但是， f(af(a.b)= b)= f(af(a) )f(b)f(b)，f(bf(b.a)= a)= f(bf(b) )f(a)f(a)，即：，即： f(af(a) )f(b)f(b) = = f(bf(b) )f(a)f(a)， 所以在所以在f(S)f(S)中运算中运算“”是可交换的。是可交换的。2024/7/252024/7/25208208计算机学院计算机学院性性 质质n定定理理15.15 15.15 设设S S，. .与与T,

250、T,是是两两个个代代数数系系统统，f f：S ST T是是一个同态映射一个同态映射，则：，则：1 1）如如果果运运算算. .在在S S中中是是封封闭闭的的运运算算在在f f（S S）中中是封闭的；是封闭的； 2 2）S S， . .满足结合律满足结合律f f（S S）, ,满足结合律；满足结合律；3 3）S S，. .满足交换律满足交换律 f f（S S）, ,满足交换律满足交换律; ;4 4）S S，. .存在幺元存在幺元 f f（S S）, ,存在幺元；存在幺元；5 5）在在S S中中每每元元关关于于运运算算. . 有有逆逆元元 f f（S S）中中每每元元关关于于运算运算 有逆元。有逆元

251、。2024/7/252024/7/25209209计算机学院计算机学院性性 质质n定定理理15.15 15.15 设设S S，. .与与T,T,是是两两个个代代数数系系统统，f f：S ST T是是一个同态映射一个同态映射，则：，则：1 1）如如果果运运算算. .在在S S中中是是封封闭闭的的运运算算在在f f（S S）中中是封闭的；是封闭的； 2 2）S S， . .满足结合律满足结合律f f（S S）, ,满足结合律；满足结合律；3 3）S S，. .满足交换律满足交换律 f f（S S）, ,满足交换律满足交换律; ;4 4）S S，. .存在幺元存在幺元 f f（S S）, ,存在幺元

252、；存在幺元；5 5）在在S S中中每每元元关关于于运运算算. . 有有逆逆元元 f f（S S）中中每每元元关关于于运算运算 有逆元。有逆元。证明：证明：设设e e是运算是运算“.”在在S S中的幺元，则对任何中的幺元，则对任何aSaS，e e.a=a=aa=a=a.e e， f(ef(e.a)=f(a)=f(aa)=f(a)=f(a.e)e)。于是于是f(e)f(e)f(a)=f(a)=f(a)f(a)=f(a)=f(a)f(e)f(e)，说明，说明f(e)f(e)是运算是运算“”在在f(S)f(S)中的幺元，中的幺元，f f把把S S的幺元映射到的幺元映射到f(S)f(S)的幺元。的幺元。

253、 2024/7/252024/7/25210210计算机学院计算机学院性性 质质n定定理理15.15 15.15 设设S S，. .与与T,T,是是两两个个代代数数系系统统，f f：S ST T是是一个同态映射一个同态映射，则：，则：1 1）如如果果运运算算. .在在S S中中是是封封闭闭的的运运算算在在f f（S S）中中是封闭的；是封闭的； 2 2）S S， . .满足结合律满足结合律f f（S S）, ,满足结合律；满足结合律；3 3）S S，. .满足交换律满足交换律 f f（S S）, ,满足交换律满足交换律; ;4 4）S S，. .存在幺元存在幺元 f f（S S）, ,存在幺元

254、；存在幺元；5 5）在在S S中中每每元元关关于于运运算算. . 有有逆逆元元 f f（S S）中中每每元元关关于于运算运算 有逆元。有逆元。2024/7/252024/7/25211211计算机学院计算机学院性性 质质n定定理理15.15 15.15 设设S S，. .与与T,T,是是两两个个代代数数系系统统，f f：S ST T是是一个同态映射一个同态映射，则：，则：1 1）如如果果运运算算. .在在S S中中是是封封闭闭的的运运算算在在f f（S S）中中是封闭的；是封闭的； 2 2）S S， . .满足结合律满足结合律f f（S S）, ,满足结合律；满足结合律；3 3）S S，. .

255、满足交换律满足交换律 f f（S S）, ,满足交换律满足交换律; ;4 4）S S，. .存在幺元存在幺元 f f（S S）, ,存在幺元；存在幺元；5 5）在在S S中中每每元元关关于于运运算算. . 有有逆逆元元 f f（S S）中中每每元元关关于于运算运算 有逆元。有逆元。5 5）证明：）证明： 设设aSaS在在S S中关于运算中关于运算“.”有逆元有逆元a a-1-1，那么，那么，a.aa.a-1-1=e=e， 于是于是f(a.af(a.a-1-1)=f(e)=f(e)，即，即f(a)f(a)f(af(a-1-1)=f(e)=f(e)。 这说明这说明f(a)f(S)f(a)f(S)有

256、逆元有逆元f(af(a-1-1) () (或或f f-1-1(a)=f(a(a)=f(a-1-1) ) )， 即：映射即：映射f f把把S S中元素中元素a a的逆元映射到的逆元映射到f(S)f(S)中元素中元素f(a)f(a)的的逆元。逆元。 2024/7/252024/7/25212212计算机学院计算机学院（教（教材材P192 ）n定理定理15.16 15.16 设设S S，* *与与T T，是两个代是两个代数系统，数系统，f f：S ST T是是满同态满同态，则：，则： 1)1) 如果如果S S是半群是半群T T是半群；是半群； 2) 2) 如果如果S S是群是群T T是群是群。 在在

257、同同态态映映射射下下，像像源源的的代代数数性性质质都都为为像像集集所所具具有有。但但是是，像像集集所所具具有有的的代代数数性性质质却却未未必必为像源所具有。为像源所具有。 如如果果f f：S ST T是是同同构构映映射射，则则代代数数系系统统S S与与T T许许多多性性质质完完全全相相同同。而而且且代代数数系系统统之之间间的的同同构构关系是等价关系。关系是等价关系。2024/7/252024/7/25213213计算机学院计算机学院（教（教材材P192 ）n定理定理15.16 15.16 设设S S，* *与与T T，是两个代是两个代数系统，数系统，f f：S ST T是是满同态满同态，则：，

258、则： 1)1) 如果如果S S是半群是半群T T是半群；是半群； 2) 2) 如果如果S S是群是群T T是群是群。 在在同同态态映映射射下下，像像源源的的代代数数性性质质都都为为像像集集所所具具有有。但但是是，像像集集所所具具有有的的代代数数性性质质却却未未必必为像源所具有。为像源所具有。 如如果果f f：S ST T是是同同构构映映射射，则则代代数数系系统统S S与与T T许许多多性性质质完完全全相相同同。而而且且代代数数系系统统之之间间的的同同构构关系是等价关系。关系是等价关系。 证明证明: 根据定理根据定理15.15的第的第、条，当运算条，当运算“*”在在S中满足中满足封闭、可结合性质

259、时，运算封闭、可结合性质时，运算“”在在T=f(S)也具有封闭也具有封闭和可结合性质，从而是半群。和可结合性质，从而是半群。 如果再加上定理如果再加上定理15.15第第条，则当条，则当S是含幺半群时，是含幺半群时，T也是含幺半群。也是含幺半群。2024/7/252024/7/25214214计算机学院计算机学院n定理定理15.16 15.16 设设S S，* *与与T T，是两个代是两个代数系统，数系统，f f：S ST T是是满同态满同态，则：，则： 1)1) 如果如果S S是半群是半群T T是半群；是半群； 2)2) 如果如果S S是群是群T T是群是群。 在在同同态态映映射射下下，像像源

260、源的的代代数数性性质质都都为为像像集集所所具具有有。但但是是，像像集集所所具具有有的的代代数数性性质质却却未未必必为像源所具有。为像源所具有。 如如果果f f：S ST T是是同同构构映映射射，则则代代数数系系统统S S与与T T许许多多性性质质完完全全相相同同。而而且且代代数数系系统统之之间间的的同同构构关系是等价关系。关系是等价关系。2024/7/252024/7/25215215计算机学院计算机学院n定理定理15.16 15.16 设设S S，* *与与T T，是两个代是两个代数系统，数系统，f f：S ST T是是满同态满同态，则：，则： 1)1) 如果如果S S是半群是半群T T是半

261、群；是半群； 2)2) 如果如果S S是群是群T T是群是群。 在在同同态态映映射射下下，像像源源的的代代数数性性质质都都为为像像集集所所具具有有。但但是是，像像集集所所具具有有的的代代数数性性质质却却未未必必为像源所具有。为像源所具有。 如如果果f f：S ST T是是同同构构映映射射，则则代代数数系系统统S S与与T T许许多多性性质质完完全全相相同同。而而且且代代数数系系统统之之间间的的同同构构关系是等价关系。关系是等价关系。证明：证明： 据定理据定理15-6.1第第、条，当条，当S是群时，则是群时，则T也也是群。是群。2024/7/252024/7/25216216计算机学院计算机学院

262、n定理定理15.16 15.16 设设S S，* *与与T T，是两个代是两个代数系统，数系统，f f：S ST T是是满同态满同态，则：，则： 1)1) 如果如果S S是半群是半群T T是半群；是半群； 2)2) 如果如果S S是群是群T T是群是群。 在在同同态态映映射射下下，像像源源的的代代数数性性质质都都为为像像集集所所具具有有。但但是是，像像集集所所具具有有的的代代数数性性质质却却未未必必为像源所具有。为像源所具有。 如如果果f f：S ST T是是同同构构映映射射，则则代代数数系系统统S S与与T T许许多多性性质质完完全全相相同同。而而且且代代数数系系统统之之间间的的同同构构关系

263、是等价关系。关系是等价关系。2024/7/252024/7/25217217计算机学院计算机学院同态核同态核定义定义15.1015.10 设设f f是是群群G G，* *到到H H，的的同同态态映映射射，令：令：K KKerfKerfa|aa|a G Gf(a)f(a)ee其其中中ee是是H H的的单单位位元元，则则称称KerfKerf为为f f的的同同态态核核，f(G)f(G)f(a)|aGf(a)|aG称为称为f f的的象集象集。同态核就是群同态核就是群同态核就是群同态核就是群HH的幺元所对应的幺元所对应的幺元所对应的幺元所对应的原象的的原象的的原象的的原象的集合集合集合集合 2024/7

264、/252024/7/25218218计算机学院计算机学院n定定理理15.1715.17设设f f是是群群G G，* *到到H H，的的同同态态映映射射，e e，ee分分别别是是G G和和H H的的单单位位元元，则则同同态态核核KerfKerf构构成成的的代代数系统是数系统是G G的不变（正规）子群。的不变（正规）子群。( (教材教材p p192192) ) 证证明明由由定定义义KerfKerfa|aGf(a)a|aGf(a)ee，因因为为f f是是同态映射，所以由同态映射，所以由f(e)f(e)ee。故。故eKerfeKerf，所以，所以KerfKerf是是G G的非空子集。的非空子集。对任意

265、的对任意的a a，bKerfbKerf，由定义有，由定义有f(a)f(a)ee，f(b)f(b)ee又因为又因为f f是同态映射，所以有是同态映射，所以有f(a*bf(a*b-1-1) )f(a)f(a)f(bf(b-1-1) )f(a)f(a)(f(b)(f(b)-1-1eeee-1-1ee2024/7/252024/7/25219219计算机学院计算机学院n定定理理15.1715.17设设f f是是群群G G，* *到到H H，的的同同态态映映射射，e e，ee分分别别是是G G和和H H的的单单位位元元，则则同同态态核核KerfKerf构构成成的的代代数系统是数系统是G G的不变（正规）

266、子群。的不变（正规）子群。 证证明明由由定定义义KerfKerfa|aGf(a)a|aGf(a)ee，因因为为f f是是同态映射，所以由同态映射，所以由f(e)f(e)ee。故。故eKerfeKerf，所以，所以KerfKerf是是G G的非空子集。的非空子集。对任意的对任意的a a，bKerfbKerf，由定义有，由定义有f(a)f(a)ee，f(b)f(b)ee又因为又因为f f是同态映射，所以有是同态映射，所以有f(a*bf(a*b-1-1) )f(a)f(a)f(bf(b-1-1) )f(a)f(a)(f(b)(f(b)-1-1eeee-1-1ee2024/7/252024/7/252

267、20220计算机学院计算机学院n定定理理15.1715.17设设f f是是群群G G，* *到到H H，的的同同态态映映射射，e e，ee分分别别是是G G和和H H的的单单位位元元，则则同同态态核核KerfKerf构构成成的的代代数系统是数系统是G G的不变（正规）子群。的不变（正规）子群。 证证明明由由定定义义KerfKerfa|aGf(a)a|aGf(a)ee，因因为为f f是是同态映射，所以由同态映射，所以由f(e)f(e)ee。故。故eKerfeKerf，所以，所以KerfKerf是是G G的非空子集。的非空子集。对任意的对任意的a a，bKerfbKerf，由定义有，由定义有f(a

268、)f(a)ee，f(b)f(b)ee又因为又因为f f是同态映射，所以有是同态映射，所以有f(a*bf(a*b-1-1) )f(a)f(a)f(bf(b-1-1) )f(a)f(a)(f(b)(f(b)-1-1 eeee-1-1ee 即即a*ba*b-1-1KerfKerf，由由定定理理15.815.8所所以以Kerf*是是G*的子群。的子群。2024/7/252024/7/25221221计算机学院计算机学院n定定理理15.1715.17设设f f是是群群G G，* *到到H H，的的同同态态映映射射，e e，ee分分别别是是G G和和H H的的单单位位元元，则则同同态态核核KerfKerf

269、构构成成的的代代数系统是数系统是G G的不变（正规）子群。的不变（正规）子群。 证证明明由由定定义义KerfKerfa|aGf(a)a|aGf(a)ee，因因为为f f是是同态映射，所以由同态映射，所以由f(e)f(e)ee。故。故eKerfeKerf，所以，所以KerfKerf是是G G的非空子集。的非空子集。对任意的对任意的a a，bKerfbKerf，由定义有，由定义有f(a)f(a)ee，f(b)f(b)ee又因为又因为f f是同态映射，所以有是同态映射，所以有f(a*bf(a*b-1-1) )f(a)f(a)f(bf(b-1-1) )f(a)f(a)(f(b)(f(b)-1-1 ee

270、ee-1-1ee 即即a*ba*b-1-1KerfKerf，由由定定理理15.815.8所所以以Kerf*是是G*的子群。的子群。n定理定理15.8 设设是一个群，是一个群，S是是G的一个非空子集，则的一个非空子集，则 是是的的子群的充要条件是：对子群的充要条件是：对 a，b S，有，有a*b-1 S。2024/7/252024/7/25222222计算机学院计算机学院 另一方面，对任意的另一方面，对任意的 nKerf nKerf，aGaG，我们有，我们有f(a*n*af(a*n*a-1-1) )f(a)f(a)f(n)f(n)f(af(a-1-1) )f(a)f(a)ee(f(a)(f(a)-1-1f(a)f(a)(f(a)(f(a)-1-1ee 所所以以有有a*n*aa*n*a-1-1KerfKerf，由由定定理理1515. .1 14 4知知Kerf*是是G*的不变子群的不变子群。 定理定理15.14 群群的子群的子群是不变子群是不变子群对对 a G，有：，有： aHa-1 H。 即：即： 对对 h H 有有 a*h*a-1 H。2024/7/252024/7/25223223计算机学院计算机学院习题习题熟记相关概念熟记相关概念2024/7/252024/7/25224224计算机学院计算机学院