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1、1.3.3函数的最大（小）值与导数7/25/20241.1.用导数求函数单调区间的步骤：用导数求函数单调区间的步骤： 求函数求函数f f( (x x) )的导数的导数f f(x x). ). 令令f f(x x) )0 0解不等式，得解不等式，得x x的范围就是递增区间的范围就是递增区间. . 令令f f(x x) )0 0解不等式，得解不等式，得x x的范围，就是递减区的范围，就是递减区间间 . .一、复习引入：一、复习引入：2. 2. 判别判别f f( (x x0 0) )是极大、极小值的方法是极大、极小值的方法: :3. 3. 求可导函数求可导函数f f( (x x) )的极值的步骤的极
2、值的步骤: :(1)(1)确定函数的定义区间，求导数确定函数的定义区间，求导数f f(x x) ) (2)(2)求方程求方程f f(x x)=0)=0的根的根注注：导数为零的点是该点为极值点的：导数为零的点是该点为极值点的必要条件必要条件, ,而不是充分条件而不是充分条件. .极值只能在函数不可导的点或极值只能在函数不可导的点或导数为零的点导数为零的点 取到取到. .若若 满足，且在的两侧的导数异号，则是的极满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右左正右负负”，则是的极大值点，是极大值，则是的极大值点，是极大值.2. 2. 判
3、别判别f f( (x x0 0) )是极大、极小值的方法是极大、极小值的方法: :3. 3. 求可导函数求可导函数f f( (x x) )的极值的步骤的极值的步骤: :(1)(1)确定函数的定义区间，求导数确定函数的定义区间，求导数f f(x x) ) (2)(2)求方程求方程f f(x x)=0)=0的根的根注注：导数为零的点是该点为极值点的：导数为零的点是该点为极值点的必要条件必要条件, ,而而不是充分条件不是充分条件. .极值只能在函数不可导的点或导数极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到为零的点取到. .若若 满足满足 ，且在，且在 的两侧的两侧 的导数异号，的导数异号，则则 是是
4、 的极值点，的极值点， 是极值，并且如果是极值，并且如果 在在 两侧满足两侧满足“左正右负左正右负”，则，则 是是 的极大值点，的极大值点， 是极大值是极大值.(3)(3)用函数的导数为用函数的导数为0 0的点，顺次将函数的定义区间的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格分成若干小开区间，并列成表格. .检查检查f f(x x) )在方在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f f( (x x) )在在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f f( (x x) )在在这个根处取得极小值；如果左右不改变符
5、号，这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么那么f f( (x x) )在这个根处无极值在这个根处无极值. .我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质性质，而不是函数在整个定义域内的性质.也就是也就是说，如果说，如果 是函数是函数 的极大的极大(小小)值点，那值点，那么在么在 附近找不到比附近找不到比 更大更大(小小)的值，但是，的值，但是，在解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关在解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关心函数在某个区间上哪个值是最大，哪个值最小，心函数在某个区间上哪个值是最大，哪个
6、值最小，如果如果 是函数是函数 的最大的最大(小小)值点，那么值点，那么 不小不小(大大)于函数于函数 在相应区间上所有函数值在相应区间上所有函数值.求函数的最值时求函数的最值时, ,应注意以下几点应注意以下几点: :(1)(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题函数的极值是在局部范围内讨论问题, ,是一个局是一个局部概念部概念, ,而函数的最值是对整个定义域而言而函数的最值是对整个定义域而言, ,是在整是在整体范围内讨论问题体范围内讨论问题, ,是一个整体性的概念是一个整体性的概念. .(2)(2)闭区间闭区间a,ba,b上的连续函数一定有最值上的连续函数一定有最值. .开区间开区间(a,b)
7、(a,b)内的可导函数不一定有最值内的可导函数不一定有最值, ,但若有唯一的极但若有唯一的极值值, ,则此极值必是函数的最值则此极值必是函数的最值. .(3)(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个一个, , 而函数的极值则可能不止一个而函数的极值则可能不止一个, ,也可能没有也可能没有极值极值, ,并且极大值并且极大值( (极小值极小值) )不一定就是最大值不一定就是最大值( (最小最小值值).).练、练、函数函数 y y = = x x + 3 + 3 x x9 9x x在在 4 4 , 4, 4 上的上的最大值为最大值为 , ,最小值为最
8、小值为 . .分析分析: : (1) (1) 由由 f f ( (x x)=3)=3x x +6 +6x x9=0,9=0,(2) (2) 区间区间4 4 , 4, 4 端点处的端点处的函数值为函数值为f f ( (4) =20 , 4) =20 , f f (4) =76(4) =76得得x x1 1= =3 3，x x2 2=1 =1 函数值为函数值为f f ( (3)=27, 3)=27, f f (1)=(1)=5 5当当x x变化时，变化时，y y 、 y y的变化情况如下表：的变化情况如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4y+0-0+0y2027-576比较以上
9、各函数值，比较以上各函数值，可知函数在可知函数在4 4 , 4, 4 上的最大值为上的最大值为 f f (4) =76(4) =76，最小值为最小值为 f f (1)=(1)=5 5例例2 2 已知已知x(0,+).x(0,+).是否存在是否存在实数实数a a、b b使使f(x)f(x)同时满足下列两个条件：同时满足下列两个条件：（1 1）f(x)f(x)在（在（0 0，1 1）上是减函数，在）上是减函数，在1 1，+)+)上上是增函数；是增函数；(2)f(x)(2)f(x)的最小值是的最小值是1 1，若存在，求出，若存在，求出a,b,a,b,若不存在，说明理由若不存在，说明理由. . 解：设
10、解：设g g( (x x)=)=f f( (x x) )在在(0,1)(0,1)上是减函数上是减函数, ,在在1,+)1,+)上是增函数上是增函数g g( (x x) )在在(0,1)(0,1)上是减函数上是减函数, ,在在1,+)1,+)上是增函数上是增函数经检验，经检验，a a=1,=1,b b=1=1时，时，f f( (x x) )满足题设的两个条件满足题设的两个条件 含参数的最值问题例4、设 为常数，求函数 在区间 上的最大值和最小值.例5、设 ，函数 的最大值为1，最小值为 ，求 、 的值.由函数的最值求参数的值与函数最值有关的恒成立问题例4、已知函数 .(1)若函数 在 和 处取得
11、极值，试求 、 的值；(2)在(1)的条件下，当 时， 恒成立，求 的取值范围.含参数的最值问题例3、已知 是实数，函数 .(1)若 ，求 的值及曲线 在点处的 切线方程；(2)求 在区间 上的最大值.五、小结五、小结1.1.求在求在a,ba,b上连续上连续,(a,b),(a,b)上可导的函数上可导的函数f(x)f(x)在在a,ba,b上的最值的步骤上的最值的步骤: : (1) (1)求求f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)内的极值内的极值; ; (2) (2)将将f(x)f(x)的各极值与的各极值与f(a)f(a)、f(b)f(b)比较比较, ,其中最其中最大的一个是最大值大的一个是最大
12、值, ,最小的一个是最小值最小的一个是最小值. .2.2.求函数的最值时求函数的最值时, ,应注意以下几点应注意以下几点: :(1)(1)要正确区分极值与最值这两个概念要正确区分极值与最值这两个概念. .(2)(2)在在a,ba,b上连续上连续,(a,b),(a,b)上可导的函数上可导的函数f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)内未必有最大值与最小值内未必有最大值与最小值. .(3)(3)一旦给出的函数在一旦给出的函数在(a,b)(a,b)上有个别不可导点的话上有个别不可导点的话, ,不要忘记在步骤不要忘记在步骤(2)(2)中中, ,要把这些点的函数值与各极要把这些点的函数值与各极值和值和f(a)f(a)、f(b)f(b)放在一起比较放在一起比较. .求下列函数在指定区间内的最大值和最小值求下列函数在指定区间内的最大值和最小值:练习练习:最大值最大值 f (1)=3，最小值，最小值 f (3)= 61P31练（练（2）（）（4）（0404浙江文浙江文2121）（本题满分）（本题满分1212分）分）已知已知a a为实数，为实数，（）求导数）求导数 ；（）若若 ，求求 在在-2-2，22上上的的最大值和最小值；最大值和最小值；（）若若 在在（-，-2-2和和22，+）上上都都是递增的，求是递增的，求a a的取值范围。的取值范围。例例3
