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1、1.8 博弈博弈 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元1.8.1 概述概述 博弈一向被认为是富有挑战性的智力的游戏，有着难以言语的魅力。博弈问题常与对策问题联系在一起。对策论（Game Theory）用数字方法研究对策问题。一般将对策问题分为零和对策和非零和对策。 最典型的零和对策问题是我国古代齐王与田忌赛马的问题。该问题是齐王与田忌都有可分为上、中、下三匹马。齐王的上马、中马、下马都比田忌相应的上马、中马、下马好，但田忌的上马比齐王的中马好，田忌的中马比齐王的下马好，聪明的田忌采取了下述对策后一举取胜： 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元l非零和对策的
2、例子有：囚犯难题（The prisoner dilemma）。该问题是有两个嫌疑犯A和B，暂时还没有获得他们犯罪的确定的证据。现对他们判刑的规则是： 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元l博弈虽然自古就是人与人的对弈，但自从有了计算机以后，人们开始就有用计算机下棋的想法，早在60年代就已经出现若干博弈程序，并达到较高的水平，现已出现计算机博弈程序能够与人类博弈大师抗衡的局面。l举世瞻目的人机对弈是1997年IBM公司编制的深蓝（deep blue）计算机与国际象棋大师卡斯帕罗夫对弈，取得了三胜二和一负的好成绩。博弈的研究不断为人工智能提出新的课题，可以说博弈是人工智能研究的起源和动力之一。 作
3、者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元博弈问题对人的深层次的知识研究提出了严峻的挑战。如何表示博弈问题的状态，博弈过程和博弈取胜的知识，这是目前人类仍在探讨之中的问题。要提高博弈问题求解程序的效率，应作到如下两点：l改进生成过程，使之只生成好的走步，如按棋谱的方法生成下一步；l改进测试过程，使最好的步骤能够及时被确认。 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元 要达到上述目的有效途径是使用启发式方法引导搜索过程，使其只生成可能赢的走步。而这样的博弈程序应具备：l一个好的（即只产生可能赢棋步骤的）生成过程。l一个好的静态估计函数。下面介绍博弈中两种最基本的搜索方法。 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元
4、1.8.2 极小极大搜索过程 l1极小极大搜索的思想极小极大搜索的思想l极小极大搜索策略是考虑双方对弈若干步之后，从可能的步中选一步相对好的走法来走，即在有限的搜索深度范围内进行求解。l为此要定义一个静态估计函数f，以便对棋局的势态作出优劣估计。这个函数可根据棋局优劣势态的特征来定义。 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元这里规定： MAX代表程序方 MIN代表对手方 P 代表一个棋局（即一个状态） 有利于MAX的势态，f（P）取正值 有利于MIN的势态，f（P）取负值 势态均衡，f（P）取零f（P）的大小由棋局势态的优劣来决定。 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元使用静态函数进行估计必须以
5、下述两个条件为前提： （）双方都知道各自走到什么程度、下一步可能做什么。 （）不考虑偶然因数影响。在这个前提下，博弈双方必须考虑： （）如何产生一个最好的走步。 （）如何改进测试方法，能尽快搜索到最好的走步。 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元MINMAX的基本思想是： （）当轮到MIN走步的结点时，MAX应考虑最坏的情况（因此，f(p)取极小值）。 （）当轮到MAX走步的结点时，MAX应考虑最好的情况（因此，f(p)取极大值）。 （）当评价往回倒推时，相应于两位棋手的对抗策略，不同层上交替的使用（）、（）两种方法向上传递倒推值。 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元2极小极大搜索算法极小极
6、大搜索算法极小极大过程的算法如下：1. T:=(s, MAX ), OPEN:=(s), CLOSED:=( ); 开始时树由初始结点构成，OPEN表只含有s.2. LOOP1: IF OPEN = ( ) THEN GO LOOP2;3.:FIRST(OPEN),REMOVE( n, OPEN ), ADD_TO_LAST( n, CLOSED ); /约定加到尾部 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元4. IF n可直接判定为赢、输或平局 THEN f(n):= -0, GO LOOP1 ELSE EXPAND( n )ni , ADD (ni, T ) IF d(n) k THEN AD
7、D_TO_LAST (ni, OPEN ), GO LOOP1 ELSE 计算f(ni), GO LOOP1; n达到深度k,计算各端结点f值5. LOOP2: IF CLOSED=NIL THEN GO LOOP3 ELSE np:= LAST(CLOSED); 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元6. IF (npMAX)(f(nc iMIN)有值） （其中nci为np的下一层节点）THEN f( np):=MAX f(nci), REMOVE(np,CLOSED); 若MAX所有子节点均有值，则该MAX取其极大值。 IF (np MIN)(f(nci MAX)有值）THEN f( np)
8、:=MIN f(nci), REMOVE(np,CLOSED); 若MIN所有子节点均有值，则该MIN取其极小值。 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元7. GO LOOP2;8. LOOP3: IF f(s)=NIL THEN EXIT(ENDMark (Move, T ); s有值，或结束或标记走步其中ADD_TO_LAST约定加入节点到表的尾部，END表示失败或成功或平局退出，MARK标记一个走步。 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元3. 算法分析与举例 该算法分三个阶段进行。l 第一阶段为步骤24，使用宽度优先法生成规定深度的全部博弈树，然后对其所有端节点计算其静态估计函数值。 l
9、第二阶段为步骤57是从底向上逐级求非终结点的倒推估计值，直到求出初始节点的倒推值f(s)为止。f(s)的值应为max min. f(ni1i2i3ik)，其中nik表示深度为k的端节点。l 第三阶段，根据f(s)可选的相对好的走步，由Mark (Move, T )标记走步。 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元l例例1.25 在九宫格棋盘上两位选手轮流在棋盘上摆各自的棋子，每次一枚，谁先取得三子一线的结果就取胜。 l 设程序方MAX的棋子用X表示 l 对手方MIN的棋子用O表示. 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元静态估计函数为: + 当p为MAX赢f(p) = - 当p为MIN赢 全部空格
10、放X后三字成一线的总数） -（全部空格放O后三字成一线的总数）例如，P的格局为： 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元l 则可得f(p)=5 6 = -1。l现在考虑走两步的搜索过程，即算法中K=2。利用棋盘对称性条件，则MAX走第一步棋调用算法产生搜索树如图2-46所示。 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元1.8.3 -剪枝算法剪枝算法 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元 这时其中一个MIN节点要生成A,B,C,D四个节点，然后逐个计算其静态估计值，最后求得倒推值-，把它赋给
11、这个结点。其实生成节点A后，如果马上进行静态估计，得知F(A)= -之后，就可以断定生成B,C,D以及进行估计是多余的，该MIN节点的倒推值一定是-。 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元l-剪枝法就是把生成后继和倒推值估计结合起来，及时剪掉一些无用分枝，以此来提高算法的效率。l-剪枝法，采用有界深度优先策略进行搜索，当生成节点达到规定的深度时，就立即进行静态估计，而一旦某个非端节点有条件确定倒推值时，就立即赋值。 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元当生成到节点6后，节点1的倒推值可确定为-1。 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元这时对于初始节点S来说，虽然其他子节点尚未生成，但由于S属于
12、极大层，所以可以推断它的倒推值不会小于-1。 我们定义极大层的这个下界值为。因此S的= - 1。 S的值为-1，说明的S倒推值不会比-1更小，但会不会比-1更大，还取决于其他后继节点倒推值。我们继续生成搜索树。 当第8个节点生成后，其估计值为-1，就可以断定节点7的倒推值不可能大于-1。 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元定义极小层的这个上界值为 。 因此现在可以确定节点7的= - 1。 有了极小层的值 ，容易发现时，节点7的其他子节点不必生成，因为S的极大值不可能比这个值小，再生成无疑是多余的，因此可以进行剪枝。 只要在搜索过程中记住倒推值的上下界并进行比较，当时就可以实现修剪操作。 作者
13、作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元l,值还可以随时修正，但极大层的倒推值下界永不下降，因为实际的倒推值取后继节点最终确定的倒推值中的最大者。l 同理，极小层的倒推值上界永不上升，因为实际倒推值取后继节点最终确定的倒推值中的最小者。 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元-过程的剪枝规则（1）剪枝：若任一极小值层节点的值小于或等于它任一先辈极大值层节点的值，即（先辈层）（后继层），则可中止该极小值层中这个节点以下的搜索。该节点最终的倒推值就确定为这个值。（2）剪枝：若任一极大值层节点的值大于或等于它任一先辈极小值层节点的值，即（后继层）（先辈层），则可以中止该极大值层中这个节点以下的搜索。这个MAX节点的最终倒推值就确定为这个值。 演示 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元 作者作者 朱福喜朱福喜 朱三元朱三元
