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1、带电粒子在磁场中运动带电粒子在磁场中运动习题课一习题课一苏州新区一中1.1.带电粒子在匀强磁场中带电粒子在匀强磁场中运动运动( ),( ),只受洛伦兹只受洛伦兹力作用力作用, ,做做 . . 简 单 回 顾2.2.洛伦兹力提供向心力洛伦兹力提供向心力: :半径半径: :带电粒子在匀强磁场中的运动规律带电粒子在匀强磁场中的运动规律周期周期: :匀速圆周运动匀速圆周运动ovF-一一.两个公式：两个公式：VVVV带电粒子做圆周运动的分析方法带电粒子做圆周运动的分析方法VV一、一、带电粒子做圆周运动的分析方带电粒子做圆周运动的分析方法法二、二、几个几个重要的几何关系：重要的几何关系：四四点点三三角角两
2、两三角（三角（形形）一一根根线线（半径）（半径）： vvO(偏向角）偏向角） 粒子粒子速度的偏向角速度的偏向角等与等与圆心角圆心角，并等于，并等于AB弦弦与与切切线的夹线的夹角角（弦切角）的倍即（弦切角）的倍即=2（四点三角两形一线）（四点三角两形一线）带电粒子做圆周运动的分析方法带电粒子做圆周运动的分析方法三、解题步骤：画轨、定心、求半径三、解题步骤：画轨、定心、求半径 1.定心方法：定心方法：（1）两）两v（径）定心：（径）定心：已知入射方向和出射方向已知入射方向和出射方向, 与速度垂直的半径交点与速度垂直的半径交点就是就是圆圆弧轨道的弧轨道的圆心圆心。 （2）一径一弦定心：）一径一弦定心
3、：已知入射方向和出射点的位置已知入射方向和出射点的位置时，半径与弦中垂线的交时，半径与弦中垂线的交点点就是就是圆弧轨道的圆弧轨道的圆心圆心。V VP PM MO OV V0 0P PM MO OV V带电粒子做圆周运动的分析方法带电粒子做圆周运动的分析方法2、求、求半径：半径： 一般利用几何知识，常用解三角形一般利用几何知识，常用解三角形的方法。的方法。运动时间：运动时间：四、四、运动时间运动时间的求解的求解：vvO(偏向角）偏向角） 粒子粒子速度的偏向角速度的偏向角等等于于圆心角圆心角五、关注三类典型问题五、关注三类典型问题1.1.带电粒子在有界磁场中做带电粒子在有界磁场中做圆弧圆弧运动；运
4、动；2.2.带电粒子在磁场中运动时的一些带电粒子在磁场中运动时的一些临界临界问题问题的讨论的讨论3.3.多解问题多解问题带电粒子在磁场中运动带电粒子在磁场中运动vvvvvvvvvvvvv（一一）带电粒子在单边界磁场中的运动带电粒子在单边界磁场中的运动粒子的粒子的粒子的粒子的出出出出射角和射角和射角和射角和入入入入射角相等射角相等射角相等射角相等如果如果如果如果与磁场边界成夹角与磁场边界成夹角与磁场边界成夹角与磁场边界成夹角 进入，则运动轨迹所对的进入，则运动轨迹所对的进入，则运动轨迹所对的进入，则运动轨迹所对的弦长弦长弦长弦长L=2L=2R RsinsinOBArrPMNBO2二平行直线边界二
5、平行直线边界速度较小时，作半圆速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出；运动后从原边界飞出；速度增加为某临界值速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相动其轨迹与另一边界相切；切；速度较大时粒子速度较大时粒子作部分圆周运动后从另作部分圆周运动后从另一边界飞出一边界飞出 SBPSSQPQQ速度较小时，作圆速度较小时，作圆周运动通过射入点；周运动通过射入点；速度增加为某临界速度增加为某临界值时，粒子作圆周运值时，粒子作圆周运动其轨迹与另一边界动其轨迹与另一边界相切；相切；速度较大时速度较大时粒子作部分圆周运动粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出后从另一边界飞出 圆心在
6、过入射点跟跟速圆心在过入射点跟跟速圆心在过入射点跟跟速圆心在过入射点跟跟速度方向垂直的直线上度方向垂直的直线上度方向垂直的直线上度方向垂直的直线上圆心在过入射点跟边界垂直圆心在过入射点跟边界垂直圆心在过入射点跟边界垂直圆心在过入射点跟边界垂直的直线上（沿边界线入场）的直线上（沿边界线入场）的直线上（沿边界线入场）的直线上（沿边界线入场）圆心在磁场原边圆心在磁场原边圆心在磁场原边圆心在磁场原边界上界上界上界上( (垂直入场）垂直入场）垂直入场）垂直入场）量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态P速度较小时，作圆弧速度较小时，作圆弧运动后从原边界飞出；运动后
7、从原边界飞出；速度增加为某临界值速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相动其轨迹与另一边界相切；切；速度较大时粒子速度较大时粒子作部分圆周运动后从另作部分圆周运动后从另一边界飞出一边界飞出 三、垂直边界三、垂直边界例例. . 一个质量为一个质量为m m电荷量为电荷量为q q的带电粒子从的带电粒子从x x轴上的轴上的P P（a a，0 0）点）点以速度以速度v v，沿与，沿与x x正方向成正方向成6060的方向射入第一象限内的匀强磁的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于场中，并恰好垂直于y y轴射出第一象限。求：轴射出第一象限。求：（1 1）匀强磁场
8、的磁感应强度）匀强磁场的磁感应强度B B和射出点的坐标。和射出点的坐标。（2 2）带电粒子在磁场中的运动时间是多少？）带电粒子在磁场中的运动时间是多少？ yxoBvvaO/四、矩形边界磁场四、矩形边界磁场oBdabcB圆心在磁场原边界上圆心在磁场原边界上圆心在磁场原边界上圆心在磁场原边界上圆心在圆心在圆心在圆心在过入射过入射过入射过入射点跟速点跟速点跟速点跟速度方向度方向度方向度方向垂直的垂直的垂直的垂直的直线上直线上直线上直线上速度较小时粒子作半圆速度较小时粒子作半圆速度较小时粒子作半圆速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出；运动后从原边界飞出；运动后从原边界飞出；运动后从原边界飞出；速度在
9、某一范围内时从侧速度在某一范围内时从侧速度在某一范围内时从侧速度在某一范围内时从侧面边界飞出；面边界飞出；面边界飞出；面边界飞出；速度较大速度较大速度较大速度较大时粒子作部分圆周运动从时粒子作部分圆周运动从时粒子作部分圆周运动从时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。对面边界飞出。对面边界飞出。对面边界飞出。速度较小时粒子做部分圆周运动速度较小时粒子做部分圆周运动速度较小时粒子做部分圆周运动速度较小时粒子做部分圆周运动后从原边界飞出；后从原边界飞出；后从原边界飞出；后从原边界飞出；速度在某一范速度在某一范速度在某一范速度在某一范围内从上侧面边界飞；围内从上侧面边界飞；围内从上侧面边界飞；围内从上侧
10、面边界飞；速度较大速度较大速度较大速度较大时粒子做部分圆周运动从右侧面边时粒子做部分圆周运动从右侧面边时粒子做部分圆周运动从右侧面边时粒子做部分圆周运动从右侧面边界飞出；界飞出；界飞出；界飞出；速度更大时粒子做部分速度更大时粒子做部分速度更大时粒子做部分速度更大时粒子做部分圆周运动从下侧面边界飞出。圆周运动从下侧面边界飞出。圆周运动从下侧面边界飞出。圆周运动从下侧面边界飞出。量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）究竟从哪个边先出还要看边界的长宽究竟从哪个边先出还要看边界的长宽V0Oabcd300600例例. .如图如
11、图1414所示所示, ,边长为边长为L L的等边三角形的等边三角形ABCABC为两个为两个有界匀强磁场的理想边界有界匀强磁场的理想边界, ,三角形内的磁场方向三角形内的磁场方向垂直纸面向外垂直纸面向外, ,磁感应强度大小为磁感应强度大小为B,B,三角形外的三角形外的磁场磁场( (足够大足够大) )方向垂直纸面向里方向垂直纸面向里, ,磁感应强度大磁感应强度大小也为小也为B.B.把粒子源放在顶点把粒子源放在顶点A A处处, ,它将沿它将沿AA的角的角平分线发射质量为平分线发射质量为m m、电荷量为、电荷量为q q、初速度为、初速度为v=v= 的负电粒子的负电粒子( (粒子重力不计粒子重力不计).
12、).求求: :图图1414(1)(1)从从A A射出的粒子第一次到达射出的粒子第一次到达C C点所用时间为多少点所用时间为多少? ?(2)(2)带电粒子在题设的两个有界带电粒子在题设的两个有界磁场中运动的周期磁场中运动的周期. .五、三角形磁场解析解析 (1)(1)带电粒子垂直进入磁场带电粒子垂直进入磁场, ,做匀速圆周运动做匀速圆周运动q qv vB B= =T T= =将已知条件代入有将已知条件代入有r r = =L L从从A A点到达点到达C C点的运动轨点的运动轨迹如图所示迹如图所示, ,可得可得t tACAC= = T Tt tACAC= =(2)(2)带电粒子在一个运动的周期运动轨
13、迹如第带电粒子在一个运动的周期运动轨迹如第(1)(1)问图所示问图所示. .粒子通过圆弧从粒子通过圆弧从C C点运动至点运动至B B点的时间为点的时间为t tCBCB= =带电粒子运动的周期为带电粒子运动的周期为T TABCABC=3(=3(t tACAC+ +t tCBCB) )解得解得T TABCABC= =答案答案 (1) (1) (2)(2)六六圆形边界圆形边界BOO入射速度方向指向入射速度方向指向入射速度方向指向入射速度方向指向匀强磁场区域圆的匀强磁场区域圆的匀强磁场区域圆的匀强磁场区域圆的圆心，刚出射时速圆心，刚出射时速圆心，刚出射时速圆心，刚出射时速度方向的反向延长度方向的反向延
14、长度方向的反向延长度方向的反向延长线必过该区域圆的线必过该区域圆的线必过该区域圆的线必过该区域圆的圆心圆心圆心圆心径向入、径向出径向入、径向出O1O2O3O4r vr vR Rv vO O/O O六圆形边界六圆形边界BOOBOO七环形边界七环形边界r1OO2例例1 1、如图直线、如图直线MNMN上方有磁感应强度为上方有磁感应强度为B B的匀的匀强磁场。正、负电子同时从同一点强磁场。正、负电子同时从同一点O O以与以与MNMN成成3030 角的同样速度角的同样速度v v射入磁场（电子质量为射入磁场（电子质量为m m，电荷为电荷为e e），），它们从磁场中射出时相距多远？它们从磁场中射出时相距多远
15、？射出的时间差是多少？射出的时间差是多少？MNBOv例例2 2、一带电质点，质量为一带电质点，质量为m m，电量为电量为q q，以平行于以平行于x x轴的速轴的速度度v v从从y y轴上的轴上的a a点射入图中第一象限所示的区域，为了使该点射入图中第一象限所示的区域，为了使该质点能从质点能从x x轴上的轴上的b b点以垂直于点以垂直于x x轴的速度轴的速度v v射出，可在适当射出，可在适当的地方加一个垂直于的地方加一个垂直于xyxy平面、磁感强度为平面、磁感强度为B B的匀强磁场。若的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域
16、的最小半径。重力忽略不计最小半径。重力忽略不计例例3 3、如图、如图, ,在一水平放置的平板在一水平放置的平板MNMN上方有匀上方有匀强磁场强磁场, ,磁感应强度的大小为磁感应强度的大小为B,B,磁场方向垂磁场方向垂直于纸面向里直于纸面向里, ,许多质量为许多质量为m,m,带电量为带电量为+ +q q的的粒子粒子, ,以相同的速率以相同的速率v v沿位于纸面内的各个方沿位于纸面内的各个方向向, ,由小孔由小孔O O射入磁场区域射入磁场区域, ,不计重力不计重力, ,不计粒不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域电粒子可能经过的区域,
17、 ,其中其中R=mv/qBR=mv/qB。哪个哪个图是正确的图是正确的? ( )? ( )2RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.AMNBOBMBOv以速率以速率 v v 沿纸面各个方向由小孔沿纸面各个方向由小孔O O射入磁场射入磁场BvFBvFBv2RR2RMNO解解: :带电量为带电量为+ +q q的粒子，以相同的速率的粒子，以相同的速率v v沿位于纸面内沿位于纸面内的各个方向，由小孔的各个方向，由小孔 O O 射入磁场区域，由射入磁场区域，由R=mv/qB,R=mv/qB,各个粒子在磁场中运动的半径均相同各个粒子在磁场中运动的半径均相同, , 在
18、磁场中运动的轨迹圆圆心是在以在磁场中运动的轨迹圆圆心是在以O为圆心、以为圆心、以R=mv/qB为半径的为半径的1/2圆弧上，如图虚线示圆弧上，如图虚线示: 各粒子的运动轨迹如图实线示各粒子的运动轨迹如图实线示: 带电粒子可能经过的区域阴影部分如图斜线示带电粒子可能经过的区域阴影部分如图斜线示例例4 4、核核聚聚变变反反应应需需要要几几百百万万度度以以上上的的高高温温，为为把把高高温温条条件件下下高高速速运运动动的的离离子子约约束束在在小小范范围围内内（否否则则不不可可能能发发生生核核反反应应），通通常常采采用用磁磁约约束束的的方方法法（托托卡卡马马克克装装置置）。如如图图所所示示，环环状状匀匀
19、强强磁磁场场围围成成中中空空区区域域，中中空空区区域域中中的的带带电电粒粒子子只只要要速速度度不不是是很很大大，都都不不会会穿穿出出磁磁场场的的外外边边缘缘而而被被约约束束在在该该区区域域内内。设设环环状状磁磁场场的的内内半半径径为为R R1 1=0.5m=0.5m，外外半半径径R R2 2=1.0m=1.0m，磁磁场场的的磁磁感感强强度度B B=1.0T=1.0T，若若被被束束缚缚带带电电粒粒子子的的荷荷质质比比为为q/mq/m=410=4107 7C/C/，中中空空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算（1 1）粒粒子子沿沿环环状状的的半半径径方方
20、向向射射入入磁磁场场，不不能能穿穿越越磁磁场场的的最最大大速度。速度。（2 2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。所有粒子不能穿越磁场的最大速度。解解析析：（1 1）要要粒粒子子沿沿环环状状的的半半径径方方向向射射入入磁磁场场，不不能能穿穿越越磁磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切, ,轨迹如图所示。轨迹如图所示。由图中知，由图中知， 解得解得由由得得 r1所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为大速度为OO2（2 2）当当粒粒子子以以V V2 2的的速速度度沿沿与与内内圆圆相相切切方方向向
21、射射入入磁磁场场且且轨轨道道与与外外圆圆相相切切时时，则则以以V V2 2速速度度沿沿各各方方向向射射入入磁磁场场区区的的粒粒子子都都不不能能穿穿出出磁磁场场边边界，如图所示。界，如图所示。由图中知由图中知由由 得得所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度带电粒子在有带电粒子在有“圆孔圆孔”的磁场中运动的磁场中运动例例5 5、在在如如图图所所示示的的平平面面直直角角坐坐标标系系xoy中中，有有一一个个圆圆形形区区域域的的匀匀强强磁磁场场（图图中中未未画画出出），磁磁场场方方向向垂垂直直于于xoy平平面面，O点点为为该该圆圆形形区区域域边边界界上上的的一一点点。现现有
22、有一一质质量量为为m，带带电电量量为为+q的的带带电电粒粒子子（重重力力不不计计）从从O点点以以初初速速度度vo沿沿+x方方向向进进入入磁磁场场，已已知知粒粒子子经经过过y轴轴上上P点点时时速速度度方方向向与与+y方方向向夹夹角角为为30，OP=L 求求：磁磁感感应应强强度度的的大大小小和和方方向向 该该圆圆形形磁磁场场区区域域的的最最小小面面积。积。OyxPv0v0L分析分析: : OP的垂直平分线与的垂直平分线与v v0 0的反向延的反向延长线交于长线交于Q, Q, 作作OQOQ的垂直平分线与的垂直平分线与OP相相交于交于O, O即带电粒子运动轨迹圆的圆即带电粒子运动轨迹圆的圆心。带电粒子
23、在磁场中所做的是心。带电粒子在磁场中所做的是1/31/3圆圆周的匀速圆周运动。周的匀速圆周运动。OyxPv0v0OQ不确定边界问题OyxPv0v0解解：（1）由由左左手手定定则则得得磁磁场场方方向向垂垂直直xoy平平面面向向里里,粒粒子子在在磁磁场场中中所所做做的的是是1/3圆圆周周的的匀匀速速圆圆周周运运动动，如如图图所所示示，粒子在粒子在Q点飞出磁场，设其圆心为点飞出磁场，设其圆心为O，半径为半径为R，Q OL120(L-R)sin30=R R=L/3 得得（2）由图得）由图得例例6 、如如图图所所示示，现现有有一一质质量量为为m、电电量量为为e的的电电子子从从y轴轴上上的的P（0，a）点
24、点以以初初速速度度v0平平行行于于x轴轴射射出出，为为了了使使电电子子能能够够经经过过x轴轴上上的的Q（b，0）点点，可可在在y轴轴右右侧侧加加一一垂垂直直于于xOy平平面面向向里里、宽宽度度为为L的的匀匀强强磁磁场场，磁磁感感应应强强度度大大小小为为B，该该磁磁场场左左、右右边边界界与与y轴轴平行平行,上、下足够宽（图中未画出）。已知，上、下足够宽（图中未画出）。已知， Lb。试试求求磁磁场场的的左左边边界界距距坐坐标标原原点的可能距离。点的可能距离。（结果可用反三角函数表示）（结果可用反三角函数表示）xy0Qv0P解：解：xy0Qv0P图图1设电子在磁场中作圆周运动的轨道半径为设电子在磁场
25、中作圆周运动的轨道半径为r, 则则解得解得 当当rL时，磁场区域及电子运动轨迹如图时，磁场区域及电子运动轨迹如图1所示，所示，由几何关系有由几何关系有 则磁场左边界距坐标原点的距离为则磁场左边界距坐标原点的距离为 （其中（其中 ） 当当rL时，磁场区域及电子运动轨迹如图时，磁场区域及电子运动轨迹如图2所示，所示，xy0Qv0P图图2由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为解得解得 反思总结反思总结返回返回 小结1.1.带电粒子进入有界磁场带电粒子进入有界磁场, ,运动运动轨迹为一段弧线轨迹为一段弧线. .2.2.当同源粒子垂直进入磁场的运动轨迹当同源粒子
26、垂直进入磁场的运动轨迹3.3.注意圆周运动中的有关对称规律注意圆周运动中的有关对称规律: :(2) (2) 粒子进入单边磁场时粒子进入单边磁场时, ,入射速度与边界夹角等于出射入射速度与边界夹角等于出射速度与边界的夹角速度与边界的夹角; ;(1) (1) 在圆形磁场区域内在圆形磁场区域内, ,沿径向射入的粒子沿径向射入的粒子, ,必沿径向射出必沿径向射出. .O3rrO4rrO2rrO1rrOS一朵梅花一朵梅花带电粒子在带电粒子在磁场中磁场中运动轨迹赏析运动轨迹赏析O1O2O3Ld一把球拍一把球拍一把球拍一把球拍aaOxyvvP甲甲乙乙tB-B0B00T2T一条波浪一条波浪aaOxPvO1aa
27、OxPvO1O3O2oABv0o1rrPQ一颗明星一颗明星aaBv0一幅窗帘一幅窗帘v0v0二二、带带电电粒粒子子在在磁磁场场中中运运动动问问题题的的解解题题思思路路找找 圆圆 心心画画轨轨迹迹已已知知两两点点速速度度方方向向（ 两两 径径 找找 心心 ）已知一点速度方向和另一点位置已知一点速度方向和另一点位置 （一径一弦找心一径一弦找心）两两洛洛伦伦兹兹力力方方向向的的延延长长线线交交点点为为圆圆心心弦的垂直平分线与一直径的交点为圆心弦的垂直平分线与一直径的交点为圆心v1Ov2ABv1ABO求求 半半 径径 回旋加速器中磁场的磁感应强度为回旋加速器中磁场的磁感应强度为B，D形盒的半径形盒的半径为为R，用该回旋加速器加速质量为，用该回旋加速器加速质量为m、电量为、电量为q的粒子，的粒子，设粒子加速前的初速度为零。求：设粒子加速前的初速度为零。求：（1） 粒子的回转周期是多大？粒子的回转周期是多大？（2）高频电极的周期为）高频电极的周期为多大？多大？（3） 粒子的最大动能是粒子的最大动能是多大多大？
