矢量分析课件

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1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学 电磁场与电磁波电磁场与电磁波Electromagnetic Field and Wave1第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学2第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学 电磁场电磁场（或电磁波）作为能量的一种形式，是当今世界最重（或电磁波）作为能量的一种形式，是当今世界最重要的能源之一要的能源之一 电磁波电磁波作为信息传输的载体，成为当今人类社会发布和获取作为信息传输的载体，成为当今人类社会发布和获取信息、探测未知世界

2、的重要手段信息、探测未知世界的重要手段一、课程的性质一、课程的性质 电类专业学生必修的技术基础课电类专业学生必修的技术基础课 是电气工程师的必备知识是电气工程师的必备知识 是电磁理论的重要组成部分是电磁理论的重要组成部分3第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学1电磁场理论的早期研究电磁场理论的早期研究 电、磁现象是大自然最重要的往来现象，也是最早被科学电、磁现象是大自然最重要的往来现象，也是最早被科学家们关心和研究的物理现象，其中贡献最大的有家们关心和研究的物理现象，其中贡献最大的有赖顿、富兰克赖顿、富兰克林、伏打林、伏打等科学家。等科学家。 19

3、世纪以前，电、磁现象一直作为两个独立的物理现象，世纪以前，电、磁现象一直作为两个独立的物理现象，没有人发现它们之间的相互联系。但是这些研究（特别是没有人发现它们之间的相互联系。但是这些研究（特别是伏打伏打1799年发明了电池）为电磁学理论的建立奠定了基础。年发明了电池）为电磁学理论的建立奠定了基础。二、电磁场理论的发展二、电磁场理论的发展4第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学2电磁场理论的建立电磁场理论的建立 18世纪末期，德国哲学家世纪末期，德国哲学家谢林谢林认为，宇宙是有活力的，认为，宇宙是有活力的，而不是僵死的。他认为电就是宇宙的活力，是宇

4、宙的灵魂，而不是僵死的。他认为电就是宇宙的活力，是宇宙的灵魂，电、磁、光、热是相互联系的。电、磁、光、热是相互联系的。 奥斯特奥斯特是是谢林谢林的信徒，他从的信徒，他从1807年开始研究电、磁之间年开始研究电、磁之间的关系。的关系。1820年，他发现电流以力作用于磁针。年，他发现电流以力作用于磁针。 安培安培发现作用力的方向、电流的方向、磁针到通电导线发现作用力的方向、电流的方向、磁针到通电导线的垂直方向是相互垂直的，并定量建立了若干数学公式。的垂直方向是相互垂直的，并定量建立了若干数学公式。5第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学 法拉第法拉第

5、在在谢林谢林的影响下，相信电、磁、光、热是相互联系的影响下，相信电、磁、光、热是相互联系的。奥斯特的。奥斯特1820年发现电流以力作用于磁针后，法拉第敏锐地年发现电流以力作用于磁针后，法拉第敏锐地意识到，电可以对磁产生作用，磁也一定能够对电产生影响。意识到，电可以对磁产生作用，磁也一定能够对电产生影响。1821年他开始探索磁生电的实验。年他开始探索磁生电的实验。1831年他发现，当磁棒插入年他发现，当磁棒插入导体线圈时，线圈中就会产生电流。这表明，电与磁之间存在导体线圈时，线圈中就会产生电流。这表明，电与磁之间存在着密切的联系。着密切的联系。 麦克斯韦麦克斯韦 深入研究并探讨了电与磁之间发生作

6、用的问题，深入研究并探讨了电与磁之间发生作用的问题，发展了场的概念。在法拉第实验的基础上，总结了宏观电磁现发展了场的概念。在法拉第实验的基础上，总结了宏观电磁现象的规律，引进位移电流的概念。这个概念的核心思想是：变象的规律，引进位移电流的概念。这个概念的核心思想是：变化着的电场能产生磁场，与变化着的磁场产生电场相对应。在化着的电场能产生磁场，与变化着的磁场产生电场相对应。在此基础上提出了一套偏微分方程来表述电磁现象的基本规律，此基础上提出了一套偏微分方程来表述电磁现象的基本规律，称为麦克斯韦方程组，是经典电磁学的基本方程。称为麦克斯韦方程组，是经典电磁学的基本方程。6第第1 1章章 矢量分析矢

7、量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学 3电磁场理论的发展电磁场理论的发展 在麦克斯韦方程建立后的一百多年里在麦克斯韦方程建立后的一百多年里,随着科学技术的发随着科学技术的发展，电磁理论得到了广泛的应用和发展，尤其近展，电磁理论得到了广泛的应用和发展，尤其近30年来，年来，无无线电电子学、计算机和网络技术线电电子学、计算机和网络技术的飞速发展，的飞速发展，生物电磁学、生物电磁学、环境电磁学环境电磁学和和电磁兼容电磁兼容等学科的建立，向电磁理论提出了许等学科的建立，向电磁理论提出了许多新的研究课题，使现代电磁理论得到了迅速的发展。多新的研究课题，使现代电磁理论得到了迅速的发展

8、。7第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学 1887年，德国科学家年，德国科学家赫兹赫兹用火花隙激励一个环状天线，用火花隙激励一个环状天线，用另一个带隙的环状天线接收，证实了用另一个带隙的环状天线接收，证实了麦克斯韦麦克斯韦关于电磁波关于电磁波存在的预言，这一重要的实验导致了后来无线电报的发明。存在的预言，这一重要的实验导致了后来无线电报的发明。从此开始了电磁场理论应用与发展时代，并且发展成为当代从此开始了电磁场理论应用与发展时代，并且发展成为当代最引人注目的学科之一。最引人注目的学科之一。 三、电磁场理论的应用三、电磁场理论的应用 8第第1 1章

9、章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学无线电报无线电报: 1895年，意大利年，意大利马可尼马可尼成功地进行了成功地进行了2.5km距离的无线距离的无线电报传送实验；电报传送实验；1896年，年，波波夫波波夫进行了约进行了约250m米距离的类似米距离的类似试验；试验； 1899年年, 无线电报跨越英吉利海峡的试验成功；无线电报跨越英吉利海峡的试验成功；1901年，跨越大西洋的年，跨越大西洋的3200km距离的试验成功。距离的试验成功。马可尼马可尼以其在以其在无线电报等领域的成就，获得了无线电报等领域的成就，获得了1909年的诺贝尔物理学奖。年的诺贝尔物理学奖。

10、无线电报的发明，开始了利用电磁波时期。无线电报的发明，开始了利用电磁波时期。有线电话有线电话: 1876年，美国年，美国A.G. 贝尔贝尔在美国建国在美国建国100周年博览会上展示周年博览会上展示了他所发明的有线电话。了他所发明的有线电话。 此后，有线电话便迅速普及开来。此后，有线电话便迅速普及开来。9第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学 电视电视: : 1884年，德国年，德国尼普科夫尼普科夫提出机械扫描电视的设想；提出机械扫描电视的设想；1927年，年，英国英国贝尔德贝尔德成功地用电话线路把图像从伦敦传至大西洋中的成功地用电话线路把图像从伦敦

11、传至大西洋中的船上；船上；兹沃霄金兹沃霄金在在1923和和1924 年相继发明了摄像管和显像管；年相继发明了摄像管和显像管；1931年，他组装成世界上第一个全电子电视系统。年，他组装成世界上第一个全电子电视系统。 广播广播: : 1906年，美国年，美国费森登费森登用用50kHz频率发电机作发射机，用微频率发电机作发射机，用微音器接入天线实现调制，使大西洋航船上的报务员听到了他从音器接入天线实现调制，使大西洋航船上的报务员听到了他从波士顿播出的音乐；波士顿播出的音乐；1919年，第一个定时播发语言和音乐的无年，第一个定时播发语言和音乐的无线电广播电台在英国建成；次年，在美国的匹兹堡城又建成一线

12、电广播电台在英国建成；次年，在美国的匹兹堡城又建成一座无线电广播电台。座无线电广播电台。10第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学雷达雷达: : 第第二次世界大战前夕，飞机成为主要进攻武器。英、美、二次世界大战前夕，飞机成为主要进攻武器。英、美、德、法等国竞相研制一类能够早期警戒飞机的装置。德、法等国竞相研制一类能够早期警戒飞机的装置。1936年，年，英国的英国的瓦特瓦特设计的警戒雷达最先投入了运行，有效地警戒了设计的警戒雷达最先投入了运行，有效地警戒了来自德国的轰炸机。来自德国的轰炸机。1938年，美国研制成第一部能指挥火炮年，美国研制成第一部能

13、指挥火炮射击的火炮控制雷达。射击的火炮控制雷达。1940年，多腔磁控管的发明，使微波年，多腔磁控管的发明，使微波雷达的研制成为可能。雷达的研制成为可能。1944年，能够自动跟踪飞机的雷达研年，能够自动跟踪飞机的雷达研制成功。制成功。1945年，能消除背景干扰、显示运动目标的显示技年，能消除背景干扰、显示运动目标的显示技术的发明，使雷达更加完善。在整个第二次世界大战期间，术的发明，使雷达更加完善。在整个第二次世界大战期间，雷达成了电磁场理论最活跃的部分。雷达成了电磁场理论最活跃的部分。11第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学卫星通信技术卫星通信技术

14、: 1958年，年， 美国发射低轨道美国发射低轨道“斯科尔斯科尔”卫星成功，这是第一颗卫星成功，这是第一颗用于通信的试验卫星。用于通信的试验卫星。1964年，年，借助定点同步通信卫星首次实借助定点同步通信卫星首次实现了美、现了美、 欧、非三大洲的通信和电视转播。欧、非三大洲的通信和电视转播。1965年，第一颗商年，第一颗商用定点同步卫星投入运行。用定点同步卫星投入运行。1969年，大西洋、太平洋和印度洋年，大西洋、太平洋和印度洋上空均已有定点同步通信卫星。卫星地球站已遍布世界各国，上空均已有定点同步通信卫星。卫星地球站已遍布世界各国，这些卫星地球站又和本国或本地区的通信网接通。卫星通信经这些卫

15、星地球站又和本国或本地区的通信网接通。卫星通信经历历10年的发展，终趋于成熟。年的发展，终趋于成熟。12第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学卫星定位技术卫星定位技术: : 1957年卫星发射成功后，人们试图将雷达引入卫星，实现年卫星发射成功后，人们试图将雷达引入卫星，实现以卫星为基地对地球表面及近地空间目标的定位和导航。以卫星为基地对地球表面及近地空间目标的定位和导航。1958年底，美国开始研究实施这一计划，于年底，美国开始研究实施这一计划，于1964年研究成功子午仪年研究成功子午仪卫星导航系统。卫星导航系统。1973年美国提出了由年美国提出了由

16、24颗卫星组成的实用系统颗卫星组成的实用系统新方案，即新方案，即GPS计划。计划。1990年最终的年最终的GPS方案是由方案是由21颗工作卫颗工作卫星和星和3颗在轨备用卫星组成。颗在轨备用卫星组成。13第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学其他应用其他应用： 阴极射线示波器，喷墨打印机，矿物的分选，磁分阴极射线示波器，喷墨打印机，矿物的分选，磁分离器，回旋加速器，磁流体发电机，电磁泵，磁悬浮列离器，回旋加速器，磁流体发电机，电磁泵，磁悬浮列车，变压器，电磁炉，电磁式生物芯片，隐形飞机，电车，变压器，电磁炉，电磁式生物芯片，隐形飞机，电磁高速公路等等

17、磁高速公路等等14第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学世界首辆载人高温超导磁悬浮试验车世界首辆载人高温超导磁悬浮试验车西南交通大学应用超导研究所研制Stable!Stable!磁 场 力 的 应 用15第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学B2 隐形轰炸机隐形轰炸机 i r反 射 定 律 的 应 用16第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学立立 体体 电电 影影 电 磁 波 极 化 特 性 的 应 用17第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场

18、与电磁波长春理工大学长春理工大学 全全 球球 定定 位位 系系 统统 Global Positioning System(GPS)信 息 载 体 的 应 用 18第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学五、学习的目的、方法及其要求五、学习的目的、方法及其要求掌握宏观电磁场的基本属性和运动规律掌握宏观电磁场的基本属性和运动规律掌握宏观电磁波的传播规律掌握宏观电磁波的传播规律了解电磁波的辐射原理了解电磁波的辐射原理掌握静态场问题的基本求解方法掌握静态场问题的基本求解方法训练分析问题、归纳问题的科学方法训练分析问题、归纳问题的科学方法培养用数学方法解决实际

19、问题的能力培养用数学方法解决实际问题的能力独立完成作业独立完成作业19第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学电电 磁磁 单单 位位 本书采用国际单位制（本书采用国际单位制（ SI ）。在电磁学中，这种）。在电磁学中，这种单位制的四个基本单位是单位制的四个基本单位是长度长度、质量质量、时间时间和和电流强度电流强度。长度单位为长度单位为m（米米），质量单位为），质量单位为kg（千克千克），时间单），时间单位为位为s（秒秒），电流强度单位为），电流强度单位为A（安培安培）。）。 对于正弦电磁场使用的对于正弦电磁场使用的时间因子时间因子为为e j t 。

20、20第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学21第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学本章内容本章内容1.1 矢量代数矢量代数1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理22第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学

21、1. 1. 标量和矢量标量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：矢量的单位矢量矢量的单位矢量：标量标量：一个只用大小描述的物理量。一个只用大小描述的物理量。矢量的代数表示矢量的代数表示：1.1 矢量代数矢量代数矢量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意注意：单位矢量不一定是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。 矢量的几何表示矢量的几何表示常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢

22、量。 23第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示zxy24第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学（1）矢量的加减法）矢量的加减法 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线邻边的平行四边形的对角线, ,如图所示。如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律2. 矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法矢量的加法矢量的减法矢量的减法 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：在直角坐标系中两矢量的加法和减法

23、：结合律结合律交换律交换律25第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学（2 2）标量乘矢量）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律矢量矢量 与与 的夹角的夹角26第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学（4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）sinAB矢量矢量 与与 的叉积的叉积用坐标分量表示为用坐标分量表示为写成行列式形式为写成行列式形式为若若 ，则，则若若 ，则，则27第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工

24、大学（5 5）矢量的混合运算）矢量的混合运算 分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积28第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。确定。1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与波理论中，在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：三种常用的正交曲线坐标系为：直角直角坐坐标系、圆柱坐标系和球坐标系标系、圆柱坐标系和球坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条

25、正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系正交曲线坐标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称；描述坐标轴的量称为为坐标变量坐标变量。29第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学1. 1. 直角坐标系直角坐标系直角坐标系直角坐标系 位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量体积元体积元坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量 点点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）（平面） o x y z0xx=（平面）（平面）0zz=（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 x yz直角坐标系的长度元、面积元、

26、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydx30第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学2. 2. 圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系圆柱坐标系（半平面半平面）（圆柱面圆柱面）（平面平面）31第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学3. 球坐标系球坐标系坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢量

27、线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系球坐标系（半平面半平面）（圆锥面圆锥面）（球面球面）32第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学4. 4. 坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系 直角坐标直角坐标直角坐标直角坐标与与与与圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标圆柱坐标圆柱坐标圆柱坐标与与与与球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系直角坐标直角坐标直角坐标直角坐标与与与与球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系ofxy单位圆单位圆 直角坐标

28、系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系forz单位圆单位圆 柱坐标系与求坐标系之间柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系33第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学1.3 标量场的梯度标量场的梯度q如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。 例如例如：温度场、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。q如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。 例如例如：流速场：流速场、重力场重力场、电场、磁场等。、电场、磁场等。q如果场与时间无关，称为如果

29、场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为： 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个该区域上定义了一个场场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为：34第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学1.1.标量场的等值面标量场的等值面等值面等值面: : 标量场取得同一数

30、值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。等值面方程等值面方程：常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。 等值面的特点等值面的特点：意义意义: : 形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。标量场的等值线标量场的等值线( (面面) )35第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学2.

31、方向导数方向导数意义意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。概念概念： u(M)沿沿 方向增加；方向增加； u(M)沿沿 方向减小；方向减小； u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。 M0M方向导数的概念方向导数的概念 特点特点：方向导数既与点：方向导数既与点M0有关，也与有关，也与 方向有关方向有关。问题问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？ 的方向余弦。的方向余弦。 式中式中： 36第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学 例例1-1 求数量场 =

32、(x+y)2-z通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。 解解：点M的坐标是x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场值为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为 或 37第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学 例例1-2 求数量场 在点M(1, 1, 2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。 解：解：l方向的方向余弦为 38第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学而 数量场在l方向的方向导数为 在点M处沿l方向的方向导数 39第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波

33、长春理工大学长春理工大学梯度的表达式梯度的表达式：圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系直角坐标系直角坐标系 3. 标量场的梯度标量场的梯度（ 或或 ）意义意义：描述标量描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念概念： ，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向40第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学标量场的梯度是矢量场，它在空间某标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上的方向，其数值表示变化最大方向上场的空

34、间变化率。场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度在该方向上的投影。梯度的性质梯度的性质：梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式：标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）41第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学 解解 (1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式，可求得P点的梯度为点的梯度为 例例1.2.1 设设一一标标量量函函数数 ( x, y, z ) = x2y2z 描描述述了了空空间间标标量场。试求：量场。试求： (1) 该该

35、函函数数 在在点点 P(1,1,1) 处处的的梯梯度度，以以及及表表示示该该梯梯度度方方向向的单位矢量。的单位矢量。 (2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量方方向向的的方方向向导导数数，并并以以点点 P(1,1,1) 处处的的方方向向导导数数值值与与该该点点的的梯梯度度值作以比较，得出相应结论。值作以比较，得出相应结论。42第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学表征其方向的单位矢量表征其方向的单位矢量 (2) 由由方方向向导导数数与与梯梯度度之之间间的的关关系系式式可可知知，沿沿el 方方向向的的方方向向导数为导数为对于给定的对于给定的P

36、P 点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数在该点取值为43第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学而该点的梯度值为而该点的梯度值为 显显然然，梯梯度度 描描述述了了P P点点处处标标量量函函数数 的的最最大大变变化化率率，即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。44第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1. 矢量线矢量线 意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间分形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。矢量线方程矢量线方程：概念概

37、念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。矢量线矢量线OM 45第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学例例1-6 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。解：解： 矢量线应满足的微分方程为 从而有 解之即得矢量方程 c1和c2是积分常数。 46第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学2. 矢量场的通量矢量场的通量 问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。

38、引入通量的概念。 通量的概念通量的概念其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；穿过面积元穿过面积元 的通量。的通量。 如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是面积元矢量面积元矢量47第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出有净的矢有净的矢量线进入量线进入进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等矢量场通过闭合曲

39、面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义通量的物理意义48第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学3. 矢量场的散度矢量场的散度 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到

40、这一关系：用极限方法得到这一关系：称为矢量场的称为矢量场的散度散度。 散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。体积之比的极限。49第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式：散度的有关公式散度的有关公式：50第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 由此可知，穿出前、后两侧面的净由此可知，穿出前、

41、后两侧面的净通量值为通量值为 不失一般性，令包围不失一般性，令包围P点的微体积点的微体积 V 为一直平行六面体，如为一直平行六面体，如图所示。则图所示。则oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzDxDyDP51第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学根据定义，则得到直角坐标系中的散度根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为表达式为 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为穿出该六面体的净通量为52第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电

42、磁波长春理工大学长春理工大学4. 散度定理散度定理体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S 从散度的定义出发，可从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。在电磁理论中有着广泛的应用。53第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学 例例1-3已知矢量场r=xex+yey+ze

43、z，求由内向外穿过圆锥面x2+y2=z2与平面z=H所围封闭曲面的通量。 解：解： 54第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学 例例 1-4 球面S上任意点的位置矢量为r=xex+yey+zez，求 解：解： 根据散度定理知 而r的散度为 所以 55第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度 1. 矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 例如：流速场。例如：流速场。 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同

44、于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。分不为零。56第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即流成正比，即上式建立了磁场的环流与电流的关系。上式建立了磁场的环流与电流的关系。 磁感应线要磁感应线要么穿过曲面么穿过曲面磁感应线要么同时磁感应线要么同时

45、穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感应线磁感应线57第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学q如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无无旋场旋场，又称为，又称为保守场保守场。环流的概念环流的概念 矢量场对于闭合曲线矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即的线积分，即q如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源

46、称为旋涡源旋涡源。电流是。电流是磁场的旋涡源。磁场的旋涡源。58第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。矢量场的旋度。 2. 矢量场的旋度矢量场的旋度（ ） （1）环流面密度）环流面密度称为称为矢量场在矢量场在点点M 处沿方向处沿方向 的的环流面密度环流面密度。特点特点：其值：其值与与点点M 处的方向处的方向 有关。有关。 过点过

47、点M 作一微小曲面作一微小曲面 S ，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为C，曲面的法，曲面的法线方向线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0 时，极限时，极限59第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学而而 推导推导 的示意图如图所示的示意图如图所示。oyDz DyCMzx1234计算计算 的示意图的示意图 直角坐标系中直角坐标系中 、 、 的表达式的表达式60第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学于是于是 同理可得同理可得故得故得概念概念：矢量场在矢量场在 M 点处的旋

48、度为一矢量，其数值为点处的旋度为一矢量，其数值为M 点的环流点的环流 面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元 的法线方向，即的法线方向，即物理意义物理意义：旋涡源密度矢量。旋涡源密度矢量。性质性质：（2）矢量场的旋度）矢量场的旋度61第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学旋度的计算公式旋度的计算公式: : 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系62第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学旋度的有关公式旋度的有关公式：矢量场的旋

49、度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零63第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学3. 斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯斯托克斯定理是闭合曲线定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。广泛的应用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即流

50、等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即64第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学 例例1-5 求矢量 (c是常数)沿曲线(x-2)2+y2=R2, z=0的环量例 1-5 图 65第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学解：解： 由于在曲线l上z=0，所以dz=0。 66第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学 例例1-6 求矢量场A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0，1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向

51、的环量面密度。 解：解： 矢量场A的旋度 67第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学在点M(1，0，1)处的旋度 n方向的单位矢量 在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度 68第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学4. 散度和旋度的区别散度和旋度的区别 69第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学1. 矢量场的源矢量场的源散度源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围

52、的源的总和，等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度；场在该点的散度； 旋度源旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。（或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场70第第1 1章章 矢量分析矢量分

53、析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学2. 矢量场按源的分类矢量场按源的分类（1）无旋场）无旋场性质性质： ，线积分与路径无关，是保守场。，线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，仅有散度源而无旋度源的矢量场，无旋场无旋场可以用标量场的梯度表示为可以用标量场的梯度表示为例如：静电场例如：静电场71第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学（2）无散场）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即，即性质性质：无散场可以表示为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场例如，

54、恒定磁场72第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学（3）无旋、无散场无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分73第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理 1. 拉普拉斯运算拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算概念概念： 拉普拉斯算符拉普拉斯算符直角坐标系直角坐标系

55、计计算公式算公式：圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系74第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学 矢量拉普拉斯运算矢量拉普拉斯运算概念概念：即即注意注意：对于非直角分量，对于非直角分量，直角坐标系中：直角坐标系中：如：如：75第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学2. 格林定理格林定理 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及，若在区域，若在区域 V 中具有连续的二阶偏中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标量场导数，那么，可以证明该两个标量场 及及 满足下列等式：满足下列等式： 根据方向导数与梯度

56、的关系，上式又可写成根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成以上两式称为以上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。SV , 式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，的闭合曲面， 为为标量场标量场 在在 S 表面的外法线表面的外法线 方向方向上的偏导数。上的偏导数。76第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学基于上式还可获得下列两式：基于上式还可获得下列两式：上两式称为上两式称为标量第二格林定理标量第二格林定理。 格格林林定定理理说说明明了了区区域域 V 中中的的场场与与边边界界 S 上上的的场场之之间间的的关关系系。因因此此，利利用用格格林林定定理

57、理可可以以将将区区域域中中场场的的求求解解问问题题转转变变为为边边界界上上场的求解问题。场的求解问题。 此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。的分布。 格林定理广泛地用于电磁理论。格林定理广泛地用于电磁理论。77第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理: : 若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数

58、连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为表示为 式中：式中： 亥姆霍兹定理表明：在无界空间区亥姆霍兹定理表明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。域，矢量场可由其散度及旋度确定。1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理78第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波长春理工大学长春理工大学有界区域有界区域 在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。79