初三中考复习二次函数最值问题.pdf

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1、. . 二次函数之最值问题基本解题步骤：1审题读懂问题. 分析问题各个量之间的关系；2列数学表达式用数学方法表示它们之间的关系. 即写出变量与常量之间的二次函数关系式；3求值利用二次函数关系式的顶点坐标公式24,24bacbaa或配方法求得最值；配方法：将二次函数2yaxbxc 转化为2()ya xhk 的形式 . 顶点坐标为, h k. 对称轴为xh 当0a时.y有最小值 . 即当 xh 时.=yk最小值；当0a时.y有最大值 . 即当 xh 时.=yk最大值4检验检验结果的合理性（函数求最值需考虑实际问题的自变量的取值范围）解题策略转化数学检验解答实际问题数学问题解问题答案关键在如何将实际

2、问题转化为数学问题利润最值问题：此类问题一般先是运用=“总利润总售价 - 总成本 ”或=“总利润每件商品的利润销售数量 ” 建立利润与价格之间的函数关系式. 再求出这个函数关系式的顶点坐标. 顶点的纵坐标即为最大利润特殊地 . 这里要考虑实际问题中自变量的取值范围. 数形结合求最值例 1 例 2 线段和或差（或三角形周长）最值问题：此类问题一般是利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定最短距离. 这个距离一般用勾股定理或两点之间距离公式求解 特殊地 . 也可以利用平移和轴对称的知识求解固定线段长问题最短距离和找法：以动点所在的直线为对称轴. 作一个已知点的对称点. 连结另一个已知点和对称点的线段

3、. 与对称轴交于一点. 这一点即为所求点线段长即为最短距离和口诀：“大”同“小”异求最值“大”同： 求差的最大值 . 把点移动到直线的同侧“小”异： 求和的最小值 . 把点移动到直线的两侧（几何最值较多）例 3 例 4 例 5线段长最值问题： 根据 两点间距离公式12xx把线段长用二次函数关系式表示出来求最值 几何面积最值问题： 此类问题一般是先运用三角形相似. 对应线段成比例等性质或者用 “割补法”或者利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化写出图形的面积y与边长x之间的二次函数关系. 其顶点的纵坐标即为面积最值例 6 例 7 例 8动点产生的最值问题：数形结合求解. 把路程和转化成时间和.

4、 当三点共线时有最值例 9 例 10. . 利润最值问题例 1、一玩具厂去年生产某种玩具. 成本为 10 元/ 件. 出厂价为 12 元/ 件. 年销售量为2 万件今年计划通过适当增加成本来提高产品的档次. 以拓展市场若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x 倍 . 今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x 倍. 则预计今后年销售量将比去年年销售量增加x 倍（本题中 01x） （1）用含 x 的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本为_元. 今年生产的这种玩具每件的出厂价为 _元（2）求今年这种玩具每件的利润y 元与 x 之间的函数关系式；（3）设今年这种玩具的年销售利润为

5、w万元 . 求当 x 为何值时 . 今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润=（每件玩具的出厂价每件玩具的成本）年销售量解 ： （ 1） 10+7x ； 12+6x ；（ 2） y= （ 12+6x ） - （ 10+7x ） . y=2 -x （ 0 x 11）；（ 3） w=2 （ 1+x ） ? y=2（ 1+x ） （ 2-x ）=-2x2+2x+4. w=-2 （ x-0.5）2+4.5 -2 0.0 x 11 . w 有 最 大 值 . 当 x=0.5时 .w最大=4.5 （ 万 元 ） 答 ： 当 x 为 0.5 时 . 今 年 的 年 销 售 利 润 最

6、大 . 最 大 年 销 售 利 润 是 4.5万 元 . . 例 2、 新星电子科技公司积极应对2008 年世界金融危机. 及时调整投资方向. 瞄准光伏产业. 建成了太阳能光伏电池生产线由于新产品开发初期成本高. 且市场占有率不高等因素的影响. 产品投产上市一年来.公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1 次） 公司累积获得的利润 y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x 个月的利润总和y 与 x 之间的关系）对应的点都在如下图所示的图象上该图象从左至右.依次是线段OA 、曲线 AB和曲线 BC.其中曲线AB为抛物线的一部分 . 点 A为

7、该抛物线的顶点. 曲线 BC为另一抛物线252051230yxx的一部分 . 且点 A.B.C 的横坐标分别为4.10.12 （1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x 个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前 12 个月中 .第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？解 ： （ 1） 设 直 线 OA的 解 析 式 为 y=kx. 点 O（ 0.0 ） .A （ 4.-40） 在 该 直 线 上 . -40=4k.解 得 k=-10. y= -10x ； 点 B 在 抛 物 线 y=-5x2+

8、205x-1230上 .设 B（ 10.m ） . 则 m=320 点 B 的 坐 标 为 （ 10.320 ） 点 A 为 抛 物 线 的 顶 点 . 设 曲 线 AB 所 在 的 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=a （ x-4 ）2-40. 320=a（ 10-4 ）2-40.解 得 a=10.即 y=10 （ x-4 ）2-40=10x2-80x+120114 C B x( 月)y( 万元 )40O A . . （2）利 用 第 x 个 月 的 利 润 应 该 是 前 x 个 月 的 利 润 之 和 减 去 前 x-1个 月 的 利 润 之 和 ：（ 3） 由 （ 2） 知 当 x=

9、1.2.3.4时 .s 的 值 均 为 -10.当 x=5.6.7.8.9时 .s=20x-90.即 当 x=9 时 s 有 最 大 值 90.而 在 x=10.11.12时 .s=-10x+210.当 x=10 时 .s 有 最 大 值 110.因 此 第 10 月 公 司 所 获 利 润 最 大 . 它 是 110 万 元 试一试：1、某水果批发商销售每箱进价为40 元的的苹果 . 物价部门规定每箱售价不得高于55 元. 市场调查发现 . 若每箱以 50 元的价格销售. 平均每天销售90 箱. 价格每提高1 元. 平均每天少销售3 箱（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元 / 箱）之

10、间的函数关系式（2）求该批发商平均每天销售利润w（元）与销售价x（元 / 箱）之间的函数关系式（3）当每箱苹果的售价为多少元时. 可以获得最大利润？最大利润是多少？解 ： （ 1） 设 y=kx+b.把 已 知 （ 45.105 ） . （ 50.90 ） 代 入 得 . 故 平 均 每 天 销 售 量 y（ 箱 ） 与 销 售 价 x（ 元 / 箱 ） 之 间 的 函 数 关 系 式 为 ： y=-3x+240；. . （ 2） 水 果 批 发 商 销 售 每 箱 进 价 为 40 元 的 苹 果 . 销 售 价 x 元 / 箱 . 该 批 发 商 平 均 每 天 的 销 售 利 润 w（

11、元 ） 与 销 售 价 x（ 元 / 箱 ） 之 间 的 函 数 关 系 式 为 ：W= （ x-40 ） （ -3x+240 ） =-3x2+360x-9600（ 3） W=-3x2+360x-9600=-3（ x-60 ）2+1200. a=-3 0. 抛 物 线 开 口 向 下 又 对 称 轴 为 x=60. 当 x 60.W 随 x 的 增 大 而 增 大 .由 于 50 x 55. 当 x=55 时 .W 的 最 大 值 为 1125 元 当 每 箱 苹 果 的 销 售 价 为 55 元 时 . 可 以 获 得 最 大 利 润 . 为 1125 元 2、我市某镇的一种特产由于运输原因

12、. 长期只能在当地销售当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入 x 万元 .可获得利润216041 ()100Px万元当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产的销售 . 其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100 万元的销售投资. 在实施规划5 年的前两年中. 每年都从100 万元中拨出50 万元用于修建一条公路.两年修成 . 通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的 3 年中 . 该特产既在本地销售. 也在外地销售在外地销售的投资收益为：每投入x 万元 . 可获利润2992941001001601005Qxx（万元）（1）若不进行开发. 求 5 年所获利润的最大值是多少？（2）若

13、按规划实施. 求 5 年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？（3）根据（ 1）. （2）. 该方案是否具有实施价值？解 ： （ 1） 每 投 入 x 万 元 . 可 获 得 利 润 当 x=60 时 . 所 获 利 润 最 大 . 最 大 值 为 41 万 元 . 若 不 进 行 开 发 .5 年 所 获 利 润 的 最 大 值 是 ： 415=205（万 元 ） ；（ 2） 前 两 年 ： 0 x 50. 此 时 因 为 P 随 x 的 增 大 而 增 大 .所 以 x=50 时 .P 值 最 大 . 即 这 两 年 的 获 利 最 大 为后 三 年 ： 设 每 年 获 利 y. 设 当

14、地 投 资 额 为 a. 则 外 地 投 资 额 为 100-a. 当 a=30 时 .y 最 大 且 为 1065. 这 三 年 的 获 利 最 大 为 10653=3195（万 元 ） . 5 年 所 获 利 润 （ 扣 除 修 路 后 ） 的 最 大 值 是 ： 80+3195- 502=3175（万 元 ） . . 线段和（或三角形周长）最值问题复习： 如图 .正方形 ABCD 的边长为 4. 点 P在 DC边上且 DP=1.点 Q是 AC上一动点 . 则 DQ+PQ 的最小值为例 1、已知二次函数2yxbxc 的图象过点3,0A和点1,0B. 且与y轴交于点C.D点在抛物线上且横坐标

15、是2（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P.求出PAPD的最小值. . 例 2、如图 . 在平面直角坐标系xOy 中. 直线323yx分别交 x 轴、 y 轴于 C、A两点将射线AM绕着点A顺时针旋转45得到射线AN.点 D为 AM上的动点 . 点 B为 AN上的动点 . 点 C在 MAN 的内部（1）求线段AC的长；（2）当 AM x 轴. 且四边形 ABCD 为梯形时 . 求 BCD的面积；（3）求 BCD周长的最小值；（4）当 BCD的周长取得最小值. 且5 23BD时. BCD的面积为 _. . . . . 例 3、已知 .如图 . 二次函数2230yaxaxa a图

16、像的顶点为H.与 x 轴交于 A、B两点（B在 A点右侧） .点 H.B 关于直线l ：333yx对称（1）求 A 、B两点坐标 . 并证明点A在直线 l 上；（2）求二次函数解析式；（3）过点 B作直线 BKAH交直线 l 于 K点.M、N分别为直线AH和直线 l 上的两个动点. 连接 HN.NM.MK. 求HNNMMK 和的最小值y A x O B H K . . . . 试一试：1、已知抛物线21yaxbx经过点1,3A和点2,1B（1）求此抛物线解析式；（2）点 C 、D分别是 x 轴和 y 轴上的动点 . 求四边形 ABCD周长的最小值；（3）过点 B作 x 轴的垂线 .垂足为 E点

17、点 P从抛物线的顶点出发. 先沿抛物线的对称轴到达F 点. 再沿 FE到达 E点. 若 P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的2 倍.试确定点F 的位置 . 使得点 P按照上述要求到达E点所用的时间最短 （要求：简述确定F点位置的方法. 但不要求证明）. . 二次函数中字母替换例 1、如图 .已知 A （ a.m） 、B （ 2a.n ）是反比例函数)0(kxky与一次函数bxy34图像上的两个不同的交点 .分别过 A、B两点作 x 轴的垂线 . 垂足分别为C、D。连结 OA 、OB.若已知21a. 则求OABS的取值范围。. . 例 2、已知点(1, )Ac和点(3,)Bd是直线

18、1yk xb和双曲线220kykx的交点（1）过点A做AMx轴. 垂足为M, 连接BM, 若AMBM. 求点B的坐标（2）若点P在线段AB上. 过点P做PEx轴. 垂直为E, 并交双曲线220kykx于点N, 当PNNE取最大值时 .有12PN, 求此时双曲线的解析式。. . 作业：1、 （ 2010 眉山市 26,12 分）如图 .Rt ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上.O为坐标原点 .A、B两点的坐标分别为3,0 、 0,4. 抛物线223yxbxc 经过B点. 且顶点在直线52x上（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若DCE是由ABO沿x轴向右平移得到的.

19、当四边形ABCD是菱形时 . 试判断点C和点D是否在该抛物线上 . 并说明理由；（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点. 过点M作MN平行于y轴交CD于点N设点M的横坐标为t.MN的长度为l求l与t之间的函数关系式. 并求l取最大值时 . 点M的坐标_ yC E D O A N B M x y . . ENMDCBAOyx解： （1）由题意 . 可设所求抛物线对应的函数关系式为225()32yxm（ 1 分）2254()32m16m（3 分）所求函数关系式为：22251210()432633yxxx（ 4分）（ 2）在RtABO中.OA=3.OB=4. 225ABOAOB四边形AB

20、CD是菱形BC=CD=DA=AB=5 （5 分）C、D两点的坐标分别是（5.4 ） 、 （2.0 ） （ 6 分）当5x时.2210554433y当2x时.2210224033y点C和点D在所求抛物线上（7 分）（3）设直线CD对应的函数关系式为ykxb. 则5420kbkb解得：48,33kb4833yx（ 9 分）MNy轴.M点的横坐标为t. N点的横坐标也为t则2210433Mytt. 4833Nyt. （10 分）22248210214202734()3333333322NMlyytttttt203. 当72t时.32l最大. 此时点M的坐标为（72.12） （12 分）. . 2、已知：抛物线20yaxbxc a的对称轴为1x. 与 x 轴交于A、B 两点 . 与 y 轴交于点C.其中3,0 ,0, 2AC（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点P.使得PBC的周长最小请求出点P的坐标；（3） 若点 D是线段 OC上的一个动点 （不与点O 、 点 C重合）. 过点 D作 DE PC交 x 轴于点 E.连结 PD 、 PE 设CD的长为 m.PDE的面积为S.求 S与 m之间的函数关系式试说明S 是否存在最大值. 若存在 . 请求出最大值；若不存在. 请说明理由A C x y B O . . . .