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1、2.7 洛必达法则洛必达法则2.7.3 其它类型的末定式其它类型的末定式 基本内容基本内容2.7.100型未定式型未定式2.7.2型未定式型未定式湖南师范大学高等数学27洛必达法则基本要求基本要求1.掌握洛必达法则成立的条件，能正确地判断在掌握洛必达法则成立的条件，能正确地判断在 2.能能熟练地用洛必达法则求熟练地用洛必达法则求3.会求会求五种未定式五种未定式的极限的极限. .哪些情况下洛必达法则失效哪些情况下洛必达法则失效; 型的极限型的极限; ; 湖南师范大学高等数学27洛必达法则定义定义湖南师范大学高等数学27洛必达法则2.7.1 定理定理1 设设满足条件满足条件:(2)在点在点内可导内
2、可导,且且的某个去心邻域的某个去心邻域(3)存在或为存在或为则则存在存在(或为或为),且且湖南师范大学高等数学27洛必达法则则有则有补充定义补充定义,不会影响极限不会影响极限.从而从而当当时时,从而得从而得证由于证由于与与无关，无关，和和在在与与之间之间)湖南师范大学高等数学27洛必达法则 这种在一定条件下通过分子分母分别求导数这种在一定条件下通过分子分母分别求导数,再再求极限来确定未定式的值的方法称为求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则洛必达法则。湖南师范大学高等数学27洛必达法则例例1求求解解例例2 求求解解例例3 求求解解湖南师范大学高等数学27洛必达法则例例4 求求解解湖南师范大
3、学高等数学27洛必达法则注意注意 由由1.3定理定理6 （函数极限与数列极限的关系）（函数极限与数列极限的关系）可得可得于是于是湖南师范大学高等数学27洛必达法则2.7.2 则则存在存在(或为或为 ),且且 定理定理3 3 设设满足条件满足条件:(2)在点在点内可导内可导,且且的某个去心邻域的某个去心邻域(3)存在或为存在或为湖南师范大学高等数学27洛必达法则证明相应的结论也成立证明相应的结论也成立.例例5 求求解解将将,可可以以换成换成湖南师范大学高等数学27洛必达法则例例6 求求解解 相继应用洛必达法则相继应用洛必达法则n n次，得次，得 注注 :上例中若上例中若n是任何正数是任何正数,那
4、末极限仍为零那末极限仍为零.湖南师范大学高等数学27洛必达法则例例7 求求解令解令,再利用例再利用例6的结果的结果,得得湖南师范大学高等数学27洛必达法则 2.7.3其它类型的未定式其它类型的未定式 提示提示: :对对型，再利用洛必达法则求值。型，再利用洛必达法则求值。 , ,先将其转化为先将其转化为例例8 求求解解.湖南师范大学高等数学27洛必达法则若若遇遇有有对对数数函函数数或或反反三三角角函函数数, 取取倒倒数数时时一一般般应应将将对数函数对数函数或或反三角函数保留在分子反三角函数保留在分子.小结小结 对对型型.，利用取倒数化为，利用取倒数化为湖南师范大学高等数学27洛必达法则例例9 求
5、求解解小结小结 对对,一般是通过一般是通过通分通分或或有理化有理化的的方法将其化为方法将其化为型型 .湖南师范大学高等数学27洛必达法则例例10 求求解解 设设于是于是,取对数得取对数得湖南师范大学高等数学27洛必达法则. 例例11 求求解解 设设于是于是湖南师范大学高等数学27洛必达法则例例12 求求解解.小结小结 对对一般是先取对数一般是先取对数,将其转化为将其转化为再转化为再转化为 型型. 湖南师范大学高等数学27洛必达法则注注1 1 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但应注意定理的条件是但应注意定理的条件是充分的充分的. 即当即当不存在（等于无穷
6、大的情况除外）时不存在（等于无穷大的情况除外）时, ,仍有可能存在仍有可能存在. 例如例如 求求仍为仍为 , ,因此不能用洛必达法则求极限因此不能用洛必达法则求极限, ,但但湖南师范大学高等数学27洛必达法则 注注2.求求未未定定式式极极限限时时,最最好好将将洛洛必必达达法法则则与与其其他他求求极极限限的的方方法法结结合合使使用用，例例如如能能化化简简时时应应尽尽可可能能先先化化简简，可可以以应应用用等等价价无无穷穷小小替替代代或或重重要要极极限限时时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷。应尽可能应用，这样可以使运算简捷。例例13 求求提示提示: :先作一个等价无穷小代替，再用洛必达法则先作一个等价无穷小代替，再用洛必达法则. 解解湖南师范大学高等数学27洛必达法则作业P101-102一、一、1.(2)(3)(5); 3.二、二、2.（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）（5）（）（8）.湖南师范大学高等数学27洛必达法则
