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1、二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程安丰初级中学安丰初级中学初三数学备课组初三数学备课组w我们知道我们知道: :代数式代数式b b2 2-4ac-4ac对于方程的根起着关键的作用对于方程的根起着关键的作用. .复习复习一元二次方程根的情况与一元二次方程根的情况与b-4ac的关系的关系一、探究一、探究探究探究1、求二次函数图象、求二次函数图象y=x2-2x-3与与x轴的交点轴的交点A、B的坐标。的坐标。解：令解：令y=0，则，则x2-2x-3=0 解得：解得：x1=-1，x2=3； A（-1，0） ， B（3，0）你发现方程你发现方程 的解的解x1、x2与与A、B的的坐标有什么联系？坐标
2、有什么联系？x2-2x-3=0结论结论1：方程：方程x2-2x-3=0的解就是抛物线的解就是抛物线y=x2-2x-3与与x轴的两个交点的横坐标。轴的两个交点的横坐标。因此，抛物因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。线与一元二次方程是有密切联系的。即：若一元二次方程即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是的两个根是x1、x2， 则抛物线则抛物线y=ax2+bx+c与与X轴的两个交轴的两个交点坐标分别是点坐标分别是A（ ），）， B（ ）x1，0x2，0xOABx1x2y观察二次函数观察二次函数 的图象：的图象：-3-3-2-2-1 -10 01 12 23 3-1 -1-2-2-3-
3、31 12 23 3x xy y4 4NM你能确定一元二次方程你能确定一元二次方程 的根吗的根吗？方程的根方程的根X X1 1=-1,x=-1,x2 2=3=3-3-3 -2-2 -1 -10 01 12 23 3-1 -1-2-2-3-31 12 23 3x xy y4 4-3-3 -2-2 -1 -10 0 1 1 2 2 3 3-1 -1-2-2-3-31 12 23 3x xy y4 4观察下列图象，分别说出一元二次方程观察下列图象，分别说出一元二次方程x x2 2-6x+9=0-6x+9=0和和x x2 2-2x+3=0-2x+3=0的根的情况的根的情况. .方程的根方程的根X X1
4、 1=x=x2 2=3=3方程无实方程无实数根数根判断二次函数判断二次函数 图象与图象与x x轴交点坐标是轴交点坐标是什么？什么？-3-3 -2-2 -1 -10 01 12 2 3 3-1 -1-2-2-3-31 12 23 3x xy y4 4NM根据一元二次方程根据一元二次方程 的根的情况，的根的情况，方程的根为方程的根为X X1 1=-2,x=-2,x2 2=2=2，抛物线与，抛物线与x x轴的交点坐轴的交点坐标为（标为（2 2，0 0）（）（2 2，0 0）判断二次函数判断二次函数 图象与图象与x x轴的轴的位置关系。位置关系。-3-3 -2-2 -1 -10 01 12 2 3 3
5、-1 -1-2-2-3-31 12 23 3x xy y4 4根据一元二次方程根据一元二次方程 的根的情况，的根的情况，方程方程没有实数根没有实数根，抛，抛物线与物线与x x轴轴没有没有交点交点探究探究2、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c与与X 轴的交点个数轴的交点个数能不能用一元二次方程能不能用一元二次方程ax2+bx+c=0的知识来说的知识来说明呢？明呢？b2-4ac0有两个交点有两个交点b2-4ac=0有有唯一交点唯一交点b2-4ac0无交点无交点OXY结论结论2：抛物线抛物线y=ax2+bx+c抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴的交点个数可由轴的交点个数可由一元二次方程一元二次
6、方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：的根的情况说明： 1、 b2-4ac 0 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根有两个不等的实数根与与x轴有两个交点轴有两个交点抛物线抛物线y=ax2+bx+c 2、 b2-4ac =0 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根有两个相等的实数根与与x轴有唯一公共点轴有唯一公共点（顶点）。（顶点）。抛物线抛物线y=ax2+bx+c 3、 b2-4ac 0 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根没有实数根与与x轴没有公共点轴没有公共点归纳当当a0a0时，方程时，方程axax2 2+bx+c=0+
7、bx+c=0的根的根与函数与函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象之间的关系的图象之间的关系ax2+bx+c=0（a0）y=ax2+bx+c(a0)=b2-4ac0=00 ？（3）x取什么值时，取什么值时，y0 ？证明：证明：= = =又又不论不论m为何值，为何值， 00，无论无论 m m取何值取何值, ,抛物线总与抛物线总与x x轴有两个交点轴有两个交点. .3 ? 已知二次函数已知二次函数yx2 24 4xk2 2与与x轴有公轴有公共点，求共点，求k的取值范围的取值范围 例题讲解例题讲解5.4 5.4 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程(1)(1) ? 已知二次函数
8、已知二次函数ykx2 24 4x2 2与与x轴有公轴有公共点，求共点，求k的取值范围的取值范围 例题讲解例题讲解5.4 5.4 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程(1)(1) 4 4. .已知二次函数已知二次函数 的图像与的图像与X X轴有两个不同的交点轴有两个不同的交点. .（1 1） 求求k k的取值范围的取值范围（2 2） 当当k k为何值时，这两个交点横坐标的平方为何值时，这两个交点横坐标的平方和等于和等于50.50. 拓展提高：拓展提高：1、已知二次函数、已知二次函数y=x2-kx-2+k.(1)求证求证:不论不论k取何值时，这个二次函数总与取何值时，这个二次函数总与x轴有
9、两个不同的交点。轴有两个不同的交点。(2)如果二次函数如果二次函数y=x2-kx-2+k与与X轴两个交点轴两个交点为为A、B，设此抛物线与，设此抛物线与y轴的交点为轴的交点为C，当，当k为为6时时,求求S ABC . ?2 2、已知二次函数、已知二次函数y=xy=x2 2-4x+k+2-4x+k+2与与x x轴有公轴有公共点，求共点，求k k的取值范围的取值范围. .3 3、已知抛物线、已知抛物线y=xy=x2 2+2x+m+1+2x+m+1。（1 1）若抛物线与）若抛物线与x x轴只有一个交点，求轴只有一个交点，求m m的值。的值。（2 2）若抛物线与直线）若抛物线与直线y=x+2my=x+
10、2m只有一个交只有一个交点，求点，求m m的值。的值。4、已知抛物线、已知抛物线y=x2-（m2+8）x+2（m2+6）.求证求证:不任不任m为何实数为何实数,抛物线与抛物线与x轴都有两个不轴都有两个不同的交点同的交点, 1、方程 的根是 ；则函数 的图象与x轴的交点有 个，其坐标是 -5，12（-5，0）、（）、（1，0） 随堂练习随堂练习2 2、方程 的根是 ；则函数 的图象与x轴的交点有 个，其坐标是 3、下列函数的图象中，与x轴没有公共点的是（ ）1（5，0）D基础训练基础训练1、已知抛物线、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在的顶点在x轴上，则轴上，则a= ；若抛物线与；若抛物线与x
11、轴有两个交点，则轴有两个交点，则a的范围是的范围是 ；若抛物线与坐标轴有两个；若抛物线与坐标轴有两个公共点，则公共点，则a的值是的值是 ；3、已知抛物线、已知抛物线y=x2+px+q与与x轴的两个交点为轴的两个交点为（-2，0），（），（3，0），则），则p= ，q= 。2、已知抛物线、已知抛物线y=x2-3x+a+1与与x轴最多只有一轴最多只有一个交点，则个交点，则a的范围是的范围是 。9a9a=9或或a0-1-6a4、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象全部在）的图象全部在轴下方的条件是（轴下方的条件是（ ）（A）a0 b2-4ac0（B）a0 b2-4ac0（C）a0 b2-4ac0（D）a0 b2-4ac0D
