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1、2.3.1 2.3.1 离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值1科学教育1.1.n n次独立重复试验次独立重复试验其中其中其中其中0 0p p1, 1, p p+ +q q=1, =1, k k=0,1,2,.,=0,1,2,.,n nP(P(X Xk k) )p pk kq qn nk kC Ck kn n则称则称则称则称X X服从参数为服从参数为服从参数为服从参数为n n，p p的二项分布，的二项分布，的二项分布，的二项分布，记作记作记作记作X X B B( (n n，p p) )一般地，由一般地，由一般地，由一般地，由n n n n次试验构成，且每次试验互相独立完成，次试验构成，且每次
2、试验互相独立完成，次试验构成，且每次试验互相独立完成，次试验构成，且每次试验互相独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即每次试验的结果仅有两种对立的状态，即每次试验的结果仅有两种对立的状态，即每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A A A A与，每次试与，每次试与，每次试与，每次试验中验中验中验中P(P(P(P(A A A A) ) ) )p p p p0 0 0 0。称这样的试验为。称这样的试验为。称这样的试验为。称这样的试验为n n n n次独立重复试验次独立重复试验次独立重复试验次独立重复试验，也，也，也，也称称称称伯努利试验伯努利试验伯努利试验伯努利试验。n n n n次独立重复
3、试验的特征为：次独立重复试验的特征为：次独立重复试验的特征为：次独立重复试验的特征为： 1 1 1 1）每次试验是在同样的条件下进行的；）每次试验是在同样的条件下进行的；）每次试验是在同样的条件下进行的；）每次试验是在同样的条件下进行的； 2 2 2 2）各次试验中的事件是相互独立的；）各次试验中的事件是相互独立的；）各次试验中的事件是相互独立的；）各次试验中的事件是相互独立的； 3 3 3 3）每次试验都只有两种结果）每次试验都只有两种结果）每次试验都只有两种结果）每次试验都只有两种结果: : : :发生与不发生；发生与不发生；发生与不发生；发生与不发生； 4 4 4 4）每次试验）每次试验
4、）每次试验）每次试验, , , ,某事件发生的概率是相同的某事件发生的概率是相同的某事件发生的概率是相同的某事件发生的概率是相同的. . . .2.2.二项分布二项分布复习回顾复习回顾2科学教育 一般地一般地, ,设离散型随机变量设离散型随机变量可能取的值为可能取的值为x x1 1，x x2 2，x xi i，取每一个值取每一个值x xi i( (i i1 1，2 2，) )的概率的概率P(P(x xi i) )p pi i，则称下表则称下表为随机变量为随机变量的概率分布的概率分布. .由概率的性质可知由概率的性质可知, ,任一离散型随机变量的分布都具有任一离散型随机变量的分布都具有下述两个性
5、质：下述两个性质：3.3.离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布x1x2xiPp1p2pi（1）pi0，i1，2，n（2）p1p2pi+pn13科学教育复习引入复习引入 对于离散型随机变量对于离散型随机变量, ,可以由它的概率分布确可以由它的概率分布确定与该随机变量相关事件的概率定与该随机变量相关事件的概率. .但在实际问题但在实际问题中中, ,有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征特征. .例如例如: :要了解某班同学在一次数学测验中的要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平总体水平, ,很重要的是看很重要的是看平均分平均分；要了解某班同；
6、要了解某班同学数学成绩是否学数学成绩是否“两极分化两极分化”则需要考察这个班则需要考察这个班数学成绩的数学成绩的方差方差。 我们还常常希望我们还常常希望直接通过数字直接通过数字来反映随机变来反映随机变量的某个方面的特征量的某个方面的特征, ,最常用的有最常用的有期望与方差期望与方差。4科学教育按按3：2：1的比例混合，混合糖果的比例混合，混合糖果中每一粒糖果的质量都相等中每一粒糖果的质量都相等.定价为混合糖果的平均价格才合理定价为混合糖果的平均价格才合理问题情景问题情景18元元/kg24元元/kg36元元/kg5科学教育m千克混合糖果的总价格为千克混合糖果的总价格为18元元/kg24元元/kg
7、36元元/kg情景探究情景探究按按3：2：1混合以下糖果混合以下糖果 平均价格为平均价格为362418PX权数权数权数权数加加权权平平均均6科学教育一一. .离散型随机变量的均值或数学期望离散型随机变量的均值或数学期望 一般地一般地, ,若离散型随机变量若离散型随机变量 X X 的概率分布为的概率分布为X1.定义定义2.2.性质性质 已知随机变量已知随机变量X X, ,其均值为其均值为E E( (X X).).若若Y YaXaXb b, ,其中其中a a, ,b b为常数为常数, ,则则Y Y也是随机变量也是随机变量. .并且随机变量并且随机变量Y Y的均值为：的均值为：E E( (Y Y)
8、)= =E E( (aXaXb b) )aEaE( (X X) )b b 7科学教育pnxnpkxkp2x2p1x1PXpnaxn+bpkaxk+bp2ax2+bp1ax1+bPY随机变量随机变量X X的分布列为的分布列为：随机变量随机变量Y Y= =aXaX+ +b b的分布列为：的分布列为：随机变量随机变量Y Y的数学期望是：的数学期望是：8科学教育例例1.1.在篮球比赛中在篮球比赛中, ,罚球命中罚球命中1 1次得次得1 1分分, ,不中得不中得0 0分分。如如果某运动员罚球命中的概率为果某运动员罚球命中的概率为0.70.7, ,那么他罚球那么他罚球1 1次的得次的得分分X X的均值是多
9、少？的均值是多少？X10P0.7 0.3解解: :据题意据题意,X,X的分布列为的分布列为故故他罚球他罚球1 1次的得分次的得分X X的均值是的均值是0.70.7一般地一般地, ,如果随机如果随机变量变量X X服从两点分服从两点分布布, ,那么那么E E( (X X)=)=？X01P1 pp9科学教育若若X X服从两点分布服从两点分布, ,则则E E( (X X)=)=p.p.二二. .两点分布的均值两点分布的均值?如果如果XB(n，p)，那么，那么E(X)=？三三. .二项分布的均值二项分布的均值若若XB(n，p),则则E(X)=np.注注:(1).:(1).随机变量的均值是常数随机变量的均
10、值是常数, ,而样本的平均值是随着而样本的平均值是随着样本的不同而变化的样本的不同而变化的. .因此因此, ,样本的平均值是随机变量样本的平均值是随机变量; ;10科学教育2.2.随机变量随机变量的分布列是的分布列是 4 47 79 91010P P0.30.3a ab b0.20.2E(E()=7.5,=7.5,则则则则a=_,a=_,b b= = _; _;0.40.13.3.3.3.一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的3 3 3 3 个红球和个红球和个红球和个红球和2 2 2 2个黄球个黄球个黄球个黄球, , , ,从中从中从中
11、从中有放回地取有放回地取有放回地取有放回地取5 5 5 5次次次次, , , ,则取到红球次数的数学期望是则取到红球次数的数学期望是则取到红球次数的数学期望是则取到红球次数的数学期望是 . . . .3练习练习: :1.1.1.1.随机变量随机变量随机变量随机变量的分布列是的分布列是的分布列是的分布列是 1 13 35 5P P0.50.50.30.30.20.2(1).(1).则则则则E(E()=_;=_; 2.4(2).(2).若若若若=2=2 +1,+1,则则则则E()=_;E()=_; 5.811科学教育例例2 2. .一一次次英英语语单单元元测测验验由由一一次次英英语语单单元元测测验
12、验由由2 20 02 20 0个个选选择择题题构构成成个个选选择择题题构构成成, , , ,每每个个选选择择题题每每个个选选择择题题有有有有4 4 4 4个个选选项项个个选选项项, , , ,其其中中有有且且只只有有一一个个选选项项是是正正确确答答案案其其中中有有且且只只有有一一个个选选项项是是正正确确答答案案, , , ,每每题题选选每每题题选选择择正正确确答答案案得得择择正正确确答答案案得得5 5 5 5分分分分, , , ,不不作作出出选选择择或或选选错错不不得得分分不不作作出出选选择择或或选选错错不不得得分分, , , ,满满分分满满分分1 10 00 01 10 00 0分分分分,
13、, , ,学学生生甲甲选选对对任任一一题题的的概概率率为为学学生生甲甲选选对对任任一一题题的的概概率率为为0 0. .9 9, ,0 0. .9 9, ,学学生生乙乙则则在在测测验验中中对对每每学学生生乙乙则则在在测测验验中中对对每每题题都都从从题题都都从从4 4 4 4个个选选项项中中随随机机地地选选择择一一个个。求求学学生生甲甲和和乙乙在在这这个个选选项项中中随随机机地地选选择择一一个个。求求学学生生甲甲和和乙乙在在这这次次 英英 语语 单单 元元 测测 验验 中中 的的 成成 绩绩 的的 期期 望望 。次次 英英 语语 单单 元元 测测 验验 中中 的的 成成 绩绩 的的 期期 望望 。
14、解解解解: : : :设学生甲和学生乙在这次测验中选对的题数分别是设学生甲和学生乙在这次测验中选对的题数分别是设学生甲和学生乙在这次测验中选对的题数分别是设学生甲和学生乙在这次测验中选对的题数分别是E(E(E(E()202020200.90.90.90.918181818， E( )E( )E( )E( )202020200.250.250.250.255 5 5 5 由于答对每题得由于答对每题得由于答对每题得由于答对每题得5 5 5 5分分分分, , , ,所以学生甲和学生乙在这次测所以学生甲和学生乙在这次测所以学生甲和学生乙在这次测所以学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是验中的成绩分别是
15、验中的成绩分别是验中的成绩分别是5 5 5 5 和和和和5 .5 .5 .5 .这样这样这样这样, , , ,他们在测验中的成他们在测验中的成他们在测验中的成他们在测验中的成绩的期望分别是绩的期望分别是绩的期望分别是绩的期望分别是E(5E(5) )5E5E()()5 518189090，E(5 )E(5 )E(5 )E(5 )5E( )5E( )5E( )5E( )5 5 5 55 5 5 52525252512科学教育课堂小结课堂小结1 1 1 1）离散型随机变量取值的平均值）离散型随机变量取值的平均值）离散型随机变量取值的平均值）离散型随机变量取值的平均值数学期望数学期望2 2 2 2）数
16、学期望的性质）数学期望的性质）数学期望的性质）数学期望的性质3 3 3 3）若随机变量）若随机变量）若随机变量）若随机变量X X X X服从两点分布服从两点分布服从两点分布服从两点分布X X1 10 0P Pp p1 1p p则则4 4 4 4）若随机变量）若随机变量）若随机变量）若随机变量X X X X服从二项分布服从二项分布服从二项分布服从二项分布, , , ,即即即即X X X XB B B B（n,pn,pn,pn,p）, , , ,则则则则13科学教育?如果如果XB(n，p)，那么，那么E(X)=？若若XB(n，p)，则，则E(X)=np.14科学教育则则E(X) p若若XH(N ，
17、M ， n)则则E(X)若若XB(n，p)则则E(X)np若若XB(1，p)各种不同概率模型下的数学期望各种不同概率模型下的数学期望15科学教育例例1 甲、乙两名射手射击的环数为两个相互独立甲、乙两名射手射击的环数为两个相互独立的随机变量的随机变量X与与Y，且，且X ，Y的分布列为：的分布列为：问：甲、乙两名射手谁的射击水平高问：甲、乙两名射手谁的射击水平高? X123P0.3 0.1 0.6Y123P0.3 0.4 0.3所以，甲所以，甲射手射手比比乙射手乙射手的的射击射击水平高水平高.解：解：例题讲解例题讲解16科学教育设在一组数据设在一组数据x1，x2 ， xn中，各数据与它们的中，各数
18、据与它们的平均数的差的平方的平均值是：平均数的差的平方的平均值是：叫做这组叫做这组数据的方差数据的方差. 方差说明了这组数据的波动情况方差说明了这组数据的波动情况.离散型随机变量的方差定义离散型随机变量的方差定义17科学教育对于离散型随机变量对于离散型随机变量X的概率分布如下表：的概率分布如下表：(其中其中pi0，i1，2，n；p1p2pn1)Xx1x2xnPp1p2pn(xi E(X)2 描述了描述了xi (i=1，2，n)相对于均值相对于均值E(X)的偏离程度，故的偏离程度，故(x1E(X)2 p1 (x2E(X)2 p2. (xnE(X)2pn称为离散型随机变量称为离散型随机变量X的的方
19、差方差，记为，记为D(X).其算术平方根为其算术平方根为X的的标准差标准差： 记为记为随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动稳定与波动，集中与分散集中与分散的程度的程度.离散型随机变量的方差定义离散型随机变量的方差定义18科学教育定义深析定义深析随机变量的方差和样本的方差有何联系和区别随机变量的方差和样本的方差有何联系和区别？ 012P0.40.20.4 012P0.10.80.1甲工人：甲工人：乙工人：乙工人：例例1 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件相等，所得次品数分别是加工的零
20、件相等，所得次品数分别是 、 ，分布，分布列如下列如下：试求随机变量试求随机变量 、 的期望和方差的期望和方差. .19科学教育解：解：从上可知，从上可知， . 所以，在射所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得环数的平均击之前，可以预测甲、乙两名射手所得环数的平均值很接近，均在值很接近，均在9环左右，但射手甲所得的环数比环左右，但射手甲所得的环数比较集中，得较集中，得9环较多，而射手乙所得环数比较分散，环较多，而射手乙所得环数比较分散，得得8环和环和10环的次数要多些环的次数要多些.例题讲解例题讲解例例2 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下
21、表：分布列如下表： 射手甲射手甲 射手乙射手乙用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平水平.0.4100.290.48概率概率p击中环数击中环数 2 20.2100.690.28概率概率p击中环数击中环数 1 120科学教育重要结论：重要结论：公式推广公式推广21科学教育例例2 一次单元测验由一次单元测验由20个选择题构成，每个选择个选择题构成，每个选择题有题有4个选项，其中仅有一个选项正确个选项，其中仅有一个选项正确. 每题选对每题选对得得5分，不选或选错不得分，满分分，不选或选错不得分，满分100分分. 学生甲选学生甲选对任意一题的概率为
22、对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个题都从各选项中随机地选择一个. 分别求学生甲和分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值学生乙在这次测验中的成绩的均值.例题讲解例题讲解可设甲、乙两学生做对题的个数分别为可设甲、乙两学生做对题的个数分别为X1 、 X2.22科学教育例例2 一次单元测验由一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有个选择题构成，每个选择题有4个个选项，其中仅有一个选项正确选项，其中仅有一个选项正确. 每题选对得每题选对得5分，不选或分，不选或选错不得分，满分选错不得分，满分100分分. 学生甲选对任意一题的概率为学
23、生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个一个. 分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.解：解：设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是确答案的选择题个数分别是X1 和和 X2，则则X1B(20，0.9)， X2 B(20，0.25)，所以所以E (X1)200.918， E(X2 ) 200.255由于答对每题得由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩
24、分别是测验中的成绩分别是5 X1和和5 X2所以，他们在测所以，他们在测验中的成绩的期望分别是验中的成绩的期望分别是E(5 X1)5E(X1)51890， E(5 X2)5E(X2)5525答答: 甲、乙同学得分的期望分别是甲、乙同学得分的期望分别是90分和分和25分分.23科学教育求离散型随机变量均值的步骤：求离散型随机变量均值的步骤： 确定离散型随机变量可能的取值；确定离散型随机变量可能的取值； 写出分布列，并检查分布列的正确与否；写出分布列，并检查分布列的正确与否； 求出均值求出均值.方法与步骤方法与步骤24科学教育例题讲解例题讲解例例3 一年中一辆车受损的概率为一年中一辆车受损的概率为
25、0.03. 现保险公司现保险公司拟开设一年期租车保险，假定一辆车一年的保费为拟开设一年期租车保险，假定一辆车一年的保费为1000元，若在一年内该车受损，元，若在一年内该车受损， 则保险公司需赔则保险公司需赔偿偿3000元元. 一年内，一辆车保险公司一年内，一辆车保险公司平均收益平均收益多少多少？分析：分析：设设保险公司平均收益保险公司平均收益为为X. 则则X的分布列为：的分布列为：X- -2000 1000P0.030.97答：一辆车保险公司平均收益答：一辆车保险公司平均收益910元元.25科学教育1. 现要发行现要发行10000张彩票，其中中奖金额为张彩票，其中中奖金额为2元的元的彩票彩票1
26、000张，张，10元的彩票元的彩票300张，张，50元的彩票元的彩票100张，张，100元的彩票元的彩票50张，张，1000元的彩票元的彩票5张张. 问问1张彩票张彩票可能中奖的均值是多少元？可能中奖的均值是多少元？2. 在只需回答在只需回答“是是”与与“不是不是”的知识竞赛时，的知识竞赛时，每个选手回答两个不同问题，都回答失败，输每个选手回答两个不同问题，都回答失败，输1分，分，否则赢否则赢0.3分分. 用用 X表示甲的得分，如果甲随机猜表示甲的得分，如果甲随机猜测测“是是”与与“不是不是”，计算，计算X 的数学均值的数学均值.小试身手小试身手26科学教育方案方案2：建建保护保护围墙围墙，建
27、设费建设费2000元元，但围墙只能，但围墙只能防小洪水防小洪水；试比较哪一种方案好？试比较哪一种方案好？遇大洪水损失遇大洪水损失60000元元遇小洪水损失遇小洪水损失10000元元有小洪水的概率为有小洪水的概率为0.25有大洪水的概率为有大洪水的概率为0.01大型设备大型设备方案方案3：不采取措施不采取措施.方案方案1：运走设备运费为：运走设备运费为3800；能力展现能力展现27科学教育离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差28科学教育例例1 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件相等，所得次品数分别是工的零件相等，所得次品数分别是 、 ，分
28、布列，分布列如下如下： 012P0.40.20.4 012P0.10.80.1甲工人：甲工人：乙工人：乙工人：E( ) ) = E ( ) ) =1那么甲、乙两人的技术水平相同吗？那么甲、乙两人的技术水平相同吗？情景引例情景引例29科学教育设在一组数据设在一组数据x1，x2 ， xn中，各数据与它们的中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均值是：平均数的差的平方的平均值是：叫做这组叫做这组数据的方差数据的方差. 方差说明了这组数据的波动情况方差说明了这组数据的波动情况.离散型随机变量的方差定义离散型随机变量的方差定义30科学教育对于离散型随机变量对于离散型随机变量X的概率分布如下表：的概率分布
29、如下表：(其中其中pi0，i1，2，n；p1p2pn1)Xx1x2xnPp1p2pn(xi E(X)2 描述了描述了xi (i=1，2，n)相对于均值相对于均值E(X)的偏离程度，故的偏离程度，故(x1E(X)2 p1 (x2E(X)2 p2. (xnE(X)2pn称为离散型随机变量称为离散型随机变量X的的方差方差，记为，记为D(X).其算术平方根为其算术平方根为X的的标准差标准差： 记为记为随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动稳定与波动，集中与分散集中与分散的程度的程度.离散型随机变量的方差定义离散型随机变量的方差定义31科学教育
30、定义深析定义深析随机变量的方差和样本的方差有何联系和区别随机变量的方差和样本的方差有何联系和区别？ 012P0.40.20.4 012P0.10.80.1甲工人：甲工人：乙工人：乙工人：例例1 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件相等，所得次品数分别是加工的零件相等，所得次品数分别是 、 ，分布，分布列如下列如下：试求随机变量试求随机变量 、 的期望和方差的期望和方差. .32科学教育重要结论：重要结论：公式推广公式推广33科学教育解：解：从上可知，从上可知， . 所以，在射所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得环数的平均击之前，可以预测
31、甲、乙两名射手所得环数的平均值很接近，均在值很接近，均在9环左右，但射手甲所得的环数比环左右，但射手甲所得的环数比较集中，得较集中，得9环较多，而射手乙所得环数比较分散，环较多，而射手乙所得环数比较分散，得得8环和环和10环的次数要多些环的次数要多些.例题讲解例题讲解例例2 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：分布列如下表： 射手甲射手甲 射手乙射手乙用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平水平.0.4100.290.48概率概率p击中环数击中环数 2 20.2100.690.28概率概率p击
32、中环数击中环数 1 134科学教育例例3 袋中有袋中有4只只红红球，球，3只黑球，今从袋中随机取只黑球，今从袋中随机取出出4只球只球. 设取到一只红球得设取到一只红球得2分，取到一只黑球得分，取到一只黑球得1分，试求得分分，试求得分 的分布列，数学期望的分布列，数学期望E( ) )，方差，方差D ( ) ).例题讲解例题讲解35科学教育例例4 每人在一轮投篮练习中最多可投篮每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次，现规次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直试投到定一旦命中即停止该轮练习，否则一直试投到4次次为止为止.已知一选手的投篮命中率为已知一选手的投篮命中率为0.7，求一轮练习，求一轮练习中该选手的实际投篮次数中该选手的实际投篮次数 的分布列，并求出的分布列，并求出 的的期望期望E( ) )与方差与方差D( ) )和标准差和标准差 ( ( ) ).例例5 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷10次，求正面次数与反面次数次，求正面次数与反面次数之差之差 的概率分布，并求出的概率分布，并求出 的期望的期望E( ) ) 与方差与方差D ( ) ) .例题讲解例题讲解36科学教育
