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1、一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影8.4 空间曲线及其方程下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、空间曲线的一般方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线 设曲线C是曲面S1与S2的交线 因此 曲线C可以用上述方程组来表示 上述方程组叫做空间曲线C的一般方程 则点P在曲线C上当且仅当点P的坐标满足方程组S1 F(x y z)0 S2 G(x y z)0 而曲面的方程分别为上页下页铃结束返回首页 例1 方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面 其准线是xOy 面上的圆 圆心在原点O 半径为1 下页 方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面 由于它的准
2、线是zOx面上的直线 因此它是一个平面 方程组所表示的是上述平面与圆柱面的交线 解 上页下页铃结束返回首页 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O 半径为2a的上半球面 因此 方程组表示上述半球面与圆柱面的交线 首页 解 方程组中第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面 它的准线是 xOy 面上的圆 这圆的圆心在点(a 0) 半径为a 例2 上页下页铃结束返回首页二、空间曲线的参数方程 空间曲线C的方程除了一般方程之外 也可以用参数形式表示 只要将C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数 当给定tt1时 就得到C上的一个点(x1 y1 z1); 随着t的变动便得曲线C上的全部点 上述方程组叫做空
3、间曲线的参数方程 下页上页下页铃结束返回首页 例3 空间一动点M在圆柱面x2+y2a2上以角速度w绕z轴旋转 同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中w、v都是常数) 试建立动点轨迹的参数方程 设当t0时 动点位于x轴上的一点A(a, 0 0)处 经过时间t 动点由A运动到M(x y z) 所以动点轨迹的参数方程为 xacoswt yasinwt 取时间t为参数 解 下页zvt 因为 上页下页铃结束返回首页 动点轨迹的参数方程为 令qwt 则参数方程又可写为 这种动点的轨迹叫做螺旋线 首页 例3 空间一动点M在圆柱面x2+y2a2上以角速度w绕z轴旋转 同时又以线速度v沿平行于z轴的正方
4、向上升(其中w、v都是常数) 试建立动点轨迹的参数方程 取时间t为参数 解 上页下页铃结束返回首页例例.将下列曲线化为参数方程表示:解解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为故所求为得所求为上页下页铃结束返回首页三、空间曲线在坐标面上的投影 投影柱面与xOy面的交线叫做曲线C在xOy面上的投影曲线 或简称投影 类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影 v投影柱面与投影(曲线) 下页 以空间曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面投影柱面投影曲线上页下页铃结束返回首页v投影(曲线)的确定 设空间曲线C的一般方程为 方程组中的两个方程消去变量z后可
5、得一个关于x y的方程 H(x y)0 曲线C在xOy面上的投影曲线的方程为 下页三、空间曲线在坐标面上的投影这就是曲线C关于xOy面的投影柱面的方程 投影柱面投影曲线讨论上页下页铃结束返回首页 例4 已知两球面的方程为x2+y2+z21和 x2+(y-1)2+(z-1)21 求它们的交线C在xOy面上的投影方程 解 x2+y2+z2-2y-2z-1 将x2+y2+z21代入得 1-2y-2z-1 即y+z1 将z1-y代入方程x2+y2+z21 得 x2+y2+(1-y)21 即x2+2y2-2y0 方程x2+(y-1)2+(z-1)21化为 两球面的交线C在xOy面上的投影方程为 这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程 下页上页下页铃结束返回首页由两个方程消去z得到 解 x2+y21这是半球面与锥面的交线C关于xOy面的投影柱面 因此 交线C在xOy面上的投影曲线为 所求立体在xOy面上的投影就是xOy面上圆x2+y21所围的部分 x2+y21 结束 x2+y21成立体在xOy面上的投影 例5 上页下页铃结束返回首页作业P37 3,4,5(1)
