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1、 用A、B、C、D4种不同的配合饲料饲养30日龄的小鸡，10天后计算平均日增重，得到下表的数据，问4种饲料的效果是否相同？饲料日增重（g）A55 49 62 45 51B61 58 52 68 70C71 65 56 73 59D85 90 76 78 69方差分析优秀最新优秀课件第六章 方差分析方差分析优秀最新优秀课件方差分析方差分析(Analysis of variance，ANOVA) 又叫变量分析，是英国著名统计学家又叫变量分析，是英国著名统计学家R . A . R . A . FisherFisher于于2020世纪提出的。它是用以检验世纪提出的。它是用以检验两个或多个两个或多个两个
2、或多个两个或多个均数间均数间均数间均数间差异的假设检验方法。它是一类特定情况下差异的假设检验方法。它是一类特定情况下的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验的一种引伸。的一种引伸。方差分析的定义方差分析的定义方差分析的定义方差分析的定义方差分析优秀最新优秀课件方差分析的方差分析的基本功能基本功能对多组样本平均数差异对多组样本平均数差异的显著性进行检验的显著性进行检验方差分析优秀最新优秀课件t t 检验可以判断两组数据平均数间的差异显著检验可以判断两组数据平均数间的差异显著性，而方差分析既可以判断两组又可以判断多组数性，而方差分析既可以判断两组又可
3、以判断多组数据平均数之间的差异显著性。据平均数之间的差异显著性。有人说，我们可以把多组数据化成有人说，我们可以把多组数据化成n n个两组数据（化整个两组数据（化整为零），用为零），用n n次次t t检验来完成这个多组数据差异显著性的判检验来完成这个多组数据差异显著性的判断。断。方差分析优秀最新优秀课件对多个处理进行平均数差异显著性检验时，采用对多个处理进行平均数差异显著性检验时，采用t t检验法的缺点：检验法的缺点：1.1.检验过程烦琐。检验过程烦琐。试验包含个处理试验包含个处理t t 检验：检验： C C4 42 2 6 6次次缺缺 点点方差分析优秀最新优秀课件缺缺 点点2.2.无统一的试验
4、误差，误差估计无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低。的精确性和检验的灵敏性低。t t检验：检验：C C4 42 2 6 6次次需计算需计算 6 6个标准误个标准误误差估计不统一误差估计不统一误差估计精确性降低误差估计精确性降低方差分析优秀最新优秀课件缺缺 点点3.3.推断的可靠性低，检验时犯推断的可靠性低，检验时犯错误错误概率大。概率大。t t检验：检验：C C4 42 2 6 6次次H H0 0的概率：的概率：1-1-0.950.956 6次检验次检验相互独立相互独立6 6次都接受的概率次都接受的概率(0.95)(0.95)6 60.7350.735犯犯错误的概率错误的概率1-
5、0.7351-0.7350.2650.265犯犯错误的概率明显增加错误的概率明显增加例如我们用例如我们用t t检验的方法检验检验的方法检验4 4个样本平均数之间的差异显著性个样本平均数之间的差异显著性方差分析优秀最新优秀课件试验指标（experimental index）： 为衡量试验结果的好坏和处理效应的高低，在实验中具体测定的性状或观测的项目称为试验指标。常用的试验指标有：身高、体重、日增重、酶活性、DNA含量等等。试验因素（ experimental factor）： 试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验因素。当试验中考察的因素只有一个时，称为单因素试验；若同时研究两个或两个以上因素对
6、试验指标的影响时，则称为两因素或多因素试验。方差分析优秀最新优秀课件因素水平（level of factor）: 试验因素所处的某种特定状态或数量等级称为因素水平，简称水平。如研究3个品种奶牛产奶量的高低，这3个品种就是奶牛品种这个试验因素的3个水平。试验处理（treatment）: 事先设计好的实施在实验单位上的具体项目就叫试验处理。如进行饲料的比较试验时，实施在试验单位上的具体项目就是具体饲喂哪一种饲料。方差分析优秀最新优秀课件试验单位（ experimental unit ）: 在实验中能接受不同试验处理的独立的试验载体叫试验单位。一只小白鼠，一条鱼，一定面积的小麦等都可以作为实验单位。
7、重复（repetition）: 在实验中，将一个处理实施在两个或两个以上的试验单位上，称为处理有重复；一处理实施的试验单位数称为处理的重复数。例如，用某种饲料喂4头猪，就说这个处理（饲料）有4个重复。方差分析优秀最新优秀课件第一节第一节 方差分析的基本原理方差分析的基本原理二、数学模型二、数学模型一、方差分析的基本思想、目的和用途一、方差分析的基本思想、目的和用途三、平方和与三、平方和与df的分解的分解四、统计假设的显著性检验四、统计假设的显著性检验 五、多重比较五、多重比较方差分析优秀最新优秀课件观观测测值值不不同同的的原原因因处理效应处理效应(treatment effect)：处理不同引
8、起处理不同引起试验误差：试验过程中偶然性试验误差：试验过程中偶然性因素的干扰和测量误差所致。因素的干扰和测量误差所致。方差：又叫均方，是标准差的平方，是表示变异的量。方差：又叫均方，是标准差的平方，是表示变异的量。在一个多处理试验中，可以得出一系列不同的观测值。在一个多处理试验中，可以得出一系列不同的观测值。方差分析优秀最新优秀课件方差分析的基本思想方差分析的基本思想总变异处处理理效效应应试试验验误误差差方差分析优秀最新优秀课件方差分析的目的方差分析的目的确定各种原因在总变异中所占的重要程度。确定各种原因在总变异中所占的重要程度。处理效应处理效应试验误差试验误差相差不大，说明试验处理对指标影响
9、不大。相差不大，说明试验处理对指标影响不大。相差较大，即处理效应比试验误差大得多，相差较大，即处理效应比试验误差大得多，说明试验处理影响是很大的，不可忽视。说明试验处理影响是很大的，不可忽视。方差分析优秀最新优秀课件方差分析的用途方差分析的用途1. 1. 用于多个样本平均数的比较用于多个样本平均数的比较2. 2. 分析多个因素间的交互作用分析多个因素间的交互作用3. 3. 回归方程的假设检验回归方程的假设检验4. 4. 方差的同质性检验方差的同质性检验1. 1. 用于多个样本平均数的比较用于多个样本平均数的比较2. 2. 分析多个因素间的交互作用分析多个因素间的交互作用方差分析优秀最新优秀课件
10、二、数学模型二、数学模型假定有假定有k k组观测数据，每组有组观测数据，每组有n n个观测值，则共有个观测值，则共有nknk个观测值个观测值平均平均T=xij TkTiT2T1总和总和xk1xk2xkjxknxi1xi2x xij ijxinx21x22x2jx2nx11 x12 x1jx1n12jnki21 处理处理重复重复x x1 x2 xi xk 方差分析优秀最新优秀课件用线性模型用线性模型(linear model)(linear model)来描述每一观测值：来描述每一观测值：xij = + i +ij (i=1,2,3,k j=1,2,3,n)(i=1,2,3,k j=1,2,3,
11、n) 总体平均数总体平均数i 处理效应处理效应ij 试验误差试验误差xij 是在第是在第 i 次处理下的第次处理下的第 j 次观测值次观测值要求要求ij 是相互独立的，且服从标准正态是相互独立的，且服从标准正态分布分布 N(0,2 )二、数学模型二、数学模型方差分析优秀最新优秀课件对于由样本估计的线性模型为对于由样本估计的线性模型为：xij =x + ti +eijx 样本平均数样本平均数ti 样本处理效应样本处理效应eij 试验误差试验误差二、数学模型二、数学模型xij = + i +ij 方差分析优秀最新优秀课件根据的根据的i i不同假定，可将数学模型分为以下三种不同假定，可将数学模型分为
12、以下三种：固定模型固定模型随机模型随机模型混合模型混合模型二、数学模型二、数学模型方差分析优秀最新优秀课件( (一一) )固定模型固定模型(fixed model)(fixed model)指各个处理的效应值指各个处理的效应值i i 是固定值是固定值，各个的，各个的平均效应平均效应i i i i 是一个常量，且是一个常量，且i i 0 0。就是说除去随机误差以后每个处理所产生。就是说除去随机误差以后每个处理所产生的效应是固定的。的效应是固定的。二、数学模型二、数学模型实验因素的各水平是根据试验目的事先主观选定的而不是随机选定的。方差分析优秀最新优秀课件不同离子对木聚糖酶活性的影响不同离子对木聚
13、糖酶活性的影响(mg/ml)(mg/ml)0.000.250.500.751.001.250.000.060.120.180.240.300.000.400.800.801.201.602.000.000.400.600.801.001.20固定模型固定模型Na+K+ Cu2+ Mn2+二、数学模型二、数学模型方差分析优秀最新优秀课件在固定模型中，除去随机误差之后的每个处理在固定模型中，除去随机误差之后的每个处理所产生的效应是固定的，试验重复时会得到相所产生的效应是固定的，试验重复时会得到相同的结果同的结果方差分析所得到的结论只适合于选定的那几个方差分析所得到的结论只适合于选定的那几个水平，并
14、不能将其结论扩展到未加考虑的其它水平，并不能将其结论扩展到未加考虑的其它水平上。水平上。固定模型固定模型二、数学模型二、数学模型方差分析优秀最新优秀课件( (二二) )随机模型随机模型(random model)(random model)指各处理的效应值指各处理的效应值i i 不是固定的数值，而不是固定的数值，而是由随机因素所引起的效应。是由随机因素所引起的效应。这里这里i i 是一个随机变量，是从期望均值为是一个随机变量，是从期望均值为 0 0，方，方差为差为2 2 的标准正态总体中得到的随机变量。得出的结的标准正态总体中得到的随机变量。得出的结论可以推广到多个随机因素的所有水平上。论可以
15、推广到多个随机因素的所有水平上。二、数学模型二、数学模型方差分析优秀最新优秀课件随机模型随机模型美国的黑核桃品种对不同地理条件的适应情况美国的黑核桃品种对不同地理条件的适应情况气候、水肥、土壤气候、水肥、土壤无法人为控制无法人为控制河南河南北京北京广州广州江苏江苏新疆新疆二、数学模型二、数学模型如果实验条件不能人为控制，那么这个样本对所属如果实验条件不能人为控制，那么这个样本对所属总体作出推断就属于随机模型。总体作出推断就属于随机模型。方差分析优秀最新优秀课件随机模型随机模型在随机模型中，水平确定之后其处理所产生的在随机模型中，水平确定之后其处理所产生的效应并不是固定的，试验重复时也很难得到相
16、效应并不是固定的，试验重复时也很难得到相同的结果同的结果方差分析所得到的结论，可以推广到这个因素方差分析所得到的结论，可以推广到这个因素的所有水平上的所有水平上二、数学模型二、数学模型方差分析优秀最新优秀课件固定模型与随机模型的比较固定模型与随机模型的比较1. 1. 两者在两者在设计思想和统计推断设计思想和统计推断设计思想和统计推断设计思想和统计推断上有明显不同，因此进行上有明显不同，因此进行方差分析时的公式推导也有所不同。其平方和与方差分析时的公式推导也有所不同。其平方和与dfdf的分的分解公式没有区别，但在进行统计推断时假设检验构成的解公式没有区别，但在进行统计推断时假设检验构成的统计数统
17、计数统计数统计数是不同的。是不同的。2. 2. 模型分析的侧重点也不完全相同，方差期望值也不模型分析的侧重点也不完全相同，方差期望值也不一样，固定模型主要侧重于一样，固定模型主要侧重于效应值效应值效应值效应值的估计和比较，而随的估计和比较，而随机模型则侧重效应机模型则侧重效应方差方差方差方差的估计和检验的估计和检验3. 3. 对于单因素方差分析来说，两者并无多大区别对于单因素方差分析来说，两者并无多大区别二、数学模型二、数学模型方差分析优秀最新优秀课件( (三三) )混合模型混合模型(mixed model)(mixed model)指多因素试验中既有固定因素又有随机因素指多因素试验中既有固定
18、因素又有随机因素时所用的模型时所用的模型在实际应用中，固定模型应用最多，随在实际应用中，固定模型应用最多，随机模型和混合模型相对较少机模型和混合模型相对较少二、数学模型二、数学模型方差分析优秀最新优秀课件方差是离均差平方和除以自由度的商方差是离均差平方和除以自由度的商2 (x-)2 N(x- x )2 s2 2 =n-1要把一个试验的总变异依据要把一个试验的总变异依据变异来源变异来源变异来源变异来源分为相应分为相应的变异，首先要将总平方和和总的变异，首先要将总平方和和总dfdf分解为各个变异分解为各个变异来源的的相应部分。来源的的相应部分。方差分析的方差分析的基本思想基本思想基本思想基本思想引
19、起观测值出现变异分解为处引起观测值出现变异分解为处理效应的变异和试验误差的变异。理效应的变异和试验误差的变异。方差分析优秀最新优秀课件平均平均T=xij TkTiT2T1总和总和xk1xk2xkjxknxi1xi2xijxinx21x22x2jx2nx11 x12 x1jx1n12jnki21处理处理重复重复x x1 x2 xi xk 处理间平均数的处理间平均数的差异是由处理效差异是由处理效应引起的：应引起的：处理内的变异是处理内的变异是由随机误差引起：由随机误差引起：平平方方和和(x- xi )( xi x )方差分析优秀最新优秀课件根据线性可加模型，则有：根据线性可加模型，则有：平平方方和
20、和( xi x )(x - x )(x- xi )+(x - x )2 2 (x- xi )+( xi x )( xi x )2 (x - x )2 1 n 1 n (x- xi )2 +(x- xi )( xi x )21 n +1 n 每一个处理每一个处理n n 个观测值离均差平方和累加：个观测值离均差平方和累加：(x- xi )2 + 2(x- xi )( xi x )+(xi x )2 0方差分析优秀最新优秀课件平均平均T=xij TkTiT2T1总和总和xk1xk2xkjxknxi1xi2xijxinx21x22x2jx2nx11 x12 x1jx1n12jnki21处理处理重复重复
21、x x1 x2 xi xk ( xi x )0(x- xi )21 n 方差分析优秀最新优秀课件( xi x )(x- xi )由于由于 0，则：，则： 21 n (x - x )2 ( xi x )2 (x- xi )2 n n 11+1 n ( xi x )2 (x- xi )2(x - x )2 1 n 1 k 1 n 1 k +n1 k 总平方和总平方和 SST 处理内或组处理内或组内平方和内平方和 SSe处理间或组处理间或组间平方和间平方和 SSt平平方方和和把把k k 个处理的离均差平方在累加，得个处理的离均差平方在累加，得方差分析优秀最新优秀课件平平方方和和总平方和处理间平方和总
22、平方和处理间平方和 + + 处理内平方和处理内平方和SST SSt + SSeSST (x - x )21 n 1 k = x2 - T2 kn(x)2 kn x2 -SST x2 -C令矫正数令矫正数C ，则：则：T2 kn方差分析优秀最新优秀课件平平方方和和SSt n1 k ( xi x )2 k n( - 2 + )1x xi i2 2 x xi ixx2 =n n - +nknk1 k x xi i2 2 2n 1 k xx xi ix2 = -2nk +n1 k x xi i2 2 x2 nkxnkx2 2 = -n1 k x xi i2 2 nkxnkx2 2 = -n n1 k
23、T Ti i2 2 n2 nkT T2 2(nk)2 = T Ti i2 2 - Cn11 k x xi i=kxx xi i=T Ti in n=T Tnknkx方差分析优秀最新优秀课件总平方和：总平方和：SST x2 -C 处理间平方和：处理间平方和： SSt = T Ti i2 2 - Cn1处理内平方和：处理内平方和：SSe = SST - SSt平平方方和和方差分析优秀最新优秀课件自自由由度度总自由度也可分解为处理间自由度和处理内自由度：总自由度也可分解为处理间自由度和处理内自由度：dfT = dft + dfe方差分析优秀最新优秀课件自由度自由度dfT = nk-1nk-1dft
24、= k-1k-1dfe = dfT - - dft= nk-1-(k-1)=nk-k= k(n-1)平均平均T=xij TkTiT2T1总和总和xk1xk2xkjxknxi1xi2xijxinx21x22x2jx2nx11 x12 x1jx1n12jnki21处理处理重复重复x x1 x2 xi xk 方差分析优秀最新优秀课件根据各变异部分的平方和和自由度，可求得根据各变异部分的平方和和自由度，可求得处理间方差处理间方差（ st2 ）和和处理内方差处理内方差（ se2 ）：）：st2 =SStdftSSedfese2 =方差分析优秀最新优秀课件平方和平方和自由度自由度方差方差处理间处理间处理内
25、处理内总变异总变异方差分析优秀最新优秀课件某猪场对某猪场对4 4个不同品种幼猪进行个不同品种幼猪进行4 4个月增重量的测个月增重量的测定，每个品种选择体重接近的幼猪定，每个品种选择体重接近的幼猪4 4头，测定结果列于头，测定结果列于下表，试进行方差分析。下表，试进行方差分析。 =27.227.924.125.830.9T=434.4111.496.2103.2123.6T Ti i27.030.829.024.622.223.026.724.324.825.726.825.931.924.031.835.91234沈花沈花沈黑沈黑沈白沈白大白大白品品 种种重重复复x xi ixk=4，n=4，
26、nk=16方差分析优秀最新优秀课件例例 =27.227.924.125.830.9T=434.4111.496.2103.2123.6T Ti i27.030.829.024.622.223.026.724.324.825.726.825.931.924.031.835.91234沈花沈黑沈白大白 品 种重复x xi ix4个不同品种猪个不同品种猪4个月的增重量个月的增重量(kg)(1)平方和的计算：平方和的计算：T2 knC434.42 1611793.96SST x2 -C 31.92 + 24.02 + 24.62 - C213.3SSt = T Ti i2 2 - Cn11/4(123
27、.62 + 103.22 + + 111.42 ) - C103.94SSe SST - SSt=213.3 - 103.94=109.36方差分析优秀最新优秀课件例例(2)自由度的计算：自由度的计算：dfdfT T nk-1 nk-1 =16-1=15=16-1=15dfdft t = =k-1 k-1 = 4-1=3= 4-1=3dfdfe e = =k(n-1) k(n-1) =43=12=43=12(3)方差计算：方差计算：st2 =SStdft103.942 334.64734.647SSedfese2 =109.362 129.113方差分析优秀最新优秀课件四、统计假设的显著性检验
28、四、统计假设的显著性检验 F F 检验检验方差分析优秀最新优秀课件确定各种原因（确定各种原因（处理效应处理效应处理效应处理效应、试验误差试验误差试验误差试验误差）在总变异）在总变异中所占的重要程度。中所占的重要程度。处理间处理间处理间处理间的方差（的方差（s st t2 2 ）可以作为）可以作为处理效应处理效应处理效应处理效应方差的估计量方差的估计量处理内处理内处理内处理内的方差（的方差（s se e2 2 ）可以作为）可以作为试验误差试验误差试验误差试验误差差异的估计差异的估计量量处理效应处理效应试验误差试验误差方差分析的目的方差分析的目的:方差分析优秀最新优秀课件二者相比，如果相差不大，说
29、明不同处理的变异在总二者相比，如果相差不大，说明不同处理的变异在总变异中所占的位置不重要，也就是不同试验处理对结果影变异中所占的位置不重要，也就是不同试验处理对结果影响不大。响不大。如果相差较大，也就是处理效应比试验误差大得多，如果相差较大，也就是处理效应比试验误差大得多，说明试验处理的变异在总变异中占有重要的位置，不同处说明试验处理的变异在总变异中占有重要的位置，不同处理对结果的影响很大，不可忽视。理对结果的影响很大，不可忽视。处理效应处理效应试验误差试验误差方差分析优秀最新优秀课件F检验检验 从第三章我们已经知道，从一正态总体（从第三章我们已经知道，从一正态总体（ , ,2 2 ）中）中随
30、机抽取两个样本，其样本方差随机抽取两个样本，其样本方差s s1 12 2 与与s s2 22 2 的比值为的比值为F F ：Fs12 s22 其其F F 分布曲线随着分布曲线随着dfdf1 1 和和dfdf2 2 的变化而变化。由于的变化而变化。由于F F 值值表是一尾的（表是一尾的（ F F值的区间值的区间0 0，+)+) ），一般将大方差作），一般将大方差作分子，小方差作分母，使分子，小方差作分母，使F F 值大于值大于1 1，因此，表上，因此，表上dfdf1 1 的代的代表大方差自由度，表大方差自由度， dfdf2 2 代表小方差自由度。代表小方差自由度。方差分析优秀最新优秀课件用处理效
31、应的方差用处理效应的方差（s st t2 2 ）和实验误差的方差和实验误差的方差（s se e2 2 ）比较时，我们所做的比较时，我们所做的无效假设无效假设是是假设假设假设假设处理效应处理效应的变量和的变量和实验误差实验误差的变量是来自同一正态总体的两个样本，因此的变量是来自同一正态总体的两个样本，因此处理效应的方差处理效应的方差（s st t2 2 ）和实验误差的方差和实验误差的方差（s se e2 2 ）的比值的比值就是就是F F 值，即值，即处理效应处理效应试验误差试验误差=方差分析方差分析方差分析优秀最新优秀课件F检验检验 在进行不同处理差异显著性的在进行不同处理差异显著性的F F 检
32、验时，一般是把检验时，一般是把处处处处理间方差理间方差理间方差理间方差作为分子，称为大方差，作为分子，称为大方差，误差方差误差方差误差方差误差方差作为分母，称作为分母，称为小方差。为小方差。 无效假设是把各个处理的变量无效假设是把各个处理的变量假设假设假设假设来自同一总体，即来自同一总体，即处理间方差处理间方差不存在处理效应不存在处理效应不存在处理效应不存在处理效应，只有误差的影响，因而处理，只有误差的影响，因而处理间的样本方差间的样本方差t t2 2 与误差的样本方差与误差的样本方差e e2 2 相等：相等：Ho ：t2 e2HA ：t2 e2方差分析优秀最新优秀课件st2无论无效假设是否为
33、真，无论无效假设是否为真，s se e2 2 均为总体方差均为总体方差2 2的估计。的估计。se2只有无效假设为真时，只有无效假设为真时，s st t2 2 (=(=s se e2 2 ) )才是总体才是总体方差方差2 2 的估计；当无效假设不真时，将的估计；当无效假设不真时，将s st t2 2 ( (s se e2 2 ) )是一个比是一个比2 2 更大的估计值。更大的估计值。方差分析优秀最新优秀课件F检验检验与与t t 检验相类似，检验相类似，F F 检验是把计算所得检验是把计算所得的的F F 值与临界值与临界F F值比较，判断由误差造成的值比较，判断由误差造成的概率大小，最后作出统计推
34、断。概率大小，最后作出统计推断。无效假设是否成立，要看计算的无效假设是否成立，要看计算的F F 值在值在F F 分布中分布中出现的概率。出现的概率。方差分析优秀最新优秀课件F F0.05 P0.05 处理间差异不显著处理间差异不显著F F0.05 P0.05 处理间差异显著处理间差异显著F F0.01 P0.01 处理间差异极显著处理间差异极显著否定否定H Ho o否定否定H Ho o接受接受H Ho o 我们确定显著标准水平我们确定显著标准水平后，从后，从F F 值表中查出在值表中查出在dfdft t和和dfdfe e下的下的F F值值方差分析优秀最新优秀课件综上所述，可归纳成方差分析表综上
35、所述，可归纳成方差分析表(analysis of (analysis of variance table)variance table)s se e2 2k(n-1)k(n-1)SSSSe e误差或处理内误差或处理内nk-1nk-1SSSST T总和总和s st t2 2k-1k-1SSSSt t处理间处理间F F均方均方自由度自由度平方和平方和变异来源变异来源F Fs st t2 2s se e2 2F检验检验方差分析优秀最新优秀课件上例中，上例中，4个不同品种猪增重的个不同品种猪增重的F值为：值为：Fst2 se2 34.647 9.113 3.802dfdft t 3 dfdfe e 1
36、2， 查查F值表得值表得F0.05 3.49， F0.015.95品种间猪的增重量差异是显著的品种间猪的增重量差异是显著的例例F0.01F F0.050.01P FF F0.01 0.01 ，P 0.01P LSDLSD0.010.01，说明两地间差异极显著，标说明两地间差异极显著，标以不同的大写字母；以不同的大写字母；LSDLSD0.010.01 各组间差数各组间差数 LSDLSD0.05 0.05 ，说明两地间差异显著，说明两地间差异显著，标以不同的小写字母；标以不同的小写字母；方差分析优秀最新优秀课件地区地区平均数平均数差异显著性差异显著性0.050.050.010.01东北东北内蒙古内
37、蒙古河北河北安徽安徽贵州贵州31.6031.6027.4027.4026.0326.0324.7524.7522.8522.85a ab bbcbcc cd dA AB BBCBCCDCDD D结果表明，东北与其它地区，内蒙古与安徽、贵州，结果表明，东北与其它地区，内蒙古与安徽、贵州，河北与贵州黄鼬冬季针毛长度差异均达到极显著水平，河北与贵州黄鼬冬季针毛长度差异均达到极显著水平，安徽与贵州差异达到显著水平，而内蒙古与河北、河北安徽与贵州差异达到显著水平，而内蒙古与河北、河北与安徽差异不显著。与安徽差异不显著。方差分析优秀最新优秀课件根据组内观测次数目不同根据组内观测次数目不同组内观测次数相组内
38、观测次数相等的方差分析等的方差分析组内观测次数不组内观测次数不相等的方差分析相等的方差分析方差分析优秀最新优秀课件 有时由于试验条件的限制，不同处理的观测次数不同，有时由于试验条件的限制，不同处理的观测次数不同，k k个处理的观测次数依次是个处理的观测次数依次是n n1 1 、n n2 2 、n nk k的单因素分组资料，的单因素分组资料，前面介绍的方差分析方法仍然可用，但由于总观测次数不是前面介绍的方差分析方法仍然可用，但由于总观测次数不是nknk，而是，而是 次，在计算平方和时公式稍有改变。次，在计算平方和时公式稍有改变。组内观测次数不相等的方差分析组内观测次数不相等的方差分析se2ni-
39、1 SSe误差或处理内误差或处理内SST总和总和st2k-1处理间处理间F方差方差自由度自由度平方和平方和变异来源变异来源Fst2se2ni-k 方差分析优秀最新优秀课件在作多重比较时，首先应计算平均数的标准误。由在作多重比较时，首先应计算平均数的标准误。由于各组内观测次数不等，因此应需先算得各于各组内观测次数不等，因此应需先算得各n ni i的平均数的平均数n n0 0 ：各个处理的样本容量用于LSR检验用于LSD检验方差分析优秀最新优秀课件用某种小麦种子进行切胚乳试验，实验分为三种处理：用某种小麦种子进行切胚乳试验，实验分为三种处理：整粒小麦（整粒小麦（I I），切去一半胚乳（），切去一半
40、胚乳（IIII），切去全部胚乳），切去全部胚乳（IIIIII），同期播种与条件较一致的花盆内，出苗后每盆选），同期播种与条件较一致的花盆内，出苗后每盆选留两株，成熟后进行单株考种，每株粒重结果如表，试进留两株，成熟后进行单株考种，每株粒重结果如表，试进行方差分析。行方差分析。处理处理株号株号合计合计平均数平均数12345678910III21202429252224252822232525292130312627242626 20 2120424414625.524.424.3小麦切胚乳试验单株粒重（小麦切胚乳试验单株粒重（g g）方差分析优秀最新优秀课件处理处理株号株号合计合计平均数平均数1
41、2345678910III21202429252224252822232525292130312627242626 20 2120424414625.524.424.3小麦切胚乳试验单株粒重（小麦切胚乳试验单株粒重（g）n1 8， n2 10， n3 6，N24(1)平方和的计平方和的计算算方差分析优秀最新优秀课件SST x2 C= 212 + 292 + 262 -C=230.5SSe SST - SSt 230.5-6.8223.7(2)自由度的计自由度的计算算方差分析优秀最新优秀课件(3)列方差分析列方差分析表表变异来源变异来源SSdfs2F处理间处理间处理内处理内6.8233.7221
42、3.410.70.318总变异总变异230.523由表中结果可知，由表中结果可知，F F1 1，表明三种处理的每株粒重无，表明三种处理的每株粒重无显著差异。显著差异。方差分析优秀最新优秀课件 由于由于F检验不显著，不需要再作多重比较。如果检验不显著，不需要再作多重比较。如果F检验检验显著，则需要进一步计算显著，则需要进一步计算n0 ，并求得，并求得 （用于（用于LSR检验）检验）或或 （用于（用于LSD检验），即检验），即x x1 1x x2 2-Sx xS方差分析优秀最新优秀课件 需要指出的是，不等观测次数的试验要尽量需要指出的是，不等观测次数的试验要尽量避免，因为这样的试验数据不仅计算麻烦
43、，而且避免，因为这样的试验数据不仅计算麻烦，而且也降低了分析的灵敏度。也降低了分析的灵敏度。方差分析优秀最新优秀课件 需要指出的是，不等观测次需要指出的是，不等观测次数的试验要尽量避免，因为这样数的试验要尽量避免，因为这样的试验数据不仅计算麻烦，而且的试验数据不仅计算麻烦，而且也降低了分析的灵敏度。也降低了分析的灵敏度。方差分析优秀最新优秀课件在实际工作中经常会遇到两种因素共同影响试验结果的情况在实际工作中经常会遇到两种因素共同影响试验结果的情况每一观测值都是某一特定温度与光照条件共同作用的结果。每一观测值都是某一特定温度与光照条件共同作用的结果。温度光照B1B2BcA1A1 B1A1B2A1
44、 BcA2A2 B1A2B2A2 BcArAr B1ArB2Ar Bc方差分析优秀最新优秀课件第三节第三节二因素方差分析二因素方差分析方差分析优秀最新优秀课件试验指标试验指标因因 素素水水 平平处处 理理效效 应应一、相关概念一、相关概念方差分析优秀最新优秀课件一、相关概念一、相关概念试验指标：衡量试验结果的标准试验指标：衡量试验结果的标准猪的日增重猪的日增重小麦产量小麦产量酶的活性酶的活性试验指标试验指标方差分析优秀最新优秀课件因素因素(factor)(factor)：也叫因子，是指对试验指标有影响，在研究：也叫因子，是指对试验指标有影响，在研究中加以（控制）考虑的试验条件。中加以（控制）考
45、虑的试验条件。可控因子：在试验中可以人为地加以调控的因子可控因子：在试验中可以人为地加以调控的因子 浓度、温度等浓度、温度等非控因子：不能人为调控的因素（气象、环境等）非控因子：不能人为调控的因素（气象、环境等）固定因素：指因素的水平是经过特意选择的固定因素：指因素的水平是经过特意选择的随机因素：指因素的水平是从该因素水平总体中随随机因素：指因素的水平是从该因素水平总体中随 机抽出的样本机抽出的样本因素因素一、相关概念一、相关概念方差分析优秀最新优秀课件不同离子不同离子对木聚糖对木聚糖酶活性酶活性的影响的影响(mg/ml)(mg/ml)0.000.250.500.751.001.250.000
46、.060.120.180.240.300.000.400.800.801.201.602.000.000.400.600.801.001.20Na+K+ Cu2+ Mn2+实验指标实验指标因素因素方差分析优秀最新优秀课件水平水平(level)(level)：每个因素的不同状态（从质或量方：每个因素的不同状态（从质或量方 面分成不同的等级）面分成不同的等级）因素是一个抽象的概念，水平则是一个较为因素是一个抽象的概念，水平则是一个较为具体的概念具体的概念水平水平一、相关概念一、相关概念方差分析优秀最新优秀课件不同离子不同离子对木聚糖对木聚糖酶活性酶活性的影响的影响(mg/ml)(mg/ml)0.0
47、00.250.500.751.001.250.000.060.120.180.240.300.000.400.800.801.201.602.000.000.400.600.801.001.20Na+K+ Cu2+ Mn2+水水平平方差分析优秀最新优秀课件处处 理理处理：指对试验对象施以不同的措施处理：指对试验对象施以不同的措施饲料种类饲料种类鱼增重（鱼增重（3个重复）个重复）ABCD31.9 27.9 31.824.8 25.7 26.822.1 23.6 27.327.0 30.8 29.0 对对单因素试验单因素试验而言，水平和而言，水平和处理是一致的，处理是一致的，一个水平就是一个水平就
48、是一个处理一个处理4 4种不同配合饲料对鱼的饲养效果种不同配合饲料对鱼的饲养效果一、相关概念一、相关概念方差分析优秀最新优秀课件处处 理理饲料中能量与蛋白质的水平组合饲料中能量与蛋白质的水平组合 protein 能量高高低低高高低低高高 高高低低 高高高高 低低低低 低低对对多因素试验多因素试验而言，处理就而言，处理就是指水平与水是指水平与水平的组合平的组合一、相关概念一、相关概念方差分析优秀最新优秀课件固定效应固定效应(fixed effect)：由固定因：由固定因素所引起的效应。素所引起的效应。随机效应随机效应(random effect)：由随机：由随机因素引起的效应。因素引起的效应。一
49、、相关概念一、相关概念效应效应方差分析优秀最新优秀课件定义：是指对试验指标同时受到两个试验定义：是指对试验指标同时受到两个试验因素作用的试验资料的方差分析。因素作用的试验资料的方差分析。固定模型固定模型二因素都是固定因素二因素都是固定因素随机模型随机模型二因素均为随机因素二因素均为随机因素混合模型混合模型一个因素是固定因素，一个因素是固定因素，一个因素是随机因素一个因素是随机因素二因素方差分析二因素方差分析方差分析优秀最新优秀课件主效和互作主效和互作主效应主效应（main effectmain effect）：各试验因素的相对独立作用各试验因素的相对独立作用互作互作（interactionin
50、teraction）：某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同。同。方差分析优秀最新优秀课件因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值二因素间是否存在交互作用有专门的统计判断方法，二因素间是否存在交互作用有专门的统计判断方法，有时也可根据专业知识判断。有时也可根据专业知识判断。如果交互作用如果交互作用显著显著，则各因素的效应就，则各因素的效应就不能累加不能累加，最优，最优处理组合的选定应根据处理组合的选定应根据各处理组合的直接表现选定各处理组合的直接表现选定。有时交。有时交互作用相当大，甚至可以
51、忽略主效应。互作用相当大，甚至可以忽略主效应。如果交互作用如果交互作用不显著不显著，则各因素的效应可以，则各因素的效应可以累加累加，各因，各因素的素的最优水平组合起来最优水平组合起来，即为最优的处理组合。，即为最优的处理组合。方差分析优秀最新优秀课件二因素方差分析二因素方差分析无重复观测值的二因素方差分析无重复观测值的二因素方差分析具有重复观测值的二因素方差分析具有重复观测值的二因素方差分析无重复观测值的二因素方差分析无重复观测值的二因素方差分析方差分析优秀最新优秀课件依据经验或专业知识，判断二因素无交依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每个处理可只设一个观测值，即互作用时，每个处理可
52、只设一个观测值，即假定假定A A因素有因素有a a各水平，各水平，B B因素有因素有b b个水平，每个水平，每个处理组合只有一个观测值。个处理组合只有一个观测值。无重复观测值的二因素方差分析无重复观测值的二因素方差分析方差分析优秀最新优秀课件因素因素A A因素因素B B总和总和T Ti i. .平均数平均数B B1 1B B2 2B Bb bA A1 1x x1111x x1212x x1b1bT T1 1. .A A2 2x x2121x x2222x x2b2bT T2 2. .A Aa ax xa1a1x xa2a2x xababT Ta a. .总和总和T.T.j jT.T.1 1T.
53、T.2 2T.T.b bT T平均数平均数无重复观测值的二因素分组资料模式无重复观测值的二因素分组资料模式方差分析优秀最新优秀课件二因素方差分析的线性模型二因素方差分析的线性模型因素间不存在交互作用，所以二因素方差因素间不存在交互作用，所以二因素方差分析观测值的线性模型是分析观测值的线性模型是xij = +i +j +iji 和j 是A因素和B因素的效应，可以是固定的，也可以是随机的，且，ij是随机误差，彼此独立且服从N(0，2)。i=1,2,a; j=1,2, ,b方差分析优秀最新优秀课件（1 1）平方和的分解为：）平方和的分解为：方差分析优秀最新优秀课件（2 2）与平方和相应的自由度的分解
54、为）与平方和相应的自由度的分解为方差分析优秀最新优秀课件（4 4）F F值的计算：值的计算：（3 3）各项的方差分别为）各项的方差分别为方差分析优秀最新优秀课件将一种生长激素配成将一种生长激素配成M M1 1，M M2 2，M M3 3，M M4 4，M M5 5五种浓度，并用五种浓度，并用H1H1，H2H2，H3H3三种时间浸渍某大豆品种的种子，出苗三种时间浸渍某大豆品种的种子，出苗4545天后的各处理每天后的各处理每以植株的平均干物重（以植株的平均干物重（g g）（下表）。试作方差分析与多重比较。）（下表）。试作方差分析与多重比较。浓度浓度 （A A）时间（时间（B B）T Ti iH H
55、1 1H H2 2H H3 3M M1 1131314141414414113.6713.67M M2 2121212121313373712.3312.33M M3 33 33 33 39 93.003.00M M4 410109 9101029299.679.67M M5 52 25 54 411113.673.67T.T.j j4040434344441271278.08.08.68.68.88.88.478.47激素处理对大豆干物重的影响激素处理对大豆干物重的影响激素浓度和时间均为固定因素，适应于固定模型激素浓度和时间均为固定因素，适应于固定模型。方差分析优秀最新优秀课件（1 1）平均
56、和的计算：）平均和的计算：方差分析优秀最新优秀课件（2 2）自由度的计算）自由度的计算（3 3）列出方差分析表，进行）列出方差分析表，进行F F 检验检验方差分析优秀最新优秀课件变异来源变异来源dfdfSSSSs s2 2F FF F0.050.05F F0.010.01浓度间浓度间4 4289.06289.0672.2772.27116.56116.56*3.843.847.017.01时间间时间间误差误差2 28 81.731.734.944.940.870.870.620.621.401.404.464.468.658.65总变异总变异1414295.73295.73F F 检验结果表明
57、，浓度间的检验结果表明，浓度间的F F 值大于值大于F F0.010.01，时间间的，时间间的F F值未达到显著水平，表明不同激素浓度对大豆干物重有极值未达到显著水平，表明不同激素浓度对大豆干物重有极显著差异。显著差异。（4 4）进行多重比较（用）进行多重比较（用SSRSSR检验）：由于只有浓度间的效检验）：由于只有浓度间的效应达到了极显著差异，时间间的效应未达到显著水平，只应达到了极显著差异，时间间的效应未达到显著水平，只需对需对5 5种浸渍浓度进行多重比较，可计算出浓度间的平均种浸渍浓度进行多重比较，可计算出浓度间的平均数标准误均为数标准误均为方差分析优秀最新优秀课件b=3b=3是每一浓度
58、的观测值数目，如果要比较时间间的是每一浓度的观测值数目，如果要比较时间间的效应，由于每一时间有效应，由于每一时间有a=5a=5个观测值，其平均数的标准误个观测值，其平均数的标准误应为应为方差分析优秀最新优秀课件M2345SSR0.053.263.403.483.52SSR0.014.754.945.065.14SSR0.051.481.551.581.60SSR0.012.162.252.302.34不同浓度大豆干物重多重比较不同浓度大豆干物重多重比较SSRSSR和和LSRLSR值值查查SSRSSR值表，当值表，当dfdfe e=8=8，M=2M=2，3 3，4 4，5 5时的时的SSRSSR
59、值及值及由此计算的由此计算的LSRLSR值列于下表值列于下表方差分析优秀最新优秀课件多重比较结果表明：多重比较结果表明：5 5种生长激素浓度对大豆干物重的种生长激素浓度对大豆干物重的影响有着极显著的差异，除影响有着极显著的差异，除M M1 1与与M M2 2，M M5 5与与M M3 3之外差异不显著外，之外差异不显著外，其它浓度之间的大豆干物重均达到极显著差异。其它浓度之间的大豆干物重均达到极显著差异。5 5种激素浓种激素浓度中，以度中，以M M1 1和和M M2 2的处理效果较好。的处理效果较好。浓度浓度平均数平均数差异显著性差异显著性0.050.050.010.01M M1 1M M2
60、2M M3 3M M4 4M M5 513.6713.6712.3312.339.679.673.673.673.003.00a aa ab bc cc cA AA AB BC CC C方差分析优秀最新优秀课件无重复观测值的二因素方差分析，所估计的误无重复观测值的二因素方差分析，所估计的误差实际上是这两个因素的差实际上是这两个因素的相互作用相互作用，这是在两个因，这是在两个因素素不存在不存在互作，或互作很小的情况下进行估计的。互作，或互作很小的情况下进行估计的。但是，如果但是，如果存在存在两个因素的互作，方差分析中两个因素的互作，方差分析中就不能用互作来估计误差，必须在就不能用互作来估计误差，
61、必须在有重复观测值有重复观测值的的情况下对试验误差进行估计。情况下对试验误差进行估计。方差分析优秀最新优秀课件定义定义：是指对：是指对试验指标试验指标同时受到两个试验同时受到两个试验因素因素作用的试验资料的方差分析。作用的试验资料的方差分析。二因素都是固定因素二因素都是固定因素二因素均为随机因素二因素均为随机因素固定模型固定模型随机模型随机模型混合模型混合模型一个因素是固定因素，一个因素是固定因素，一个因素是随机因素一个因素是随机因素二因素方差分析二因素方差分析三种模型在计算上类似，但在对待检验及结果解释时有三种模型在计算上类似，但在对待检验及结果解释时有所不同所不同。方差分析优秀最新优秀课件
62、二因素方差分析二因素方差分析无重复观测值的二因素方差分析无重复观测值的二因素方差分析具有重复观测值的二因素方差分析具有重复观测值的二因素方差分析无重复观测值的二因素方差分析无重复观测值的二因素方差分析方差分析优秀最新优秀课件依据经验或专业知识，判断二因素无交依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每个处理可只设一个观测值，即互作用时，每个处理可只设一个观测值，即假定假定A A因素有因素有a a个水平，个水平，B B因素有因素有b b个水平，每个水平，每个处理组合只有一个观测值。个处理组合只有一个观测值。无重复观测值的二因素方差分析无重复观测值的二因素方差分析方差分析优秀最新优秀课件因素因素
63、A A因素因素B B总和总和T Ti i. .平均数平均数B B1 1B B2 2B Bb bA A1 1x x1111x x1212x x1b1bT T1 1. .A A2 2x x2121x x2222x x2b2bT T2 2. .A Aa ax xa1a1x xa2a2x xababT Ta a. .总和总和T.T.j jT.T.1 1T.T.2 2T.T.b bT T平均数平均数无重复观测值的二因素无重复观测值的二因素分组资料模式分组资料模式方差分析优秀最新优秀课件二因素方差分析的线性模型二因素方差分析的线性模型因素间不存在交互作用，所以二因素方差因素间不存在交互作用，所以二因素方差
64、分析观测值的线性模型是分析观测值的线性模型是xij = +i +j +iji 和j 是A因素和B因素的效应，可以是固定的，也可以是随机的，且，ij是随机误差，彼此独立且服从标准正态分布N(0，2)。i=1,2,a; j=1,2, ,b方差分析优秀最新优秀课件二因素方差分析的线性模型二因素方差分析的线性模型因素间不存在交互作用，所以二因素方差因素间不存在交互作用，所以二因素方差分析观测值的线性模型是分析观测值的线性模型是xij = +i +j +iji 和j 是A因素和B因素的效应，可以是固定的，也可以是随机的，且，ij是随机误差，彼此独立且服从标准正态分布N(0，2)。i=1,2,a; j=1
65、,2, ,b方差分析优秀最新优秀课件（1 1）平方和的分解为：）平方和的分解为：方差分析优秀最新优秀课件（2 2）与平方和相应的自由度的分解为）与平方和相应的自由度的分解为方差分析优秀最新优秀课件（4 4）F F值的计算：值的计算：（3 3）各项的方差分别为）各项的方差分别为方差分析优秀最新优秀课件无重复观测值的二因素方差分析，所估计的误无重复观测值的二因素方差分析，所估计的误差实际上是这两个因素的差实际上是这两个因素的相互作用相互作用，这是在两个因，这是在两个因素素不存在不存在互作，或互作很小的情况下进行估计的。互作，或互作很小的情况下进行估计的。但是，如果但是，如果存在存在两个因素的互作，
66、方差分析中两个因素的互作，方差分析中就不能用互作来估计误差，必须在就不能用互作来估计误差，必须在有重复观测值有重复观测值的的情况下对试验误差进行估计。情况下对试验误差进行估计。方差分析优秀最新优秀课件二因素方差分析二因素方差分析无重复观测值的二因素方差分析无重复观测值的二因素方差分析具有重复观测值的二因素方差分析具有重复观测值的二因素方差分析具有重复观测值的二因素方差分析具有重复观测值的二因素方差分析方差分析优秀最新优秀课件具有重复观测值的二因素方差分析具有重复观测值的二因素方差分析具有重复观测值的二因素试验的具有重复观测值的二因素试验的典型设计典型设计是：是：假定假定A因素有因素有a水平，水
67、平，B因素有因素有b水平，则每一次重水平，则每一次重复都包括复都包括ab次实验，设试验次实验，设试验重复重复n次次，资料模式在，资料模式在P98。方差分析优秀最新优秀课件二因素具有重复观测值的方差分析用下面二因素具有重复观测值的方差分析用下面线性模型线性模型来描述：来描述：xijk = +i + j+()ij +ijkA A因素第因素第i i 水水平，平，B B因素第因素第j j水平和第水平和第k k次次重复的观测值重复的观测值总平均值总平均值A A因素第因素第i i水水平的效应平的效应B B因素第因素第j j水水平的效应平的效应i i 和和 j j的交互作用的交互作用随机误差随机误差模型中模
68、型中ijk彼此独立且服从标准正态分布（彼此独立且服从标准正态分布（ 0 ,2）方差分析优秀最新优秀课件因试验共有因试验共有n n次重复，试验的总次数为次重复，试验的总次数为abnabn次。方差分析次。方差分析步骤和前面介绍的相类似，唯一不同的是步骤和前面介绍的相类似，唯一不同的是F F检验的方法。检验的方法。（1 1）平方和的分解为：）平方和的分解为：A处理的样本容量方差分析优秀最新优秀课件B处理的样本容量A处理、B处理和AB互作的平方和试验重复数方差分析优秀最新优秀课件（3 3）各项的方差分别为）各项的方差分别为（2 2）自由度的分解为）自由度的分解为方差分析优秀最新优秀课件（4 4）F F
69、检验：检验：（）随机模型：对于随机模型，（）随机模型：对于随机模型， i i、j j、()()ijij 和和ijkijk是相互独立的随机变量，都遵从正态分布。在是相互独立的随机变量，都遵从正态分布。在F F检验时，先检验检验时，先检验ABAB是否显著：是否显著：（a）固定模型：在固定模型中，）固定模型：在固定模型中， i i ，j j及及()()ijij 均为固定效应。在均为固定效应。在F F检验时，检验时，A A因素、因素、B B因素和因素和ABAB互作项互作项均以均以S Se e2 2作为分母。作为分母。方差分析优秀最新优秀课件检验检验A A、B B时，有：时，有：（）混合模型（以（）混合
70、模型（以A A为固定因素，为随机因素为例）为固定因素，为随机因素为例）：在混合模型中，：在混合模型中， A A和和B B的效应为非可加性，的效应为非可加性，i i 为固为固定效应，定效应，j j及及()()ijij 为为随机效应随机效应。对。对A A作检验时同作检验时同随机模型，对随机模型，对B B和和ABAB作检验时同作检验时同固定模型固定模型，即：，即：在实际应用中，固定模型应用最多，随机模型和混在实际应用中，固定模型应用最多，随机模型和混合模型相对较少。合模型相对较少。方差分析优秀最新优秀课件为了研究某种昆虫滞育期长短与环境的关系，在给定的为了研究某种昆虫滞育期长短与环境的关系，在给定的
71、温度和光照条件下在实验室培养，每一处理记录温度和光照条件下在实验室培养，每一处理记录4 4只昆虫的只昆虫的滞育天数，结果列于表中，是对该材料进行方差分析。滞育天数，结果列于表中，是对该材料进行方差分析。光照（光照（A）温度（温度（B）250C300C350C5hd-1143138120107101100808389931017610hd-1961037891796183598076616715hd-1798396986071786467587183不同温度及光照条件下某种昆虫滞育天数不同温度及光照条件下某种昆虫滞育天数方差分析优秀最新优秀课件由于温度和光照条件都是人为控制的，为固定因素，由于温
72、度和光照条件都是人为控制的，为固定因素，可依固定因素分析。可依固定因素分析。将表中数字均减去将表中数字均减去8080，整理得下表，整理得下表光照（）光照（）标本号标本号温度（温度（B）250C300C350C5hd-1123463584027212003913214271188443910hd-1123416232111193210419132648383615hd-11234131618209216132293523647412724138193方差分析优秀最新优秀课件（1 1）平方和的分解为：）平方和的分解为：方差分析优秀最新优秀课件（2 2）自由度的分解为）自由度的分解为方差分析优秀最新
73、优秀课件结果列入方差分析表结果列入方差分析表方差分析优秀最新优秀课件变异来源变异来源dfdfSSSSs s2 2F FF F0.050.05F F0.010.01光照间光照间2 25367.065367.062683.532683.5321.94*3.353.355.495.49温度间温度间2 25391.065391.062695.532695.5322.0322.03*3.353.355.495.49光照光照温度温度误差误差4 42727464.94464.943303.253303.25116.24116.24122.34122.340.950.952.732.734.114.11总变异
74、总变异3535295.73295.73F F 检验结果表明，浓度间和时间间的检验结果表明，浓度间和时间间的F F 值大于值大于F F0.010.01，它们的差异极显著，即昆虫滞育期长短主要决定于它们的差异极显著，即昆虫滞育期长短主要决定于光照光照和和温度温度，而与两者之间的，而与两者之间的互作关系不大互作关系不大。某昆虫滞育天数方差分析表某昆虫滞育天数方差分析表方差分析优秀最新优秀课件要了解各种要了解各种光照光照时间及时间及温度温度对滞育期的影响，需进行对滞育期的影响，需进行不同光照间及不同温度间的多重比较，其方法可参照前面不同光照间及不同温度间的多重比较，其方法可参照前面例子进行，但平均数标
75、准误的计算为：光照（例子进行，但平均数标准误的计算为：光照（A A）间平均）间平均数标准误，温度（数标准误，温度（B B）间平均数标准误）间平均数标准误A处理的样本容量B处理的样本容量方差分析优秀最新优秀课件在啤酒生产中，为了研究烘烤方式（在啤酒生产中，为了研究烘烤方式（A A）与大麦水分）与大麦水分（B B）对糖化时间的影响，选了两种烘烤方式，）对糖化时间的影响，选了两种烘烤方式，4 4种水分共种水分共8 8种处理，每一处理重复三次，结果如下表。种处理，每一处理重复三次，结果如下表。烘烤方式烘烤方式(A)水分水分(B)B1B2B3B4A112.09.516.018.013.010.015.5
76、19.014.512.514.017.0A25.013.017.515.06.514.018.516.05.515.016.017.5大麦水分是不均匀的，又不易控制，所以因素大麦水分是不均匀的，又不易控制，所以因素B B是随机的，它的是随机的，它的效应也是随机的，因此本题是一个混合模型的方差分析。效应也是随机的，因此本题是一个混合模型的方差分析。将上表中各观测值都减去将上表中各观测值都减去1010，计算后得，计算后得方差分析优秀最新优秀课件烘烤方烘烤方式式（A A）标本标本号号水分（水分（B B）B B1 1B B2 2B B3 3B B4 4A A1 11 12.02.0-5.0-5.06.
77、06.08.08.051.051.02 23.03.00.00.05.55.59.09.03 34.54.52.52.54.04.07.07.09.59.52.02.015.515.524.024.0A A2 21 1-5.0-5.03.03.07.57.55.05.039.539.52 2-3.5-3.54.04.08.58.56.06.03 3-4.5-4.55.05.06.06.07.57.5-13.0-13.012.012.022.022.018.518.5-3.5-3.5141437.537.542.542.590.590.5方差分析优秀最新优秀课件（1 1）平方和的分解为：）平方和
78、的分解为：方差分析优秀最新优秀课件（2 2）自由度的分解为）自由度的分解为方差分析优秀最新优秀课件结果列入方差分析表结果列入方差分析表方差分析优秀最新优秀课件变异来源变异来源dfdfSSSSs s2 2F FF F0.050.05F F0.010.01烘烤方式烘烤方式A A1 15.5105.5105.5105.5100.15410.1910.1934.1234.12水分水分B B3 3228.865228.86576.28876.28855.48255.482*3.243.245.295.29A AB B误差误差3 31616107.615107.61522.00022.00035.8723
79、5.8721.3751.37526.08926.089*3.243.245.295.29总变异总变异2323363.99363.99糖化时间方差分析表糖化时间方差分析表表中表中F F的计算为：的计算为：方差分析优秀最新优秀课件F F 检验结果表明，水分和的检验结果表明，水分和的A A A AB B B B的的F F 值大于值大于F F0.010.01，大麦中的，大麦中的水分水分及及水分与烘烤方式之间的互作水分与烘烤方式之间的互作对糖化对糖化时间的影响达到了极显著水平，而烘烤方式对糖化时时间的影响达到了极显著水平，而烘烤方式对糖化时间的作用不显著。在生产上应注意大麦的间的作用不显著。在生产上应注
80、意大麦的含水量含水量及及根根据含水量来选择合适的烘烤方式据含水量来选择合适的烘烤方式。变异来源变异来源dfdfSSSSs s2 2F FF F0.050.05F F0.010.01烘烤方式烘烤方式A A1 15.5105.5105.5105.5100.15410.1910.1934.1234.12水分水分B B3 3228.865228.86576.28876.28855.48255.482*3.243.245.295.29A AB B误差误差3 31616107.615107.61522.00022.00035.87235.8721.3751.37526.08926.089*3.243.24
81、5.295.29总变异总变异2323363.99363.99方差分析优秀最新优秀课件第四节第四节多因素方差分析多因素方差分析方差分析优秀最新优秀课件实际工作中，往往需要考察实际工作中，往往需要考察三个或多个因素三个或多个因素的效应。这相当于把二因素方差分析扩展到一般的效应。这相当于把二因素方差分析扩展到一般情况。如在一个试验中，情况。如在一个试验中，A A因素有因素有a a水平，水平， B B因素因素有有b b水平，水平， C C因素有因素有c c水平等，假设每一处理都有水平等，假设每一处理都有n n次重复，那么总观测次数为次重复，那么总观测次数为abcnabcn次。本节仅对三次。本节仅对三因
82、素的情况进行分析。（见因素的情况进行分析。（见P104P104）方差分析优秀最新优秀课件设有一个三因素方差分析模型，各取了设有一个三因素方差分析模型，各取了a、b、c个水个水平，每一处理有平，每一处理有n次重复。对观测值，其线性数学模型为：次重复。对观测值，其线性数学模型为：xijkl = +i + j+k+()ij + ( )ik + ( )jk + ( )ijk + ijkl总体平均数总体平均数随机误差随机误差A A因素第因素第i i水平，水平，B B因素第因素第j j水平水平, C, C因素第因素第k k水平第水平第l l次重复的观测值次重复的观测值A A因素、因素、 B B因素、因素、
83、 C C因素的效应因素的效应AB AB 、 AC AC 、 BC BC的交互效应的交互效应三因素的交互效应（三因素的交互效应（ABCABC）xijkli 、 j、k()ij 、 ( )ik 、 ( )jk( )ijki=1,2,a； j=1,2, ,b；k=1,2, ,c；l=1,2, ,n方差分析优秀最新优秀课件xijkl = +i + j+k+()ij + ( )ik + ( )jk + ( )ijk + ijkl同时应满足下列四个条件：方差分析优秀最新优秀课件实际分析时，可将三因素试验数据列成三个两实际分析时，可将三因素试验数据列成三个两向表（向表（A A、B B因素组合因素组合，B B
84、、C C因素组合因素组合，A A、C C因素组因素组合合），把三因素方差分析化为二因素方差分析。），把三因素方差分析化为二因素方差分析。因此可以计算出因此可以计算出SSSSA A、SSSSB B、SSSSC C、SSSSABAB、SSSSBCBC、SSSSACAC，其中，其中SSSSA A、SSSSB B、SSSSC C不需要重复计算。不需要重复计算。方差分析优秀最新优秀课件总平方和总平方和为全部试验观测值的平方和，即：为全部试验观测值的平方和，即：误差平方和误差平方和SSSSe e显然等于在同一处理下数据的变异显然等于在同一处理下数据的变异平方和，即：平方和，即：方差分析优秀最新优秀课件总平
85、方和可分解为：总平方和可分解为：总自由度的分解：总自由度的分解：dfT=dfA+dfB+dfC+dfAB+dfAC+dfBC+dfABC+dfe方差分析优秀最新优秀课件由于胱氨酸、蛋氨酸和蛋白质都是可以控制由于胱氨酸、蛋氨酸和蛋白质都是可以控制的，所以适用于固定模型。的，所以适用于固定模型。a=4a=4，b=3b=3，c=2c=2，n=2n=2。为了研究在猪饲料中添加胱氨酸（因素为了研究在猪饲料中添加胱氨酸（因素A A）、）、蛋氨酸（因素蛋氨酸（因素B B）和蛋白质（因素）和蛋白质（因素C C）对猪日增重）对猪日增重（kgkg）的影响，设计了下面的试验，每一组共用）的影响，设计了下面的试验，每
86、一组共用两头猪作重复，结果两头猪作重复，结果P105P105，试作方差分析。，试作方差分析。方差分析优秀最新优秀课件（1 1）将数据分别累加，结果）将数据分别累加，结果P106P106。（2 2）计算平方和：）计算平方和：方差分析优秀最新优秀课件方差分析优秀最新优秀课件方差分析优秀最新优秀课件2.0409-1.27560.7653SSt方差分析优秀最新优秀课件（）自由度的分解为（）自由度的分解为方差分析优秀最新优秀课件（4）结果列入方差分析表）结果列入方差分析表方差分析优秀最新优秀课件变异来源变异来源dfdfSSSSs s2 2F FF F0.050.05F F0.010.01胱氨酸胱氨酸A
87、A3 30.04270.04270.01420.01420.4453.013.014.724.72蛋氨酸蛋氨酸B B2 20.05260.05260.02630.02630.8240.8243.403.405.615.61蛋白质蛋白质C C1 10.53550.53550.53550.535516.78716.787*4.264.267.827.82A AB B6 60.25430.25430.04240.04241.3291.3292.512.513.673.67A AC C3 30.23990.23990.08000.08002.5082.5083.013.014.724.72B BC C
88、2 20.08210.08210.04100.04101.2851.2853.403.405.615.61A AB BC误差误差6 624240.06850.06850.76530.76530.01140.01140.03190.03190.3570.3572.512.513.673.67总变异总变异4747363.99363.99检验结果表明，蛋白质蛋白质对猪日增重影响极其显著，胱氨酸及蛋氨酸的影响不显著，可能的原因是在饲料中并不缺乏这两种氨基酸。方差分析优秀最新优秀课件方差分析的数据一般都是事先设计好的，方差分析的数据一般都是事先设计好的，意外意外事件事件常使某一个或某几个数据丢失，比如收
89、获的作常使某一个或某几个数据丢失，比如收获的作物可能遭到毁坏，动物可能有死亡，或者在记录时物可能遭到毁坏，动物可能有死亡，或者在记录时可能漏记或记错等等。可能漏记或记错等等。数据的缺失使数据的缺失使平方和的线性可加模型平方和的线性可加模型无效，因无效，因此无法直接进行方差分析。此无法直接进行方差分析。缺失的数据可用缺失的数据可用统计方法统计方法从理论上估计出，用从理论上估计出，用计算出的数据去弥补缺失的数据，这样就可以用前计算出的数据去弥补缺失的数据，这样就可以用前面介绍过的方法进行分析。面介绍过的方法进行分析。方差分析优秀最新优秀课件第五节第五节方差分析缺失数据的估计方差分析缺失数据的估计方
90、差分析优秀最新优秀课件使补上缺失的数据后，使补上缺失的数据后，误差平方和误差平方和最小。最小。弥补缺失数据的弥补缺失数据的原则原则有一点必须明确，缺失数据估计并有一点必须明确，缺失数据估计并不能恢复不能恢复原来的数据，只能是补足后原来的数据，只能是补足后不致于干扰其余数据不致于干扰其余数据，估计的数据并估计的数据并不能提出任何新的信息不能提出任何新的信息，因此，试，因此，试验中应验中应尽量避免尽量避免这类情况发生。这类情况发生。注意方差分析优秀最新优秀课件缺失一个数据的估计方法方差分析缺失数据的估计缺失两个数据的估计方法方差分析优秀最新优秀课件缺失一个数据的估计方法B1B2B3B4B5B6B7
91、B8总和A13039414242393838309A23746x4351443549305+xA32737362437413343278A43042354046473846324总和124164112+x1491761711441761216+x上表中x23是缺失的，需要补上。方差分析优秀最新优秀课件B1B2B3B4B5B6B7B8总和A13039414242393838309A23746x4351443549305+xA32737362437413343278A43042354046473846324总和124164112+x1491761711441761216+x误差的平方和可由下式求出
92、：方差分析优秀最新优秀课件为了SSe 达到最小，令，则有：解该方程，得：把这个数据填在表内，在进行方差分析时，除总自由度dfT和误差自由度dfe各需减1外，其他仍可以按前面介绍的方法进行。方差分析优秀最新优秀课件缺失两个数据的估计方法B1B2B3B4B5B6B7B8总和A13039414242393838309A23746x4351443549305+xA3273736243741y43245+yA43042354046473846324总和124164112+x14917617111+y1761216+x上表的x23和x37都缺失，分别称为x和y。其弥补原则和弥补一个数据是一样的，即使SSe
93、达到极小。 方差分析优秀最新优秀课件先由下式求出误差的平方和：B1B2B3B4B5B6B7B8总和A13039414242393838309A23746x4351443549305+xA3273736243741y43245+yA43042354046473846324总和124164112+x14917617111+y1761216+x方差分析优秀最新优秀课件为使SSe 极小，应满足：经整理，解得：x42.97，y30.57即：方差分析优秀最新优秀课件缺失的数据补上后进行方差分析时，总自由度缺失的数据补上后进行方差分析时，总自由度dfdfT T和误差自由度和误差自由度dfdfe e均减均减2
94、 2。由于。由于误差自由度减小误差自由度减小，F F检验的检验的灵敏度相应降低灵敏度相应降低，对分析问题是不利的，补，对分析问题是不利的，补救的数据只是不干扰方差分析，并不能提供丢失的救的数据只是不干扰方差分析，并不能提供丢失的信息，所以进行试验时，要谨慎小心，尽量避免数信息，所以进行试验时，要谨慎小心，尽量避免数据的丢失。据的丢失。方差分析优秀最新优秀课件对试验数据进行方差分析是对试验数据进行方差分析是有条件的有条件的，即方差分析的有效性建立在一些基本假定即方差分析的有效性建立在一些基本假定上，如果分析的数据不符合这些基本假定，上，如果分析的数据不符合这些基本假定，得出的结论就不会正确。一般
95、地说，在试得出的结论就不会正确。一般地说，在试验设计时，就应考虑方差分析的条件。验设计时，就应考虑方差分析的条件。方差分析优秀最新优秀课件方差分析的基本假定方差分析的基本假定和数据转换和数据转换第六节第六节方差分析优秀最新优秀课件方差分析的基本假定正态性正态性可加性可加性方差同质性方差同质性方差分析优秀最新优秀课件正态性正态性试验误差应当是服从正态分布的独立的随机变量。因为方差分析只能估计随机误差，顺序排列或顺序取样资料不能作方差分析。应用方差分析的资料应服从正态分布，即每一观测值Xij应围绕相应的平均数呈正态分布。非正态分布非正态分布的资料进行适当数据转后，也能进行方差分析。方差分析优秀最新
96、优秀课件可加性可加性处理效应与误差效应应该是可加的，并服从方差分析的数学模型，即这样才能将试验的总变异分解为各种原因所引起的变异，以确定各变异在总变异中所占的比例，对试验结果作出客观评价。可加性是否显著有专门的统计方法。xij = +i +j +ij方差分析优秀最新优秀课件方差同质性方差同质性所有试验的误差方差应具备所有试验的误差方差应具备同质性同质性，也叫，也叫方差的齐性方差的齐性，即，即1 12 22 22 2n n2 2因为方差分析是将各个处理的试验误差合并以得到一个共同误差方差共同误差方差的，所以必须假定资料中这样一个共同方差存在。误差异质误差异质将使假设检验中某些处理效应得出不正确的
97、结果。方差分析优秀最新优秀课件方差的同质性检验前面已介绍过。如果发现方差的同质性检验前面已介绍过。如果发现有方差异质的现象，可将有方差异质的现象，可将变异特别明显变异特别明显的数据剔的数据剔除，当然剔除数据是应十分小心，以免失掉某些除，当然剔除数据是应十分小心，以免失掉某些信息。或者将试验信息。或者将试验分成几个部分分成几个部分分析，使每部分分析，使每部分具有具有同质的方差同质的方差。方差分析优秀最新优秀课件在生物学中，有时会遇到一些样本，其在生物学中，有时会遇到一些样本，其所来自的总体和方差分析的基本假定相所来自的总体和方差分析的基本假定相抵触抵触，这些数据在作方差分析之前必须经过适当处这些
98、数据在作方差分析之前必须经过适当处理及数据转换来更变测量标尺。理及数据转换来更变测量标尺。方差分析优秀最新优秀课件样本的非正态性、不可加性和方差的异质样本的非正态性、不可加性和方差的异质性通常连带出现，主要的是考虑处理效应与误性通常连带出现，主要的是考虑处理效应与误差效应的差效应的可加性可加性，其次才考虑，其次才考虑方差同质性方差同质性。数据转换方差分析优秀最新优秀课件数据转换常用的转化方法平方根转换平方根转换对数转换对数转换反正弦转化反正弦转化方差分析优秀最新优秀课件平方根转换平方根转换有些生物学观测数据为泊松分布而非正态分布，有些生物学观测数据为泊松分布而非正态分布，比如一定面积上某种杂草
99、株数或昆虫头数等，样本比如一定面积上某种杂草株数或昆虫头数等，样本平均数与其方差有比例关系，采用平方根转换可获平均数与其方差有比例关系，采用平方根转换可获得同质的方差。一般将原观测值转化成，数据得同质的方差。一般将原观测值转化成，数据较小时采用较小时采用方差分析优秀最新优秀课件对数转换对数转换如果已知资料中的效应成比例而不是可加的，如果已知资料中的效应成比例而不是可加的，或者标准差（或极差）与平均数大体成比例时，可或者标准差（或极差）与平均数大体成比例时，可以使用对数变换。以使用对数变换。方差分析优秀最新优秀课件反正弦转化反正弦转化如果数据是如果数据是比例比例或以或以百分率百分率表示的，其分布
100、趋表示的，其分布趋向于向于二项分布二项分布，方差分析时应作反正弦转换，用下，方差分析时应作反正弦转换，用下式把它们转化成一个相应的角度：式把它们转化成一个相应的角度：百分数资料相应的角度值方差分析优秀最新优秀课件单因素单因素方差分析方差分析方差分析方差分析基本假定基本假定数据转换数据转换二因素二因素方差分析方差分析多因素多因素方差分析方差分析缺失数据缺失数据的估计的估计试验数据的方差分析试验数据的方差分析组内观测组内观测次数相等次数相等组内观测组内观测次数不等次数不等无重复无重复观测值观测值有重复有重复观测值观测值小结小结方差分析优秀最新优秀课件方差分析的基本步骤：方差分析的基本步骤：方差分析优秀最新优秀课件
