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1、一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念定义定义定义定义4.14.14.14.1为阶方阵，为阶方阵，为数，为数， 为维非零向量，为维非零向量，若若则则称为称为的的特征值特征值，称为称为的的特征向量特征向量（）（）注注注注并不一定唯一；并不一定唯一；阶方阵阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组的特征值，就是使齐次线性方程组特征向量特征向量 ，特征值问题只针对方阵；，特征值问题只针对方阵；有非零解的有非零解的值，即满足值，即满足的的都是都是方阵方阵的特征值的特征值 定义定义4.2 4.2 设设A为为n阶矩阵阶矩阵, ,含有未知量含有未知
2、量的矩阵的矩阵I-A称为称为A的特征矩阵的特征矩阵,其行列式其行列式为为的的n n次多项式次多项式, ,称为称为A A的特征多项式的特征多项式, ,称为称为A A的特征方程的特征方程. .求求n n阶矩阵的特征值和特征向量的步骤阶矩阵的特征值和特征向量的步骤: :1. 1. 由矩阵由矩阵A A的特征方程的特征方程求出求出A A的特征值的特征值2. 2. 对于矩阵对于矩阵A A的不同的特征值的不同的特征值求出求出一个基础解系一个基础解系则则为矩阵为矩阵A A对应特征值对应特征值的特征向量的特征向量. .例例1. 求矩阵的特征值和特征向量求矩阵的特征值和特征向量例例2. 求矩阵的特征值和特征向量求
3、矩阵的特征值和特征向量练习练习. 求矩阵的特征值和特征向量求矩阵的特征值和特征向量例例3. 求矩阵的特征值和特征向量求矩阵的特征值和特征向量练习练习. 求矩阵的特征值和特征向量求矩阵的特征值和特征向量例例3. 求矩阵的特征值和特征向量求矩阵的特征值和特征向量的一个基础解系为的一个基础解系为则矩阵对应于则矩阵对应于的特征向量为的特征向量为的一个基础解系为的一个基础解系为的特征向量为的特征向量为则矩阵对应于则矩阵对应于练习练习. 求矩阵求矩阵B 的特征值和特征向量的特征值和特征向量二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质定理定理定理定
4、理4.1 n4.1 n4.1 n4.1 n阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵A A A A与它的转置有相同的特征值与它的转置有相同的特征值与它的转置有相同的特征值与它的转置有相同的特征值. . . .有一个成立有一个成立有一个成立有一个成立, , , ,则矩阵则矩阵则矩阵则矩阵A A A A的所有特征值的模小于的所有特征值的模小于的所有特征值的模小于的所有特征值的模小于1.1.1.1.即即即即定理定理定理定理4.2 n4.2 n4.2 n4.2 n阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵A=A=( (a aij ij) ), ,若若若若定理定理4.3 4.3 互异特征值对应的特征向量线性无关。互异特征值对应的特征向量线
5、性无关。对应于特征值对应于特征值 的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量. .对应于特征值对应于特征值 的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量. .则则是线性无关的是线性无关的. .、若、若为可逆阵为可逆阵的特征值，则的特征值，则的一个特征值为（）的一个特征值为（）、证阶方阵、证阶方阵的满足，则的满足，则的特征值为的特征值为或或、三阶方阵、三阶方阵的三个特征值为、，则的三个特征值为、，则（）（）、求下列方阵的特征值与特征向量、求下列方阵的特征值与特征向量定义定义4.34.3设设,都是都是n n阶矩阵阶矩阵, ,若存在若存在n n阶可逆矩阵阶可逆矩阵P, ,使得使得则称则称是是的的相似矩阵相
6、似矩阵，或者说矩阵，或者说矩阵称为对称为对进行进行相似变换相似变换，对对进行运算进行运算可逆矩阵可逆矩阵称为把称为把变成变成的的相似变换矩阵相似变换矩阵与与相似相似 记作：记作：则则定理定理4.4 (1)相似矩阵有相同的特征值相似矩阵有相同的特征值.(2) 相似矩阵有相同的秩相似矩阵有相同的秩(3) 相似矩阵的行列式相同相似矩阵的行列式相同.(4) 相似矩阵同时可逆或者同时不可逆相似矩阵同时可逆或者同时不可逆.注注(1)任何一个任何一个n阶矩阵都有相似矩阵阶矩阵都有相似矩阵;(2)我们赶兴趣的是一个我们赶兴趣的是一个n阶矩阵是否能够相似于一阶矩阵是否能够相似于一个对角矩阵个对角矩阵?(3)若不
7、是任何一个矩阵都能相似于一个对角矩阵若不是任何一个矩阵都能相似于一个对角矩阵,矩矩阵相似于对角矩阵需要什么条件阵相似于对角矩阵需要什么条件?或者说什么样的矩或者说什么样的矩阵能相似于对角矩阵阵能相似于对角矩阵.定理定理4.5 4.5 阶阶矩阵矩阵与与n n阶对角矩阵阶对角矩阵，相似的充要条件是矩阵相似的充要条件是矩阵A A有有n n个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。( (二二) ) n n阶矩阵与对角矩阵阶矩阵与对角矩阵相似相似的条件的条件设存在设存在可逆，可逆， 使得使得于是有于是有因为因为可逆，故可逆，故且且是是的个线性的个线性无无关的特征向量。关的特征向量。充分性：充分性：若若
8、有个线性无关的特征向量有个线性无关的特征向量对应的特征值为对应的特征值为即即令令则则P P 可逆，且可逆，且所以所以即即与对角矩阵与对角矩阵相似相似 定理定理的证明告诉我们的证明告诉我们，如果阶矩阵如果阶矩阵与对角与对角矩阵矩阵相相似，似，则则的主对角线上的元素就是的主对角线上的元素就是的全的全部特征值部特征值相似矩阵相似矩阵P P的列是对应于的列是对应于对角线上对角线上元素的特征向量。元素的特征向量。 推论推论 若若阶矩阵阶矩阵A有有n个两两不同的特征值，则个两两不同的特征值，则必与必与对角矩阵对角矩阵相相似似注意注意中的列向量中的列向量的排列顺序要与的排列顺序要与的顺序一致的顺序一致（1
9、1）（2 2）是是的基础解系中的解向量，的基础解系中的解向量，因因的取法不是唯一的，的取法不是唯一的，故故因此因此也是不唯一的也是不唯一的 推论推论 若阶矩阵若阶矩阵有有n n个特征值个特征值, ,则可相似对则可相似对角化角化的任的任t ti i重重特征值有特征值有对应对应ti个线性无关个线性无关的特征向量的特征向量n n阶矩阵阶矩阵A A对角化的步骤：对角化的步骤：1 1. . 求出求出n n阶矩阵阶矩阵A A的所有特征值的所有特征值2 2. . 求出矩阵求出矩阵A A对应于所有特征值的特征向量对应于所有特征值的特征向量 特征值和特征向量的对应特征值和特征向量的对应. . 若若A A的特征值
10、的个数小于的特征值的个数小于n n（重根按重数计算），（重根按重数计算）， 则则A A不与对角矩阵相似。不与对角矩阵相似。 若若A A有一个有一个t t重特征值，对应的特征向量在线性重特征值，对应的特征向量在线性 无关的意义下小于无关的意义下小于t t，则，则A A不与对角矩阵相似。不与对角矩阵相似。3 3. .写出对角矩阵和相似变换矩阵。写出对角矩阵和相似变换矩阵。1 1. . 求出求出n n阶矩阵阶矩阵A A的所有特征值的所有特征值2 2. . 求出矩阵求出矩阵A A对应于所有特征值的特征向量对应于所有特征值的特征向量3 3. .写出对角矩阵和相似变换矩阵。写出对角矩阵和相似变换矩阵。的一
11、个基础解系为的一个基础解系为的一个基础解系为的一个基础解系为且且一、内积的定义与性质一、内积的定义与性质一、内积的定义与性质一、内积的定义与性质定义定义定义定义4.54.54.54.5设维实向量设维实向量称实数称实数为向量为向量与与的的内积内积，记作，记作注：注：注：注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有、性质、性质、性质、性质（1 1）对称性：）对称性：（2 2）线性性：）线性性：（3 3）正定性：）正定性：当且仅当当且仅当时时定义定义定义定义4.6 4.6 4.6 4.6 对于对于对于对于n n n n维列向量维列向量维列向量维列向量, , ,
12、 ,其长度为其长度为其长度为其长度为向量长度也叫向量的模或范数向量长度也叫向量的模或范数. .特别地特别地特别地特别地, ,长度为的向量称为长度为的向量称为单位向量单位向量. .（1 1）正定性：）正定性：（2 2）齐次性：）齐次性：（3 3）三角不等式：）三角不等式：向量长度的性质向量长度的性质向量长度的性质向量长度的性质（4 4）柯西施瓦兹（）柯西施瓦兹（CauchyCauchySchwarzSchwarz）不等式）不等式: :当且仅当当且仅当与与的线性相关时，等号成立的线性相关时，等号成立. .注注注注 当当时，时，由非零向量由非零向量得到单位向量得到单位向量是是的的单位向量单位向量.
13、.称为把称为把单位化单位化或或标准化标准化. .的过程的过程二、正交向量组二、正交向量组二、正交向量组二、正交向量组定义定义定义定义4.74.74.74.7若若则称则称与与正交正交. .注注注注 若若 ，则，则与任何向量都正交与任何向量都正交. . 定义定义4.8 4.8 若向量组中的向量两两正交，且均为非零若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则向量，则这个向量组称为正交向量组，简称正交组这个向量组称为正交向量组，简称正交组.由单位向量组成的正交组称为由单位向量组成的正交组称为标准正交组标准正交组. .定理定理定理定理4.8 4.8 4.8 4.8 正交向量组是线性无关的正交向量组是线性
14、无关的正交向量组是线性无关的正交向量组是线性无关的. . . .证明证明证明证明: : : : 若向量组若向量组若向量组若向量组下面证明下面证明是正交向量组是正交向量组, ,则对于任意则对于任意对于任意的对于任意的i,i,即即由于由于是正交向量组是正交向量组, ,不包含不包含0 0向量向量. .因此因此由由i i的任意性可得的任意性可得, ,即正交向量组是线性无关的即正交向量组是线性无关的即正交向量组是线性无关的即正交向量组是线性无关的. . . .施密特（施密特（施密特（施密特（SchmidtSchmidtSchmidtSchmidt）正交化法）正交化法）正交化法）正交化法设设是线性无关的是
15、线性无关的, ,把它们化为标准正交把它们化为标准正交向量组的过程称为标准正交化向量组的过程称为标准正交化. .这里我们讨论这里我们讨论施密施密施密施密特（特（特（特（SchmidtSchmidtSchmidtSchmidt）正交化法）正交化法）正交化法）正交化法. . . .包括正交化和标准化两个包括正交化和标准化两个包括正交化和标准化两个包括正交化和标准化两个过程过程过程过程. . . .1 1）正交化）正交化令令就得到就得到的一个标准正交向量组的一个标准正交向量组. .2 2）标准化）标准化令令注注注注则则两两正交，且与两两正交，且与等价等价. .上述上述方法中的两个向量组对任意的方法中的
16、两个向量组对任意的与与是等价的是等价的. .例例例例1 1 1 1证明：中，勾股定理证明：中，勾股定理成立成立的充要条件是正交的充要条件是正交. .解解解解所以所以成立的充要条件是成立的充要条件是即正交即正交. .已知三维向量空间中，已知三维向量空间中，例例例例2 2 2 2正交，正交，试求试求是三维向量空间的一个正交基是三维向量空间的一个正交基. .解解解解 设设则则即即例例例例3 3 3 3已知向量已知向量求的一个标准求的一个标准正交基正交基.解解解解 设非零向量设非零向量 都于正交，都于正交，即满足方程即满足方程或或其基础解系为其基础解系为令令1 1）正交化）正交化令令2 2）标准化）标
17、准化令令第四章第三节第四章第三节第四章第三节第四章第三节第四章第三节第四章第三节 ( ( ( ( ( (三三三三三三) ) ) ) ) )正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵1 1、定义、定义如果阶矩阵满足：如果阶矩阵满足：则称则称为为正交矩阵正交矩阵. .正交矩阵的性质正交矩阵的性质正交矩阵的性质正交矩阵的性质1 1、正交矩阵行列式为、正交矩阵行列式为1 1或者或者-1-1；2 2、若、若Q Q为正交矩阵，则为正交矩阵，则Q Q可逆，且可逆，且Q Q-1-1=Q=QT T; ;3 3、两个正交矩阵的乘积为正交矩阵。、两个正交矩阵的乘积为正交矩阵。 定理定理4.9 4.9 设设Q
18、Q为为n n阶矩阵，则阶矩阵，则Q Q为正交矩阵为正交矩阵的充要条件为的充要条件为Q Q的行的行( (列列) )向量组是单位正交向量组是单位正交向量组。向量组。例例: :判断下列矩阵是否为正交矩阵判断下列矩阵是否为正交矩阵. .定理定理定理定理4.10 4.10 对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数. .( (四四四四) ) 实实实实对称矩阵的对称矩阵的对称矩阵的对称矩阵的特征值和特征向量特征值和特征向量特征值和特征向量特征值和特征向量定理定理定理定理4.114.114.114.11对称矩阵的互异特征值对应的特征向量对称矩阵的互异特征值对应的特征向量 正交正交. .结论：结论：若阶若阶
19、对称对称阵阵的任重的任重特征值对应的线性特征值对应的线性无关的特征无关的特征向量恰有个向量恰有个定理定理定理定理4.124.124.124.12若为阶若为阶对称对称阵，则必有正交阵，则必有正交矩阵矩阵， 使得使得一般的一般的一般的一般的n n阶矩阵不一定相似于对角矩阵阶矩阵不一定相似于对角矩阵阶矩阵不一定相似于对角矩阵阶矩阵不一定相似于对角矩阵. . 对称矩阵呢？对称矩阵呢？对称矩阵呢？对称矩阵呢？根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：为对角矩阵，其具体步骤为：将特征向量正交化将特征向量正交化; ;3.3.写出相似变换矩阵和相应地对角矩阵写出相似变换矩阵和相应地对角矩阵. .5.5.2.2.1.1.例例求求正交矩正交矩阵阵P P，使得，使得将特征向量单位化将特征向量单位化. .4.4.
