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1、 第二章第二章 静电场中的导体静电场中的导体 2 1 静电场中的导体静电场中的导体 2 3 电容器及其的电容电容器及其的电容 2 2 封闭金属腔内外的静电场封闭金属腔内外的静电场 2 4 带电体系的静电能带电体系的静电能 2 静电感应仪器（自学）静电感应仪器（自学）教学要求教学要求1.掌握导体静电平衡条件，分析带电导体的静电场中的电荷分布；掌握导体静电平衡条件，分析带电导体的静电场中的电荷分布；求解有导体存在时场强与电势分布；求解有导体存在时场强与电势分布；2. 理解电容的定义，能计算简单形状电容器的电容；理解电容的定义，能计算简单形状电容器的电容；一、静电感应一、静电感应1.静电场与导体的相
2、互作用静电场与导体的相互作用2.1 静电场中的导体静电场中的导体、物质的物质的电结构电结构 单个原子的电结构单个原子的电结构 内层电子内层电子价电子价电子原原子子内内部部壳壳层的电子层的电子受受外外层层电电子的屏蔽子的屏蔽一一般般都都填填满满了了每一个壳层每一个壳层在原子中结合得比较紧在原子中结合得比较紧填充在最外层的电子与核的结合较弱，容易摆脱原子核的填充在最外层的电子与核的结合较弱，容易摆脱原子核的束缚束缚称为称为价电子价电子自由电子自由电子 、导体、绝缘体和半导体导体、绝缘体和半导体、静电感应现象虽然所有固体都包含大量电子，但导电性能差异很大虽然所有固体都包含大量电子，但导电性能差异很大
3、 导体中存在着大量的自由电子导体中存在着大量的自由电子 。导体中导体中电子数密度很大，电子数密度很大，约为约为102222个个/cm3 绝缘体绝缘体 ：基本上没有参与导电的自由电子基本上没有参与导电的自由电子 半导体中自由电子数密度较小，约为半导体中自由电子数密度较小，约为 101212101919个个/cm3 物物质质中中的的电电荷荷在在电电场场的的作作用用下重新分布下重新分布场分布场分布互互相相影影响响场场分分布布、互相制约互相制约 达到某种新的平衡达到某种新的平衡 静电感应现象是场与物质的相互作用问题静电感应现象是场与物质的相互作用问题 力学：只涉及物质的机械性质，对其本身研究甚少。力学
4、：只涉及物质的机械性质，对其本身研究甚少。电磁学：较多地讨论场，而对物质本身的电磁性质也涉及得电磁学：较多地讨论场，而对物质本身的电磁性质也涉及得很少。很少。物质与场是物质存在的物质与场是物质存在的两种形式两种形式二、静电平衡：二、静电平衡：导体内部及表面均无电荷定向运动，导体上电荷导体内部及表面均无电荷定向运动，导体上电荷及空间电场分布达到稳定及空间电场分布达到稳定. .空间电场：空间电场：静电平衡静电平衡条件：条件：+ +导体内各点电势相等导体内各点电势相等等势体等势体（1 1）导体为等势体导体为等势体（2 2）导体表面为等势面导体表面为等势面要计算静电平衡时的电场分布，首先要知道其电荷分
5、布要计算静电平衡时的电场分布，首先要知道其电荷分布. .+ S S思考：思考：设带电导体表面某点电荷密度为设带电导体表面某点电荷密度为 ，外侧附近场强外侧附近场强 ，现将现将另一带电体移近，该点场强是否变化？公式另一带电体移近，该点场强是否变化？公式 是否仍成立？是否仍成立？导体表面导体表面 变化，外侧附近场强变化，外侧附近场强 变化，而变化，而 仍然成立。仍然成立。 例例 电荷面密度为电荷面密度为 的无限大均匀带电平面两侧的无限大均匀带电平面两侧( (或有限大均匀或有限大均匀带电面两侧紧邻处带电面两侧紧邻处) )的场强为的场强为 /(/(2e e0) )；静电平衡的导体表面；静电平衡的导体表
6、面某处面电荷密度为某处面电荷密度为 ，在表面外紧邻处的场强为，在表面外紧邻处的场强为 / /e e0。为什。为什么前者比后者小一半？么前者比后者小一半？解：导体表面某处的面元解：导体表面某处的面元 dS 处的面电荷密处的面电荷密度为度为 ，它在其两侧紧邻处的场强为，它在其两侧紧邻处的场强为 E1 = E2 = /(/(2e e0 ) )。导体导体dS 除除 dS 外，导体表面其它电荷在外，导体表面其它电荷在 dS 内侧紧邻内侧紧邻处的场强为处的场强为 E3，在外侧紧邻处的场强为，在外侧紧邻处的场强为 E4。因为两个紧邻处相对于其它表面可看成一个因为两个紧邻处相对于其它表面可看成一个点，故点，故
7、 E3 = E4。由场强叠加原理和静电平衡条件得由场强叠加原理和静电平衡条件得 E内内= E1 E3 = 0，所以所以 E1 = E2 = E3 = E4 。因此由场强叠加原理得导体表面外紧邻处的场强因此由场强叠加原理得导体表面外紧邻处的场强 E外外= E2 + E4 = 2E2 = / /e e0。 是除 上的电荷以外，其余电荷在面元处的P点所产生的电场。而导体达到静电平衡时：三、带电导体所受的静电力三、带电导体所受的静电力 在导体表面任取一面元 ，其上面电荷密度为 。因为 取得很小，可以把它视为点电荷，所以面元所受的静电力为：（1）对图中的P1点， 为：上的电荷在P1点所产生的场强： (P
8、、P1点无限接近表面，故视 为无限大平面) 为：除 上的电荷以外其余电荷（导体上其它部分）在P1点所产生的场强。在所取面元 附近取两点P、P1，则根据迭加原理，有有：（2）对于图中的P点：讨论方法类似于上：A. 上的电荷在P点产生的场强 ： （因P点无限接近表面，仍把 看成无限大平面） 、 均垂直于导体表面。 也必垂直于导体表面（由以上等式） 三矢量 、 、 平行共线故 故 ：故：单位面元所受的力为：B.除 外的电荷在P点产生的场强则带电导体外表面电荷分布规律带电导体外表面电荷分布规律曲率大处曲率大处( (尖、凸）尖、凸）, ,电荷面密度大电荷面密度大. .曲率小处曲率小处( (平、凹）平、凹
9、）, ,电荷面密度小电荷面密度小. .导线导线证明证明: :即：即：将两相距足够远的导体球用导线连接将两相距足够远的导体球用导线连接则则: : 带电导体带电导体尖端尖端附附近的近的电场电场特别特别大大，可，可使尖端附近的空气发使尖端附近的空气发生电离而使导体产生生电离而使导体产生放电现象放电现象 尖端放电现象尖端放电现象+金属支架金属支架绝缘座绝缘座静电感应静电感应电晕放电电晕放电可靠接地可靠接地带电云带电云带电云带电云避雷针的工作原理避雷针的工作原理+五、导体静电平衡问题的讨论方法五、导体静电平衡问题的讨论方法1、讨论静电场：由电荷分布求 、V 场的性质：由高斯定理、环路定理决定 2、有导体
10、存在时的静电场，出现静电感应现象，最后达到静电平衡。并且 静电场的性质 （结合电场线的两个性质 ） + 静电平衡的性质 =讨论静电场中的导体（讨论方法）六、平行板导体组例题六、平行板导体组例题证明：对于两个无限大带电平板导体来说：（1）相向的两面上，电荷面密度总是大小相等符号相反；（2）相背的两面上，电荷面密度总是大小相等符号相同。 例一例一 相距很近的平行导体板相距很近的平行导体板 ，分别带电，分别带电 求电荷分布求电荷分布. . 解：解：设平板面积为设平板面积为S 由电荷守恒：由电荷守恒：（1 1）（2 2）由静电平衡条件：由静电平衡条件：（3 3）（4 4）由由（1 1）、（）、（2 2
11、）、（）、（3 3）、（）、（4 4）解得：解得：即：即：相背面相背面 等大同号，相对面等大同号，相对面 等大异号等大异号. .讨论：、由高斯定理可得、若2. 2 封闭导体壳内外的静电场(1)空腔原不带电，腔内电荷空腔原不带电，腔内电荷q ，腔内、外表面电量？，腔内、外表面电量？-(2)空腔原带电空腔原带电Q, 腔内电荷腔内电荷q ，腔内、外表面电量？，腔内、外表面电量？-腔接地：腔接地：假设不为零，腔外假设不为零，腔外表面将有电场线发表面将有电场线发出或终止。这与无出或终止。这与无穷远等势相矛盾。穷远等势相矛盾。思考与讨论：思考与讨论：(3(3）空腔能屏蔽腔内电荷）空腔能屏蔽腔内电荷q的电场
12、吗？的电场吗？ 有什么办法能实现这种屏蔽？有什么办法能实现这种屏蔽？腔接地：腔接地：内外电场互不影响内外电场互不影响. . 腔不接地腔不接地：腔内不受腔外电荷影响腔内不受腔外电荷影响 腔外要受腔内电荷影响腔外要受腔内电荷影响-(4)腔内电荷腔内电荷q 的位置移动对的位置移动对 分布有无影响分布有无影响？腔内电荷腔内电荷q 的位置移动对的位置移动对 分布有影响；分布有影响；对对 分布无影响。分布无影响。内表面以外的空间场强为零，且与内表面及内表面以外的空间场强为零，且与内表面及腔内电荷分布无关。腔内电荷分布无关。外部电场与实心导体相同外部电场与实心导体相同1 1外球壳的电荷分布及电势外球壳的电荷
13、分布及电势 例二例二 带电量带电量q ，半径半径 的导体球的导体球A外有一内半径外有一内半径 ，外半径外半径 的同心导体球壳的同心导体球壳B ,求求: :解：解：2 2将将 B 接地再重新绝缘，结果如何？接地再重新绝缘，结果如何？外球壳外球壳接地：接地：假设不为零，假设不为零，外球壳外球壳外表面将有电场线发外表面将有电场线发出或终止。这与无穷出或终止。这与无穷远等势相矛盾。远等势相矛盾。3然后将然后将A 接地，接地，A、B 电荷分布及电荷分布及 B 电势如何变化？电势如何变化？ A 球电荷入地，球电荷入地，B 球壳球壳q 分布于表面，对吗？分布于表面，对吗？与接地条件矛盾，不对！与接地条件矛盾
14、，不对！设设A 带电带电 则则 则由：则由：即即A 所带部分电荷入地所带部分电荷入地. . 例三例三 内半径为内半径为R R的导体球壳原来不带电，在腔内离球心距离为的导体球壳原来不带电，在腔内离球心距离为 处，固定一电量处，固定一电量q q的点电荷，用导线将球壳接地后再撤的点电荷，用导线将球壳接地后再撤去地线，求球心处电势去地线，求球心处电势. .解：解：1 1画出接地前的电荷分布图画出接地前的电荷分布图. . 由静电平衡条件，腔内壁非均匀分布的负电由静电平衡条件，腔内壁非均匀分布的负电荷对外效应等效于：在与荷对外效应等效于：在与 同位置处置同位置处置 。2 2外壳接地后电荷分布如何变化？外壳
15、接地后电荷分布如何变化？内壁电荷分布不变内壁电荷分布不变3 3由叠加法求球心处电势由叠加法求球心处电势 . .QVE三、电容的计算三、电容的计算孤立导体电容取决于本身形状大小孤立导体电容取决于本身形状大小, ,与其是否带电无关。与其是否带电无关。令令孤立导体：孤立导体：周围无其他导体，电介质，带电体周围无其他导体，电介质，带电体. .由电容定义：由电容定义：则金属球电势：则金属球电势：设其带电量为设其带电量为Q 例例11 半径半径 R 的孤立金属球的电容的孤立金属球的电容练习：练习：估算地球的电容：估算地球的电容： 例例22 推求圆柱型电容器的电容公式推求圆柱型电容器的电容公式 ，并总结求电容
16、，并总结求电容器电容的一般方法器电容的一般方法. .求：求：已知：已知：得：得：解：解：设极板带电量设极板带电量Q作半径作半径 ，高高h的同轴圆柱面为高斯面的同轴圆柱面为高斯面. .由电容定义：由电容定义：电容器两极板间电势差：电容器两极板间电势差：Q总结：总结：求电容器电容的一般方法求电容器电容的一般方法2 2）选高斯面，求）选高斯面，求1 1）设极板带电）设极板带电3 3）求电容器两极板间电势差）求电容器两极板间电势差4 4）由电容定义）由电容定义练习练习: : 求两平行长直导线单位长度间的电容求两平行长直导线单位长度间的电容 （导线半径导线半径a，轴线间距离轴线间距离d） 解：解：设单位
17、长度带电设单位长度带电（导体内）导体内）（导体间）（导体间）2.4 带电体系的静电能带电体系的静电能一、点电荷系的相互作用能（电势能）一、点电荷系的相互作用能（电势能）相互作用能相互作用能W互互：把各点电荷由当前的位置分散至相距无穷远把各点电荷由当前的位置分散至相距无穷远的过程中，电场力作的功。的过程中，电场力作的功。两个点电荷：两个点电荷：同理：同理：写成对称形式：写成对称形式： q1q212U12U21（注意，这里必须规定（注意，这里必须规定U = 0）三个点电荷：三个点电荷：q1q2q3 先先作功作功 q2(U12+U32) 后后作功作功 q3U13推广至一般点电荷系：推广至一般点电荷系
18、：Ui 除除 qi 外，其余点电荷在外，其余点电荷在 qi 所在处的电势所在处的电势q 二、二、 连续带电体的静电能（自能）连续带电体的静电能（自能）静电能静电能W：把电荷无限分割，并分散到相距无穷远时，电把电荷无限分割，并分散到相距无穷远时，电场力作的功。场力作的功。 只有一个带电体：只有一个带电体：dqU点电荷的自能无限大，所以是无意义的。点电荷的自能无限大，所以是无意义的。假定电荷面密度为假定电荷面密度为 e e，把连续分布的，把连续分布的带电面分割成许多电荷元，其电量带电面分割成许多电荷元，其电量 q qi i= = e e V Vi i，则有，则有带带电电体体各各部部分分电电荷荷在积
19、分处的总电势在积分处的总电势静电能仅对其中包含电荷的体积或面积进行，在其他地方，静电能仅对其中包含电荷的体积或面积进行，在其他地方，积分等于零积分等于零是否可以断定能量仅局限于空间有电荷的区域？是否可以断定能量仅局限于空间有电荷的区域？ 多个带电体：多个带电体： 总静电能总静电能三、电容器的能量三、电容器的能量储能储能 = = 过程中反抗电场力的功过程中反抗电场力的功. .模型：模型：将将 由负极移向由负极移向正极板的过程正极板的过程极板电量极板电量板间电压板间电压计算：计算：电容器的能量电容器的能量: :由功能原理可知：由功能原理可知：外场中外场中P点的电势点的电势n一个电偶极子在外电场中的
20、电势能一个电偶极子在外电场中的电势能1 1、电荷或电荷组在外电场中的能量、电荷或电荷组在外电场中的能量、电荷或电荷组在外电场中的能量、电荷或电荷组在外电场中的能量电荷或电荷组（最简单的是偶极子）在其他带电体产生的电场电荷或电荷组（最简单的是偶极子）在其他带电体产生的电场（外场）中具有电势能（外场）中具有电势能一个电荷在外电场中的电势能一个电荷在外电场中的电势能思考与讨论：思考与讨论：2、带电体系在外场中受的力或力矩与静电势能的关系、带电体系在外场中受的力或力矩与静电势能的关系设处在一定位形的带电体系的电势能为设处在一定位形的带电体系的电势能为W，当它的位形发生，当它的位形发生微小变化微小变化电
21、势能将相应地改变电势能将相应地改变 W电场力做一定的功电场力做一定的功 A设系统无能量耗散和补充，能量守恒设系统无能量耗散和补充，能量守恒 A= - W电场力的功等于电势能的减少电场力的功等于电势能的减少 利用上述关系可以给出带电体系的静电能与体系受力的关系利用上述关系可以给出带电体系的静电能与体系受力的关系 电场力在电场力在 l方向上的投影方向上的投影 设想带电体系有一微小位移设想带电体系有一微小位移 l 、平移平移力矩在转轴力矩在转轴方向的投影方向的投影 、转动、转动、转动、转动设想带电体系绕某一方向的轴作微小的角位移设想带电体系绕某一方向的轴作微小的角位移n用虚功原理：虚设位形变化时，电（或磁）场力做虚功用虚功原理：虚设位形变化时，电（或磁）场力做虚功求力求力 例题例题:利用虚功原理证明均匀带电球壳在单位面积上受到的静利用虚功原理证明均匀带电球壳在单位面积上受到的静电排斥力为电排斥力为一个总电量为一个总电量为q，半径为，半径为R均匀带电的球壳的自能为均匀带电的球壳的自能为 设想球面稍有膨胀设想球面稍有膨胀 则单位面积所受的斥力则单位面积所受的斥力若先将带电球壳自能用电荷面密度表示若先将带电球壳自能用电荷面密度表示与与前面得到的不同，那个对？为什么？前面得到的不同，那个对？为什么？求导过程中认为电荷密度不变，对吗？求导过程中认为电荷密度不变，对吗？问题：问题：
