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1、1/47在直角坐标系下计算三重积分在直角坐标系下计算三重积分在柱面坐标系下计算三重积分在柱面坐标系下计算三重积分在球面坐标系下计算三重积分在球面坐标系下计算三重积分三重积分的换元法三重积分的换元法小结小结2/473/47一、在直角坐标系下计算三重积分一、在直角坐标系下计算三重积分在直角坐标系中在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的如果用平行于坐标面的故故直角坐标系下直角坐标系下的体积元素为的体积元素为在直角坐标系下在直角坐标系下三重积分可表为三重积分可表为平面的来划分平面的来划分4/47直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分 投影法投影法思想是思想是( (先一后二
2、法先一后二法) )如图如图, 闭区域闭区域面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域D, ,过点过点作直线作直线,5/47X型型再计算再计算的函数的函数,得得则则6/47当当D为为Y型闭域型闭域时时,注注相交不多两点情形相交不多两点情形.7/47所以所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积三重积分可以化为六种不同次序的三次积分分(累次积分累次积分).和积分域和积分域选取适当的三次积分进行计算选取适当的三次积分进行计算.解题时解题时, 要依据具体的被积函数要依据具体的被积函数同样同样,也可以把积分域也可以把积分域向向yOz、zOx面投影面投影.8/47解解化三重积分化三重积分为三次积分为三次积分,例
3、例所围成的闭区域所围成的闭区域.其中积分区域为由曲面其中积分区域为由曲面得交线投影区域得交线投影区域9/47例例 求求解解 的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数,应先应先x对积分对积分一定要一定要交换积分次序交换积分次序.10/47 截面法截面法(红色部分红色部分)( (先二后一法先二后一法) )截面法的一般步骤截面法的一般步骤(1)投影投影, ,得投影区间得投影区间(2)(3)计算二重积分计算二重积分(4)最后计算单积分最后计算单积分11/47 即即当被积函数仅与变量当被积函数仅与变量z有关有关,截面法的公式还有两个截面法的公式还有两个.用上公式简便用上公式简便.注注且截面且截面Dz易知
4、时易知时,12/47截面法截面法( (先二后一法先二后一法)解解计算三重积分计算三重积分例例原式原式=13/47投影法投影法( (先一后二法先一后二法)计算三重积分计算三重积分14/47规定规定直角坐标直角坐标与与柱面坐标柱面坐标的关系为的关系为就叫点就叫点M的的柱面坐标柱面坐标.设设M(x, y, z)为空间内一点为空间内一点, 并设点并设点M在在xOy面上的投影面上的投影P的极坐标为的极坐标为则这样的三个数则这样的三个数二、在柱面坐标系下计算三重积分二、在柱面坐标系下计算三重积分15/47柱面坐标柱面坐标系中系中, 以以z轴为中心轴的轴为中心轴的圆柱面圆柱面；过过z轴的轴的半平面半平面.与
5、与xOy平面平行的平面平行的平面平面;三坐标面分别为三坐标面分别为16/47柱面坐标系柱面坐标系中的中的体积元素体积元素为为 在在柱面坐标系柱面坐标系中中,如图如图,得小柱体得小柱体即即直角坐标系直角坐标系下三重积分与下三重积分与(红色部分红色部分).若以三坐标面分割空间区域若以三坐标面分割空间区域柱柱(面面)坐标系坐标系下三重下三重积分的关系是积分的关系是17/47 如何计算如何计算柱坐标系柱坐标系下三重积分下三重积分将三重积分化为将三重积分化为三次积分三次积分( (累次积分累次积分) )18/47 如如,极坐标极坐标不等式表示不等式表示先先将将在在xOy面上的投影域用面上的投影域用再再确定
6、确定的下的下, 上边界面上边界面故故注注通常是通常是先积先积再积再积后积后积19/47解解 例例5 5 所围成所围成.积分域用积分域用柱坐标柱坐标表示为表示为原式原式其中其中由柱面由柱面20/47解解例例 所围成所围成.积分域用积分域用柱坐标柱坐标表示为表示为原式原式其中其中由半圆柱面由半圆柱面21/47解解对对称称性性质质例例所围成的空间闭区域所围成的空间闭区域.同理同理22/47计算计算柱柱坐坐标标23/47所以所以对称性质对称性质计算计算关于两个坐标面关于两个坐标面24/47 当被积函数是当被积函数是积分域积分域由圆柱面由圆柱面 (或一部分或一部分)、锥面、抛物面、锥面、抛物面用用所围成
7、的所围成的.柱面坐标柱面坐标计算三重积分较方便计算三重积分较方便.25/47记投影记投影向量与向量与x轴正方向的轴正方向的规定规定正方向间的夹角为正方向间的夹角为夹角为夹角为球面坐标球面坐标.称称为点为点M的的设设M(x, y, z)为空间内一点为空间内一点,向向xOy平面投影平面投影,三、在球面坐标系下计算三重积分三、在球面坐标系下计算三重积分26/47球面坐标系球面坐标系中的三坐标面分别为中的三坐标面分别为原点为心的原点为心的球面球面；过过z轴的轴的半平面半平面球面坐标与直角坐标的关系球面坐标与直角坐标的关系为为原点为顶点、原点为顶点、z轴为轴为轴的轴的圆锥面圆锥面；27/47球面坐标系球
8、面坐标系中的中的体积元素体积元素为为若以三坐标面分割空若以三坐标面分割空得小六得小六面体面体(红色部分红色部分).于是于是,在在球面坐标系球面坐标系中，中，间区域间区域28/47通常是通常是注注29/47解解 法一法一 采用采用 例例9所围的立体所围的立体. .球面坐标球面坐标30/4731/47法二法二 采用采用柱面坐标柱面坐标32/47当积分区域是球形域当积分区域是球形域或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面, ,被积函数具有被积函数具有的形式时的形式时, ,用用球面坐标球面坐标计算三重积分较简便计算三重积分较简便. .或是球的一部分或是球的一部分;3
9、3/47解解被积函数是被积函数是围成的空间区域围成的空间区域, ,x的奇函数的奇函数.球球请再用柱面坐标做请再用柱面坐标做.34/47四、三重积分的换元法四、三重积分的换元法设被积函数设被积函数在空间闭区域在空间闭区域上连续上连续,若变换若变换满足如下条件满足如下条件:(1)的的变换为变换为O-xyz中的中的闭闭区域区域上的点上的点;(2)有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数,且雅可比行列式且雅可比行列式35/47设被积函数设被积函数在区域在区域D上连续上连续,若变换若变换满足如下条件满足如下条件:36/47 例例1111解解所围成的闭区域所围成的闭区域.其中其中为椭圆面为椭圆面作作广义球坐标
10、广义球坐标变换变换37/47球球坐坐标标38/47柱面坐标系下柱面坐标系下计算三重积分计算三重积分柱面坐标体积元素柱面坐标体积元素 )五、小结五、小结三重积分的定义三重积分的定义直角坐标系下直角坐标系下计算三重积分计算三重积分(思想思想:计算时将三重积分化为三次积分计算时将三重积分化为三次积分)三重积分的计算三重积分的计算(四步四步:分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限)(直角坐标体积元素直角坐标体积元素 )(柱面坐标与直角坐标的关系柱面坐标与直角坐标的关系39/47球面坐标系下球面坐标系下计算三重积分计算三重积分球面坐标体积元素球面坐标体积元素 )(球面坐标与直角坐标的关系球面坐标与直角坐标的关系使用对称性简化运算使用对称性简化运算恰当选择坐标系计算三重积分恰当选择坐标系计算三重积分(注意选择的原则注意选择的原则)
