层次分析法教案

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1、层次分析法层次分析法7/25/20241一、引一、引一、引一、引 言言言言7/25/20242 人人们们在在日日常常活活动动中中，常常常常会会面面对对一一些些决决策策问问题题。例例如如，大大学学生生选选择择职职业业时时，往往往往会会从从专专业业对对口口、发发展展潜潜力力、待遇收入等多方面考虑和决策。待遇收入等多方面考虑和决策。 许许多多决决策策问问题题是是一一个个由由相相互互关关联联、相相互互制制约约的的众众多多因因素素构构成成的的复复杂杂系系统统，很难用通常的数学模型解决。很难用通常的数学模型解决。 例如，在一群人中挑个子最高的例如，在一群人中挑个子最高的7/25/20243很很容容易易办办

2、到到，选选最最胖胖者者也也不不难难，但但要要挑挑选选一一个个最最高高、最最胖胖且且最最帅帅的的人人就就不不容易了。容易了。此类决策问题的困难主要在于此类决策问题的困难主要在于: (1) 有的指标有的指标不易量化不易量化; (2) 有些指标有些指标相相互关联互关联，甚至，甚至相互矛盾相互矛盾，导致决策复，导致决策复杂化。杂化。7/25/20244目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途例例2. 2. 选择旅游地选择旅游地如何在如何在3 3个目的地中按照景色、个目的地中按照景色

3、、费用、居住条件等因素选择费用、居住条件等因素选择. .7/25/20245过河的代价过河的代价 A经济代价经济代价 B1环境代价环境代价B3社会代价社会代价B2投投入入资资金金C1操操作作维维护护C2冲冲击击渡渡船船业业C3冲冲击击生生活活方方式式C4交交通通拥拥挤挤C5居居民民搬搬迁迁C6汽汽车车排排放放物物C7对对水水的的污污染染C8对对生生态态的的破破坏坏C9桥梁桥梁D1隧道隧道D2渡船渡船D2（2）过河代价层次结构）过河代价层次结构例例3 横渡江横渡江河、海峡方河、海峡方案的抉择案的抉择7/25/20246待评价的科技成果待评价的科技成果直接直接经济经济效益效益 C11间接间接经济经

4、济效益效益 C12社会社会效益效益 C13学识学识水平水平 C21学术学术创新创新 C22技术技术水平水平 C23技术技术创新创新 C24效益效益C1水平水平C2规模规模C3科技成果评价科技成果评价例例4 科技成果科技成果的综合评价的综合评价诺贝尔等各种奖项的评选诺贝尔等各种奖项的评选7/25/20247 层层次次分分析析法法(AHP)是是美美国国运运筹筹学学家家Lsaaty在在20世世纪纪70年年代代初初提提出出的的一一种种定定性性分分析析与与定定量量分分析析相相结结合合的的多多准准则则决决策策方方法法，简简单单、实实用用，特特别别适适用用于于人人的的定定性性判判断断起起重重要要作作用用，对

5、对决决策策结结果果难难于于直直接接准准确确计计量量的的问问题题。层层次次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。分析法所用数学工具主要是矩阵运算。7/25/20248 层层次次分分析析法法是是数数学学建建模模竞竞赛赛中中的的常常用用方方法法。在在数数学学建建模模竞竞赛赛论论文文中中，时常能看到层次分析法。时常能看到层次分析法。 需需要要提提醒醒大大家家注注意意的的是是，有有些些学学生生没没有有搞搞清清楚楚层层次次分分析析法法的的特特点点、原原理理、优优缺缺点点及及局局限限性性，在在建建模模中中随随意意乱用层次分析法。乱用层次分析法。 在本讲中，大家首先要搞清楚层在本讲中，大家首先要搞清楚层7/25/

6、20249次次分分析析法法主主要要用用于于解解决决何何种种问问题题，知知晓晓层层次次分分析析法法的的基基本本原原理理和和步步骤骤，然然后后还还要要能能熟熟练练使使用用层层次次分分析析法法软软件件。大大家家一一定定要要完完整整地地完完成成23个个不不同同类类型型的的实实例例，体体验验层层次次分分析析法法的的过过程程与与结果。结果。7/25/202410二、层次分析法的原理与步骤二、层次分析法的原理与步骤二、层次分析法的原理与步骤二、层次分析法的原理与步骤7/25/202411基本的思路先分解后综合的系统思想先分解后综合的系统思想整理和综合人们的主观判断，使定性分析与定量分析有机结合，实现定量化决

7、策。首先将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚类组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。7/25/202412 一、层次分析法基本原理一、层次分析法基本原理分解分解建立建立 确定确定计算计算判断判断实际问题实际问题层次结构层次结构多个因素多个因素诸因素的相诸因素的相 对重要性对重要性权向量权向量综合决策综合决策7/25/202413 层层次次分分析析法法的的基基本本思思路路与与人人们们对对复复杂杂问问题题的的

8、决决策策过过程程大大体体一一致致。当当决决策策者者在在对对问问题题进进行行分分析析时时，首首先先要要对对分分析析对对象象的的因因素素建建立立起起彼彼此此相相关关的的层层次次结结构构，这这种种层层次次结结构构可可以以清清晰晰地地反反映映出出诸诸相相关关因因素素(目目标标、准准则则、对对象象)的的彼彼此此关关系系，使使得得决决策策者者能能够够把把复复杂杂的问题理顺，然后用一定的问题理顺，然后用一定7/25/202414标标度度将将人人的的主主观观判判断断进进行行客客观观量量化化，在此基础上进行在此基础上进行定性定性和和定量定量分析。分析。 层次分析法大致可分为下面四个层次分析法大致可分为下面四个步

9、骤：步骤： (1) 建立层次结构；建立层次结构； (2) 构造比较判断矩阵；构造比较判断矩阵； (3) 单准则排序和一致性检验；单准则排序和一致性检验； (4) 层次总排序和一致性检验。层次总排序和一致性检验。7/25/202415三、层次结构的建立三、层次结构的建立三、层次结构的建立三、层次结构的建立7/25/202416 层层次次分分析析法法首首先先要要把把决决策策问问题题层层次次化化。所所谓谓层层次次化化就就是是根根据据问问题题的的性性质质以以及及要要达达到到的的目目标标，将将问问题题分分解解为为不不同同的的因因素素，并并按按各各因因素素间间的的隶隶属属关关系系和和关关联联程程度度分分组

10、组，形形成成一一个个不不相相交交的层次。的层次。 下下面面通通过过一一个个实实例例来来说说明明构构造造层层次以及层次分析法的决策过程。次以及层次分析法的决策过程。7/25/202417 例例1 假假设设某某企企业业领领导导要要决决定定一一笔笔资资金金如如何何使使用用。经经过过调调研研，现现有有下下列列方案可供选择：方案可供选择： (1) 作为奖金发给职工；作为奖金发给职工； (2) 扩建宿舍和食堂等福利设施扩建宿舍和食堂等福利设施; (3) 举办职工进修班；举办职工进修班； (4) 建图书馆、俱乐部等；建图书馆、俱乐部等； (5) 引进新设备进行技术改造。引进新设备进行技术改造。7/25/20

11、2418 从从调调动动职职工工工工作作积积极极性性，提提高高职职工工文文化化技技术术水水平平和和改改善善职职工工物物质质文文化化生生活活条条件件来来看看，这这些些方方案案都都有有其其合合理理因因素素。如如何何使使得得这这笔笔资资金金更更合合理理地地使使用，就是企业领导面临的决策问题。用，就是企业领导面临的决策问题。 注注意意 在在建建模模实实际际问问题题中中, 如如需需用用层层次次分分析析法法，则则首首先先要要根根据据问问题题的的特点建立适当的层次。特点建立适当的层次。7/25/202419 请请大大家家揣揣摩摩本本题题中中构构造造层层次次结结构构的思路与过程。的思路与过程。 通通过过分分析析

12、，上上述述方方案案都都是是为为了了更更好好地地调调动动职职工工工工作作积积极极性性，提提高高企企业业技技术术水水平平和和改改善善职职工工物物质质文文化化条条件件，而而最最终终目目的的是是为为了了企企业业进进一一步步发发展展，增强企业的竞争力增强企业的竞争力。 据此，可以建立下列层次结构：据此，可以建立下列层次结构：7/25/202420资金使用问题的层次分析结构图资金使用问题的层次分析结构图7/25/202421 也也就就是是说说，对对于于资资金金使使用用这这个个问问题题来来说说，模模型型结结构构分分为为三三层层。最最高高为为目目标标层层，即即合合理理使使用用资资金金；中中间间为为准准则则层层

13、，即即合合理理使使用用资资金金的的三三个个准准则则：调调动动职职工工积积极极性性，提提高高企企业业技技术术水水平平和和改改善善职职工工生生活活；最最下下一一层层为为方方案案层层, 即可供选择的方案。即可供选择的方案。7/25/202422 建建立立问问题题的的层层次次结结构构是是层层次次分分析析法法中中最最重重要要的的一一步步。通通常常，层层次次结结构构分分为为三三层层，最最高高层层只只有有一一个个元元素素，即即决决策策者者要要达达到到的的目目标标；中中间间层层为为衡衡量量目目标标是是否否达达到到的的若若干干判判断断准准则则；最最低低层为备选的具体层为备选的具体方案方案。 上上一一层层次次的的

14、元元素素对对相相邻邻的的下下一一层层次的全部或部分元素起支配作用。次的全部或部分元素起支配作用。7/25/202423除除目目标标层层外外，每每个个元元素素至至少少受受上上一一层层一一个个元元素素支支配配；除除方方案案层层外外，每每个个元元素素至至少少支支配配下下一一层层一一个个元元素素；同同一一层层次元素不存在支配关系。次元素不存在支配关系。 建建立立层层次次结结构构的的关关键键是是能能否否构构造造出合理的满足一定支配关系的准则。出合理的满足一定支配关系的准则。7/25/202424四、比较判断矩阵的构造四、比较判断矩阵的构造四、比较判断矩阵的构造四、比较判断矩阵的构造7/25/202425

15、 由由于于在在决决策策者者心心目目中中，各各准准则则对对目目标标的的影影响响程程度度不不同同，各各方方案案对对每每个个准准则则的的影影响响程程度度也也不不同同，所所以以建建立立层层次次结结构构后后的的首首要要任任务务是是确确定定各各准准则则对对目标以及各方案对每个准则的权重。目标以及各方案对每个准则的权重。 层层次次分分析析法法确确定定上上述述权权重重的的方方法法是是构构造造准准则则层层和和方方案案层层的的比比较较判判断断矩矩阵。阵。7/25/2024261. 准则层比较判断矩阵的构造准则层比较判断矩阵的构造 下下面面介介绍绍准准则则C1,C2,Cn对对目目标标 Z的权重的确定方法。的权重的确

16、定方法。 在在复复杂杂问问题题中中，准准则则的的权权重重很很难难直直接接获获得得且且不不易易定定量量化化。Saaty提提出出可可用用对对准准则则两两两两比比较较的的方方法法来来确确定定权权重重，即即每每次次取取两两个个准准则则Ci和和Cj，用用aij表表示示Ci和和Cj对对Z的的影影响响之之比比, 全全部部比比较较7/25/202427结结果果用用矩矩阵阵A=(aij)表表示示，称称为为准准则则层层的比较判断矩阵。的比较判断矩阵。 显显然然，aji =1/aij，称称A为为正正互互反反矩矩阵阵。 对对于于如如何何确确定定aij的的值值，Saaty提提出用数字出用数字19及其倒数作为标度。及其倒

17、数作为标度。 下表中列出了下表中列出了19标度的含义：标度的含义：7/25/202428标度标度含义含义1表示两个元素相比，具有同样的重要性。表示两个元素相比，具有同样的重要性。3表示两个元素相比，前者比后者稍重要。表示两个元素相比，前者比后者稍重要。5表示两个元素相比，前者比后者明显重要。表示两个元素相比，前者比后者明显重要。7表示两个元素相比，前者比后者极其重要。表示两个元素相比，前者比后者极其重要。9表示两个元素相比，前者比后者强烈重要。表示两个元素相比，前者比后者强烈重要。2, 4, 6, 8表示上述相邻判断的中间值。表示上述相邻判断的中间值。 若元素若元素i和元素和元素j的重要性之比

18、为的重要性之比为aij ，那么元素，那么元素j与元素与元素i的重要性之比为的重要性之比为aji=1/ aij 。7/25/202429权重系数的量化过程权重系数的量化过程成对比较成对比较从从 c1,c2,cn中任取中任取ci与与cj比较它们对于比较它们对于z贡献（重要程度）的大小，按照以下标度贡献（重要程度）的大小，按照以下标度给给ci/cj赋值：赋值： ci/cj1，认为，认为“ci与与cj重要程度相同重要程度相同”ci/cj3，认为，认为“ci比比cj重要程度略大重要程度略大”ci/cj5，认为，认为“ci比比cj重要程度大重要程度大”ci/cj7，认为，认为“ci比比cj重要程度大很多重

19、要程度大很多”ci/cj9，认为，认为“ci比比cj重要程度绝对大重要程度绝对大”当比值为当比值为2，4，6，8时认为介于前后中时认为介于前后中间状态。间状态。7/25/2024302 2构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵 判断矩阵表示针对上一层次某因素而言，本层次与之有关的各因素之间的相对重要性。假定C层中因素Ck与下一层次中因素p1，p2，pn有联系，则我们构造的判断矩阵如下表。 ck p1 p 2 pnp1 p11 p12 p1np2 p21 p22 p2n pn pn1 pn2 pnn bij是对于Ak而言，Bi对Bj的相对重要性的数值表示。7/25/202431（1）心理学的实验表明，

20、大多数人对不同事物在相同属性上差别的分辨能力在59级之间，采用1 9的标度反映了大多数人的判断能力；（2）大量的社会调查表明，19的比例标度早已为人们所熟悉和采用；（3）科学考察和实践表明，19的比例标度已完全能区分引起人们感觉差别的事物的各种属性。 为什么采用为什么采用19级的指标比例呢？级的指标比例呢？7/25/202432 判判断断矩矩阵阵的的确确定定具具有有很很强强的的主主观观性性。比比如如，在在例例1中中，假假定定企企业业领领导导对对于于资资金金使使用用的的态态度度是是：首首先先是是提提高高企企业业的的技技术术水水平平，其其次次是是改改善善职职工工生生活活条条件件，最最后后是是调调动

21、动职职工工积积极极性性，则则准准则则层层对对目目标标层层的的比比较较判判断断矩矩阵阵可可以以设定为设定为7/25/202433 显显然然，若若Ci和和Cj对对Z的的影影响响之之比比为为aij， Cj和和Ck对对Z的的影影响响之之比比为为ajk, 则则Ci和和Ck对对Z的的影影响响之之比比为为aik，即即正正互互反反矩矩阵阵A中中元元素素应应满满足足：aijajk=aik，此此7/25/202434时称时称A为为一致矩阵一致矩阵。 单单凭凭经经验验构构造造出出的的比比较较判判断断矩矩阵阵不不一一定定满满足足一一致致性性，如如例例1中中的的判判断断矩阵。矩阵。 比比较较判判断断矩矩阵阵严严格格满满

22、足足一一致致性性是是极极为为困困难难的的，层层次次分分析析法法要要求求比比较较判判断矩阵按一定程度满足一致性。断矩阵按一定程度满足一致性。7/25/2024352. 方案层比较判断矩阵的构造方案层比较判断矩阵的构造 类类似似地地可可以以构构造造出出各各方方案案对对每每个个准则的比较判断矩阵。准则的比较判断矩阵。 例例如如，例例1中中的的各各方方案案对对每每个个准准则的比较判断矩阵可以设为则的比较判断矩阵可以设为7/25/202436注注：P1与与C2无关无关7/25/202437 构构造造出出判判断断矩矩阵阵后后，即即可可对对判判断断矩矩阵阵进进行行单单排排序序计计算算。在在各各层层次次排排序

23、序后后还还要要进进行行各各层层次次总总排排序序，其其中中还还存存在着判断矩阵的一致性检验问题。在着判断矩阵的一致性检验问题。注注：P5与与C3无关无关7/25/202438五、单准则排序与一致性检验五、单准则排序与一致性检验五、单准则排序与一致性检验五、单准则排序与一致性检验7/25/2024391. 单准则下的排序单准则下的排序 根根据据比比较较判判断断矩矩阵阵确确定定某某层层各各元元素素对对上上层层某某元元素素相相对对权权重重排排序序的的过过程程称称为为单单准准则则下下的的排排序序。通通常常有有各各方方案案对对某某准准则则的的权权重重排排序序和和各各准准则则对对目目标标的权重排序。的权重排

24、序。 计计算算权权重重的的方方法法有有多多种种，比比较较成成熟的是熟的是特征根方法特征根方法。7/25/202440 特特征征根根方方法法的的理理论论依依据据是是Perron定定理理，它它保保证证了了所所得得到到的的排排序序向向量量的的正正值值性性和和唯唯一性。一性。 Perron定定理理 设设n阶阶方方阵阵A0(所所有有元元素素大于大于0)， 为为A的最大特征值，则的最大特征值，则 (1) 为为正正特特征征值值，且且对对应应的的特特征征向向量为正向量；量为正向量； (2) 对于对于A的任何其它特征值的任何其它特征值 ,7/25/202441恒有恒有 ； (3) 为为A的的单单特特征征值值，它

25、它所所对对应应的的特特征征向向量量除除相相差差一一个个常常数数因因子子外外是唯一的。是唯一的。 下下面面再再给给出出两两个个定定理理，这这两两个个定定理理分分别别是是权权重重排排序序原原理理和和一一致致性性检检验验原理的理论基础。原理的理论基础。 定理定理1 若若A为一致矩阵，则为一致矩阵，则7/25/202442 (1) A必为正互反矩阵；必为正互反矩阵； (2) A的任意两行的任意两行(列列)成比例；成比例； (3) A的最大特征值的最大特征值 ，n为为A的阶，从而的阶，从而A的其余特征值均为零的其余特征值均为零; (4) 若若A的的最最大大特特征征值值 对对应应的的特特征征向向量量为为

26、，则则 ，即，即注：注：矩阵特征值的总和（矩阵的迹）与矩阵主对角线矩阵特征值的总和（矩阵的迹）与矩阵主对角线上元素的总和相等。正互反矩阵主对角线上元素全为上元素的总和相等。正互反矩阵主对角线上元素全为1.7/25/202443 定理定理2 若若A为为n阶正互反矩阵，则阶正互反矩阵，则7/25/202444 (1) ； (2) A为一致矩阵为一致矩阵 。 尽尽管管上上述述结结论论的的证证明明并并不不复复杂杂，有有些些内内容容还还是是考考研研中中的的常常见见内内容容，如如定定理理1的的(2)和和(3)，但但绝绝大大部部分分学学生生理理解解起起来来还还是是比较困难。比较困难。 不不过过这这并并没没有

27、有关关系系，因因为为我我们们只只要要利利用用这这两两个个定定理理得得出出排排序序和和一一致致性性检检验验的的方方法即可。法即可。7/25/202445根根据据定定理理1中中的的结结论论(4)，可可以以得得出出确确定排序向量的下列方法：定排序向量的下列方法： 求求出出比比较较判判断断矩矩阵阵A最最大大特特征征值值 的的特特征征向向量量W，经经归归一一化化后后即即为为各各准准则则对对目目标标或或各各方方案案对对某某准准则则的的排排序权重向量。序权重向量。 可借助软件求特征值特征向量。可借助软件求特征值特征向量。7/25/2024462. 比较判断矩阵的一致性检验比较判断矩阵的一致性检验 虽虽然然构

28、构造造比比较较判判断断矩矩阵阵时时，不不要要求求具具有有严严格格的的一一致致性性，但但一一个个混混乱乱、不不一一致致的的比比较较判判断断矩矩阵阵有有可可能能导导致致决决策策的的失失误误，所所以以我我们们希希望望在在判判断断时时应应大大体体一一致致，从从而而对对每每一一层层在在做做单单准准则则排序时，均需要做一致性检验。排序时，均需要做一致性检验。 根根据据定定理理2， 且且A为为一一致致矩矩7/25/202447阵阵 ，就就这这意意味味着着 比比n大大得得越越多多，A的的不不一一致致程程度度就就越越严严重重。因此，可以用因此，可以用作作为为衡衡量量不不一一致致程程度度的的数数量量指指标标，CI

29、称为一致性指标。称为一致性指标。 CI其其实实即即为为除除最最大大特特征征值值以以外外的的其余特征值的负平均值。其余特征值的负平均值。为什么？为什么？7/25/202448 究究竟竟CI小小到到什什么么程程度度才才算算达达到到我我们接受的们接受的“满意的一致性满意的一致性”呢？呢？ Lsaaty按按照照下下列列方方法法给给出出了了衡衡量量是是否否达达到到“满满意意的的一一致致性性”的的一一种种数数量指标：量指标： 随随机机构构造造500个个n阶阶正正互互反反矩矩阵阵，求求出出其其最最大大特特征征值值的的平平均均值值 ，并并计算计算7/25/202449 则则RI可可理理解解为为n阶阶比比较较判

30、判断断矩矩阵阵的的平平均均一一致致性性指指标标，称称为为平平均均随随机机一一致致性性指标。指标。 RI的具体数值见下表：的具体数值见下表： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51注：注：一、二阶正互反矩阵必为一致性矩阵一、二阶正互反矩阵必为一致性矩阵7/25/202450 显显然然，当当CI与与RI之之比比较较小小时时，可可以以认认为为A的的不不一一致致性性程程度度很很小小，达达到了所谓的到了所谓的“满意的一致性满意的一致性”。 称为一致性比例。称为一致性比例。 通通常常认认为为,

31、 当当CR0.1时时，判判断断矩矩阵阵的的一一致致性性可可以以接接受受，否否则则应应对对其其适当调整。适当调整。7/25/202451六、层次总排序及一致性检验六、层次总排序及一致性检验六、层次总排序及一致性检验六、层次总排序及一致性检验7/25/2024521. 层次总排序层次总排序 计计算算同同一一层层次次中中所所有有元元素素对对总总目目标标的的排排序序权权重重向向量量的的过过程程称称为为层层次次总总排序。排序。 下下面面通通过过一一个个简简单单的的例例子子来来说说明明这一过程：这一过程： 先先将将一一块块石石头头A分分成成两两大大块块B1和和B2，然然后后再再分分别别将将B1和和B2各各

32、分分为为两两组组:7/25/202453C1, C2；C3, C4, C5。7/25/202454 显显然然，第第2层层对对最最高高层层的的排排序序向向量为量为而第而第3层对第层对第2层单准则下的排序为层单准则下的排序为c1c2c3c4c5B1B27/25/202455C1对对A的的权权重重=0.52 * 0.25 + 0 * 0.75=0.13，依依次次类类推推可可得得到到C2 C5对对A的的权权重重，从从而而得得到到第第3层对最高层的排序向量，可用矩阵表示为：层对最高层的排序向量，可用矩阵表示为：7/25/202456 一一般般地地，若若k个个层层次次中中第第i个个层层次次的的排排序序矩矩

33、阵阵为为W(i)=(Wj(i)，其其中中Wj(i)为为第第i层层各各元元素素对对上上一一层层第第j个个元元素素的的排排序序向向量量（列列向向量量），则则第第k层层的总排序向量为的总排序向量为 。7/25/2024572. 层次总排序的一致性检验层次总排序的一致性检验 在在对对各各层层元元素素进进行行比比较较时时，尽尽管管每每一一层层中中所所用用的的比比较较尺尺度度基基本本一一致致，但但各各层层之之间间仍仍可可能能有有所所差差异异，这这种种差差异异将将随随着着层层次次总总排排序序的的逐逐渐渐计计算算而而累累加加起起来来。因因此此，需需要要从从模模型型的的总总体体上上来来检检验验这这种种差差异异尺

34、尺度度的的累累积积是是否否显显著著。这这个个检检验验过过程称为层次总排序的一致性检验。程称为层次总排序的一致性检验。7/25/202458 设第设第k层的一致性指标为层的一致性指标为 ，n为为第第k层层因因素素的的个个数数，相相应应的的随机一致性指标为随机一致性指标为 ， W(k)为为第第k层层对对目目标标层层的的排排序序向向量量,定定义义CI(k)=(CI1(k), CI2(k), ,CIn(k) W(k)RI(k)=(RI1(k), RI2(k), ,RIn(k) W(k)7/25/202459则第则第k层的组合一致性比率为层的组合一致性比率为 当当 CR(k) 0.1 时，认为整个层时，

35、认为整个层次的比较判断通过了一致性检验。次的比较判断通过了一致性检验。7/25/202460再谈层次分析法的基本步骤再谈层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。各因素基本上相对独立。2）构造成对比较阵）构造成对比较阵用成对比较法和用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验）计

36、算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。检验，若通过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。组合权向量可作为决策的定量依据。7/25/202461目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途例例2. 2. 选择旅游地选择旅游地如何在如何在3 3个目的地中按照景色、费用、居个目的

37、地中按照景色、费用、居住条件等因素选择住条件等因素选择. .7/25/202462“选择旅游地选择旅游地”思维过程的归思维过程的归纳纳 将决策问题分为将决策问题分为3个层次：目标层个层次：目标层O，准则层准则层C，方案层方案层P；每层有若干元素，每层有若干元素， 各层元素间的关系各层元素间的关系用相连的直线表示。用相连的直线表示。 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。案对每一准则的权重。 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完层次

38、分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。成以上步骤，给出决策问题的定量结果。7/25/202463层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤成对比较阵成对比较阵和权向量和权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度元素之间两两对比，对比采用相对尺度 设要比较各准则设要比较各准则C1,C2, , Cn对目标对目标O的重要的重要性性A成对比较阵成对比较阵A是正互反阵是正互反阵要由要由A确定确定C1, , Cn对对O的权向量的权向量选选择择旅旅游游地地7/25/202464成对比较的不一致情况成对比较的不一致情况一致比较一致比较不一致不一致允许不一致，但要确定不一致的允许

39、范围允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况考察完全一致的情况成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量7/25/202465成对比较完全一致的情况成对比较完全一致的情况满足满足的正互反阵的正互反阵A称称一致阵一致阵，如，如 A的秩为的秩为1，A的唯一非零特征根为的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于的任一列向量是对应于n 的特征向量的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量的归一化特征向量可作为权向量对于不一致对于不一致( (但在允许范围内但在允许范围内) )的成对的成对比较阵比较阵A，建议用对应于最大特征根，建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量的特征向量作为权向量w

40、，即，即一致阵一致阵性质性质成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量7/25/2024662 4 6 8比较尺度比较尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取值取值1,2, , 9及其互反数及其互反数1,1/2, , 1/9尺度尺度 1 3 5 7 9 相同相同 稍强稍强 强强 明显强明显强 绝对强绝对强aij = 1,1/2, ,1/9的重要性与上面相反的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个个 用用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等等27种比较尺度对若干实种

41、比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现， 19尺度较优。尺度较优。 便于定性到定量的转化：便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量7/25/202467一致性检验一致性检验对对A确定不一致的允许范围确定不一致的允许范围已知：已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：可证：n 阶正互反阵最大特征根阶正互反阵最大特征根 n, 且且 =n时为一致阵时为一致阵定义一致性指标定义一致性指标:CI 越大，不一致越严重越大，不一致越严重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32

42、 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110为衡量为衡量CI 的大小，引入的大小，引入随机一致性指标随机一致性指标 RI随机模随机模拟得到拟得到aij , 形成形成A，计算，计算CI 即得即得RI。定义一致性比率定义一致性比率 CR = CI/RI 当当CR0.1时，通过一致性检验时，通过一致性检验Saaty的结果如下的结果如下7/25/202468“选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根 =5.073权向量权向量( (特征向量特征向量) )w =

43、(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12 (查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通过一致通过一致性检验性检验7/25/202469组合权向量组合权向量记第记第2层（准则）对第层（准则）对第1层（目标）层（目标）的权向量为的权向量为同样求第同样求第3层层(方案方案)对第对第2层每一元素层每一元素(准则准则)的权向量的权向量方案层对方案层对C1(景色景色)的成对比较阵的成对比较阵方案层对方案层对C2(费用费用)的成对比较阵的成对比较阵CnBn最大特征根最大特征根 1 2 n

44、 权向量权向量 w1(3) w2(3) wn(3) 7/25/202470 （2）考虑第）考虑第3层对第层对第2层层由由19尺度得尺度得7/25/202471权向量矩阵权向量矩阵7/25/202472 （3）组合权向量）组合权向量7/25/202473（4）组合一致性检验）组合一致性检验7/25/202474第第3层对第层对第2层的计算结果层的计算结果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量组合权

45、向量RI= =0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检均可通过一致性检验验 w(2) 0.2630.4750.0550.0900.110方案方案P1对目标的组合权重为对目标的组合权重为0.595 0.263+ =0.300方案层对目标的组合权向量为方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T7/25/2024757/25/2024767/25/202477 如如果果所所选选的的要要素素不不合合理理，其其含含义义混混淆淆不不清清，或或要要素素间间的的关关系系不不正正确确，都都会会降降低低AHPAHP法法的结果质量，甚至导致的结果质量，甚至导致AHPAHP法决策

46、失败。法决策失败。为为保保证证递递阶阶层层次次结结构构的的合合理理性性，需需注注意意以以下下问问题：题：1 1、要要对对问问题题的的影影响响因因素素有有充充分分的的理理解解，必必要的时候可以咨询相关的专家；要的时候可以咨询相关的专家； 2 2、分分解解简简化化问问题题时时把把握握主主要要因因素素，不不漏漏不不多多 3 3、注注意意相相比比较较元元素素之之间间的的强强度度关关系系，相相差差太悬殊的要素不能在同一层次比较。太悬殊的要素不能在同一层次比较。 4 4、以上均为完全层次、以上均为完全层次层次分解时注意事项7/25/202478七、判断矩阵的调整及七、判断矩阵的调整及AHP缺陷缺陷7/25

47、/202479 当当比比较较判判断断矩矩阵阵过过于于偏偏离离一一致致性性时时，就就必必须须对对其其调调整整。调调整整比比较较判判断断矩矩阵阵的的方方法法比比较较复复杂杂，在在实实际际中中可可借借助软件进行调整。助软件进行调整。 层层次次分分析析法法把把决决策策过过程程中中的的定定量量和和定定性性因因素素有有机机地地结结合合起起来来，用用统统一一的的方方法法进进行行处处理理，简简单单、直直观观、易易掌掌握，是一种较好的决策方法。但层次握，是一种较好的决策方法。但层次7/25/202480分析法也存在着应用上的局限性：分析法也存在着应用上的局限性： (1) 层层次次分分析析法法主主要要针针对对方方

48、案案大大体体确确定定的的决决策策问问题题，即即只只能能从从原原方方案案中选优，中选优，不能生成新的方案不能生成新的方案； (2) 层层次次分分析析法法的的比比较较判判断断过过程程较较为为粗粗糙糙，不不太太适适用用于于精精度度要要求求较较高高的决策问题的决策问题; (3) 层层次次分分析析法法在在很很大大程程度度上上依依7/25/202481赖赖于于人人们们的的经经验验，受受主主观观因因素素的的影影响响很很大大。它它至至多多只只能能排排除除思思维维过过程程中中的的严严重重非非一一致致性性，却却无无法法排排除除决决策策者者个个人可能存在的严重片面性。人可能存在的严重片面性。7/25/202482八

49、、层次分析法软件与练习八、层次分析法软件与练习7/25/2024831. 层次分析法软件层次分析法软件YAAHP 张张建建华华教教授授编编制制了了层层次次分分析析法法专专用用软软件件 YAAHP ，该该软软件件不不仅仅可可以以极极为为方方便便地地构构建建层层次次、输输入入比比较较判判断断矩矩阵阵、进进行行一一致致性性检检验验、计计算算各各类类排排序序向向量量、输输出出所所有有数数据据，而而且且在在一一致致性性检检验验未未通通过过时时，还还可可以以应应用用PSO算算法法自动调整比较判断矩阵。自动调整比较判断矩阵。7/25/202484下下面面请请看看利利用用YAAHP软软件件对对资资金金使使用用

50、问问题题进进行行决决策策的的过过程程和和详详细细结结果报告。果报告。7/25/202485 例例2 校园火灾危险性分析校园火灾危险性分析 高高校校校校园园建建筑筑物物和和人人口口都都十十分分密密集集，群群死死群群伤伤的的火火灾灾事事件件时时有有发发生生。由由于于校校园园火火灾灾发发生生具具有有随随机机性性、发发展展过过程程的的复复杂杂性性及及资资料料的的不不完完备备性性，在在进进行行校校园园火火灾灾危危险险性性分分析析时时，很很多多因因素素都都无无法法直直接接量量化化，因因此此采采用用层层次次分分析法可将问题定量化。析法可将问题定量化。7/25/202486 为为了了确确定定准准则则层层和和方

51、方案案层层，首首先先按按场场所所功功能能不不同同将将校校园园划划分分为为如如下下区区域域：宿宿舍舍区区、教教学学办办公公区区、实实验验区区、公公共共活活动动区区(体体育育场场，食食堂堂，礼礼堂堂)、图图书书馆馆；其其次次可可以以从从发发生生火火灾灾的的可可能能性性和和火火灾灾造造成成后后果果的的严严重重程程度度这这两两方方面面来来考考虑虑火火灾灾的的危危险险性性，从从而而可可按按以以下下5个个评评价价因因子子：人人口口密密度度、财财产产密密7/25/202487度度、易易燃燃易易爆爆物物、火火源源情情况况、疏疏散散救救援援，对对不不同同场场所所的的火火灾灾危危险险性性进进行行分分析。由此建立如

52、下的层次结构：析。由此建立如下的层次结构：7/25/2024887/25/202489 通通过过统统计计分分析析，准准则则层层对对目目标标层层的成对比较判断矩阵为的成对比较判断矩阵为容易求得排序权重向量容易求得排序权重向量7/25/202490 类类似似地地可可求求出出方方案案层层对对准准则则层层各各元元素素的的成成对对比比较较判判断断矩矩阵阵及及相相应应权权重重向量见后表。向量见后表。 从从而而可可得得方方案案层层对对目目标标层层的的组组合合权向量为权向量为7/25/2024917/25/202492 层次总排序的一致性检验通过。层次总排序的一致性检验通过。 由由组组合合权权重重可可知知火火

53、灾灾危危险险性性排排序序由由高高到到低低为为：实实验验区区、宿宿舍舍区区、公公共共活动区、教学办公区、图书馆。活动区、教学办公区、图书馆。7/25/2024937/25/2024947/25/2024957/25/2024967/25/2024977/25/202498 练习练习1 高考志愿选择高考志愿选择 填填报报高高考考志志愿愿要要考考虑虑学学校校声声誉誉、教教学学、科科研研和和生生活活条条件件，又又要要结结合合本本人人兴兴趣趣、考考试试成成绩绩和和就就业业等等因因素素。每每一一因因素素内内还还含含有有若若干干子子因因素素，如如教教学学因因素素中中要要考考虑虑到到教教师师水水平平、教教学学条条件件等等。考考生生可可填填ABCD四四个个志志愿愿。试试用用层次分析法作出决策。层次分析法作出决策。 7/25/202499 练习练习2 城市跨江交通方案选择城市跨江交通方案选择 填填报报渡渡江江跨跨海海的的方方法法主主要要有有建建桥桥梁梁、修修隧隧道道、轮轮渡渡三三种种，进进行行抉抉择择时时不不外外乎乎要要从从效效益益和和代代价价两两方方面面考考虑虑，这这两两方方面面又又各各有有若若干干准准则则加加以以度度量量。请请你你试试用用层层次次分分析析法法对对沿沿江江某某个个城城市市横渡长江方案作出决策。横渡长江方案作出决策。7/25/2024100