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1、第三讲第三讲中国古代数学中国古代数学概概 述述n石器时代（石器时代（4000BC） 仰韶文化仰韶文化西安半坡遗址西安半坡遗址 陶器上的刻划符号陶器上的刻划符号文字的起源文字的起源人面陶盆中人面陶盆中的几何图案的几何图案几何图案几何图案对称对称三角形数？三角形数？夏商周：青铜时代夏商周：青铜时代1600BC1600BCn数字符号的形成 甲骨文甲骨文 金文金文甲骨文中的数字符号伏羲执矩，女娲执规：数学崇拜？伏羲执矩，女娲执规：数学崇拜？东汉画像石（山东武梁祠）东汉画像石（山东武梁祠）“算术”乃社稷民生之大用！n n昔者周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也。请问昔者周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也。请问
2、古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度。请问数安从出？得尺寸而度。请问数安从出？n n商高曰：数之法出于圆方。圆出于方，方出于矩，商高曰：数之法出于圆方。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。矩出于九九八十一。故折矩以为句广三，股修四，故折矩以为句广三，股修四，故折矩以为句广三，股修四，故折矩以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。三四五。三四五。三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故
3、两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之禹之禹之禹之所以治天下者，此数之所生也所以治天下者，此数之所生也所以治天下者，此数之所生也所以治天下者，此数之所生也。n n周公曰：大哉言数。周公曰：大哉言数。 -周髀算经周髀算经春秋战国：春秋战国：400BC400BCn n“九九口诀九九口诀”齐恒公招贤纳士齐恒公招贤纳士n n墨经墨经：圜，一中同长也；：圜，一中同长也； 平，同高也平，同高也;n n庄子庄子：“一尺之棰一尺之棰”n n考工记考工记：分数算法：分数算法秦汉秦汉：221BC-220AD221BC-220AD初等数学体系的形成n算数书n周髀算经n九章算术魏晋南北朝魏晋南北朝：220-588AD22
4、0-588AD初等数学理论的发展初等数学理论的发展n n刘徽：刘徽：九章算术注九章算术注（264AD）n n祖冲之祖冲之：3.1415926b0ab0，则上述正负术相当于，则上述正负术相当于减法法则（前四句）：减法法则（前四句）： (a)(a)（bb）=（a ab b）, (b), (b)（aa）= =（a ab b） (a)(a)（b b）=（a ab b）；）； 0 0a = a = a; 0a; 0( (a) = a.a) = a.加法法则（后四句）：加法法则（后四句）： (a)(a)（b b）=（a ab b），），(b) +(b) +（a a）= =（a ab b）；）； (a)(a
5、)（bb）=（a ab b）；）； 0 0 a = a; 0 a = a; 0 （a a）= = a. a.刘徽刘徽九章算术九章算术注注n n“今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑，否则以斜正为异。方程自有赤黑相取，左右数相推求之术。而其并减之势不得广通，故使赤黑相消夺之。故赤黑相杂足以定上下之程，减益虽殊足以通左右之数，差实虽分足以应同异之率。然则其正无入负之，负无入正之，其率不妄也。” 负数运算法则n n减减法法：同同同同名名名名相相相相除除除除，异异异异名名名名相相相相益益益益；正正正正无无无无入入入入负负负负之之之之，负负负负无无无无入正之。入正之。入正之。入正之。n n加加
6、法法：异异异异名名名名相相相相除除除除，同同同同名名名名相相相相益益益益；正正正正无无无无入入入入正正正正之之之之，负负负负无无无无入负之。入负之。入负之。入负之。n n若若ab0ab0n na-(b)=(a-b)a-(b)=(a-b)，（同名相除），（同名相除）n na-(-b)=(a+b)a-(-b)=(a+b)，（异名相益），（异名相益）n n0-(a)=0-(a)=a; 0-(a; 0-(a)=aa)=a；（无入：空位）；（无入：空位）评价评价 负负量量及及负负量量的的运运算算法法则则的的发发明明是是大大约约生生活活在在二二千千年年以以前前或或更更早早的的中中国国学学者者的的最最伟伟大
7、大的的成成就就。这这是是第第一一次次超超越越了了正正数数的的范范围围。中中国国数数学学家家在在这这一一点点上上超超出出了了其其他他国国家家的的科科学几世纪之久。学几世纪之久。尤什凯维奇尤什凯维奇中国学者在数学领域中的成就中国学者在数学领域中的成就n n负数虽然通过阿拉伯人的著作传到了欧洲，但负数虽然通过阿拉伯人的著作传到了欧洲，但1616世纪和世纪和1717世纪的大多数数学家并不承认它们是数，或者即使承认了世纪的大多数数学家并不承认它们是数，或者即使承认了也并不认为它们是方程的根。也并不认为它们是方程的根。n n如丘凯（如丘凯（Nicolas Chuquet Nicolas Chuquet ，
8、1445-15001445-1500）和斯蒂费尔（）和斯蒂费尔（Stifel Stifel ,1486-1567,1486-1567） 都把负数说成是荒谬的数，是都把负数说成是荒谬的数，是“ “无稽之零下无稽之零下” ”。n n无法解释：无法解释：1:-1=-1:11:-1=-1:1； “ “较大数较大数: :较小数较小数= =较小数较小数: :较大数较大数” ” ? ?n n卡丹卡丹(Cardan,1501- 1576) (Cardan,1501- 1576) 把负数作为方程的根，但认为它们把负数作为方程的根，但认为它们是不可能的解，仅仅是一些记号；他把负根称作是虚有的。是不可能的解，仅仅是
9、一些记号；他把负根称作是虚有的。韦达韦达(Vieta, 1540- 1630) (Vieta, 1540- 1630) 完全不要负数，巴斯卡完全不要负数，巴斯卡（Pascal,1623- 1662Pascal,1623- 1662） 则认为从则认为从0 0减去减去4 4纯粹是胡说。纯粹是胡说。 西方的困惑西方的困惑五五 刘徽论圆和球刘徽论圆和球九章“方田”章： 半周半径相乘得积步 周径相乘，四而一又中国古代取“周三径一”，故有： 径自相乘，三之，四而一 周自相乘，十二而一半径半周刘徽刘徽“割圆术注割圆术注”按半周为从，半径为广，故广从相乘为积步。假令圆径二尺，圆中容六觚之一面，与圆径之半，其数
10、均等。合径率一而觚周率三也。又按為图，以六觚之一面乘半徑，（四分取）二，因而六之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘半径，四分取四，因而六之，則得二十四觚之幂。割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圆合體，而無所失矣。 12觚面积= 半径6觚周长/224觚面积= 半径12觚周长/248觚面积= 半径24觚周长/2 圆面积=半径半周割圆拼方6觚周长之半半径6 6觚求觚求1212觚，觚，AB=1AB=1股（股（OGOG） = =1-0.251-0.25 = =0.75=0.86602540.75=0.8660254余径（余径（CGCG）=1-=1-股股 =1-0.8660254=
11、1-0.8660254 = 0.1339746- = 0.1339746-小勾小勾小弦幂（小弦幂（CBCB）= =小勾方小勾方+ +小股方小股方 =0.267949193445 =0.267949193445 开方即得开方即得1212觚之一面（觚之一面（CBCB） S9696= 48觚之一面124=3.13+ 0.00 584/625S192192=96觚之一面148=3.14+0.00 64/625“差幂”= S192192 - S9696 = 105/625 割圆不等式 S192192 S 圆圆 S9696 +2“差幂”故取: S 圆 S1921923.14 因此，周长= 2圆面积/半径
12、=6.28 ，于是， 周：径= 6.28: 2=157:50 最后，计算到3072边形，得圆周率3.1416祖冲之的圆周率祖冲之的圆周率“ “宋末，南徐州从事史祖冲之更开密法。宋末，南徐州从事史祖冲之更开密法。以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。又设开差幂，开圆径七，周二十二。又设开差幂，开差立，
13、兼以正（圆）差立，兼以正（圆） 负负 参之，指要参之，指要精密，算氏之最者。所著之书，名为精密，算氏之最者。所著之书，名为缀术缀术，学官莫能究其深奥，是故，学官莫能究其深奥，是故废而不理。废而不理。” ” - - 隋书隋书 律历志律历志 刘徽论球刘徽论球n n九章：刘徽：然此意非也。何以驗之？取立方棊八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸，規之為圓囷，徑二寸，高二寸，又復横圆之，則其形有似牟合方葢牟合方葢矣。八棊皆然似陽馬，圓然也。按合葢者，方率也。丸居其中，即圓率也。推此言之，謂夫圓囷為方率豈不闕哉？以周三徑一為圓率，則圓幂傷少；令圓囷為方率，則丸積傷多。互相通補，是以九與十六之率，偶與實相近，
14、而丸猶傷多耳。觀立方之内，合葢之外，雖衰殺有漸，而多少不掩，判合總結，方圓相纒，濃纎詭互，不可等正。欲陋形措意，懼失正理，敢不闕疑，以俟能言者。 “互相通補，是以九與十六之率，偶與實相近，而丸猶傷多耳。” “ “規之為圓囷，徑二寸高二寸，又復横圆之，則其形有似規之為圓囷，徑二寸高二寸，又復横圆之，則其形有似牟合方葢牟合方葢牟合方葢牟合方葢矣矣” ”。 “牟合方盖牟合方盖” 刘徽：牟合方盖正交的相贯圆柱：任一截面，方、圆相切。V球 ：V牟S圆 ：S方：4观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓钎诡互，欲陋形措意，惧失正理，敢不阙疑，以俟能言者。 n n祖暅之開立圓術曰
15、：以二乘積，開立方除之即立圆徑。其意何祖暅之開立圓術曰：以二乘積，開立方除之即立圆徑。其意何也？取立方棊一枚，令立樞于左後之下隅，從規去其右上之亷，也？取立方棊一枚，令立樞于左後之下隅，從規去其右上之亷，又合而横規之，去其前上之亷。于是立方之棊，分而為四。規又合而横規之，去其前上之亷。于是立方之棊，分而為四。規内棊一，謂之内棊。規外棊三，謂之外棊。更合四棊，復横斷内棊一，謂之内棊。規外棊三，謂之外棊。更合四棊，復横斷之。以句股言之，令餘高為句，内棊斷上方為股，本方之数，之。以句股言之，令餘高為句，内棊斷上方為股，本方之数，其弦也。句股之法，以句幂減弦幂，則餘為股幂；若令餘高自其弦也。句股之法，
16、以句幂減弦幂，則餘為股幂；若令餘高自乘，減本方之幂，餘即内棊斷上方之幂也。本方之幂，即内外乘，減本方之幂，餘即内棊斷上方之幂也。本方之幂，即内外四棊之斷上幂。四棊之斷上幂。然則餘高自乘，即外三棊之弦上幂矣然則餘高自乘，即外三棊之弦上幂矣然則餘高自乘，即外三棊之弦上幂矣然則餘高自乘，即外三棊之弦上幂矣。不問高不問高卑，勢皆然也。然固有所歸，同而途殊者耳。而乃控逺以演類，卑，勢皆然也。然固有所歸，同而途殊者耳。而乃控逺以演類，借況以析微。按借況以析微。按陽馬方高数参等者，倒而立之，横截去上，則陽馬方高数参等者，倒而立之，横截去上，則陽馬方高数参等者，倒而立之，横截去上，則陽馬方高数参等者，倒而立之
17、，横截去上，則高自乘與斷上幂数亦等焉高自乘與斷上幂数亦等焉高自乘與斷上幂数亦等焉高自乘與斷上幂数亦等焉。夫疊棊成立積，。夫疊棊成立積，緣幂勢既同，則積緣幂勢既同，則積緣幂勢既同，則積緣幂勢既同，則積不容異不容異不容異不容異。由此觀之，。由此觀之，規之外三棊旁蹙為一，即一陽馬也規之外三棊旁蹙為一，即一陽馬也規之外三棊旁蹙為一，即一陽馬也規之外三棊旁蹙為一，即一陽馬也。三分。三分立方，則陽馬居一，内棊居二可知矣。合八小方成一大方，合立方，則陽馬居一，内棊居二可知矣。合八小方成一大方，合八内棊成一合葢。内棊居小方三分之二，則合葢居立方亦三分八内棊成一合葢。内棊居小方三分之二，則合葢居立方亦三分之二，
18、較然驗矣。置三分之二以圓幂率三乘之，如方幂率四而之二，較然驗矣。置三分之二以圓幂率三乘之，如方幂率四而一，約而定之，以為九率。故曰九居立方二分之一也。一，約而定之，以為九率。故曰九居立方二分之一也。 外三棋内棋外三棋断上幂= 外方 内方 （绿色矩尺形） （黄色） =OS平方SP平方 =余高（OP）2 =倒立阳马断上幂 B所以所以: : 外三棋体积外三棋体积 = = 阳马体积阳马体积 因此因此, , 牟合方盖牟合方盖 = = 立方立方阳马体积阳马体积 =2/3 =2/3 立方立方 球体体积球体体积= 3/4 = 3/4 牟合方盖牟合方盖 = 1/2 = 1/2 立方立方 或：或： =夫疊棊成立積
19、，緣幂勢既同，則積不容異。夫疊棊成立積，緣幂勢既同，則積不容異。夫疊棊成立積，緣幂勢既同，則積不容異。夫疊棊成立積，緣幂勢既同，則積不容異。=祖暅公理：緣幂勢既同，則積不容異 Cavalieris principle 卡瓦列利，16世纪意大利教士，数学家今日论坛今日论坛n n1 你认为现实中“具有相反意义的量”能否导致负数的发现？n n2 如何评价刘徽开方术注的意义？（不以面命之，加定法如前，求其微数。微（不以面命之，加定法如前，求其微数。微数无名者以为分子，其一退以十为母，其数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细。则再退以百为母。退之弥下，其分弥细。则朱幂虽有所弃之数，不足言之也。）朱幂虽有所弃之数，不足言之也。）
